1、第一章：三角形【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围2.三角形按“边”分类： 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有
2、三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性 要点诠释：(1)三角形的形状固定是指
3、三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180推论：1.直角三角形的两
4、个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形；(2)n边形共有 条对角线要点
5、五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n2)180(n3，n是正整数) 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用： 已知外角度数，求正多边形边数； 已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： n边形的内角和等于(n2)180(n3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180.【典型例题】例题1 以下列各组线段长为边
6、，不能组成三角形的是（）A8cm，7cm，13cm B6cm，6cm，12cm C5cm，5cm，2cm D10cm，15cm，17cm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析【解析】解：根据三角形的三边关系，得A、8+713，能组成三角形；B、6+612，不能组成三角形；C、2+55，能组成三角形；D、10+1517，能组成三角形故选B【点睛】考查了三角形的三边关系判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数【变式】1. (2021白云区)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，
7、8，15D. 3，4，6【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析【详解】解：根据三角形的三边关系，得，A、3+48，不能组成三角形，不符合题意；B、5+6=11，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+815，不能组成三角形，不符合题意；D、3+46，能够组成三角形，符合题意故选：D【点睛】此题考查了三角形三边关系判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数2. (2021花都区)已知在ABC中，AB4，BC7，则边AC的长可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 11【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关
8、系列出不等式，判断即可【详解】解：在ABC中，AB=4，BC=7，则7-4AC7+4，即3AC11，边AC的长可能是4，故选：C【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边例题2 如图，在中，AB2020，AC2018，AD为中线，则与的周长之差为（ ）A1B2C3D4【分析】由AD为的中线，可得：，再利用，即可得到答案【解析】解：AD为的中线， 故选【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形的中线的含义是解题的关键 例题3 下列图形中，具有稳定性的是（ ）ABCD【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案【解析】解：A三角形具有稳定性，故本选
9、项符合题意；B平行四边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；C五边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；D梯形不具有稳定性，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了三角形的稳定性和平行四边形、梯形、五边形不具有稳定性例题4 如图，在ABC中，点D在BC的延长线上，若A=60，B=40，则ACD的度数是_【分析】根据三角形外角的性质即可求出ACD的大小【解析】在ABC中，A60，B40，ACDA+B60+40100，故答案为：100【点睛】本题考查三角形外角的性质熟练掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和是解答本题的关键【变式】1. （2021白云区）如图，B处在A处的南偏西45方向，C处
10、在A处的南偏东15方向，ACB85，则C处在B处的_ 度方向【答案】80【解析】【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角【详解】解：处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东，故答案80【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练利用平行线的性质与三角形的内角和定理2.如图，在ABC中，123（1）求证：ABCEDF；（2）若ABC45，DFE50，求BAC的度数【分析】（1）利用三角形的外角的性质可得EDF1ABD，再结合ABC2ABD，12即可证得ABCEDF；（2）先根据三角形的内角和定理求得DEF85，再利用三角形的外角的性质结合13即可求得答案【解析】（1
11、）证明：12，1ABD2ABD，又EDF1ABD，ABC2ABD，ABCEDF；（2）解：ABCEDF，ABC45，EDF45，又DFE50，DEF180DFEEDF85，EAC3DEF85，又13，BACEAC1EAC385【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型例题5（2021白云区）一个多边形的外角和等于360，则这个多边形的边数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 以上均有可能【答案】D【解析】【分析】根据多边形的外角和等于判断即可【详解】解：多边形的外角和等于，这个多边形的边数不能确定故选：D【点睛】本题考查了多
