1、 专题专题 12 12 一次函数一次函数 一、单选题一、单选题 1下列各点中，在直线 = 2 + 1上的点是（ ） A(2，1) B(1，3) C(3，2) D(3，3) 2下列函数中，y 是 x 的正比例函数的是（ ） A = 2 B = C = + 1 D =1 3已知一次函数 = + 2 ，那么下列结论正确的是（ ） Ay 的值随 x 的值增大而增大 B图象经过第一、二、三象限 C图象必经过点(0，2) D当 2 时，y 0，那么在下面它的图像的示意图中，正确的是（ ） A B C D 5 （2022 八下 西城期末）如图， 直线 = 1 + 1和直线 = 2 + 2相交于点(23， 2
2、)， 则关于 x，y 的方程组 = 1+ 1 = 2+ 2，的解为（ ） A =23， = 2 B = 2， =23 C =23， = 2 D = 2， = 23 6（2022八下 房山期中）如图， 平面直角坐标系中有、 、 、 四个点， 一次 函数 = + ( 0)的图象经过点和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数 = + ( 0)的图象上（ ） A点 B点 C点 D不确定 7 （2022 八下 房山期中）如图，已知正比例函数1= 与一次函数2= 12 +的图象交于点下面结论正确的是（ ） A 0时，1 0； C当 2时，1 2时，1 2 8 （2021 九上 海淀期末）在平
3、面直角坐标系 xOy 中，下列函数的图象经过点(0，0)的是（ ） A = + 1 B = 2 C = ( 4)2 D =1 9 （2021 九上 北京开学考）暑假期间，小宇和小华相约到奥林匹克森林公园参加健步走活动，小华在小宇前方 1800 米处，二人同时出发，沿相同方向步行走了 40 分钟时，小华先到达终点等候小宇，10 分钟后，小宇也到达终点在整个行走过程中，小宇和小华均保持各自的速度匀速行走，二人相距的路程 （米）与小宇出发的时间 （分钟）之间的关系如图所示，下列说法中，错误的是（ ） A小宇的速度是 100 米/分 B出发时，小宇距离终点 5000 米 C当小宇走了 25 分钟时，两
4、人的距离为 1200 米 D当小宇走了 3000 米时，小华恰好离终点 800 米 10 （2021 九上 北京开学考）若点 (2，) ， (3，) 都在直线 = 5 2 上，则 与 的大小关系是 () A D无法确定 二、填空题二、填空题 11在平面直角坐标系中，一次函数 = ( 2) + 1的图象经过点(1，1)，(2，2)，如果1 2，那么的取值范围是 12平面直角坐标系中，直线 = + 与 = + 相交于点(2，4)，下列结论中正确的是 （填写序号） 关于 x，y 的方程组 = + = + 的解是 = 2 = 4； 关于 x 的不等式 + 2； + + 的解集是 14在平面直角坐标系
5、xOy 中，直线 = 2 + 4与 x 轴交点坐标为 15如果点(1，)与点(3，)都在直线 = 2 + 1上，那么 m n（填“”、“”或“=”） 16 （2022 八下 西城期末）小明与小亮两人约定周六去博物馆参观学习两人同时出发，小明乘车从甲地途径乙地到博物馆，小亮骑自行车从乙地到博物馆已知甲地、乙地和博物馆在一条直线上，右图是两人分别与乙地的距离 S（单位：km）与时间 t（单位：min）的函数图象，在小明到达博物馆前，当两人相距 1km 时，t 的值是 17 （2022 八下 西城期末）关于函数1= 2 1和函数2= + ( 0)，有以下结论： 当0 1时，1的取值范围是1 1 1
6、2随 x 的增大而增大 函数1的图像与函数2的图像的交点一定在第一象限 若点(， 2)在函数1的图像上，点(，12)在函数2的图像上，则 2的解集为 三、综合题三、综合题 21下表是一次函数 = + (，为常数， 0)中与的两组对应值 1 0 3 2 （1）求该一次函数的表达式； （2）求该一次函数的图象与轴的交点坐标 22在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 = + ( 0) 的图象经过 A（-2，0） ，B（1，3）两点 （1）画出一次函数 = + 的图象； （2）求这个一次函数的解析式； （3）求OAB 的面积 23某通信公司推出 A，B，C 三种上网收费方式，每月收取的费用，与月上网
7、时间 x 的对应关系如图所示 （1）对于上网方式 A，若月上网时间在 25 小时以内，月收费为 元； （2）如果月上网时间超过 35 小时且不足 55 小时，选择方式 最省钱？ （3）对于上网方式 B，若月上网时间超过 60 小时，超出的时间每小时收费 元； （4）根据图象，写出一个其他的推断 24在平面直角坐标系中，直线 = + （ 0）与 = 平行，且过点(2，1)，过点 A 作 y轴的垂线，垂足为点 B （1）求 k，b 的值； （2）点 C 在 y 轴上，点(2，)，四边形是矩形 如果矩形的面积小于 6，求 m 的取值范围； 直线 = + （ 0）与直线交于点 E， = 2，直接写出点
