1、 专题专题 12 12 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1关于抛物线 = 2 ( + 1) + 2，下列说法错误的是（ ）. A开口向上 B当 = 2时，经过坐标原点 O C不论为何值，都过定点（1，2） D0 时，对称轴在轴的左侧 2在平面直角坐标系中， 若点的横坐标和纵坐标相等， 则称点为完美点.已知二次函数 = 2+ 4 +( 0)的图象上有且只有一个完美点(32，32)， 且当0 时， 函数 = 2+ 4 + 34( 0)的最小值为3，最大值为1，则的取值范围是( ) A1 0 B2 4 C2 1时，y 的最小值为1 4 （2022 玉山模拟）如图，抛物线 = 2+ + 的对称
2、轴是 = 1，下列结论： 0；2 4 0；3 + 0；5 + + 2 0，正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5 （2022 石城模拟）若平面直角坐标系内的点 满足横、 纵坐标都为整数， 则把点 叫做“整点” 例如： (1，0) 、 (2， 2) 都是“整点” 抛物线 = 2 4 + 4 2( 0) 与 轴交于 A、 两点， 若该抛物线在 A、 之间的部分与线段 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点， 则 的取值范围是（ ） A12 1 B12 1 C1 2 D1 2 6 （2022 九下 吉安期中）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，给出下列列结论： + 0 3|
3、 + | 2时，y 随 x 的增大而减小 C当1 1时， 0)个单位得到抛物线2，若2上有两个“潇洒点”分别是(1，1)，(2，2)，且 = 22，求当1 2时，2中 y 的最大值和最小值 25（2022 江西模拟）某数学兴趣小组在探究函数 y|x24x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格） x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y1x24x+3 15 8 3 0 0 3 8 15 y|x24x+3| 15 8 3 0 0 3 8 15 （2）描点并画出函数图象草图（在备用图中描点并画图） （3）根据图象解决以下问题： 观察图象：函数 y|x24x+3|的图象
4、可由函数 y1|x24x+3|的图象如何变化得到？ 答： 数学小组探究发现直线 y8 与函数 y|x24x+3|的图象交于点 E，F，E（1，8） ，F（5，8） ，则不等式|x24x+3|8 的解集是 设函数 y|x24x+3|的图象与 x 轴交于 A，B 两点（B 位于 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C i)求直线 BC 的解析式； ii)探究应用：将直线 BC 沿 y 轴平移 m 个单位长度后与函数 y|x24x+3|的图象恰好有 3 个点，求此时 m 的值 26 （2022 赣州模拟）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购
5、进同一种型号汽车每辆的进价相同） 第一次用 360 万元购进甲型号汽车 20 辆和乙型号汽车 30 辆；第二次用 260 万元购进甲型号汽车 10 辆和乙型号汽车 35 辆 （1）求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； （2）经销商分别以每辆甲型号汽车 14.3 万元，每辆乙型号汽车 5.8 万元的价格销售 经销商发现乙种型号新能源汽车销售较好， 每月能售 10 台， 市场调查发现售价每降低 0.2 万元，销售量会增加 2 台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 根据销售情况，经销商决定再次购进甲、乙两种型号的新能源汽车共 100 辆，且乙型号汽车的
6、辆数不少于甲型号汽车辆数的 2 倍，若两种型号汽车每辆的进价不变，甲型号汽车的售价不变，而乙型参照中最大利润的定价销售，请你求出获利最大的购买方案，并求出此批 100 辆汽车销售完的最大利润是多少 27 （2022 吉州模拟）【阅读理解】已知关于 x、y 的二次函数 yx2axa2a（xa）2a，它的顶点坐标为（a，2a） ，故不论 a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线 y2x 上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次两数，该条直线为根函数 （1） 【问题解决】 若二次函数 yx2x3 和 yx4x3 是同源二次函数，求它们的根函数； （2）已知关于 x、y 的二次函数
