1、八上期末冲刺宝典第十一章 三角形知识点一：与三角形有关的线段1、 三角形的边：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边；|bc| a -5 B-5a-2或a-52、若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是( )A12 B10 C8 D10或83、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（ ）A、5 B、6 C、7 D、104、若a，b，c是ABC的三边的长，则化简。5、已知：如图，P为ABC内任一点。求
2、证：PAPBPC (ABBCAC)2、 三角形的高、中线与角平分线（1） 三角形的高三角形的高与面积：两个三角形的底边相等时，面积比等于高的比；两个三角形的高相等时，面积比等于底边的比。（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边的 的连线叫三角形的中线三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；（3）三角形的角平分线从一个角的顶点引一条射线把这个角分成两相等的角，这条射线为这个角的角平分线。【例题】1、下列说法，正确的是（）A等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点C三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形D直角三角形中两锐角平分线形成的
3、夹角是1352、如图，在ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且SBEF4cm2，则SABC的值为（）A1cm2 B2cm2 C8cm2 D16cm23、 如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于E，SABC=15，DE=3，AB=6，则AC长是（）A7 B6 C5 D44、如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处 B. 2处 C. 3处 D.4处5、在ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24和30的两个部分，三角形的三边长分别为 cm、 cm、 cm。6、ABC中，AB4，
4、AC3，AD是角平分线，ABD与ACD面积比是_.知识点二：与三角形有关的角1、 三角形的内角：三角形三个内角的和等于180（在三角形中已知两角可求第三角；或已知各角之间关系，求各角；已知三角形的内角和等于180，要注意在解决实际问题时，这一点是不会在已知中告诉你的，也就是往往把它作为隐含的条件来用）直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形2、 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.（注意：三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点
5、处只算一个外角，外角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角。）【例题】1、 如图，ABCDEF_2、如图，在ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，A70，ACD20，ABE28，则CFE的度数是()A62 B68 C. 78 D903、将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB与DOA的比是2：11，则BOC4、如图，在ABC中，D是BC上一点，ADBD，CADC，BAC57，求DAC度数知识点三：多边形及其内角和1、 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形； 连接多边形不相邻的
6、两个顶点的线段，叫做多边形的对角线；各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形；2、 正多边形的内角和：n边形的内角和等于（n2）180 多边形的外角和等于360【例题】1、如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，1的大小是（）A8 B15 C18 D282、如图,五边形ABCDE中,ABCD,则1+2+3等于( )A.90 B.180 C.210 D.2703、 若正多边形的每一个内角为135，则这个正多边形的边数是_4、在ABCD中，A:B=7:2，则C、D的度数分别为（）A70和20 B280和80C140和40 D105和304、 如果一个多边形的内角和等于它外
7、角和的3倍，则这个多边形的边数是6、正五边形的外角和等于_第十二章 全等三角形知识点一：全等三角形1、 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角；3、全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；4、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等；（对应线段相等）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 【例题】1、下列判断中，错误的是（ ）A. 有两个角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形
8、全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等2、已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（）A. B. C. D.6知识点二：三角形全等的判定1、 三边分别相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）ABCDEF 如图，在和中， （SSS）2、 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）如图，在和中，ABCEDF3、 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）4、 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）5、 斜边和一条直角边分
9、别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）证明题的思路：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线【例题】1、某同学把一块三角形的的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是：（）A 带去带去带去 都带去2、如图，AC交BD于点O，AC=DB,AB=DC,求证：C=B.3、如图，BAC=90AB=AC，D点在AC上，E点在BA的延长线上，BD=CE，BD的延长线交CE于点F。证明：BFCE4、如图，点P是AOB内任意一点，且AOB40，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动
10、点，当PMN周长取最小值时，则MPN的度数为（）A140 B100 C50 D405、已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，ACD=BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若ACD=60，则AFB=；（2）如图2，若ACD=，则AFB=（用含的式子表示）；（3）将图2中的ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3试探究AFB与的数量关系，并予以证明6、常用辅助线的作法（1）截长补短法【例题】1、如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且=。求证：AF=AD+CF.2、如
