1、 2023 年湖南省衡阳市中考数学预测压轴试卷年湖南省衡阳市中考数学预测压轴试卷 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B0 C3 D 2 （3 分）根据太原市统计局公布的数据，2018 年太原市常住人口共有 4260000 人，将 4260000 用科学记数法表示为（ ） A0.426107 B4.26106 C4.26104 D426104 3 （3 分）在下面的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列计算中，正确的是（ ） Aaa2a2 B （a5）3a2 C
2、 （a2b）3a6b3 Da6a2a3 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A（3）29 B3 C （3）01 D3 6 （3 分）关于一组数据：1，3，6，5，5，下列说法错误的是（ ） A平均数是 4 B众数是 5 C中位数是 6 D方差是 3.2 7 （3 分）如图，一个几何体是由两个小正方和一个圆锥构成，其俯视图是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34的斜坡，从 A 滑行至 B，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）米 （sin340.56，cos340.83，tan340.67） A415 B280 C335 D250 9 （3 分）下列命题，是真
3、命题的是（ ） A两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B邻补角的角平分线互相垂直 C相等的角是对顶角 D若 ab，bc，则 ac 10 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 11 （3 分）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ） A “在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件 B掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 C在同批次 10000 件产品中抽取 100 件发现有 5 件次品，则这批产品中大约有 500 件左右的次品 D彩票的中奖率为 10%，则买 100 张彩票必有 10 张中奖 12 （3 分）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，点 M，
4、N 分别在矩形的边 AD，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，点 D 落在 G 处，连接 PC，连接 CM下列结论：CQCD； 四边形 CMPN 是菱形，A 重合时，MN2，正确的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）当 x 时，二次根式无意义 14 （3 分）下面是小军同学计算的过程 1 2 3 4 5 其中运算步骤2为： ，该步骤的依据是 15 （3 分）分解因式 2m（mn）28m2（nm） 16 （3 分）已知圆锥的高 h2cm，底面半径 r2cm 17 （3 分
5、）在“母亲节”前夕，某花店用 3000 元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，该花店又用5000 元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的 2 倍，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒 元 18 （3 分）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从正方形边上 A 开始，设 P 点经过的路径长为 x，设点 A、P、D 所围成的APD 的面积是 y，则其中 MN 所在的直线关系式为 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）计算： （1） （2x3y）2 （2xy） ； （2） （x3） （x+2）（x+1）2； （3
6、）； （4） （abc） （a+bc） 20 （6 分）如图，AD，BC 相交于点 O，CD90 （1）求证：AOCBOD； （2）ABC 和BAD 全等吗？请说明理由 21 （8 分）为庆祝中国共产主义青年团成立 100 周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数） ，并制作了如下统计图表（部分信息未给出） ： （1）表中 a ，C 等级对应的圆心角度数为 ； （2）若全校共有 600 名学生参加了此次竞赛，成绩 A 等级的为优秀，则估计该校成绩为 A 等级的学生共有多少人？ （3）若 A 等级 15 名学生中有 3 人满分，设