8、 E 的坐标 25在平面直角坐标系中， 对于点(1，1)， 给出如下定义： 当点(2，2)满足1+ 2= 1+ 2时，称点是点的等和点，已知点(3，0) （1）在1(0，3)，2(1，4)，3(2， 1)中，点的等和点有 ； （2）点在直线 = + 5上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标； （3）已知点(，0)和线段，点 C 也在 x 轴上且满足 = 1，线段上总存在线段上每个点的等和点若的最小值为 5，直接写出的值 26在平面直角坐标系中，一次函数 = + ( 0)的图象是由函数 = 的图象平移得到，且经过点(1，2) （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 时，对于的每一个值，函数
9、 = 2 3的值大于一次函数 = + 的值，直接写出的取值范围 27“莓好生活，幸福家园”，春节期间，小明一家要去采摘草莓，现有甲、乙两家草莓采摘园草莓品质相同，销售价格也相同，且推出了如下的优惠方案： 甲园：游客需购买门票，采摘的草莓六折优惠； 乙园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过的部分打折优惠 优惠期间， 某游客的草莓采摘量为 （千克） ， 在甲园所需总费用为甲（元） ， 在乙园所需总费用为乙（元） ，甲，乙与之间的函数关系如图所示 （1）甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元 （2）求 甲与的函数表达式； （3）当游客采摘18千克草莓时，选择哪
10、一家采摘园更便宜? 28 （2022 七下 西城期末）小明设计了如下一个小程序，用户运行此程序时，先在第一象限内任取一个点 P，程序就会在该点的右上方按逆时针方向画一个长方形 PQMN（包含可能出现正方形的情况） ，且水平边 PQ 的长等于这一点的横坐标，竖直边 PN 的长等于这一点的纵坐标，称此长方形为“程序长方形” （1）图 1 所示的五个长方形，记为图形 I，II，III，IV，V，其中程序长方形是 ，程序长方形最初所取点 P 的坐标为 ； （2）如图 2，小明在第一象限画了 10 个整点（即横、纵坐标都为整数的点）A，B，C，J，程序相应地可画出 10 个长方形 实验探究： 在射线 O
11、F 上任取一点（不同于点 O） ，则该点所对应的程序长方形的水平边与竖直边的长度之比等于 ； 在直线 AB 位于第一象限的部分上任意取几个点，写出这些点所对应的程序长方形的一条共同特征； 记点 I 所对应的程序长方形的面积为 s若要画一个整点K，使它对应的程序长方形的面积小于 s且周长尽可能大，直接写出点 K 的坐标 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：当 x=-2 时，y=2 （-2）+1=-31 点 A(2，1)不在直线 = 2 + 1上； 当 x=1 时，y=2 1+1=3 点 B(1，3)在直线 = 2 + 1上； 当 x=-3 时，y=2 （-3）+1=5
12、2 点 C(3，2)不在直线 = 2 + 1上； 当 x=3 时，y=2 3+1=73 点 D(3，3)不在直线 = 2 + 1上 故答案为：B 【分析】将各选项的点坐标分别代入 = 2 + 1判断即可。 2 【答案】B 【解析】【解答】、 = 2是二次函数，故 A 不符合题意； B、 = 是正比例函数，故 B 符合题意； C、 = + 1是一次函数，但不是正比例函数，故 C 不符合题意； D、 =1是反比例函数，故 D 不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：A、由于一次函数 y=-x+2 的 k=-10，所以 y 的值随
13、x 的值增大而减小，故该选项不符合题意； B、一次函数 y=-x+2 的 k=-10，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意； C、将（0，2）代入 y=-x+2 中得 2=0+2，等式成立，所以（0，2）在 y=-x+2 上，故该选项符合题意； D、一次函数 y=-x+2 的 k=-10，所以 y 的值随 x 的值增大而减小，所以当 x0，故该选项不符合题意 故答案为：C 【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。 4 【答案】A 【解析】【解答】解：A、根据图像知，k0，b0，则 k b0，故该选项符合题意； B、根据图像知，k0，b0，则 k b0，与已知“kb0
