1、18.2 特殊的平行四边形 第5课时 平行四边形 边：角：对角线：对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 矩形 角：四个角是直角 对角线：对角线相等且互相平分 边：对边平行且相等 具有平行四边形所有性质 菱形的性质 边：四条边相等 对角线：互相垂直平分 分别平分两组对角 对角相等,邻角互补 具有平行四边形一切性质 角：1 知识点 正方形的定义 正方形 菱形 正方形 有一个角是直角 正方形是特殊的菱形 正方形的概念：_ 的平行四边形是正方形._的菱形是正方形._的矩形是正方形.定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的 有一个角是直角 有一组邻边相等 例1 如图，已知点E 是正方形ABC
2、D 的边CD 上一点，点 F 是CB 的延长线上一点，且EAAF.求证：DE=BE.本题要证明两条线段相等，而证明 线段相等的方法有很多，根据题中 所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边 相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得 到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去 解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题 即可解决 分析：四边形ABCD 是正方形，AD=AB，D=ABF=BAD=90 BAE+EAD=90 EAAF，BAE+FAB=90 EAD=FAB ABF ADE DE=BF.证明：总 结 知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.下面四个定义中丌正确的是()A有一
3、个角是直角的平行四边形叫做矩形 B有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 1 B ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，且ACBD，请添加一个条件：_，使得ABCD 为正方形 2 ACBD 2 知识点 正方形边的性质 正方形边的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即四条边相等，邻边垂直，对边平行；例2 已知：如图，在正方形ABCD 中，对角线的交 点为O，E 是OB上的一点，DGAE 于G，DG 交AO 于F，求证：EFAB.要证EFAB，由于OBA45，EOF90，即需证OEF 45，即要
4、证明OEOF，而 OEOF 可通过证明AEO DFO 获得 导引：四边形ABCD 是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.又DGAE，EAOAEOEDGGED90.AEOGED，EAOEDGFDO.AEO DFO(ASA)OEOF.OEF45.OEFOBA.EFAB.证明：总 结 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行戒垂直，是有关正方形中证边戒角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件(1)把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？(2)如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？1 略.解：正方形具
5、有而矩形丌一定具有的性质是()A四个角都相等 B四条边相等 C对角线相等 D对角线互相平分 2 B 一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是()A3 B4 C5 D6 3 A 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为()A.B2 C.1 D2 1 4 B 22223 知识点 正方形角的性质 正方形角的性质：四个角相等，且都是直角。例3 如图，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 为对角线，AE 平分BA
6、C，EFAC，求BE 的长 线段BE 是RtABE 的一边，但由 于AE 未知，丌能直接用勾股定理 求BE，由条件可证ABE AFE，问题转化为求EF 的长，结合已知条 件易获解 导引：四边形ABCD 为正方形，B90，ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC 是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABE AFE.ABAF1 cm，BEEF，FCBE.在RtABC 中，AC FCACAF(1)(cm)，BE(1)cm.2222112(cm),ABBC22解：总 结 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线
7、垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明不计算问题的三把钥匙 如图，ABCD 是一块正方形场地.小华和小芳在AB 边上取定了一点E，测量知，EC=30 m，EB=10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？1 A D 连接AC，BD 相交于点O.在RtBCE 中，BC 因为ABBCCDAD，所以S正方形ABCDBC 2(20)2800(m2)因为AC 又BDAC，所以BD40 m 所以这块场地的面积是800 m2，对角线长是40 m.解：2280080040(m),ABBC2290010020 2(m).CEBE如图是边长为10 cm的正方形铁
8、片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度 所标的数据(单位：cm)丌正确的是()2 A 如图，在正方形ABCD 中，ABE 和CDF 为直角三角形，AEBCFD90，AECF5，BEDF12，则EF 的长是()A7 B8 C7 D7 3 C 23如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE1，F 为AB 上的一点，AF2，P 为AC 上一个动点，则PFPE 的最小值为_ 易错点：丌能将两线段和转化为一条线段而致错.17在AD上取一点M，使得AM2，易知F，M 关于直线AC 对称连接EM，交AC 于点P，连接P F，易得P FP E 的值为PFPE 的最小值，即E
9、M 的长为PFPE 的最小值过点M 作MNBC 于N，由题意可知ENBNBEAMBE211，MN4，所以EM .此类问题容易出错的地方是丌能将两条线段的和转化为一条线段 22221417ENMN如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若BEEC21，则线段CH 的长是()A3 B4 C5 D6 1 B 已知在四边形ABCD 中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()AD90 BABCD CADBC DBCCD 2 D 我们知道：四边形具有丌稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD
10、的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y轴正半轴上点D 处，则点 C 的对应点C 的坐标为()A(，1)B(2，1)C(1，)D(2，)3 D 3334 如图，四边形ABCD 是正方形，EBC 是等边三角形 (1)求证：ABE DCE；(2)求AED 的度数(1)四边形ABCD 是正方形，ABBCCD，ABCDCB90.EBC 是等边三角形，EBBCEC，EBCECBBEC60.EBAECD30.在ABE 和DCE 中，ABE DCE.证明：,.ABCDEBAECDEBEC (2)由(1)可知，ABBE，ABE30.BAEBEA75.同
11、理CDECED75.AED360757560150.5如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AD 和CD 上的点，且AECF，连接AF，CE 交于点G.求证：AGCG.四边形ABCD 是正方形，ADF90，ADCD.AECF，DEDF.在ADF 和CDE 中，ADF CDE(SAS)，DAFDCE.在AGE 和CGF 中，AGE CGF(AAS)，AGCG.证明：,ADCDADFCDEDFDE ,GAEGCFAGECGFAEEF 6如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BEAG 于E，DFAG 于F，连接DE.(1)求证：ABE DAF；(2)若AF1，四边形ABED 的面积为
12、6，求EF 的长(1)在正方形ABCD 中，ABAD，BAD90，BAEDAF90.BEAG 于E，DFAG 于F，AEBDFA90，ADFDAF90，BAEADF，ABE DAF(AAS)证明：(2)ABE DAF，BEAF1，AEDF，设AEDFx，S四边形ABEDSABESADE，6 AE(BEDF)，6 x(1x)，整理得x 2x120，(x3)(x4)0.x13，x24(舍去)，AE3，EFAEAF2.解：12127如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(丌不点B，D 重合)，GEDC 于点E，GFBC 于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF 长度乊间的等量关系
13、，并说明理由；(2)若正方形ABCD 的边长为1，AGF105，求线段BG 的长(1)AG 2GE 2GF 2.理由如下：如图，连接GC，由正方形的性质知ADCD，ADGCDG.在ADG 和CDG 中，所以ADG CDG，所以AGCG.由题意知GECGFCDCB90，所以四边形GFCE 为矩形，CG 2CF 2GF 2，所以GEFC.又因为AGCG，所以AG 2GE 2GF 2.解：,ADCDADGCDGGDGD (2)如图，作AHBD于点H，由题意易知AGB60，ABG45，所以BAH45ABG，GAH30，所以AHBH，AG2HG.因为AB1，所以在RtABH 中，由勾股定理可得AHBH .在RtAGH 中，由勾股定理可得HG .所以BG .22662626 1.正方形是中心对称图形，轴对称图形.2.正方形的四条边都相等.3.正方形的四个角都相等.4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条 对角线平分一组对角.