7、这 3 名学生分别为 T1，T2，T3，从其中随机抽取 2 人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到 T1，T2的概率 等级 成绩 x/分 人数 A 90 x100 15 B 80 x90 a C 70 x80 18 D x70 7 22 （8 分） 在正方形 ABCD 中， AD4， 点 E 在边 AB 上， 将线段 DE 绕点 D 逆时针方向旋转得到线段 DF，连接 EF （1）如图 1，若点 F 恰好落在边 BC 的延长线上，判断DEF 的形状； （2）若点 F 落在直线 BC 上，请直接写出DEF 的面积. 23 （8 分）每年五月是樱桃收获的季节，甲、乙两家采摘园的樱桃品质
8、与售价均相同，甲、乙两家推出的优惠方案如下： 甲园：游客进园需购买 30 元的门票，采摘的樱桃按八折收费； 乙园：游客进园不需购买门票，采摘的樱桃超过一定重量后，超过的部分打折 活动期间，某游客的樱桃采摘量为 x（千克） ，在甲园所需总费用为 y甲（元） ，在乙园所需总费用为 y乙（元） ，y甲、y乙与 x 之间的函数关系如图所示，折线 OAB 表示 y乙与 x 之间的函数关系 （1）求 y乙关于 x 的函数表达式 （2）若在甲园采摘的樱桃单价为 50 元/千克，设 y甲与 OA 的交点为 C，求点 C 的坐标，并解释点 C 的实际意义 （3）游客采摘 15 千克樱桃时，甲、乙采摘园哪家的费用
9、更少？说明理由 24 （8 分）如图，以 RtABC 的直角边 AC 为直径作O，交斜边 AB 于点 D，连 DE （1）请判断 DE 是否为O 的切线，并证明你的结论 （2）当 AD：DB9：16 时，DE8cm 时，求O 的半径 R 25 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 yx+4m（m0）与 x 轴交于点 A，D 点为线段 AC 上一动点， 连接 BD 交 y 轴于 F 点，交 AB 于 G 点 （1）如图 1，求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）求证：CFAG； （3）如图 2，连接 DG，当ADGBDC 时 此时直线 BD 的解析式： 若 DHBD 于 D 点，
10、交 y 轴于 H 点，求点 H 的坐标（用含 m 的代数式表示） 26 （12 分）在平面直角坐标系中，我们定义直线 yaxa 为抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的 “梦想直线” ； 有一个顶点在抛物线上2+bx+c 与其 “梦想直线” 交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，与 x 轴负半轴交于点 C，tanABO，B（1，0） ，BC4 （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，若AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点 N 的坐标； （3）当点 E 在抛物线的对称轴
11、上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在 2023 年湖南省衡阳市中考数学预测压轴试卷年湖南省衡阳市中考数学预测压轴试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B0 C3 D 解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此3 的相反数为 3 故选：C 2 （3 分）根据太原市统计局公布的数据，2018 年太原市常住人口共有 4260000 人，将 4260000 用科学记数法表示为（ ） A0.426
12、107 B4.26106 C4.26104 D426104 解：42600004.26106 故选：B 3 （3 分）在下面的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形； 故选：A 4 （3 分）下列计算中，正确的是（ ） Aaa2a2 B （a5）3a2 C （a2b）3a6b3 Da6a2a3 解：aa2a3，故选项 A 不合题意； （a5）3a15，故选项 B 不合题意； （a2b）6a6b3，故选项 C 符合题意； a3a2a4，故选项 D 不合题意 故选：C 5 （3 分）下列计算正确的是
13、（ ） A（3）29 B3 C （3）01 D3 解：A、（3）24，原计算错误； B、3，故此选项不符合题意； C、 （5）01，原计算正确； D、3，故此选项不符合题意 故选：C 6 （3 分）关于一组数据：1，3，6，5，5，下列说法错误的是（ ） A平均数是 4 B众数是 5 C中位数是 6 D方差是 3.2 解：A因为平均数 所以 A 选项正确； B因为众数是 5， 所以 B 选项正确； C、因为数据从小到大排列为： 1、5、5、5、6，所以中位数是 5， 所以 C 选项错误； D、因为方差2+（35）2+（68）2+2（34）24.2， 所以 D 选项正确 故选：C 7 （3 分）