7、 C：yx4mx4m4m1，完成下列问题： 求满足二次函数 C 的所有二次函数的根函数； 若二次函数 C 与直线 x3 交于点 P，求点 P 到 x 轴的最小距离，请求出此时 m 为何值？并求出点 P 到 x 轴的最小距离； 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】A.开口向上符合题意； B.当 = 2时， = 2 3 经过坐标原点； C.当 = 1 时， = 2 ，符合题意； D. 对称轴为 =+12 在 轴右侧. 故答案为：D. 【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。 2 【答案】B 【解析】【解答】解：令2+ 4 + = ，即2+ 3 + = 0， 由
8、题意可得，图象上有且只有一个完美点， 式= 9 4 = 0，则4 = 9 又方程根为 = 2= 32=32 ， = 1， = 94 函数 = 2+ 4 + 34= 2+ 4 3， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2，1)， 与轴交点为(0， 3)，根据对称规律， 点(4， 3)也是该二次函数图象上的点 在 = 2左侧，随的增大而增大；在 = 2右侧，随的增大而减小； 且当0 时，函数 = 2+ 4 3的最大值为1，最小值为3， 则2 4 故答案为：B 【分析】由完美点的定义可得2+ 4 + = ，即得2+ 3 + = 0，由图象上有且只有一个完美点，可得=0，得方程的根为32，从而求出 =
9、 1， = 94，所以函数为 = 2+ 4 + 34= 2+4 3，由此可得抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，根据函数值求出 x 的取值范围. 3 【答案】C 【解析】【解答】二次函数 = 2+ 2 + 1的图象只经过三个象限， a-10， a1 故答案为：C 【分析】由于二次函数 = 2+ 2 + 1的对称轴为 x=-1，顶点坐标为（-1，-1）再结合此图象 只经过三个象限，可得抛物线开口向上且 a-10， 据此逐一判断即可. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线开口方向向下， 0， 函数图象与 y 轴交于正半轴， 0， 0，故符合题意； 抛物线对称轴是直线 = 1， 2= 1，
10、= 2， 当 = 1时， = + 0， 3 + 0，故符合题意； 在 = 2+ + 中， 令 = 2，则 = 4 + 2 + 0， 令 = 1， = + 0， 由两式相加，得5 + + 2 0，故符合题意； 综上，正确的结论有：，共 3 个； 故答案为：B 【分析】根据所给的函数解析式和函数图象对每个结论一一判断即可。 5 【答案】B 【解析】【解答】ymx2-4mx+4m-2m(x-2)2-2，且 m0， 该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线 x2 由此可知点(2，0)、点(2，-1)、顶点(2，-2)必在此区域内 当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图，这两个
11、点符合题意 将(1，-1)代入 ymx2-4mx+4m-2 得，-1m-4m+4m-2， 解得 m1 此时抛物线解析式为 yx2-4x+2 当 = 0 时， 1= 2 +2，2= 2 2 x 轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意 则当 m1 时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-1)、(2，-2)这 7 个整点符合题意 m1 （m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大） 当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图，这两个点符合题意 此时 x 轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意 将(0，0
12、)代入 ymx2-4mx+4m-2 得到 00-4m+0-2解得 =12 此时抛物线解析式为 =122 2 当 x1 时，得 =12 1 2 1 = 32 1 点(1，-1)符合题意 当 x3 时，得 =12 9 2 3 = 3212 综合可得：当 12 1 时，该函数的图象与 x 轴所围成的区域(含边界)内有七个整点， 故答案为：B 【分析】分两种情况：当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，再分别求出 m 的值，即可得到答案。 6 【答案】D 【解析】【解答】观察图象可知当 x=-1 时，y0， 即 a-b+c0， 所以符合题意； 观察图象
13、的对称轴21 抛物线的开口向下，得 a0， -b2a，即 2a+b0， 所以符合题意； 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， a，b 异号，即 b0，a0 当 x=0 时，y0，即 c0 不能判断 a，c 的大小， 所以不一定成立； 当 x=1 时，y0，即 a+b+c0 2a+b0， 3a+2b+c0， 即-3a-c2b 2 = 2|， 3| + | = 3 2，即3 2| 所以符合题意 可知正确的有 故答案为：D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可得 a、b、c 的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：A 选项，n=1 时，抛物线解析式为 y=-1
