1、 专题专题 11 11 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1在下列方程中，有实数根的是（ ） Ax2+3x+1=0 B4+ 1 =-1 Cx2+2x+3=0 D1=11 2如果关于 x 的一元二次方程 x22x+k=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 3将抛物线 = 2+ + ( 0)向左平移两个单位，以下不改变的是（ ） A开口方向 B对称轴 Cy 随 x 的变化情况 D与 y 轴的交点 4 （2021 八上 徐汇期末）下列方程中，没有实数根的是（ ） A2 3 1 = 0 B2 3 = 0 C2 2 +
2、1 = 0 D22 + 3 = 0 5 （2021 八上 松江期中）下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A2+ 2 = 0 B22+ 3 + 2 = 0 C42 12 + 9 = 0 D32+ 5 8 = 0 6 （2021 八上 普陀期中）一元二次方程 2+ 2 + 2 = 0 的根的情况是（ ） A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无实数根 7 （2021 八上 奉贤期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） Aax2+10（a 为常数） Bx22 Cx+ 1 0 Dx2+y0 8 （2021 八上 奉贤期中）用配方法解方程 ax
3、2+bx+c0（a0） ，四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ） A( +2)2=4242 B( +2)2=2422 C( +2)2=2442 D( +2)2=2+222 9 （2021 八上 浦东期中）关于 x 的一元二次方程 22 4 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 x 的取值范围是（ ） A 2 B2 2 且 0 D 2 或 2 10 （2021 八上 静安月考）在下列方程中，无实数根的方程是（ ） A2 2 = 0 B2 2 1 = 0 C2 6 + 5 = 0 D2 2 + 2 = 0 二、填空题二、填空题 11 （2022 上海市）已知 x2-23x+m=0
4、 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 12 （2022 上海市）某公司 5 月份的营业额为 25 万，7 月份的营业额为 36 万，已知 5、6 月的增长率相同，则增长率为 13 （2022 徐汇模拟）如果关于 x 的方程 2 5 + = 0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是 14（2021 八上 徐汇期末）已知 0 是关于的一元二次方程( 1)2+ 2 + 2 1 = 0的一个实数根，则= 15 （2021 九上 浦东期末）如图，a/b/c，直线 a 与直线 b 之间的距离为3，直线 c 与直线 b 之间的距离为23， 等边 的三个顶点分别在直线 a、 直线 b、 直线 c
5、上， 则等边三角形的边长是 16 （2021 七上 宝山期末）如果关于 x 的方程 22+3x-m=0 无解，那么 m 的取值范围是 17 （2021 八上 松江期末）一元二次方程( + 1)( 1) = 2( + 1)的根是 18 （2021 八上 浦东期末）已知关于 x 的方程2 3 1 = 0有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 19 （2021 八上 浦东期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年 9 月份和 11 月份完成投送的快递件数分别是 20 万件和 24.2 万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是 x，由题
6、意列出关于 x 的方程： 20 （2021 八上 杨浦期中）已知关于 x 的一元二次方程（m3）x23x+m29 的常数项为 0，则 m 的值为 三、综合题三、综合题 21（2022 九下 虹口期中）已知反比例函数 =12的图像和一次函数 = 7的图像都经过点(，2) （1）求这个一次函数的解析式； （2）如果等腰梯形 ABCD 的顶点 A、B 在这个一次函数的图象上，顶点 C、D 在这个反比例函数的图象上，两底 AD、BC 与 y 轴平行，且 A 和 B 的横坐标分别为 a 和 + 2，求 a 的值 22 （2021 八上 杨浦期中）已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k0 （1）求
7、证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根 （2）若等腰三角形 ABC 的底边长为 1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 ABC 的周长 23 （2021 八上 金山期中）当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程（m2）x2+（2m+1）x+m0 （1）有实数根？ （2）没有实数根？ 24 （2021 八上 金山期中）经预算，某工厂从 2022 年 1 月份起，每月生产收入是 22 万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款 2 万元；如果投资 85 万元治理污染，治污系统可在 2022 年 1 月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本
