1、 专题专题 9 9 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手 10 次，有多少人参加活动？设有 x人参加活动，可列方程为（ ） A12( 1) = 10 B( 1) = 10 C12( + 1) = 10 D2( 1) = 10 2小亮、 小明、 小刚三名同学中， 小亮的年龄比小明的年龄小 2 岁， 小刚的年龄比小明的年龄大 1 岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是 130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为 x 岁，则可列方程为（ ） A( + 2)( 1) = 130 B( 2)( + 1) = 130 C( 2
2、) = 130 D( + 1) = 130 3下列叙述正确的是（ ） A形如2+ + = 0的方程叫一元二次方程 B方程42+ 3 = 4不含有常数项 C一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为 0 D(3 )2= 0是关于 y 的一元二次方程 4在等式2+ = 1；3 + 2 = 5；1+1 = 0； + = 1； + 3 = 2中，符合一元二次方程概念的是（ ） A B C D 5若关于 x 的一元二次方程( 1)2+ 2 = 0有一个根是 = 1，则 a 的值为（ ） A-1 B0 C1 D-1 或 1 6（2021 九上 东城期末）一元二次方程22+ 5 = 0的二次项系
3、数、 一次项系数、 常数项分别是 （ ） A2，1，5 B2，1，5 C2，0，5 D2，0，5 7 （2021 九上 西城期末）将一元二次方程2 8 + 10 = 0通过配方转化为( + )2= 的形式，下列结果中正确的是（ ） A( 4)2= 6 B( 8)2= 6 C( 4)2= 6 D( 8)2= 54 8 （2021 九上 东城期末）用配方法解方程 x24x1，变形后结果正确的是（ ） A(x2)25 B(x2)22 C(x2)25 D(x2)22 9 （2021 九上 海淀期末）把长为 2 m 的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积设较长一段的长为 x m
4、，依题意，可列方程为（ ） A2= 2(2 ) B2= 2(2 + ) C(2 )2= 2 D2= 2 10 （2021 九上 丰台期末）若关于 x 的一元二次方程( 1)2+ + 2 1 = 0有一个解为 = 0，那么 m 的值是（ ） A-1 B0 C1 D1 或-1 二、填空题二、填空题 11下面是用配方法解关于 x 的一元二次方程32+ 2 = 0的具体过程， 32+ 2 1 = 0 解：第一步：2+23 13= 0 第二步：2+23 =13 第三步：2+23 + (13)2=13+ (13)2 第四步：( +13)2=49 +13= 23 1=13，2= 1 以下四条语句与上面四步对
5、应：“移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；求解：用直接开方法解一元二次方程；配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；二次项系数化 1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 12 （2022 九下 北京市开学考）关于 x 的一元二次方程( + 1)2+ (2 + 1) + 1 = 0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 13（2022 通州模拟）如果关于x的方程2+ 6 + = 0有两个相等的实数根， 那么m的值是 ，方程的根是 14（2021九上 西城期末）关于x的一元二次方程2+ + 4 = 0有一个根为1，
6、则m的值为 15 （2022 九上 海淀期中）若关于 x 的一元二次方程2+ + = 0有两个相等的实数根，则 k 的值为 16（2021九上 东城期末）若关于x的一元二次方程x22xm0有一个根为1， 则m的值为 17 （2021 九上 东城期末）2021 年是中国共产党建党 100 周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动据了解，某展览中心 3 月份的参观人数为 10 万人，5 月份的参观人数增加到12.1 万人设参观人数的月平均增长率为 x，则可列方程为 18已知 m 是关于 x 的方程 x23x40 的一个根，则 3m29m2 19 （2022 九上 海淀期中）若
7、 1 是关于 x 的方程2 = 0的根，则 a 的值为 20 （2022 九上 海淀期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为 30 米，宽为 18 米停车场内车道的宽都相等停车位总占地面积为 288 平方米设车道的宽为 x 米，可列方程为 三、计算题三、计算题 21 （2021 九上 海淀期末）解方程：2 6 + 8 = 0 22 （2021 九上 西城期末）解方程：2 2 2 = 0 23解方程：22 9 + 10 = 0 24 （2022 海淀模拟）关于 x 的方程2 (2 + 1) + 2= 0有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 取最小的整数时，求此
8、时的方程的根 四、综合题四、综合题 25 （2021 九上 丰台期末）已知关于 x 的一元二次方程2 3+ 22= 0 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 0，且该方程的两个实数根的差为 1，求 k 的值 26 （2021 九上 东城期末）已知关于 x 的一元二次方程2 ( +4) +4 = 0 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于 2，求 k 的取值范围 27随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018 年公共充电桩的数量为 2 万个，2020 年公共充电桩的数量为 2.88 万个 （1）求 2018 年至