14、”相矛盾，故该选项不符合题意； C、根据图像知，k0，b0，则 k b0，与已知“kb0”相矛盾，故该选项不符合题意； D、根据图像知，k0，b0，则 k b0，与已知“kb0”相矛盾，故该选项不符合题意 故答案为：A 【分析】利用一次函数的图象与系数的关系求解即可。 5 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，可得方程组 = 1 + 1 = 2 + 2， 根据函数图象与方程组解的关系可知，函数图象的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线 = 1 + 1和直线 = 2 + 2相交于点(23， 2)得 =23 = 2， 故答案为：A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系直
15、接求解即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：一次函数 = + ( 0)经过 D 点，可得 0， 又 0 随 x 的增大而增大， 不经过点 C 故答案为：C 【分析】由于一次函数 = + ( 0)经过 D 点，可得 0，结合 m0，可知直线经过一二三象限，据此判断即可. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：由图象可知， 0，故 A 不符合题意； 当 0时，1 0，故 B 不符合题意； 当 1，故 C 符合题意； 当 2时，1 2，故 D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】A、由一次函数2= 12 + 的图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴上，可得 b0，据此判断； B、由图象可知当 x0
16、 时，直线1= 的图象在 x 轴上方，故1 0，据此判断； C、由图象可知当 1据此判断； D、由图象可知当 2时，直线1= 的图象在2= 12 + 图象的上方，即1 2据此判断； 8 【答案】B 【解析】【解答】解：A.当 = 0时， = 0 + 1 = 1， = + 1图象过点(0，1)，选项 A 不合题意； B.当 = 0时， = 02= 0， = 2图象过点(0，0)，选项 B 合题意； C.当 = 0时， = (0 4)2= 16， = ( 4)2图象过点(0，16)，选项 C 不合题意； D.当 = 0时， =1无意义，选项 D 不合题意 故答案为：B 【分析】将点（0，0）分别代
17、入各选项的解析式求解判断即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：小宇的速度1000 10100（米/分） ，故 A 不符合题意； 则 1000100 405000（米） ，故 B 不符合题意； 设小华的速度为 x 米/分， 则有：1800+40 x1000100 40， 解得：x80， 小华的速度为 80 米/分， 当小宇走了 25 分钟时，两人的距离为 180025 （10080）1300（米） ， 故 C 符合题意； 3000 10030（分钟） ， 80 （4030）800（米） ， 当小宇走了 3000 米时，小华恰好离终点 800 米， 故 D 不符合题意， 故答案为：C 【分析
18、】利用图中信息以及路程、速度、时间之间的关系逐一判断即可。 10 【答案】A 【解析】【解答】解： = 5 0 ， 随 的增大而增大 又 点 (2，) ， (3，) 都在直线 = 5 2 上， 2 3 ， 2 【解析】【解答】解：一次函数 = ( 2) + 1的图象经过点(1，1)，(2，2)，且1 0， 2， 故答案为： 2 【分析】利用一次函数的性质与系数的关系可得 2 0，再求出 k 的取值范围即可。 12 【答案】或 【解析】【解答】解：直线 = + 与 = + 相交于点(2，4)， 关于，的方程组 = + = + 的解是 = 2 = 4， 故的结论符合题意； 由图知：当 2时，函数
19、= + 对应的点都在函数 = + 下方， 因此关于的不等式 + 2， 故的结论符合题意； 由图知：当 = 1时，函数 = + 图象对应的点在轴的上方， 因此 + 0， 故的结论不符合题意； 故答案为： 【分析】利用一次函数的图象、性质图系数的关系，一次函数与不等式的关系及一次函数与二元一次方程组的关系逐项判断即可。 13 【答案】 1 【解析】【解答】一次函数1= 与2= + 的图象交于点(1，2)， 由图象可知，关于的不等式 + 的解集是 1 故答案是： 1 【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。 14 【答案】(2，0) 【解析】【解答】解：当 y0 时，2x40，