11、图，AD/BC，=，=，直线DC过E点并交AD于点D，交BC于点C.求证：AD+BC=AB.（2）倍长中线法1、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2、已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.知识点三：角的平分线的性质1、 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；【例题】1、如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，SABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A3B4 C5 D62、如图，在中，AC=BC，AD平分，并交BC于点D
12、，于点E，若AB=6 cm，求的周长。3、如图所示，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB交AB于点E，点F在AC上，BDDF.求证：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.第十三章 轴对称知识点一：轴对称1、 轴对称定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。2、 垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。3
13、、 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；4、用坐标表示轴对称：（1）点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）（2）点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）（3）点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）（4）点P（x，y）关于直线yx对称的点是（y，x）(5)点P（x，y）关于直线yx对称的点的坐标是（y，x）(6)点P（x，y）关于直线xm对称的点的坐标是（2mx，y）(7)点P（x，y）关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny）【例题】1、在正方形 梯形 线段 角 等腰三角形
14、直角三角形 平行四边形这些图形中一定是轴对称图形的有： （写编号）。2、如图，在ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则AEC的周长等于（）Aa+bBa-b C2a+b Da+2b3、已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，求：的度数。 DECAB4、如图，在ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，且AEC的周长为13，又AB-AC=3，求AB、AC的长.5、已知点A(a,2)和点B(-3,b)关于y轴对称，则a+b= 。6、点P（a-1，2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）Aa-1 B1a C- a1 D
15、a知识点二：画轴对称图形1、作对称轴：找出轴对称图形的任意一组对称点 ，连结对称点。画对称点所连线段的垂直平分线，就得到该图形的对称轴。2、作轴对称图形：找到关键点画出关键点的对应点按照原图顺序依次连接各点。【例题】画出关于MN对称的图形 知识点三：等腰三角形1、 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）2、 等边三角形（正三角形）：（1）定义：三条边都相等的
16、三角形，叫做等边三角形。（2）性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于60等边三角形的三边都相等等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。具有等腰三角形的所有性质。（3）判定： 三边都相等的的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。3、 含30角的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。【例题】1、 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）A6 B7 C8 D92、ABC中，A=90，AB=AC， ADBC，过D
17、作DEDF 求证：DE=DF 3、如图 点D在AC上，点E在AB上，且AB =AC ，BC=BD=BE ,AE=DE.求A 的度数 4、 如图，D、E、F分别是等边ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则DEF的形状是（ ）A、等边三角形 B、不等边三角形 C、直角三角形 D、腰和底边不相等的等腰三角形。5、如图所示，已知ACB=90，CD是高，A=30.求证BD=AB.知识点四：最短路径问题在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。【例题】1、如图，在铁路的同侧有两个工厂和，现要在铁路边建一个货场，使两厂到货场的距离之和最小（最小
18、）2、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？第十四章 整式的乘法与因式分解知识点一：整式的乘法1、 同底数幂的乘法： aman=am+n(m，n都是正整数) 底数不变，指数相加。注意：底数可以是多项式或单项式。【例题】（1）计算：m7m+m3m2m3= . （2）若，则a= .（3）若，则n= .（4）若，则= .2、幂的乘方：（都是正整数） 底数不变，指数相乘。【例题】（1） = . （2） 则 _.3、积的乘方：（是正整数） 把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。【例题】 1
19、、计算：2、已知 48m16m=29 ，求m= . 3、计算： .4、整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式):（3）多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。【例题】计算： （1） （2） （3）（4x2-2xy+y2）（2x+y）5、整式的除法（1）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。（2）整
20、式的除法单项式相除：把系数、同底数幂分别相除；多项式除以单项式：先把这个多项式每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。【例题】1、（1）已知am=4 an=5 求a3m2n的值； （2）已知2x5y4=0，求4x32y的值。2、计算：（1）2a2b（3b2）（4ab3） （2）（14a37a2）（7a）知识点二：乘法公式1、 平方差公式：两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差2、 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。3、 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项的都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。【例