8、，使 1月至 3 月份的生产收入以相同的百分率逐月增长经预算，投资治污后，1 月份生产收入为 25 万元，3月份的生产收入可达 36 万元.3 月份以后，每月的生产收入稳定在 3 月份的水平 （1）求出投资治污后，2 月和 3 月每月生产收入增长的百分率； （2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利润） 25 （2021 八下 浦东期末）已知点 (1，) 、 (，1) 在反比例函数 =5 的图象上，直线 = + 经过点 、 ，且与 轴、 轴的交点分别为 、 两点 （1）求直线
9、 的解析式； （2） 为坐标原点，点 在直线上（点 与点 不重合） ， = ，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 在坐标平面上，顺次联结点 、 、 、 的四边形 满足： / ， = ，求满足条件的点 坐标 26 （2021 九下 静安期中）如果，已知半圆 O 的直径 = 4，点 P 在线段上，半圆 P 与半圆 O 相切于点 A，点 C 在半圆 P 上， ，的延长线与半圆 O 相交于点 D，与相交于点 E （1）求证： = ； （2）设半圆 P 的半径为 x，线段的长为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当点 E 在半圆 P 上时，求半圆 P 的半径 答案解析部
10、分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：A、=32-4 1 1=50，方程有实数根，故 A 符合题意； B、4 + 10，方程4 + 1=-1 没有实数根，故 B 不符合题意； C、=22-4 1 30，方程没有实数根，故 C 不符合题意； D、方程两边同乘 x-1，得 x=1， 检验：当 x=1 时，x-1=0， 原方程没有实数根，故 D 不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式的非负性、解分式方程，逐项进行判断，即可得出答案. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根， 0， 即（-
11、2）2-4k0， 解得 k1， 故答案为：A 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。 3 【答案】A 【解析】【解答】解：A. 将抛物线 = 2+ + ( 0)向左平移两个单位，开口方向不变，故此选项符合题意； B. 将抛物线 = 2+ + ( 0)向左平移两个单位，对称轴随着向左平移两个单位，故此选项不符合题意； C. 将抛物线 = 2+ + ( 0)向左平移两个单位，y 随 x 的变化情况也改变，故此选项不符合题意； D. 将抛物线 = 2+ + ( 0)向左平移两个单位， 与 y 轴的交点也改变， 故此选项不符合题意； 故答案为：A 【分析】平移不会改变抛物线的形状、开口
12、方向，但是会改变对称轴、顶点坐标等 4 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 = (3)2 4 (1) = 13 0 ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、 = (3)2 4 0 = 9 0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C、 = (2)2 4 1 = 0，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D、 = (2)2 4 3 = 8 0，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意； 故答案为：D 【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：A. 2+ 2 = 0 ， 2 4 = 0 8 = 8 0 ，方程没
13、有实数根，不符合题意； B. 22+ 3 + 2 = 0 ， 2 4 = 9 16 = 7 0 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故答案为：D 【分析】利用根的判别式逐项判断即可。 6 【答案】D 【解析】【解答】解： = 1 ， = 2 ， = 2 ， = 2 4 = 22 4 1 2 = 4 0 2 一元二次方程 22 4 1 = 0 0 x 的取值范围是： 2 且 0 故答案为：C 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：A. 2 2 = 0 ， = (2)2 4 1 0 = 4 0 ，有实数根，故 A 选项不符合题意； B.