9、2020 年该省公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计 2021 年该省将新增多少万个公共充电桩？ 28 （2021 八上 燕山期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式2+ +变形为( + )2+ 的形式例如，2 4 + 32 4 + 4 4 + 3( 2)2 1 观察上式可以发现， 当 2取任意一对互为相反数的值时， 多项式2 4 + 3的值是相等的 例如，当 2 1，即3 或 1 时，2 4 + 3的值均为 0；当 2 2，即4 或 0 时，2 4 + 3的值均为 3 我们给出如下定义： 对于关于的多项式，若当 + 取任意一对互为相反数的值时，该多项式的
10、值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴例如，2 4 + 3关于2 对称，2 是它的对称轴 请根据上述材料解决下列问题： （1）将多项式2 6 + 5变形为( + )2+ 的形式，并求出它的对称轴； （2）若关于的多项式2+ 2 1关于5 对称，则 ； （3）代数式(2+ 2 + 1)(2 8 + 16)的对称轴是 29 （2022 八下 门头沟期末）已知关于的一元二次方程2 4 + 3 = 0有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 取正整数时，求此时方程的根 30用长为 6 米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中/，设窗框的高度为 = 米 （1）设窗框宽度为米，
11、则 = 米（用含的代数式表示） ； （2）当窗户的透光面积为 1.5 平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：设有 x 人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为( 1)次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得： (1)2= 10， 故答案为：A 【分析】设有 x 人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为( 1)次，可得共握手(1)2次，根据共握手的次数列出方程即可. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：设小明的年龄为 x 岁，则小亮的年龄为( 2)岁，小刚的年龄为( + 1)岁， 根据题意即可列
12、方程：( 2)( + 1) = 130 故答案为：B 【分析】设小明的年龄为 x 岁，则小亮的年龄为( 2)岁，小刚的年龄为( + 1)岁，再根据“小亮与小刚的年龄的乘积是 130”列出方程( 2)( + 1) = 130即可。 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A形如2+ + = 0(a 0)的方程叫一元二次方程，故 A 不符合题意； B方程42+ 3 = 4的一般形式是42+ 3 4 = 0，常数项是4，故 B 不符合题意； C一元二次方程中，二次项系数不能为 0，一次项系数及常数项可以为 0，故 C 不符合题意； D(3 )2= 0是关于 y 的一元二次方程，故 D 符合题意 故答案为
13、：D 【分析】根据一元二次方程的定义及相关的量对每个选项一一判断即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：2+ = 1，是一元二次方程，符合题意； 3 + 2 = 5，不是方程，不符合题意； 1+ 1 = 0，不是整式方程，不符合题意； + = 1，是二元一次方程，不符合题意； + 3 = 2，是一元一次方程，不符合题意 故符合一元二次方程概念的是 故答案为：B 【分析】根据一元二次方程的定义以及相关材料判断即可。 5 【答案】A 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程( 1)2+ 2 = 0有一个根是 = 1 1 + 2 = 0 解得 = 1 一元二次方程( 1)2+ 2 = 0 1
14、 0 1 = 1 故答案为：A 【分析】将 = 1代入方程求出 a 值，再根据一元二次方程的定义可得 1 0，从而确定 a 值. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：一元二次方程 2x2+x-5=0， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是 2、1、-5， 故答案为：B 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。 7 【答案】A 【解析】【解答】解：2 8 + 10 = 0， 2 8 = 10， 2 8 + 16 = 10+ 16，即( 4)2= 6， 故答案为：A 【分析】利用配方法减一元二次方程即可得出答案。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：x24x1 2+ 4 + 4 = 1 + 4
15、 即( + 2)2= 5 故答案为：A 【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。 9 【答案】A 【解析】【解答】解：设较长一段的长为 x m，则较短一段的长为（2-x ）m， 由题意得：2= 2(2 ). 故答案为：A. 【分析】根据题意，设较长一段的长为 x m，则较短一段的长为（2-x ）m，由此列出方程。 10 【答案】A 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程( 1)2+ + 2 1 = 0有一个解为 = 0， 21 = 0， 1 0 = 1 故答案为：A 【分析】将 x=0 代入( 1)2+ + 2 1 = 0可得2 1 = 0， 1 0，再求出 m 的值即可。 11 【
16、答案】 【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：二次项系数化 1，方程两边都除以二次项系数； 第二步为：移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步为：配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方； 第四步为：求解：用直接开方法解一元二次方程； 故答案为： 【分析】利用配方法解一元二次方程即可。 12 【答案】 54且 m-1 【解析】【解答】解：由题意知 = (2 + 1)2 4 ( + 1) ( 1) 0，且 + 1 0 解得： 54且 1 故答案为： 54且 m-1 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组求解即可。 13 【答案】9