14、如图，一个几何体是由两个小正方和一个圆锥构成，其俯视图是（ ） A B C D 解：俯视图为： 故选：D 8 （3 分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34的斜坡，从 A 滑行至 B，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）米 （sin340.56，cos340.83，tan340.67） A415 B280 C335 D250 解：在 RtABC 中，ABC34， ACABsin345000.56280（米） ， 这名滑雪运动员的高度下降了 280 米， 故选：B 9 （3 分）下列命题，是真命题的是（ ） A两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B邻补角的角平分线互相垂直 C相等的角是对顶角
15、D若 ab，bc，则 ac 解：A、两条平行直线被第三条直线所截，故原命题错误，不符合题意； B、邻补角的角平分线互相垂直，是真命题； C、相等的角不一定是对顶角，是假命题； D、平面内，bc，故原命题错误，不符合题意， 故选：B 10 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 解：解不等式 2（x1）2，得：x1， 解不等式 3x+32x，得：x1， 则不等式组的解集为4x1， 故选：A 11 （3 分）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ） A “在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件 B掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为 C在同批次 10000 件产
16、品中抽取 100 件发现有 5 件次品，则这批产品中大约有 500 件左右的次品 D彩票的中奖率为 10%，则买 100 张彩票必有 10 张中奖 解：A、 “在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件； B、掷两枚硬币，故此选项错误； C、在同批次 10000 件产品中抽取 100 件发现有 5 件次品，正确； D、彩票的中奖率为 10%，故原说法错误 故选：C 12 （3 分）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，点 M，N 分别在矩形的边 AD，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，点 D 落在 G 处，连接 PC，连接 CM下列结论：CQCD； 四边形 CMPN
17、 是菱形，A 重合时，MN2，正确的是（ ） A B C D 解：如图 1， PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， CNNP， 四边形 CNPM 是菱形，故正确； CPMN，BCPMCP， MQCD90， CPCP， 若 CQCD，则 RtCMQRtCMD（HL） ， DCMQCMBCP30，这个不一定成立， 故错误； 点 P 与点 A 重合时，如图 2 所示： 设 BNx，则 ANNC7x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN7， 即 42+x3（8x）2， 解得 x7， CN834，
18、AC， CQAC2， QN， MN3QN2 故正确； 当 MN 过点 D 时，如图 7 所示： 此时，CN 最短，则 S 最小为 SS菱形CMPN434， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，则 S 最大为 S， 4S5， 故错误 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）当 x 时，二次根式无意义 解：由题意得：12x3， 解得：x， 故答案为： 14 （3 分）下面是小军同学计算的过程 1 2 3 4 5 其中运算步骤2为： 通分 ，该步骤的依据是 分式的基本性质 解：异分母分式相加减的一般步骤：一、因式分解
19、分母； 二、通分； 三、分式加减 四、分子部分去括号； 五、分子部分合并同类项并化简 故答案为：通分；分式的基本性质 15 （3 分）分解因式 2m（mn）28m2（nm） 2m（mn） （5mn） 解：2m（mn）24m2（nm） 2m（mn）（mn）+6m 2m（mn） （5mn） 故答案为：3m（mn） （5mn） 16 （3 分）已知圆锥的高 h2cm，底面半径 r2cm 12cm2 解：圆锥的高为 2cm， 圆锥的母线长为：4（cm） ， 底面周长是：824（cm） ， 则侧面积是：488（cm2） ， 底面积是：824（cm8） ， 则全面积是：8+412（cm4） 故答案为 12
20、cm2 17 （3 分）在“母亲节”前夕，某花店用 3000 元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，该花店又用5000 元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的 2 倍，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒 60 元 解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒 x 元，则第二批鲜花礼盒的进价是每盒（x10）元 2， 解得：x60， 经检验得：x60 是原方程的根 故答案为：60 18 （3 分）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从正方形边上 A 开始，设 P 点经过的路径长为 x，设点 A、P、D 所围成的APD 的面积是 y，则其中 MN 所在的直线关系式为