12、边形的外角和定理，解题的关键是明确多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是【变式】1.（2021海珠区）已知一个正多边形的每个外角等于45，则这个正多边形是( )A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形【答案】D【解析】【分析】已知正多边形的外角和为360， 利用360除以45即可得这个正多边形的边数.【详解】正多边形的边数为：36045=8，则这个多边形是正八边形.故选D.【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形的外角和是360是解决问题的关键.2.（2021花都区）一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8
13、【答案】B【解析】【分析】设多边形有n条边，则内角和为180（n-2），再根据内角和等于外角和2倍可得方程180（n-2）=3602，再解方程即可【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n-2）=3602，解得：n=6，故选：B【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180（n-2）3.（2021海珠区）如图，A+B+C+D+E+F的值是（ ）A. 240B. 360C. 540D. 720【答案】B【解析】【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解【详解】解：如图，、与分别相交于点、，在四边形中，故选：B【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的
14、外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理4. （2021番禺区）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（）A. 六边形B. 八边形C. 十二边形D. 十六边形【答案】B【解析】【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题【详解】解：此题需动手操作，可以通过折叠再减去4个重合，得出是八边形故选B【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识:动手操作的能力是近几年常考的内容，要掌握熟练.第二章：全等三角形【知识网络】【要点梳理】一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角
15、边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.【典型例题】例题1 如图，OCAOBD，AO3，CO2，则AB的长为（）A1B3C4D5【分析】因为OCAOBD，所以COBO2，进而可求出AB的长【解析】
16、OCAOBD，COBO2，ABAO+BO2+35，故选：D【点睛】本题考查全等三角形的性质熟知若两个三角形全等，则其对应边相等、对应角相等是解答本题的关键【变式】1.（2021花都区） 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1等于（）A. 72B. 60C. 50D. 58【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案【详解】解：由于两个三角形全等，1180507258，故选D【点睛】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质2.（2021海珠区）如图，ABCADE，点D在BC上，且B60，则EDC的度数等于（ ）A. 30B
17、. 45C. 60D. 75【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可【详解】解：ABCADE，B=ADE=60，AB=AD，ADB=B=60，EDC=60故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键3. （2021白云区）已知ABCDEF，则BC_【答案】EF【解析】【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可【详解】解：ABCDEF，BC=EF，故答案为：EF【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键例题2已知：如图，OAOD，OBOC求证：OABODC【分析】利用SAS判定OABODC即可【解析
18、】证明：在OAB和ODC中，OABODC（SAS）【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.【变式】1.如图，D在上，E在上，且，要说明（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是_；（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为_【分析】（1）根据的条件证明即可；（2）根据的条件证明即可；【解析】（1），当时，；故答案是；（2），当时，；故答案是；【点睛】本题主要考查了探索三角形全等的条件，准确分析证明是解题的关键2. （2021海珠区）如图，已知12，要得到结论ABCADC，不能添加的条件是（ ）A. BCDCB. ACBACDC. ABADD. BD【答案】A【解析】【分析】
19、根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解【详解】解：根据题意得： ，12，A、当BCDC时，边边角，不能得到结论ABCADC，故本选项符合题意；B、当ACBACD时，是角边角，能得到结论ABCADC，故本选项不符合题意；C、当ABAD时，是边角边，能得到结论ABCADC，故本选项不符合题意；D、当BD时，是角角边，能得到结论ABCADC，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键3.已知：BACDCA，BD求证：ABCD【分析】已知条件BACDCA，BD，再有公共边ACCA可利用AAS证明ABCC