20、解得：x2， 直线 y2x4 与 x 轴交点坐标为（2，0） ， 故答案为： （2，0） 【分析】将 y=0 代入 = 2 + 4求出 x 的值即可。 15 【答案】 【解析】【解答】解：k=-20， y 随 x 的增大而减小， 又点 A（1，m）与点 B（3，n）都在直线 y=-2x+1 上，且 1n 故答案为： 【分析】利用一次函数的性质求解即可。 16 【答案】12 或 18 【解析】【解答】解：由图像可知，甲地距乙地 5km，乙地距博物馆 5km， 小明的速度为：510=12（km/min） ， 小亮的速度为：530=16（km/min） ， 当小明和小亮相遇前两人相距 1km 时，由
21、题意得，12 + 1 = 5 +16，解得：t12； 当小明和小亮相遇后两人相距 1km 时，由题意得：12 = 5 +16 + 1，解得：t18； 综上所述，当两人相距 1km 时 t 的值为 12 或 18， 故答案为：12 或 18 【分析】根据函数图象，再利用路程、时间和速度的关系求解即可。 17 【答案】 【解析】【解答】解：当 x0 时，y11，当 x1 时，y11，而一次函数 y12x1，y 随 x 的增大而增大，所以1y11，所以符合题意； 一次函数 y2xm（m0） ，y 随 x 的增大而减小，因此不符合题意； 联立 = 2 1 = + ， 解得 =+13 =213， 则函数
22、y1的图像与函数y2的图像的交点坐标为 （+13，213） ，当 0m12时，+13 0213 0 12= 12，即 ba，因此符合题意； 综上所述，正确的结论有， 故答案为： 【分析】 根据一次函数的图象、 性质与系数的关系， 一次函数与二元一次方程组的关系逐项判断即可。 18 【答案】y2x3 【解析】【解答】解：将函数 y2x 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度， 平移后所得图象对应的函数表达式为：y2x3 故答案为：y2x3 【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 19 【答案】（1）4 （2）12 12且 0 【解析】【解答】(1)解：点 B 和点 C
23、的坐标分别是（m，y1）和（m+2，y2） ，y1y20， B、C 是 x 轴上的两点，则 BC2， 直线 l：ykx+4（k0）与 y 轴交于点 A， A（0，4） ， OA4， SABC12 =12 2 4 = 4， 故答案为：4 (2)解：点 B 和点 C 都在直线 l 上， y1km+4，y2k（m+2）+4， y2y12k， 5， ( + 2 )2+ (2 1)25，即22+ (2)25， 4+4k25，即214， k0， 解得12k12且 k0， 故答案为：12k12且 k0， 【分析】 （1）先求出点 A 的坐标，再利用点 B、C 的坐标求出 BC 的长，最后利用三角形的面积公式
24、求出 SABC12 =12 2 4 = 4即可； （2）利用两点之间的距离公式及 5可得 4+4k25，即214，再求出 k 的取值范围即可。 20 【答案】 3 【解析】【解答】解：一次函数 = + ( 0)的图象经过点(3，2)，且 y 随 x 的增大而减小， 当 2的解集为 3 故答案为： 3 【分析】先求出当 80时， 80 = ，选择方式 C 最省钱 【解析】【解答】解： （1）解：由图可知：当0 25时，= 30，对于上网方式 A，若月上网时间在 25 小时以内，月收费为 30 元，故答案为：30 （2）由图可知：当35 55时，60 120，= 60，= 120，选择方式 B 最
25、省钱，故答案为：B （3） 由图可知： 当超出的时间为 20 小时时， 收费增加了 60 元， 超出的时间每小时收费为6020= 3元，故答案为：3 【分析】根据函数图象及图象中的数据求解即可。 24 【答案】（1）解：直线 = + （ 0）与直线 = 平行， = 1过点(2，1)，将点(2，1)代入 = + ，得 = 1， = 1， = 1 （2） 解： ABy 轴， 垂足为点 B， A （2， 1） ， 点 B 的坐标为 （0， 1） ， AB=2， 又矩形的面积小于 6，0 3，D（2，m） ，2 1或1 4k=1，b=-1， 解析式为 y=x-1， 直线 y=x-1 与直线 CD 交于
26、点 E， 点 E（m+1，m） ， CE=m+1， CE=2AD， m+1=2|1-m|， 解得： =13或 m=3， (4，3)或(43，13) 【解析】【分析】 （1）根据题意求出 k=1，再根据点 A 的坐标求解即可； （2）先求出 0 时，对于的每一个值，函数 = 2 3的值大于一次函数 = + 的值，m4，即的取值范围 m4 【解析】【分析】 （1）根据两函数平移的性质可得 k 相等，再将点（1，2）代入 = + ( 0)求出b 的值即可答案； （2）根据题意列出不等式求解即可。 27 【答案】（1）60；30 （2）解：根据函数图象得到 y甲经过点（0，60）和（10，240） ，
