1、 2022-2023 学年上海市嘉定区九年级学年上海市嘉定区九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列图形一定是相似图形的是（ ） A两个矩形 B两个等腰三角形 C两个直角三角形 D两个正方形 2如图，在 RtABC 中，C90，BC4，AC2，则 tanA 等于（ ） A B2 C D 3如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 82、53，那么另一个三角形中最小的内角为 （ ） A82 B53 C45 D不能确定 4如图：在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，根据下列
2、给定的条件，不能判断 DE 与 BC 平行的是（ ） A B C D 5已知线段 a，b，c，求作线段 x，使 axbc，下列作图中正确的是（ ） A B C D 6如图，已知在ABC 中，边 BC6，高 AD3，正方形 EFGH 的顶点 F、G 在边 BC 上，顶点 E、H 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ） A3 B2.5 C2 D1.5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 2 分，满分分，满分 24 分）分） 7已知，那么 8计算：+2（ ） 9在比例尺为 1：500000 的地图上，甲乙两地的距离是 3.5 厘米，那么甲乙两地的实
3、际距离是 千米 10已知两个相似三角形的相似比是 4：9，那么它们对应的角平分线之比是 11已知在ABC 中，AD 是中线，G 是重心，如果 GD3cm，那么 AG cm 12已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ，AB2，那么 BP 13已知向量 与 方向相反，长度为 5，则 用 来表示为： 14如图，ADBCEF，AE：AB2：3，AD8，BC14 则 EF 15在 RtABC 中，C90，BC3，那么 AB 16如图所示，在正方形网格上有 6 个斜三角形，ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK，在中，与三角形相似的有 （填序号） 17新定义：我们把两条中线互相垂直的
4、三角形称为“中垂三角形” 如图所示，ABC 中，AF、BE 是中线，且 AFBE，垂足为 P，像ABC 这样的三角形称为“中垂三角形” ，如果ABE30，AB4，那么此时 AC 的长为 18如图，在ABC 中，MNAC，直线 MN 将ABC 分割成面积相等的两部分将BMN 沿直线 MN 翻折，点 B 恰好落在点 E 处，连接 AE，若 AECN，则 AE：NC 三、解答题（三、解答题（78 分）分） 19 （10 分）已知0，且 5x+y2z10，求 x、y、z 值 20 （10 分）计算：+cot30 21 （10 分）如图，已知在ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，设 ， ； （1）求
5、（用向量 ， 的式子表示） ； （2）如果点 E 在中线 AD 上，求作在，方向上的分向量； （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 22 （10 分）如图，在ABCD 中，点 E 是线段 CD 延长线上的一点，BE 与 AD 交于 F 点 （1）求证：ABFCEB； （2）若 DF：AF2：3，且 SDEF4，求ABCD 的面积 23 （12 分）已知：如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且ABEACD，BE、CD 交于 点 G （1）求证：AEDABC； （2）如果 BE 平分ABC，求证：DECE 24 （12 分）已知：如图，在四边形
6、ABCD 中，A90，BDDC，且 BD2ADBC， 点 M 是边 BC 的中点 （1）求证：ADBC； （2）作 BEDM，垂足为点 E，并交 CD 于点 F求证：2ADDMDFDC 25 （8 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD2，AB5，sinB，点 E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B、C 重合） ，作AEFAEB，使边 EF 交边 CD 与点 F（不与点 C、D 重合） ，设 BEx，CFy （1）求边 BC 的长： （2）当ABE 与CEF 相似时，求 BE 的长： （3）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域 参考答案与详解参考答案与详解 一、选择题（本
