1、2.4.1平面向量基本定理一、选择题1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:与;与;与;与,其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是()A B C DB由基的定义知,中两向量不共线,可以作为基2在矩形ABCD中,O是其对角线的交点,5e1,3e2,则等于()A(5e13e2) B(5e13e2)C(3e25e1) D(5e23e1)A()(5e13e2).3设一直线上三点A,B,P满足m(m1),O是直线所在平面内一点,则用,表示为()Am Bm(1m)C DC由m得m(),mm,.4已知AD是ABC的中线,a,b,以a,b为基表示,则()A(ab) B2baC(b
2、a) D2baB如图,AD是ABC的中线,则D为线段BC的中点,从而(),则22ba.5如图,2,2,m,n,若m,那么n()A. BC. DA法一:由2,2,知C是AB的中点,P是OC的中点,所以(),则(),又,n,从而n,(),又点M,P,N共线,所以存在实数,使成立,即n,又因为,不共线,所以有,解得n,故选A.法二:设,n,()(1)n,又知2, 解得,n,故选A.二、填空题6.如图所示,向量可用向量e1,e2表示为_4e13e2由题图可知,4e13e2.7已知e1、e2不共线,ae12e2,b2e1e2,要使a、b能作为平面内的一组基,则实数的取值范围为_(,4)(4,)若能作为平
3、面内的一组基,则a与b不共线ae12e2,b2e1e2,由akb得4.8设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC,若12(1,2为实数),则12的值为_易知(),所以12.三、解答题9设e1,e2是不共线的非零向量,且ae12e2,be13e2.(1)证明:a,b可以作为一组基;(2)以a,b为基,求向量c3e1e2的分解式;(3)若4e13e2ab,求,的值解(1)证明:设ab(R),则e12e2(e13e2).由e1,e2不共线得即不存在,故a与b不共线,可以作为一组基(2)设cmanb(m、nR),则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e
4、2.即c2ab.(3)由4e13e2ab,得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.即故所求、的值分别为3和1.10.如图所示,P是ABC内一点,且满足230,设Q为CP延长线与AB的交点,求证:2.证明,()2()30,3230,又A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线,3230,(2)(33)0.而,为不共线向量,2,1.故2.11设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2,则实数y的值为()A3 B4 C DB因为3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2,所以(3x4y7)e1(10y2x)e20,又因为e1和e
5、2是某一平面内所有向量的一组基,所以解得故选B.12.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分,(不包含边界).设m1n2,且点P落在第部分,则实数m,n满足()Am0,n0 Bm0,n0Cm0,n0 Dm0,n0B由题意及平面向量基本定理易得在m1n2中,m0,n0.13若D点在三角形ABC的边BC上,且4rs,则3rs的值为_4rs,()rs,r,s.3rs.14在ABC所在平面上有一点P,满足4,则PBC与PAB的面积比为_124,所以42,即P在AC边上,且AP2PC,所以PBC与PAB的面积比为12.15.如图所示,在OAB中,a,b,M,N分别是边OA,OB上的点,且a,b,设与交于点P,以a、b为基表示.解,设m,n,则mam(1m)amb,n(1n)bna.a与b不共线,n,m,ab.