27、设 y甲与 x 的函数表达式是 y甲kx+b （k0）10 + = 240 = 60 ，解得： = 18 = 60 ， 所以，甲函数的表达式为甲= 18 +60 （3）解：当 x=1810 时，根据函数图象得到 y乙经过点（25，480）和（10，300） ，设 y乙与 x 的函数表达式是 y乙k1x+b1（k0）101+ 1= 300251+ 1= 480 ， 解得：1= 121= 180 ， 则乙的表达式为乙= 12 + 180当x=18 时，甲= 18 18 + 60=384，乙= 12 18 + 180=396，384396，甲采摘园更便宜 【解析】【解答】 解：（1） 由图像可知，
28、甲采摘园的门票是 60 元， 两个采摘园优惠前的草莓单价是 300 1030（元/千克） 故答案为：60，30 【分析】 （1）根据函数图象及图中的数据求解即可； （2）利用待定系数法求出甲与的函数表达式； （3） 先求出乙= 12 + 180， 再将 x=18 分别代入乙= 12 + 180和甲= 18 + 60， 再比较大小即可。 28 【答案】（1）III 和 V； （4，2）与（5，5） （2）解：3：2 这些点所对应的程序长方形的一条共同特征为水平边与竖直边的长度之和为 14，理由： 设直线 AB 的解析式为 y=mk+n， 将 A（8，6）和 B（5，9）代入， 得：8 + = 6
29、5 + = 9，解得： = 1 = 14， 直线 AB 的解析式为 y=-x+14， 取直线 AB 上任一点 P（b，-b+14） ，则 Q（2b，-b+14） ，M（2b，-2b+28） ，N（b，-2b+28） ， 水平边长度为 PQ=2b-b=b，竖直边长度为 MN=-2b+28-（-b+14）=-b+14， PQ+MN=b+（-b+14）=14， 该点所对应的程序长方形的水平边与竖直边之和为 14， 即这些点所对应的程序长方形的一条共同特征为水平边与竖直边的长度之和为 14； K（5，1）或 （1，5） 【解析】【解答】 解： (1)由图可知， 将每个长方形左下角坐标开始依次逆时针代入
30、题设中的坐标公式中，满足条件的程序长方形是 III 和 V，左下角的点的坐标即为最初所取点，分别为（4，2）与（5，5） ， 故答案为：III 和 V， （4，2）与（5，5） ； (2)由图可知 F（6，4） ， 设射线 OF 的解析式为 y=kx， 将 F（6，4）代入，得：6k=4，解得：k= 23， 射线 OF 的解析式为 y= 23x， 取射线 OF 任一点 P（a，23a） ，则 Q（2a，23a） ，M（2a，43a） ，N（a，43a） ， 水平边长度为 PQ=2a-a=a，竖直边长度为 MN=43a-23a=23a， 该点所对应的程序长方形的水平边与竖直边之比为 a：23a=
31、3：2， 故答案为：3：2； K（5，1）或（1，5） ，理由： 设 K（x，y） ，由程序长方形的水平边 PQ 的长等于这一点的横坐标，竖直边 PN 的长等于这一点的纵坐标知它对应的程序长方形的面积为 xy， I（3，2） ，则s=3 2=6， 小于 6 的正整数为 5，4，3，2，1， 若要画一个整点K，使它对应的程序长方形的面积小于 s 且周长尽可能大， 则 x=5，y=1 或 x=1，y=5， K（5，1）或（1，5） 【分析】 （1）由图可知，将每个长方形左下角坐标开始依次逆时针代入题设中的坐标公式中，满足条件的程序长方形是 III 和 V，可知左下角的点的坐标即为最初所取点，继而得
32、解； （2） 利用待定系数法求出射线OF的解析式为y= 23x， 取射线OF任一点P （a，23a） ， 则Q （2a，23a） ， M （2a，43a） ，N（a，43a） ，从而求出 PQ、MN 的长度，从而求出比值； 这些点所对应的程序长方形的一条共同特征为水平边与竖直边的长度之和为 14，利用待定系数法求出直线 AB：y=-x+14，取直线 AB 上任一点 P（b，-b+14） ，则 Q（2b，-b+14） ，M（2b，-2b+28） ，N（b，-2b+28） ，从而求出 PQ、MN 的长度，从而求出 PQ+MN 的长度，继而得解； （3）设 K（x，y） ，由程序长方形的水平边 PQ 的长等于这一点的横坐标，竖直边 PN 的长等于这一点的纵坐标知它对应的程序长方形的面积为 xy，由 I（3，2）可得 s=3 2=6，从而求出小于 6 的正整数为5，4，3，2，1，若要画一个整点K，使它对应的程序长方形的面积小于 s 且周长尽可能大，可得 x=5，y=1 或 x=1，y=5，继而得解