7、大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列图形一定是相似图形的是（ ） A两个矩形 B两个等腰三角形 C两个直角三角形 D两个正方形 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解 【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意 C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； 故选：D 2如图，在 RtABC 中，C90，BC4，AC2，则 tanA 等于（ ） A B2
8、C D 【分析】根据正切的定义计算，得到答案 【解答】解：在 RtABC 中，C90， tanA2， 故选：B 3如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 82、53，那么另一个三角形中最小的内角为 （ ） A82 B53 C45 D不能确定 【分析】先求出该三角形的另一个内角的度数，再由相似三角形的性质即可得出结论 【解答】解：一个三角形的两个内角分别为 82、53， 另一个内角180825345 两个三角形相似， 另一个三角形中最小的内角为 45 故选：C 4如图：在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，根据下列给定的条件，不能判断 DE 与 BC 平行的是 （ ） A
9、 B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，即“三条直线被两条直线所截，如果截得的对应线段成比例，那么三条直线平行” ，进行分析判断即可 【解答】解：，DEBC，A 不合题意； ，DEBC，B 不合题意； ，DEBC，C 不合题意； ，不能判断 DE 与 BC 平行，D 符合题意； 故选：D 5已知线段 a，b，c，求作线段 x，使 axbc，下列作图中正确的是（ ） A B C D 【分析】利用 axbc 得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论 【解答】解：A、由 axbc 得，但 x 是所求线段，所以图形不能画出，故选项 A 不正确； B、由 axbc 得，故选项 B 不正
10、确； C、由 axbc 得，故选项 C 正确； D、由得 acbx，与已知不符合，故选项 D 不正确； 故选：C 6如图，已知在ABC 中，边 BC6，高 AD3，正方形 EFGH 的顶点 F、G 在边 BC 上，顶点 E、H 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ） A3 B2.5 C2 D1.5 【分析】 利用正方形的性质可知 EHBC， 再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AHEACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长 【解答】解：四边形 EFMN 是正方形， EHBC，EHEF， AEHABC， 又ADBC， ADBC，EHEFMD，
11、 ， 设 EHx，则 AM3x， ， 解得：x2， EH2 答：这个正方形的边长为 2 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 2 分，满分分，满分 24 分）分） 7已知，那么 【分析】直接利用已知得出 xy，进而得出答案 【解答】解：， xy， 故答案为： 8计算：+2（ ） 【分析】去括号合并同类向量即可 【解答】解：+2（ ）+2 故答案为： 9在比例尺为 1：500000 的地图上，甲乙两地的距离是 3.5 厘米，那么甲乙两地的实际距离是 17.5 千米 【分析】 根据比例尺图上距离： 实际距离， 列比例式即可求得甲乙两地的实际距离 要注意统一单位
12、 【解答】解：设甲乙两地的实际距离为 x 厘米， 根据题意得，1：5000003.5：x， 解得 x1750000， 12000000 厘米17.5 千米 即甲乙两地的实际距离为 17.5 千米 故答案为：17.5 10已知两个相似三角形的相似比是 4：9，那么它们对应的角平分线之比是 4：9 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论 【解答】解：两个相似三角形的相似比是 4：9， 它们对应的角平分线之比是 4：9 故答案为：4：9 11已知在ABC 中，AD 是中线，G 是重心，如果 GD3cm，那么 AG 6 cm 【分析】根据三角形重心的性质即可求出 AG 的长 【解答】解：G 是A
13、BC 的重心，且 AD 是中线， AG2GD6cm 故答案为：6 12已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ，AB2，那么 BP 3 【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；所以 APAB，代入数据即可得出 AP 的长度，进而得出 BP 【解答】解：由于 P 为线段 AB2 的黄金分割点， 且 APBP， 则 APa1 BP2（1）； 故答案为：3 13已知向量 与 方向相反，长度为 5，则 用 来表示为： 且| | |5 【分析】根据平面向量的方向性即可得出结论 【解答】解： 与 方向相反，长度为 5， 且| | |5 故答案为： 且| | |5 14如图，ADBC