21、题】1、 计算：（1）（y2+x）（x+y2） （2）（-2x3y）2 （3）2、代数式4x23mx9是完全平方式则m_ 3、若xy8，x2y24，则x2y2_4、已知x2，求x2，x4的值5、已知，求代数式的值6、若（x2pxq）（x22x3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值知识点三：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式。【例题】下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A BC D1、 提公因式法：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式，把分解成公因式与另一个因式相乘，即为提取公式法的因
22、式分解过程。注意：多项式第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数为正；系数和字母应分别考虑，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母应取各项共有的字母，并且各共有字母的指数取次数最低的。【例题】1、分解因式：（1） （2）2、解方程：（1） （2） 3、已知：，求：多项式的值.2、 公式法：（1）平方差公式：注意：条件：两个二次幂的差的形式；平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；用公式前，将多项式表示成的形式，并弄清、分别表示的量。（2）完全平方公式：注意：是关于某个字母（或式子）的二次三项式；其首尾两项是两个符号相同的平方形式；中间项恰是这两数乘积的2
23、倍（或乘积2倍的相反数）；按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成的公式原型，弄清、分别表示的量。【例题】1、分解因式：（1） （2）（3） （4） 2、已知，求的值.3、 十字相乘法：型式子二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，运用公式进行因式分解。把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。【例题】1、分解因式：(1)6x213xy+6y2 (2) 2(a+b) 2+(a+b)(ab)6(ab) 2第十五章 分式知识点一：分式1、 分式的概念：形如的式子就叫分式。分母不为0，即B0，分式有意义。2、 分式值为0的条件：分式的分子等于0，且分母不等于0。3、分式值的特殊情况； 分
24、式的值为1，A=B. 分式的值为-1，A=-B. 分式的值为负数，当且仅当A、B异号。 分式的值为正数，当且仅当A、B同号。分式的值为整数，当且仅当A是B的整数倍。【例题】1、下列各式：，中，是分式的有 。2、下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（ ） A B C D3、当x0时，的值为（ ）A1B1C1D不确定4、若分式的值为0，则a的值为 。5、若分式的值是整数，则整数的值是 。6、轮船在静水中每小时走a千米，水流速度是b千米时，轮船在逆流中航行s千米所需要的时间可用式子表示成_小时。4、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的
25、基本性质。用式子表示为，（其中A、B、C是整式）。【例题】1、填写下列等式中未知的分子或分母： (1)= (2)= （3)= (4)= （5）=2、下列等式成立的是（ ）A. B. （a0） C. D. 5、分式的变号法则：对于分式中分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。【例题】1、下列等式中,成立的是_（填序号）。=-;=;=-;=-6、约分：根据分式的基本性质，经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式。像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式
26、；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，就先分解因式，然后判断公因式，再进行约分。【例题】1、分式，中是最简分式的有_个。2、把分式中的x、 y都扩大m倍（m0），则分式的值（ ）。A扩大m倍B缩小m倍C不变D不能确定3、把下列各分式约分：（1） （2） （3）7、通分：根据分式的基本性质，通分与，得到，（分母都为BD）。最简公分母：几个分式通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为分母，这样的公分母叫作最简公分母。【例题】1、分式 和的最简公分母是_。2、通分：（1）和； （2）和； （3）和。知识点二：分式的运算1、 分式的乘除（1）分式乘法法则：用式子表示为,其中a,b,c,d是
27、整式，特别注意bd0。（2）分式除法法则：用式子表示为,其中a,b,c,d是整式，注意bcd0。（3）分式乘方的法则：用式子表示为,其中n是正整数，且b0.【例题】1、 计算：（1） （2） （3）2、计算：（）2（）（-）33、化简：（）2（）（）3等于_。2、 分式的加减分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的加减法和异分母的加减法：（1） 同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减。用式子表示为.（2） 异分母分式的加减法：先通分，再加减。用式子表示为.分式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的，计算结果要化为最简分式或整式。【例题】1、 计算：（1） （2
28、） （3） 3、 整数指数幂式子表示同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法分式乘方0指数幂负整数指数幂【例题】1、已知3x-y+5=0,求的值。2、已知，求的值。4、科学记数法：（1）当m的绝对值小于1时，用科学记数法可以将m记成的形式，n为正整数，n为原数从左边第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前的那个零）（2）将用科学记数法表示小于1的数转化为小数时，如果10的指数为-n，则将小数点往前移n个位置即可。【例题】1、 纳米是表示微小距离的单位，1米109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成_m.2、 用小数表示： .知识点三：分式方程1、概念：含
29、分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。2、解分式方程的易错点：分子不添括号； 漏乘整数项； 约去相同因式至使漏根； 忘记验根.3、列分式方程解应用题(1)审：审题意； (2)找: 找相等关系； (3)设：设未知数； (4)列：列出分式方程； (5)解：解方程； (6)验：检验根是否是所列分式方程的解、是否符合题意； (7)答：写出答案。【例题】1、解方程去分母得 ( )A BC. D. 2、解方程：（1） （2） 3、若关于的分式方程有增根，求的值.4、当为何值时，关于的方程的解为非负数.5、甲、乙两人从两地同时出发,若相向而行,则a小时相遇;若同向而行,则b小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的( )A.倍 B. C.倍 D. 倍6、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买 了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？7、某商场用8万元购进某种衬衫，销售时供不应求，商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元。商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，共赢利多少元？
