1、 1 2022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨暨 2022 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 一试（一试（A1 卷）参考答案及评分标准卷）参考答案及评分标准 说明：说明： 1. . 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. . 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. . 2. . 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷如果考生的解答方
2、法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第时可参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次， 第分为一个档次， 第10、11 小题小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1. 设复数e(1i)(1i)eez（e为自然对数的底数，i为虚数单位） ，则z的模为 答案答案：2 解解：记e,eeuv，则22,1Ru vuv 因此2222()()i()()2()2zuvuvuvuvuv 2. 在平面直角坐标系xOy中，
3、 圆22:0 xydxeyf （其中, ,d e f为实数）的一条直径为AB，其中(20, 22),(10,30)AB，则f的值为 答案答案：860 解解：易知的圆心（即AB的中点）为(15, 26)，的半径为412AB，故圆的方程为22(15)(26)41xy，即2230528600 xyxy 所以860f 3. 设函数( )f x的定义域为R，且当0 x时，( )2f xxa（其中a为实数） 若( )f x为奇函数，则不等式( )1f x 的解集为 答案答案： 3,15,) 解解：由条件知(0)20fa，故2a 当0 x时，由( )221f xx ，解得5x 当0 x时，( )1f x 等
4、价于()1fx，即221x ，即21x，解得31x 综上，不等式( )1f x 的解集为 3,15,) 4. 若ABC满足345ABC，则2|AB ACBC 的值为 答案答案：334 解解：由条件知45 ,60 ,75ABC，于是 2 2| |sinsincos| | | |sinsinAB ACAB ACABACCBABCABACBCBCAA 62323342242222 5. 若等差数列na及正整数(3)m m满足：11,2maa，且 122311113mma aa aaa， 则12maaa的值为 答案答案：212 解解：设na的公差为d，则 111122311111miiimmiiaaa
5、 aa aaadaa 111111miiidaa11111 111mmmmaamd aada aa a， 结合条件可知132m，得7m 所以12(12)72122maaa 6. 在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为 答案答案：15 解解：这7名学生的任意圆排列有6!种以下考虑满足条件的圆排列的种数 先对四名男生进行圆排列，有3!种排法，任意两名相邻男生之间暂视为一个空位，共4个空位；为使三名女生两两不相邻，需挑选3个不同的空位将她们依次排入，有34P种排法因此满足条件的圆排列有343!P种 从而所求概率为343!P16!5 7. 已知
6、四面体ABCD满足,2 3ABBC BCCD ABBCCD， 且该四面体的体积为6，则异面直线AD与BC所成的角的大小为 答案答案：45或60 解解：作DH 平面ABC于点H，则四面体的体积163ABCVSDH 由,2 3ABBC ABBC，得6ABCS，所以3DH 又DHCH，2 3CD，故3CH 由,BCCD BCDH，得BC 平面CDH，所以BCCH 构造正方形ABCE，则H在直线CE上，且由AE 平面CDH知AEDE 由于|AEBC，故DAE为异面直线AD与BC所成角的平面角 3 DHCDHCEABEAB 若3HECECH（如左图） ，则2 3DEAE，此时45DAE；若3 3HECE
7、CH（如右图） ，则63DEAE，此时60DAE 因此，所求角的大小为45或60 8. 在55矩阵中，每个元素都为0或1，且满足：五行的元素之和都相等，但五列的元素之和两两不等这样的矩阵的个数为 （答案用数值表示） 答案答案：26400 解解：设矩阵的所有元素之和为S由于五行的元素之和都相等，故5|S又五列的元素之和两两不等，故10012341234515S 所以10S 或15于是只有以下两类情形： (1) 10S ，此时每行有 2 个 1，其余为 0，各列中 1 的个数为 0、1、2、3、4 的排列； (2) 15S ，此时每行有 2 个 0，其余为 1，各列中 0 的个数为 0、1、2、3