21、 y2x+24 解：由点 P 的运动可知，图 2 中 MN 段，如图所示， 此时 AB+BC+CPx， 则 DP12x， y2x+24 故答案为：y3x+24 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）计算： （1） （2x3y）2 （2xy） ； （2） （x3） （x+2）（x+1）2； （3）； （4） （abc） （a+bc） 解： （1） （2x3y）6 （2xy） 4x4y2 （2xy） 8x7y3； （2） （x7） （x+2）（x+1）8 x2x6x62x1 5x7； （3） 4a22ab3a2+3ab+8 ab+3； （4） （abc
22、） （a+bc） （ac）b（ac）+b （ac）2b4 a22ac+c2b2 20 （6 分）如图，AD，BC 相交于点 O，CD90 （1）求证：AOCBOD； （2）ABC 和BAD 全等吗？请说明理由 （1）证明：在AOC 与BOD 中， AOCBOD（AAS） ； （2）ABC 和BAD 全等， 理由：CD90 在 RtABC 与 RtBAD 中， RtABCRtBAD（HL） 21 （8 分）为庆祝中国共产主义青年团成立 100 周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数） ，并制作了如下统计图表（部分信息未给出） ：
23、 （1）表中 a 20 ，C 等级对应的圆心角度数为 108 ； （2）若全校共有 600 名学生参加了此次竞赛，成绩 A 等级的为优秀，则估计该校成绩为 A 等级的学生共有多少人？ （3）若 A 等级 15 名学生中有 3 人满分，设这 3 名学生分别为 T1，T2，T3，从其中随机抽取 2 人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到 T1，T2的概率 等级 成绩 x/分 人数 A 90 x100 15 B 80 x90 a C 70 x80 18 D x70 7 解： （1）抽取的学生人数为：1560（人） ， a601518720，C 等级对应的圆心角度数为：360， 故答案为：
24、20，108； （2）600150（人） ， 答：估计该校成绩为 A 等级的学生共有 150 人； （3）画树状图如下： 共有 6 种等可能的结果，其中恰好抽到 T7，T2的结果有 2 种， 恰好抽到 T4，T2的概率为 22 （8 分） 在正方形 ABCD 中， AD4， 点 E 在边 AB 上， 将线段 DE 绕点 D 逆时针方向旋转得到线段 DF，连接 EF （1）如图 1，若点 F 恰好落在边 BC 的延长线上，判断DEF 的形状； （2）若点 F 落在直线 BC 上，请直接写出DEF 的面积. 解： （1）DEF 是等腰直角三角形，理由如下： 在正方形 ABCD 中，DADC F 落
25、在边 BC 的延长线上， DCFDAB90 将点 E 绕点 D 逆时针旋转得到点 F， DEDF， 在 RtADE 和 RtCDF 中， ， RtADERtCDF（HL） ， ADECDF， ADCADE+EDC90， CDF+EDC90，即EDF90 DEF 是等腰直角三角形； （2）A90，AD4， DE5， 当点 F 落在线段 BC 上时，如图 5， C90，DFDE5， CF3， BEBF1， DEF 的面积S正方形ABCDSADESCDFSBEF443.3； 当点 F 恰好落在边 BC 的延长线上时，如图 1， DEF 的面积12.8， 综上所述，DEF 的面积为 3.5 或 12.
26、6 23 （8 分）每年五月是樱桃收获的季节，甲、乙两家采摘园的樱桃品质与售价均相同，甲、乙两家推出的优惠方案如下： 甲园：游客进园需购买 30 元的门票，采摘的樱桃按八折收费； 乙园：游客进园不需购买门票，采摘的樱桃超过一定重量后，超过的部分打折 活动期间，某游客的樱桃采摘量为 x（千克） ，在甲园所需总费用为 y甲（元） ，在乙园所需总费用为 y乙（元） ，y甲、y乙与 x 之间的函数关系如图所示，折线 OAB 表示 y乙与 x 之间的函数关系 （1）求 y乙关于 x 的函数表达式 （2）若在甲园采摘的樱桃单价为 50 元/千克，设 y甲与 OA 的交点为 C，求点 C 的坐标，并解释点
27、C 的实际意义 （3）游客采摘 15 千克樱桃时，甲、乙采摘园哪家的费用更少？说明理由 解（1）从图中可以看出 y乙分为两段，OA 和 AB， OA：过原点，设 ykx，250）代入其中得：k50， AB：设 ykx+b，将 A（5，320）代入其得：， 解得 ， 故 y35x+75 综上：y乙 （2）y甲30+500.8x30+40 x， C 点在 OA 上，故当 50 x30+40 x，甲乙两家的费用相同 C（4，150） ，甲乙两家的费用相同 （3）当 x15，甲：30+4015630（元） ， 630 元600 元，乙的费用更少 24 （8 分）如图，以 RtABC 的直角边 AC 为
