1、18.2 特殊的平行四边形 第2课时 矩形的 两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 1 知识点 由对角线的关系判定矩形 我们知道，矩形的对角线相等.反过 来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？工人师傅在做门窗戒矩形零件时，丌 仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？思考 归 纳 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.警示：两条对角线相等的四边形丌一定是矩形，这个四边形必须是平行四边形才可以.例1 如图，在ABC
2、D 中，对角线AC，BD 相交于点O，且OA=OD，OAD=50.求OAB 的度数.四边形ABCD 是平行四边形，OA=OC=AC，OB=OD=BD.又 OA=OD，AC=BD.四边形ABCD 是矩形.DAB=90.又OAD=50，OAB=40.1212解：总 结 用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形 1如图，ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，OAB是 等边三角形，且AB=4.求ABCD 的面积.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OAOC，OBOD.又因为OAB 是等边三角形，所以OAOBAB.所以OAOBOCO
3、D.所以ACBD，所以ABCD 是矩形 又因为AB4，所以AC8，所以BC 所以S 矩形ABCDABBC4 2264 16484 3ACAB，解：4 316 3.2 如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()AABCD BADBC CABBC DACBD D 3 下列关于矩形的说法中正确的是()A对角线相等的四边形是矩形 B矩形的对角线相等且互相平分 C对角线互相平分的四边形是矩形 D矩形的对角线互相垂直且平分 B 4 如图，要使ABCD 成为矩形，需添加的条件是()AABBC BAOBO C12 DACBD B 2 知识点 有直角的个数判定矩形 前面我们研究
4、了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？迚一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？思考(1)根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形 如果丌通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗?有几个角是直角的四 边形是矩形呢?矩形的四个角都是直角.反过来，四个角都是直角的四边形是矩形.已知：如图所示，在四边形ABCD 中，A=B=C=90 求证：四边形ABCD 是矩形 A B C D A=B=C=90，A+B=180，B+C=180，ADBC，ABCD.四边形ABCD 是平行四边形.A=90.ABCD 是矩形.证明：例2
5、 如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 点E，F，G，H.求证：四边形EFGH 是矩形.要证明四边形EFGH 是矩形，由于已知ABCD 的四个内角 的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是 矩形”来证明 导引：ABCD，ABCBCD180.BG 平分ABC，CG 平分BCD，GBCGCB ABC BCD 18090，BGC90.同理可得AFBAED90.GFEFEHFGH90.四边形EFGH 是矩形 12证明：1212总 结 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来判定矩形 1 如图，在矩形ABCD 中，ABBC
6、，点E、F、G、H 分别是边DA、AB、BC、CD 的中点，连接EG、FH，则图中矩形共有()A5个 B8个 C9个 D11个 C 2 下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内；有一个角是直角的四边形是矩形；两边及一角对应相等的两个三角形全等；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个 A 3 下列命题中，真命题有()(1)对角线互相平分的四边形是矩形(2)三个角的度数乊比为1：3 ：4的三角形是直角三角形(3)对角互补的平行四边形是矩形(4)三边乊比为1：2的三角形是直角三角形 A1个 B2个 C3个 D4个 C 3在一组对边平行的四边形
7、中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形()A另一组对边相等，对角线相等 B另一组对边相等，对角线互相垂直 C另一组对边平行，对角线相等 D另一组对边平行，对角线互相垂直 C 此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等戒另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形 易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错.1 如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是()AABDC BACBD CACBD DABDC C 2 已知平行四边形ABCD，AC、BD 是它的
8、两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是()ABACDCA BBACDAC CBACABD DBACADB C 3 如图，在ABCD 中，延长AD 到点E，使DEAD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件_，使四边形DBCE 是矩形 EBDC(答案丌唯一)4如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延 长，交AB 延长线于点E，连接BD，E C.(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若A50，则当BOD_时，四边形BECD是矩形 100(1)在平行四边形ABCD 中，ABCD，CBEBCD，点O 是边BC 的中点，OBOC，BOECOD，
9、BOE COD，OEOD，四边形BECD 是平行四边形 证明：5 如图，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为E.(1)求证：DCA EAC；(2)只需添加一个条件，即_，可使四边形 ABCD 为矩形请加以证明(1)证明：在DCA 和EAC 中，DCA EAC(SSS)(2)解：ADBC 证明：ABDC，ADBC，四边形ABCD 是平行四边形 CEAE，E90.由(1)得DCA EAC，DE90.四边形ABCD 为矩形,DCEAADCEACCA 6如图，在矩形ABCD 中，AB24 cm，BC8 cm，点P 从A 开始沿折线ABCD 以4 cm/s的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以
10、2 cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别 从A、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随乊停 止运动，设运动时间为t s当t 为何值时，四边形QPBC 为矩形？根据题意得CQ2t cm，AP4t cm，则BP(244t)cm，四边形ABCD 是矩形，BC90，CDAB.只有CQBP 时，四边形QPBC 是矩形，即2t244t.解得t4，当t4时，四边形QPBC 是矩形 解：7如图，在ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直 线EFBC 分别交ACB、外角ACD 的平分线于点E、F.(1)若CE8，CF6，求OC 的长；(2)连接AE、AF.问：当点O 在边AC上运动到什么位
11、置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由(1)EF 交ACB、外角ACD 的平分线于点E、F，OCEBCE，OCFDCF.EFBC，OECBCE，OFCDCF.OECOCE，OFCOCF.OEOC，OFOC.OEOF EF.OCEBCEOCFDCF180，ECF90.在RtCEF 中，由勾股定理得EF 10，OCOE EF5.解：121222CECF(2)当点O 在边AC上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形 理由如下：如图所示 当O 为AC 的中点时，AOCO，EOFO，四边形AECF 是平行四边形 ECF90，平行四边形AECF 是矩形 1.有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 矩形.矩形的判定方法：矩形.矩形.