14、EF，AE：AB2：3，AD8，BC14 则 EF 12 【分析】过点 A 作 AHDC，交 EF 于点 G，利用平行四边形的判定可得四边形 AGFD 和四边形 AHCD都是平行四边形，从而可得 ADGF8，ADCH8，进而可得 BH6，然后证明 A 字模型相似三角形AEGABH，从而利用相似三角形的性质可得 EG4，最后进行计算即可解答 【解答】解：过点 A 作 AHDC，交 EF 于点 G， ADBCEF， 四边形 AGFD 是平行四边形，四边形 AHCD 是平行四边形， ADGF8，ADCH8， BC14， BHBCCH6， EGBH， AEGB，AGEAHB， AEGABH， ， ，
15、EG4， EFEG+FG4+812， 故答案为：12 15在 RtABC 中，C90，BC3，那么 AB 15 【分析】根据锐角三角函数的定义得出 sinA，代入求出即可 【解答】解：如图： ，BC3， AB5BC15， 故答案为：15 16如图所示，在正方形网格上有 6 个斜三角形，ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK，在中，与三角形相似的有 （填序号） 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答 【解答】解：设每个小正方形的边长为 1，则ABC 的各边长分别为 1、则 BCD 的各边长分别为 1、2； BDE 的各边长分别为 2、2、2（为ABC 各边长的 2
16、倍） ； BFG 的各边长分别为 5、（为ABC 各边长的倍） ； FGH 的各边长分别为 2、（为ABC 各边长的倍） ； EFK 的各边长分别为 3、 根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形相似的是 故答案为 17新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” 如图所示，ABC 中，AF、BE 是中线，且 AFBE，垂足为 P，像ABC 这样的三角形称为“中垂三角形” ，如果ABE30，AB4，那么此时 AC 的长为 2 【分析】根据三角形中位线的性质，得到 EFAB，EFAB2，再由勾股定理得到结果 【解答】解：如图，连接 EF， AF、BE 是中线， EF 是CA
17、B 的中位线， 可得：EF42， EFAB， PEFABP， ， 在 RtABP 中， AB4，ABP30， AP2，PB2， PF1，PE， 在 RtAPE 中， AE， AC2， 故答案为： 18如图，在ABC 中，MNAC，直线 MN 将ABC 分割成面积相等的两部分将BMN 沿直线 MN 翻折，点 B 恰好落在点 E 处，连接 AE，若 AECN，则 AE：NC 【分析】利用翻折变换的性质得出 BEMN，BEAC，进而利用相似三角形的判定与性质得出对应边之间的比值与高之间关系，即可得出答案 【解答】解：连接 BE，交 MN 于点 I，交 AG 于点 Z， 将BMN 沿直线 MN 翻折，
18、点 B 恰好落在点 E 处， BEMN 于点 I， MNAC， BEAC 于点 Z， 设EMN 与边 AC 交于点 F、GMNAC， BMNBAC， （BI：BZ）2 SBMN：SBAC1：2， BI：BZ1：， ZI：BI（1） ：1， EMN 是由BMN 翻折得到， EMNBMN， EIBI， ZI：EI（1） ：1， +1， 1+1， EZ：ZI：1， ACMN，AENC， ， ， AE：NC：1， 故答案为：1 三、解答题（三、解答题（78 分）分） 19 （10 分）已知0，且 5x+y2z10，求 x、y、z 值 【分析】首先设 x2a，y3a，z4a，然后再代入 5x+y2z10
19、，可得 a 的值，进而可得答案 【解答】解：设 x2a，y3a，z4a， 5x+y2z10， 10a+3a8a10， 5a10， a2， x4，y6，z8 20 （10 分）计算：+cot30 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：原式+ 2+ 32+2 +2 21 （10 分）如图，已知在ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，设 ， ； （1）求（用向量 ， 的式子表示） ； （2）如果点 E 在中线 AD 上，求作在，方向上的分向量； （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【分析】 （1）由 AD 是边 BC 上的中线， ，可求得，然后由三角形
20、法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量 【解答】解： （1）AD 是边 BC 上的中线， ， ， ； （2）如图，过点 E 作 EMBC，ENAB， 则、分别是在，方向上的分向量 22 （10 分）如图，在ABCD 中，点 E 是线段 CD 延长线上的一点，BE 与 AD 交于 F 点 （1）求证：ABFCEB； （2）若 DF：AF2：3，且 SDEF4，求ABCD 的面积 【分析】 （1）根据平行四边形对角相等可得AC，对边平行可得 ABCD，根据两直线平行，内错角相等得到ABFE，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明 （2）由于BCEFDE，可根据两三角