14、2 2 1 = 0 ， = (2)2 4 1 (1) = 8 0 ，有实数根，故 B 选项不符合题意； C. 2 6 + 5 = 0 ， = (6)2 4 1 5 = 16 0 ，有实数根，故 C 选项不符合题意； D. 2 2 + 2 = 0 ， = (2)2 4 1 2 = 4 0 ，没有实数根，故 D 选项符合题意 故答案为：D 【分析】利用根的判别式逐项判断即可。 11 【答案】m0 解得：m3， 故答案为： m0，再计算求解即可。 12 【答案】20% 【解析】【解答】解：设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x，根据题意得， 25(1 + )2= 36 解得，1= 0.2，
15、2= 2.2（舍去） 所以，增长率为 20% 故答案为：20% 【分析】先求出25(1 + )2= 36，再计算求解即可。 13 【答案】254 【解析】【解答】解：根据方程由两个相等的实数根可得：=0， =b24ac=（-5）24k=254k=0， 解得 k= 254 故答案为 254 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。 14 【答案】-1 【解析】【解答】解：0 是关于的一元二次方程( 1)2+ 2 + 2 1 = 0的一个实数根， 21 = 0，且 1 0， = 1， 故应填-1 【分析】将 x=0 代入( 1)2+ 2 + 2 1 = 0求解即可。 15 【答案】27
16、 【解析】【解答】解：如图所示，过点 A 作 AD直线 c 于 D，过点 B 作 EF直线 b 分别交直线 a、c于 F、E， abc， AD直线 a，EF直线 a，EF直线 c， 四边形 ADEF 是矩形， AF=DE，AD=EF， 直线 a 与直线 b 之间的距离为3，直线 c 与直线 b 之间的距离为23， = 3， = 23， = = + = 33， ABC 是等边三角形， 可设 AB=AC=BC=x， 由勾股定理得： = 2 2= 2 3， = 2 2= 2 12， = 2 2=2 27， 又 = + ， 2 3 =2 122+2 27， 2 3 = 2 12 + 2 27+ 22
17、12 2 27， 36 2= 22 12 2 27， 4 722+ 1296 = 4(2 12)(2 27) 4 722+ 1296 = 4(4 392+324)， 4 722+ 1296 = 44 1562+ 1296， 34 842= 0， 解得 = 27（错误的值已经舍去） ， ABC 的边长为27 故答案为：27 【分析】过点 A 作 AD直线 c 于 D，过点 B 作 EF直线 b 分别交直线 a、c 于 F、E，根据平行线的性质，得出四边形 ADEF 是矩形，再根据ABC 是等边三角形，可设 AB=AC=BC=x，由勾股定理得即可得出答案。 16 【答案】m98 【解析】【解答】2
18、2+3x-m=0， 2( +34)2= +98， 22+3x-m=0 无解， +980， m98， 故答案为：m98 【分析】利用配方法将原方程变形为2（ +34）2 =m+98，要使原方程无解必须满足 m+980，解之可得。 17 【答案】1= 1，2= 3 【解析】【解答】解： ( + 1)( 1) = 2( + 1)， ( + 1)( 1) 2( + 1) = 0， ( + 1)( 3) = 0， + 1 = 0或 3 = 0， 解得：1= 1，2= 3. 故答案为：1= 1，2= 3 【分析】先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。 18 【答案】m-94且 m0 【解析】【解答
19、】解：根据题意得： =9+4m0 且 0 ， 解得：m-94且 m0， 故答案为：m-94且 m0 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式 =9+4m0 且 0 ，求解即可。 19 【答案】20(1 + )2= 24.2 【解析】【解答】解：设该公司每月投送的快递件数的平均增长是 x，根据题意得 20(1 + )2= 24.2 故答案为：20(1 + )2= 24.2 【分析】设该公司每月投送的快递件数的平均增长是 x，根据题意列出方程20(1 + )2= 24.2即可。 20 【答案】-3 【解析】【解答】解：将一元二次方程（m3）x23x+m29 整理得： （m3）x23x+m2-9
20、=0， 关于 x 的一元二次方程（m3）x23x+m29 的常数项为 0， 29 = 0 且 3 0 ， 解得： = 3 故答案为：-3 【分析】将方程整理为（m3）x23x+m2-9=0，根据题意令常数项为 0 且二次项系数不为 0，据此解答即可. 21 【答案】（1）解：点 P（m，2）在函数 =12的图象上， m=6， 一次函数 y=kx-7 的图象经过点 P（6，2） ， 得 6k-7=2， k=32， 所求的一次函数解析式是 y=32x-7； （2）解：过 B 作 BFAD，过 C 作 CEAD， 点 A、B 的横坐标分别是 a 和 a+2， 可得，(，32 7)，( + 2，32
21、4)，( + 2，12+2)，(，12)， AB=CD， 在 RtCDE 与 RtABF 中， 由勾股定理得：2= 2+ 2= 22+ (1212+2)2， AB2=AF2+BF2=22+32， 四边形 ABCD 是等腰梯形， AB=CD，即22+ 32= 22+ (1212+2)2， 即12+212= 3， 由12+212= 3，化简得 a2+2a+8=0，方程无实数根， 由12+212= 3，化简得 a2+2a-8=0， a1=-4，a2=2 经检验，a1=-4，a2=2 均为所求的值 所以，a 的值是-4 或 2 【解析】【分析】 （1）已知反比例函数表达式，代入求出 P 点具体坐标，再