14、2x2+2， 当 y=0 时，-12x2+2=0，解得 x1=2，x2=-2， 点 A1的坐标为（-2，0） ，点 B1的坐标为（2，0） ，故 A 不符合题意； B 选项，抛物线解析式为 y=-12x2+x+4， 当 y=0 时，-12x2+x+4=0，解得 x1=-2，x2=4， 点 A2的坐标为（-2，0） ，点 B2的坐标为（4，0） ，故 B 不符合题意； C 选项，yn=-12x2+（n-1）x+2n=-12（x+2） （x-2n） ， 当 x=-2 时，y=0，所以抛物线 Cn 经过定点（-2，0） ，故 C 不符合题意； D 选项，n=2，抛物线解析式为 y=-12x2+x+4
15、， 当 x=0 时，y=4，则 D2（0，4） ， n=4 时，抛物线解析式为 y=-x2+3x+8， 当 y=0 时，-x2+3x+8=0，解得 x1=-2，x2=8， 点 B4的坐标为（8，0） ， 222= 22+ 42= 20，422= 82+ 42= 80，422= 102= 100， 222+ 422= 422， A2D2B4的形状为直角三角形，A2D2B4=90 ，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】根据 n=1 时，抛物线解析式为 y=-12x2+2，当 y=0 时，-12x2+2=0，解得 x 的值，可得出点 A1、点 B1的坐标，故 A 不符合题意；根据抛物线解析式为
16、 y=-12x2+x+4，当 y=0 时，-12x2+x+4=0，解得 x 的值，可得出点 A2、点 B2的坐标，故 B 不符合题意；当 x=-2 时，y=0，所以抛物线 Cn 经过定点（-2，0） ，故 C 不符合题意；当 x=0 时，y=4，则 D2（0，4） ，当 y=0 时，-x2+3x+8=0，解得 x 的值，得出点B4的坐标，A2D2B4的形状为直角三角形，A2D2B4=90 ，故 D 符合题意。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：A、对称轴为直线 x=1+32=1，正确，故本选项不符合题意； B、对称轴是直线 x=1，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，正确，故本选项不符合
17、题意； C、应为当-1x1 时，y0，故本选项符合题意； D、一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是-1 和 3，正确，故本选项不符合题意 故答案为：C 【分析】利用抛物线与 x 的交点为抛物线上的对称点，即可得出抛物线的对称轴，可对 A 进行判断；根据二次函数的性质可对 B 进行判断；利用抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围，可对 C 进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点问题可对 D 进行判断。 9 【答案】C 【解析】【解答】将抛物线 C1： = ( 2)2 4向右平移 m 个单位长度后 C2的解析式为： = ( 2 )2 4 点（4，n）为“平衡点”， 点（4，n）既在平移前
18、的抛物线上，又在平移后的抛物线上， = (4 2)2 4 = (4 2 )2 4， 解得： = 0 = 0（舍）或 = 0 = 4， 故答案为：C 【分析】先求出 C1向右平移 m 个单位长度后 C2的解析式为： = ( 2 )2 4，将（4，n）分别代入平移前后的解析式中，即可求出 m 值. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意，当 = 253时，132= 253，解得： = 5， 所以 = 132与 = 253的两个交点为（5，253）和（5，253） ， 此时水面的宽度=5(5)=10 米. 故答案为：C. 【分析】先求出 = 5，再求出交点坐标，最后求水面的宽度即可。 11
19、【答案】 【解析】【解答】抛物线的对称轴为 x=-2=1，b=-2a， 所以 2a+b=0，故不符合题意； 抛物线开口向上，得：a0；抛物线的对称轴为 x=-20 故 b0；抛物线交 y 轴于负半轴，得：c0；所以 abc0；故符合题意； 由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则=b2-4ac0，4ac-b20，故符合题意； 根据抛物线的对称轴方程可知： （-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0） ； 当 x=-1 时，y0，所以当 x=3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故符合题意； 由图知：当 x=-2 时 y0，所以 4a-2b+c0，因为 b=-2a，所以 4a+4a+c0，