20、DA根据全等三角形的性质可得ABCD【解析】证明：在ABC和CDA中，ABCCDA（AAS），ABCD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件4.（2021白云区）如图，在四边形ABCD中，BCAD，AC求证：ABCD【答案】见解析【解析】【分析】根据，得出，证明出，即可得出结论【详解】解：，【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理例题3 如图，已知ABC的周长是18cm，ABC和ACB的角平分线交于点O，ODBC于点D，若OD3cm
21、，则ABC的面积是（）cm2A24B27C30D33【分析】过O点作OEAB于E，OFAC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OEOD3，OFOD3，由于SABCSOAB+SOBC+SOAC，所以根据三角形的面积公式可计算出ABC的面积【解析】解：过O点作OEAB于E，OFAC于F，连接OA，如图，OB平分ABC，ODBC，OEAB，OEOD3，同理可得OFOD3，SABCSOAB+SOBC+SOACOEAB+ODBC+OFAC（AB+BC+AC），ABC的周长是18，SABC1827（cm2）故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了三角形面
22、积公式【变式】1. 在ABC中，AB5，BC8，AC6，AD平分BAC，则SABD：SACD_【分析】过D作DEAB于E，DFAC于F，根据角平分线的性质得出DEDF，根据三角形的面积公式求出答案即可【解析】解：过D作DEAB于E，DFAC于F，AD平分BAC，DEDF，设DEDFR，SABDR，SACD，SABD：SACD5：6，故答案为：5：6【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等2. （2021海珠区）如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，AEBC于E，若B，C，则ADC的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
23、根据角平分线的性质可知由三角形内角和定理求出，从而可推出再由三角形外角性质可知，即可得出，即得出答案【详解】AD平分BAC，B，C，故选D【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质利用数形结合的思想是解答本题的关键3. （2021海珠区）在RtABC中，C90，若BC6，AD平分BAC交BC于点D，BD2CD，则点D到线段AB的距离为_【答案】2【解析】【分析】过点D作DEAB于E，根据题意求出CD，根据角平分线的性质求出DE，得到答案【详解】解：过点D作DEAB于E，BC6，BD2CD，CD2，AD平分BAC，C90，DEAB，DECD2，即点D到线段AB的距离为2，
24、故答案为：2【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键4. 【2021海珠区】21. 已知：如图，PC平分APB，CMPA于M，CNPB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CDCE求证：APB+DCE180【答案】见详解【解析】分析】根据PC平分APB，CMPA于M，CNPB于N，得出CM=CN，PMC=90，PNC=90，得出MPN+MCN=180，再证RtMCDRtNCE（HL），得出MCD=NCE即可【详解】解：PC平分APB，CMPA于M，CNPB于N，CM=CN，PMC=90，PNC=90，MPN+MCN=360-PMC-PNC=36
25、0-90-90=180，在RtMCD和RtNCE中，RtMCDRtNCE（HL），MCD=NCE，APB+DCE=APB+DCN+NCE=APB+DCN+MCD=APB+MCN=180【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键例题4如图，ABC中，B60，C45（1）请用尺规作图法，作B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）如果AB4，求BD的长【分析】（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可；（2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】解：（1）如图，线段B
26、D为所求出；（2）在ABC中，ABC60，C45，A180604575，BD是ABC的角平分线，DBC30，ADBDBC+C75，AADB，BDAB4【点睛】本题主要考查了角平分线的做法及三角形内角和定理，准确分析是解题的关键【变式】（2021荔湾区）如图，在四边形ABCD中，ADAB且ADABCD，连接AC（1）尺规作图：作ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的基础上，若ACBC，求证：DE2BC【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明DEAACB（AAS），推出DEAC，AEBC，可得结论【小问1详解】解：
27、如图，射线AE即为所求【小问2详解】证明：DADC，DE平分ADC，AEEC，DEAC，AC2AE，ADAB，ACCB，AEDDABACB90，DAE+BAC90，BAC+B90，DAEB，在DEA和ACB中，DEAACB（AAS），DEAC，AEBC，DE2BC【点睛】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型【提升培优】(2021白云区)如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在ABC的外部（1）求证：BGCE；（2）求证：CEBG；（3）求：AME的度数【答案】（1）见解析
28、 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；（2）设、相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得；（3）过作，的垂线段交于点，证明是角平分线可得答案【小问1详解】解：证明：在正方形和中，即，在和中，；【小问2详解】解：证明：设、相交于点，；【小问3详解】解：过作，的垂线段交于点，是角平分线，【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解题的关键是作辅助线，的垂线段是难点，运用全等三角形的性质也是关键 第三章：轴对称【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.