21、形的相似比，求出FDE 的面积，也就求出了四边形 BCDF的面积同理可根据DEFAFB，求出AFB 的面积由此可求出ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AC，ABCD， ABCD， ABFE， 在ABF 和CEB 中，AC，ABFE， ABFCEB； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，ADBC， ABFDEF，CEBDEF， DF：AF2：3， DE：ABDE：CD2：3， DE：CE2：5， FD：BC2：5， SABF：SDEFAF2：FD2，SBCE：SFDEBC2：FD2， DF：AF2：3，SDEF4， ABF 的面
22、积为 9， CEB 的面积为 25， ABCD 的面积254+930 23 （12 分）已知：如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且ABEACD，BE、CD 交于点 G （1）求证：AEDABC； （2）如果 BE 平分ABC，求证：DECE 【分析】 （1）证明 B、C、E、D 四点共圆，得到ADEACB，即可解决问题 （2）如图，作辅助线，证明 EMEF；由 sin，sin，得到，根据 MEEF，即可解决问题 【解答】 （1）证明：ABEACD， B、C、E、D 四点共圆， ADEACB，而AA， AEDABC （2）解：过点 E 作 EMAB，EFBC； BE 平分
23、ABC， EMEF；设ADEACB， 则 sin，sin， ，而 MEEF， DECE 24 （12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，A90，BDDC，且 BD2ADBC， 点 M 是边 BC 的中点 （1）求证：ADBC； （2）作 BEDM，垂足为点 E，并交 CD 于点 F求证：2ADDMDFDC 【分析】 （1）由BADBDC90，BD2ADBC 即得ABDDCB，然后利用相似三角形的性质和平行线的判定即可求解； （2）利用已知条件证明BDFCDB，然后利用相似三角形的性质和直角三角形中斜边上中线的性质即可证明 【解答】证明： （1）BDDC， BDC90， ABDC， 而 B
24、D2ADBC， ABDDCB， ADCDBC， ADBC； （2）解：BEDM， DBF+BDM90， 而BDM+MDC90， DBEMDC， 又 M 是边 BC 的中点， DMBMCMBC， MDCDCM， DBEDCM， BDFCDB， BD2DFDC， 而 BD2ADBC， ADBCDFDC， 2ADDMDFDC 25 （8 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD2，AB5，sinB，点 E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B、C 重合） ，作AEFAEB，使边 EF 交边 CD 与点 F（不与点 C、D 重合） ，设 BEx，CFy （1）求边 BC 的长： （2）当AB
25、E 与CEF 相似时，求 BE 的长： （3）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域 【分析】 （1）根据等腰梯形的性质，可得 ADMN； BMCN；ABDC5，根据勾股定理，可得 BM的长，根据线段的和差，可得答案； （2）分类讨论，当AEBFEC 时，根据正切函数，可得 ME 的长，根据线段的和差，可得答案，当AEBEFC 时，根据等腰三角形的性质，可得 BM 与 ME 的关系，根据线段的和差，可得答案； （3）根据相似三角形的性质，可得函数解析式，根据线段的和差，可得定义域 【解答】解： （1）如图：过 A 作 AMBC，过 D 作 DNBC， 等腰梯形 ABCD，AMBC，DNB
26、C，sinB， ADMN； BMCN；ABDC5；BC， AMABsinB53 BMCN4 BCBM+MN+CNAD+2BM2+2410； （2）ABE 与CEF 相似有两种情况，如图： 当AEBFEC 时 AEFAEB AEFAEBFEC60 过 A 作 AMBC 由（1）知：AM3，BM4 MEAMtan603 BEBM+ME4+， 当AEBEFC 时 AEFAEB AEFEFC AEDC AEBCB ABE 是等腰三角形 过 A 作 AMBC BMME（等腰三角形三线合一性质） BM4 BE2BM8 综上，当ABECEF 时，BE 的长为 4+或 8； （3）作图如下， 易知 x4，否则 F 点将在 DC 的延长线上或与 C 重合； AG3，GEx4 PAEAEBAEP 故 PAPE，三线合一，Q 为 AE 的中点； 又AGEPQA90； 故AGEPQE；则有 AP 而 DPAP2 又DFPCFE 故有：；CFy，DF5y，CE10 x； 整理即可得：y； （4x10）