22、求一次函数解析式 （2） 由题意知等腰梯形ABCD的顶点AB在一次函数上， 求出4个点的坐标， 根据等腰梯形知AB=CD，再根据两点间距离公式求 a 22 【答案】（1）证明：（k+2）24 2k（k2）2， （k2）20，即0， 无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有 （k2）20，则 k2， 方程化为 x24x+40，解得 x1x22， 故ABC 的周长2+2+15 【解析】【分析】 （1）计算判别式的值，然后判断即可； （2） 由两腰长恰好是这个方程的两个根，可得方程有两个相等的实数根，即得=0，据此求出 k 值，再求出方程的解，从而求出结论. 23 【答案】（1）
23、解： 方程 ( 2)2+ (2 + 1) + = 0 是一元二次方程， 2 0 ， 解得 2 ， 若方程有实数根， 则方程根的判别式 = (2 + 1)2 4( 2) 0 ， 解得 14 ， 故此时 的取值范围为 14 且 2 ； （2）解：若方程没有实数根， 则方程根的判别式 = (2 + 1)2 4( 2) 0 ， 解得 14 ， 故此时 的取值范围为 14 【解析】【分析】 （1）先求出 2 ， 再求出 = (2 + 1)2 4( 2) 0 ， 最后计算求解即可； （2）先求出 = (2 + 1)2 4( 2) 0 ， 再计算求解即可。 24 【答案】（1）解：设投资治污后，2 月和 3
24、 月每月生产收入增长的百分率为 x， 由题意得： 25(1 + )2= 36 ， 解得 = 20% ， 投资治污后，2 月和 3 月每月生产收入增长的百分率为 20%； （2）解：设治理污染 y 个月后，所投资金开始见成效， 根据（1）所求可得治理污染后 2 月份的生产收入是 25 (1 + 20%) = 30 万元， 治理污染后 3 月份的生产收入是 30 (1 + 20%) = 36 万元， 治理污染后，前三个月的总收入为 25 + 30 + 36 = 91 万元， 91 85 = 6 22 3 2 3 = 60 ， 91 + 36( 3) 85 22 2 ， 解得 638 ， y 是整数
25、， 治理污染 7 个月后，所投资金开始见成效， 答：治理污染 7 个月后，所投资金开始见成效 【解析】【分析】 （1）先求出 25(1 + )2= 36 ， 再解方程即可； （2）根据题意先求出 91 + 36( 3) 85 22 2 ， 再计算求解即可。 25 【答案】（1）解：由题意可得： (1，5) ， (5，1) ， 把 P、Q 坐标代入 y=kx+b 可得： + = 55 + = 1 ， 解之可得：k=-1，b=6， 直线 的解析式为 ： = + 6 ； 所以 (6，0) ， (0，6) （2）解：设 (， + 6) ， = 2( 6)2= 2 62 ， 1= 0 （舍） ， 2=
26、12 (12， 6) （3）解： / ， OD 的解析式为： = 设 (， ) ， = 6 = = (12 )2+ ( 6)2 62= 2 24 + 144 + 2 12 + 62 ， 即 2 18 + 72 = 0 ， 1= 12 ， 2= 6 ， 1(12， 12) ， 2(6， 6) 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出 k=-1，b=6， 再求直线解析式和点的坐标即可； （2）根据 AB=AC 列方程计算求解即可； （3）先求出 62= 2 24 + 144 + 2 12 + 62 ， 再求出 1= 12 ， 2= 6 ， 最后求点的坐标即可。 26 【答案】（1）证明：如图所示
27、，连接， = ， = ； = ， = ， = ， /， ， =， 又 = ， = （2）解：由勾定理，可得： 2= 2 2= 2 (2 )2= 4 4， 2= 2+ 2= 4 + 4 4 = 4， = 2， 由/，可得=， 代入数据得：2=2， 解得： =(42) 点 P 在线段上， 1 2， 解析式为： =(42)（1 2） ； （3）解：如图，联结，作 于点 G COAB，OA=OB， CA=CB，DAB=CBA， OA=OD， ADO=DAB， = = ， = ， 由 E 在圆 P 上， + = 180， ACE+DCE=180 ， = ， = ， = ， = =2=222= 1， CP
28、O=EOC，COP=EGO=90 ， ， =， 又/， =， 代入数据，可得12=24， 化简可得2 7 + 8 = 0， 解得 =7172或7+172（大于 2 舍去） ， 检验：经检验 =7172是原分式方程的解， 半圆 P 的半径为7172 【解析】【分析】 （1）证明等积式，实质是证明比例式，我们分析等积式中的四条线段，可以发现其中两条线段 AD、OD 在同一个三角形中，而剩余的两条线段 AP、AC 却不在同一个三角形 AOD 中，但由于点 A、C 都在 上，则连接 PC 后就有，且 AC、PC 也在同一个三角形 APC 中，则可证明这两个三角形相似。因为，所以，同理，所以，又，所以 ，所以，所以 ，等量代换得： 。 （2） 因为 ， 则2 ， 由勾股定理得： 2， 由 （1） 的结论可知 ， 所以，则 y 与 x 之间的函数关系式就确定出来了。 由于点 P 在 的半径 OA 上， 所以 的半径 x 的取值范围为：1 2； （3）过点 E 作 AB 的垂线段 EG，连接 EF。根据圆内接四边形的性质可知： ；由于等腰三角形 OAD 和等腰三角形 CAB 的底角相等，所以，则，所以12； 因为 可证， 所以； 由于 ， 所以， 等量代换得：，代入数据得解分式方程即可求出 的半径。 此题考查的知识点较多，所以要充分挖掘题目中隐含的信息，逐个击破