17、；-3 【解析】【解答】解：关于 x 的方程2+ 6 + = 0有两个相等的实数根， 可得 = 2 4 = 0， 即：36 4 = 0 ， 解得：m=9， 则原方程为：2+ 6 + 9 = 0， ( + 3)2= 0， 1= 2= 3 ， 故答案为：m=9，方程的根为-3 【分析】利用一元二次方程根的判别式可得 = 2 4 = 0即36 4 = 0，求出 m=9，所以方程为2+ 6 + 9 = 0，再求出 x 的值即可。 14 【答案】-5 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程2+ + 4 = 0的一个根是 1， 12+m+4=0， 解得：m=-5 故答案是：-5 【分析】根据关于 x
18、 的一元二次方程2+ + 4 = 0的一个根是 1，即可得出答案。 15 【答案】14 【解析】【解答】关于 x 的一元二次方程2+ + = 0有两个相等的实数根， 方程的判别式： = 12 4 1 = 0， =14， 故答案为：14 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出 = 12 4 1 = 0，再求解即可。 16 【答案】1 【解析】【解答】解：关于 x 的方程 x2-2x+m=0 的一个根是 1， 1-2+m=0， 解得 m=1， 故答案为：1 【分析】将 x=1 代入方程 x22xm0 求解即可。 17 【答案】10(1 + )2= 12.1 【解析】【解答】解：根据题意设参观人数的
19、月平均增长率为 x，则可列方程为10(1 + )2= 12.1 故答案为：10(1 + )2= 12.1 【分析】根据“当月参观人数=前一个月参观人数 （1+增长率）”列出方程10(1 + )2= 12.1即可。 18 【答案】10 【解析】【解答】解：m 是关于 x 的方程 x23x40 的一个根， m23m40， m23m4， 3m29m23（m23m）23 4210 故答案是：10 【分析】先求出 m23m40，再求出 m23m4，最后代入计算求解即可。 19 【答案】1 【解析】【解答】解：把 1 代入方程得12 = 0， = 1 故答案为：1 【分析】根据题意先求出12 = 0，再求
20、解即可。 20 【答案】（18-x） （30-x）=288 【解析】解：依题意得（18-x） （30-x）=288， 故答案为： （18-x） （30-x）=288 【分析】根据所给的图形求出（18-x） （30-x）=288，即可作答。 21 【答案】解：26 + 8 = 0 （x4） （x2）0 x40 或 x20 x14，x22 【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。 22 【答案】解：22 2 = 0 2 2 + 1 1 2 = 0 2 2 + 1 = 3 ( 1)2= 3 = 1 3 原方程的解为1= 1 +3，2= 1 3 【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可
21、。 23 【答案】解：22 9 + 10 = 0， (2 5)( 2) = 0， 2 5 = 0或 2 = 0， 解得：1=52或2= 2 【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。 24 【答案】（1）解：关于 x 的方程2(2 + 1) + 2= 0有两个不相等的实数根 其根的判别式 = (2 + 1)2 42= 4 + 1 0 14； （2）解： 14且 m 为最小的整数， = 0 此时方程为2 = 0 方程的根为1= 0，2= 1 【解析】【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可； （2）将 m=0 代入方程，再求解即可。 25 【答案】（1）证明：2 3
22、+ 22= 0 = 1， = 3， = 22 = 2 4 = 92 82= 2 2 0 0 该方程总有两个实数根 （2）解：2 3 + 22= 0 1 2= 1，1+ 2= = 3，1 2= 22 又 (1 2)2= (1+ 2)2 412 92 82= 1 = 1 0 = 1 【解析】【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得1 2= 1，1+ 2= = 3，1 2= 22，再列出方程(1 2)2= (1+ 2)2 412求解即可。 26 【答案】（1）证明：2 ( + 4) + 4 = 0， =( + 4)2 4 4 = 2 8 + 16
23、 = ( 4)2 0， 方程总有两个实数根 （2）解：2 ( + 4) + 4 = 0， ( 4)( ) = 0， 解得：1= 4，2= ， 该方程有一个根小于 2， 2 【解析】【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先利用因式分解法求出一元二次方程，再根据“该方程有一个根小于 2”，即可得到 0，解得： 43， 的取值范围为 43； （2）解： 为正整数， = 1，原方程为24 + 3 = 0，即( 3)( 1) = 0，解得：1= 3，2= 1，当取正整数时，此时方程的根为3和1 【解析】【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可； （2）将 m 的值代入，再求解即可。 30 【答案】（1）32 + 3 （2）解：窗户的透光面积为 1.5 平方米， (32 + 3) = 1.5， 整理得：( 1)2= 0， 解得 = 1， 32 + 3 = 1.5 窗框的高是 1 米，宽是 1.5 米 【解析】【解答】(1)解：是矩形窗框，/， AD=EF=DC=x 米，AB=DC=y 米， 3 + 2 = 6， 解得 = 32 + 3， 故答案为：32 + 3 【分析】 （1）根据题意列出方程3 + 2 = 6，再化简可得 = 32 + 3； （2）根据题意列出方程(32 + 3) = 1.5，再求出 x 的值即可
