1、2.4.1平面向量基本定理一、选择题1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是()A B C DB由基的定义知，中两向量不共线，可以作为基2在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，5e1，3e2，则等于()A(5e13e2) B(5e13e2)C(3e25e1) D(5e23e1)A()(5e13e2).3设一直线上三点A，B，P满足m(m1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为()Am Bm(1m)C DC由m得m()，mm，.4已知AD是ABC的中线，a，b，以a，b为基表示，则()A(ab) B2baC(b
2、a) D2baB如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而()，则22ba.5如图，2，2，m，n，若m，那么n()A. BC. DA法一：由2，2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以()，则()，又，n，从而n，()，又点M，P，N共线，所以存在实数，使成立，即n，又因为，不共线，所以有，解得n，故选A.法二：设，n，()(1)n，又知2， 解得，n，故选A.二、填空题6.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_4e13e2由题图可知，4e13e2.7已知e1、e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数的取值范围为_(，4)(4，)若能作为平
3、面内的一组基，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由akb得4.8设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_易知()，所以12.三、解答题9设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基；(2)以a，b为基，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值解(1)证明：设ab(R)，则e12e2(e13e2).由e1，e2不共线得即不存在，故a与b不共线，可以作为一组基(2)设cmanb(m、nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e
4、2.即c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.即故所求、的值分别为3和1.10.如图所示，P是ABC内一点，且满足230，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：2.证明，()2()30，3230，又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，3230，(2)(33)0.而，为不共线向量，2，1.故2.11设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数y的值为()A3 B4 C DB因为3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因为e1和e
5、2是某一平面内所有向量的一组基，所以解得故选B.12.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，(不包含边界).设m1n2，且点P落在第部分，则实数m，n满足()Am0，n0 Bm0，n0Cm0，n0 Dm0，n0B由题意及平面向量基本定理易得在m1n2中，m0，n0.13若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为_4rs，()rs，r，s.3rs.14在ABC所在平面上有一点P，满足4，则PBC与PAB的面积比为_124，所以42，即P在AC边上，且AP2PC，所以PBC与PAB的面积比为12.15.如图所示，在OAB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与交于点P，以a、b为基表示.解，设m，n，则mam(1m)amb，n(1n)bna.a与b不共线，n，m，ab.