29、轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）
30、轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图
31、形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形
32、有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】例题1下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
33、图形进行分析即可【解析】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意故选：A【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键【变式】（2021天河区）下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A. 打喷嚏捂鼻子B. 喷嚏后慎揉眼C. 戴口罩讲卫生D. 勤洗手勤通风【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义对各图案进行判断即可【详解】解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形A、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合
34、题意；B、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；C、该图案是轴对称图形，故选项正确，符合题意；D、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意故选：C【点睛】此题考查了轴对称图形的判别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义例题2 如图，在ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A，若A30，BDA80，则CEA的度数为（ ）A20B40C60D90【分析】根据平角的定义可得ADA=100，根据折叠的性质知ADE=ADE，根据三角形内角和可得AED=100，可得DEC=80，根据折叠的性质知AED=AED=100，进而根据角的和差关系即可得答案【解析】BDA80，ADA=180
35、-BDA100，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A，ADE=ADE=ADA=50，A30，AED=180-ADE-A=100，DEC=180-AED=80，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A，AED=AED=100，CEA=AED-DEC=20，故选：A【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、三角形内角和及角的和差，熟悉折叠的性质是解决问题的关键折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等例题3 如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE4cm，ABC的周长为21cm，则ABD的周长为_c
36、m【分析】根据线段垂直平分线性质求出AC长和ADDC，根据三角形周长求出AB+BC的长度，求出ABD的周长AB+BC，代入求出即可【解析】解：DE是AC的垂直平分线，AE4cm，ADDC，AC2AE8cm，ABC的周长为21cm，AB+BC+AC21cm，AB+BC13cm，ABD的周长为AB+BD+ADAB+BD+DCAB+BC13cm，故答案为：13【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键【变式】（2021白云区）在ABC中，AC的垂直平分线DE分别交BC，AC边于点D，E，AE3cm，ABC的周长为13cm，则ABD的周长为（ ）cmA. 5B. 6C. 7D.
37、8【答案】C【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案【详解】解：如图：是边的垂直平分线，的周长为，的周长，故选：C【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等【变式】1. （2021番禺区）如图，在RtABC中，C90，CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E（1）求CAD的大小；（2）若BC3，求DE的长【答案】（1）30 （2）1【解析】【分析】（1）先说明ABD是等腰三角形，再根据三角形内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，
38、解出y即可【小问1详解】解：DE是AB的垂直平分线，AD=BD，B=EAD，又AD是CAB的平分线，CAD=EAD，设CAD=x，则3x=90，x=30，CAD=30；【小问2详解】AD是CAB的平分线，DCAC，DEAB，DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又B=30，y=，解得y=1，DE=1【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质例题4（2021海珠区）已知ABC中，BC（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：作EAC的平分线AD；在AD上作点P，使ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出APC的度数（用含的式
39、子表示）；（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含的式子表示APC的大小；若没有，请说明理由【答案】（1）见解析；作图见解析， （2）或【解析】【分析】（1）尺规作图作EAC的角平分线即可；作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；（2）分分别求解即可【小问1详解】如图，射线即为所求作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；又平分【小问2详解】存在，当时，当时，综上所述，的值为或【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作图是解题的关键【变式】（2021天河区）如图，ABC中，C
40、90（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若点E是边AB的中点，ACBE，求证：ACE是等边三角形【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论【小问1详解】解：如图所示，直线DE即为所求； ，【小问2详解】证明：ACB=90，点E是边AB的中点，AE=BE=CE=AB，AC=BE，AC=AE=CE，ACE是等边三角形【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键例题5 如图，边长为1的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，在所给的平面直角坐标系中，解答下列问题：（1）画出ABC关于y轴对称的ABC；（2）在格点上找一个异于点A的点D，使得以B、C、D三点为顶点的三角形与ABC全等，则点D所有可能的坐标为 ；（3）若平面内有一点P（m，5）关于直线x1对称的点为Q（3，n），则m ，n 【分