8、、4 的排列 对于情形(1)，不妨先考虑对任意1, 2,5i，第i列中恰有1i个 1，且第2 列中的 1 位于第 1 行的矩阵，设这样的矩阵有n个（则由对称性，符合情形(1)的矩阵有5! 5600nn 个） 若第 5 列中的 0 在第 1 行，则第 3 列的 2 个 1 可任选位置，第 4 列的 3 个 1必须与第 3 列的 2 个 1 两两不同行，这种矩阵有25C10个 以下设第 5 列中的 0 在第(25)kk行处此时，在第 3、4 列中，第 1 行处必须都为 0，第k行处必须都为 1，然后，第 3 列中的另一个 1 可在除第 1、第k行外的剩下三个位置中任选一处，第 4 列中的另两个 1
9、 的位置随之确定（必须与第 3 列的 1 不同行） ，这种矩阵有4312 个 所以101222n，从而符合情形(1)的矩阵有60013200n个 同理，符合情形(2)的矩阵也有13200个 综上，所求的矩阵的个数为2 1320026400 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分（本题满分 16 分）分）对任意正实数a，记函数( )lgf xx在 ,)a 上的最小值为am， 函数( )sin2xg x在0, a上的最大值为aM 若12aaMm， 求a的所有可能值 解解：由于(1)0f为( )f x的最小值，( )f x在1,)上严格递
10、增，故 0, 01,lg ,1.aama a 4 分 4 由于(1)1g为( )g x的最大值，( )g x在0,1上严格递增，故 sin, 01,21,1.aaaMa 8 分 当01a时，sin2aaaMm，由1sin22a解得26a，即13a 12分 当1a时，1lgaaMma ，由11lg2a解得10a 因此a的所有可能值为13或 10 16 分 10.（本题满分（本题满分 20 分）分）在平面直角坐标系xOy中，设一条动直线l与抛物线2:4yx相切，且与双曲线22:1xy交于左、右两支各一点A、B求AOB的面积的最小值 解解：设l与相切于点P（显然P不为原点O，否则l为y轴，与无交点）
11、 由对称性，不妨设P为第一象限内上一点，坐标为( , 2)tt，其中0t，则切线l的方程为22()t yxt，即 xytt 5 分 代入的方程，整理得关于x的方程 2(1)2(1)0txtxt t， ,A B的横坐标为该方程的两解，记为12,x x，则1t ，且 12122(1),11tt txxx xtt 根据题意有120 x x ，而0t，故1t 注意到l的截距为t，故有 21212121()422AOBtStxxxxx x 2224(1)142(1)11ttt tt ttttt 10 分 令1ut ，则0u利用基本不等式，得 2(1) (1)242 5AOBuuuuuuSuu 当1u （
12、即2t ）时，AOBS取到最小值2 5 20 分 11.（本题满分（本题满分 20 分）分）设正整数数列na同时具有以下两个性质： (i) 对任意正整数k，均有2122kkkaa； (ii) 对任意正整数m，均存在正整数lm，使得1mmiilaa 求2462022aaaa的最大值 解解：由于na为正整数数列，在(i)中令1k 知122aa，故121aa 5 以下证明：对任意正整数2k ，有122kka或232k 根据(ii)，对任意正整数m，显然有1mmaa 当2k 时，由344aa及43aa知42a 或3，故结论成立 假设k时结论成立，考虑1k 的情形 由(ii)知存在正整数2lk，使得22
13、1kkiilaa 当21lk时，由(i)及2221kkaa，可知 212221221222kkkkkkkaaaaa， 于是不等号均为等号，这表明21lk，21222kkkaa，符合结论 当2lk时，212kkaa，12222kkkaa 若122kka，则12232kka ，符合结论； 若2232kka ，则22212232,52kkkkaa ，此时 2122221kkkkaaaa， 故对任意正整数121lk，总有12122kkiilaa，与(ii)矛盾，即该情形不会发生 综上，1k 时结论也成立从而由数学归纳法知结论成立 10 分 从上述证明进一步可见， 对任意正整数2k ，2232kka 与12232kka 不能同时成立因此，对任意正整数t，均有 222212121442max322 , 2322tttttttaa 所以 2462022aaaa1010101350521212125218413tta 15 分 当121aa，且对任意正整数t，取212141441422,32ttttttaaaa 时，易验证数列na具有性质(i)、(ii)，并且取到等号 从而2462022aaaa的最大值为1013253 20 分