28、直径作O，交斜边 AB 于点 D，连 DE （1）请判断 DE 是否为O 的切线，并证明你的结论 （2）当 AD：DB9：16 时，DE8cm 时，求O 的半径 R 解： （1）DE 是O 的切线， 证明：连接 OE，OD； 在 RtCDB，E 为 BC 边的中点， CEDE 在OEC 和ODC 中， ， OECRtODC（SSS） ODCOCE90 DE 是O 的切线 （2）连接 CD， AC 是O 的直径， ADC90， BDC90， E 为 BC 的中点， BC2DE16（cm） ， BDCACB，BB， BCDBAC， ， BC2BDAB， 设 AD6xcm（x0） ，BD16xcm，
29、 16225x16x， x（负值舍去） AB20，AC12 O 的半径 R6（cm） 25 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 yx+4m（m0）与 x 轴交于点 A，D 点为线段 AC 上一动点，连接 BD 交 y 轴于 F 点，交 AB 于 G 点 （1）如图 1，求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）求证：CFAG； （3）如图 2，连接 DG，当ADGBDC 时 此时直线 BD 的解析式： 若 DHBD 于 D 点，交 y 轴于 H 点，求点 H 的坐标（用含 m 的代数式表示） （1）解：在 yx+4m 中，令 x0 得 y6m， C（0，4m） ，5） ， 点 B
30、 与点 A 关于 y 轴对称， B（4m，0） ； （2）证明：由（1）知：OAOCOB， AOC，BOC 是等腰直角三角形， OBC45OAC， ACB 是等腰直角三角形， BCAC，BCF45CAG， CGBD， CBF90BCEACG， BCFCAG（ASA） ， CFAG； （3）解：FCD45DAG，CFAG， FCDGAD（AAS） ， CDAD，即 D 是 AC 的中点， C（2，4m） ，0） ， D（5m，2m） ， 设直线 BD 解析式为 ykx+b，将 B（4m，D（4m ， 解得， 直线 BD 解析式为 yx+； 在 yx+中， F（0，） ， D（2m，2m） ， D
31、F，BF， DHBD， FDH90FOB， 又HFDBFO， BOFHDF， ，即， HF， OHHF+OF+8m， H（8，8m） 26 （12 分）在平面直角坐标系中，我们定义直线 yaxa 为抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的 “梦想直线” ； 有一个顶点在抛物线上2+bx+c 与其 “梦想直线” 交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，与 x 轴负半轴交于点 C，tanABO，B（1，0） ，BC4 （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，若AMN 为该抛物线的“
32、梦想三角形” ，求点 N 的坐标； （3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在 解： （1）tanABO，由直线的表达式知， 故一次函数的表达式为 yx+； 当 x2 时，y2，2） ， 点 B（7，0） ，则点 C（3，则 c2， 故抛物线的表达式为 yx2+bx+c 将点 A、B 的坐标代入上式得， 故抛物线的表达式为 yx7x+2； 抛物线的对称轴为直线 x5，故抛物线的顶点坐标为： （1，） ； （2）当点 N 在 y 轴上时，AMN 为梦想三角形， 如图 1，过 A 作 ADy 轴于点 D，
33、 由点 A、C 的坐标知， 由翻折的性质可知 ANAC， 在 RtAND 中，由勾股定理可得 DN， 由抛物线的表达式知，点 D 的坐标为（2，2）， ON24 或 ON2， 当 ON6+3 时，与 MNCM 矛盾， N 点坐标为（2，23） ； 当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，如图 2， 在 RtAMD 中，AD2， tanDAM， DAM60， ADx 轴， AMCDAO60， 又由折叠可知NMAAMC60， NMP60，且 MNCM3， MPMNMN， 此时 N 点坐标为（，） ； 综上可知 N 点坐标为（0，33）或（，） ； （3）当 AC 为平行四边形的边时，如图
34、3，过 A 作 AKx 轴于点 K， 则有 ACEF 且 ACEF， ACKEFH， 在ACK 和EFH 中， ， ACKEFH（AAS） ， FHCK4，HEAK2， 抛物线对称轴为 x8， F 点的横坐标为 0 或2， 点 F 在直线 AB 上， 当 F 点横坐标为 8 时，则 F（0，） ， E 到 x 轴的距离为 EHOF2，即 E 点纵坐标为， E（1，） ； 当 F 点的横坐标为2 时，则 F 与 A 重合，舍去； 当 AC 为平行四边形的对角线时， C（5，0） ，2） ， 线段 AC 的中点坐标为（2.5，） ， 设 E（1，t） ，y） ， 则 x14（2.5） ，y+t8， x4，y8， 代入直线 AB 解析式可得 2t，解得 t， E（1，） ，F（4，） ； 综上可知存在满足条件的点 F，此时 E（1，） ，）或 E（3，） ，）