20、即 8a+c0，故不符合题意； 所以这结论正确的有 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得 a、b、c 的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 12 【答案】8 【解析】【解答】yax24ax+c（a0） ， 对称轴为直线 = 42= 2， 点 A 的坐标为(2，0)，且 A、B 两点关于直线 x=2 对称， 点 B 的坐标为(6，0)， AB=6(2)=8 故答案为：8 【分析】根据函数解析式先求出对称轴为直线 x=2，再求出点 B 的坐标为(6，0)，最后求出 AB 的值即可。 13 【答案】(-6，0) 【解析】【解答】解：将(2，0)代入 = 2+ 4 + 中，得， 0 = 2
21、2+ 4 2 + ，解得 = 12，即 = 2+ 4 12， 令 = 0，则2+ 4 12 = 0，解得，1= 6，2= 2， 图象与 x 轴的一个交点坐标是(2，0)， 它与 x 轴的另一个交点坐标是(6，0)， 故答案为：(6，0) 【分析】将点(2，0)代入 = 2+ 4 + 求出 = 12，可得 = 2+ 4 12，再将 = 0代入可得2+ 4 12 = 0，最后求出 x 的值即可得到答案。 14 【答案】 = 4( + 2)2+ 3 【解析】【解答】 解： 由“左加右减”的原则可知， 二次函数 y=4x2的图象向左平移 2 个单位得到 y=4 （x+2）2， 由“上加下减”的原则可知
22、，将二次函数 y=4（x+2）2的图象向上平移 3 个单位可得到函数 y=4（x+2）2+3， 故答案是：y=4（x+2）2+3 【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 15 【答案】 = 2 2 + 2 【解析】【解答】解： = ( 1)2+ 1 = 2 2 + 2 故答案为： = 2 2 + 2 【分析】利用完全平方公式展开，再合并同类项化为一般式即可。 16 【答案】-4 【解析】【解答】解：函数 = ( + 3)2+32为开口向下的抛物线， + 3 02+ 3 2 = 2， 3( + 4)( 1) = 0， 解得 = 4或 = 1（舍去） ， 故答案为：-4 【
23、分析】根据二次函数的图象与系数的关系可得 + 3 02+ 3 2 = 2，再求出 m 的值即可。 17 【答案】 = 22+ 12 11 【解析】【解答】抛物线 y=2x2+1 的顶点为(0，1) 抛物线 y=2x2+1 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 6 个单位长度所得的抛物线顶点坐标为(3，7) 平移不改变抛物线的大小形状及开口方向 平移后的抛物线解析式为 = 2( 3)2+ 7 化为一般式为 = 22+ 12 11 故答案为： = 22+ 12 11 【分析】根据抛物线平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。 18 【答案】 = 2+ 50 【解析】【解答】由题意得：y=x（
24、50-x）=-x2+50 x， 故答案为 y=-x2+50 x 【分析】设长方形的宽为 ，则长为（50-x） ，再利用矩形的面积公式列出表达式 y=-x2+50 x 即可。 19 【答案】x=2 【解析】【解答】解：点（1，2） ， （3，2）在二次函数 = 2+ + 的函数图象上， 二次函数 = 2+ + 的对称轴为直线 =1+32= 2， 故答案为：x=2 【分析】由表格中数据知点（1，2） ， （3，2）关于抛物线的对称轴对称，从而可求出对称轴为直线 =1+32= 2. 20 【答案】（1）kx-m （2）2+ 【解析】【解答】解：设直线的解析式为 = 1 + 1， (，)，(，)， (
25、， )，(， )， 直线 AB 的解析式为 = + ， + = + = ， = = ()， 1+ 1= 1+ 1= ， 1=+= 1= +()= ， 直线的解析式为 = ， 故答案为： ； （2）设经过 O，三点的抛物线解析式为 = 12+ 1 由题意得： = 2+ = 2+ ， = 12 1 = 12 1， =22 =2222，1=221=2222， 1= 1= ， 经过 O，三点的抛物线解析式为 = 2+ ， 故答案为：2+ 【分析】 （1）根据关于原点对称点的坐标特征先求出 A、B，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据待定系数法求出抛物线解析式即可. 21 【答案】（1）66 （
26、2）解：a150，b910， y150 x2+910 x+66， 基准点 K 到起跳台的水平距离为 75m， y150 752+910 75+6621， 基准点 K 的高度 h 为 21m； b910 （3）解：他的落地点能超过 K 点，理由如下： 运动员飞行的水平距离为 25m 时，恰好达到最大高度 76m， 抛物线的顶点为（25，76） ， 设抛物线解析式为 ya（x25）2+76， 把（0，66）代入得： 66a（025）2+76， 解得 a2125， 抛物线解析式为 y2125（x25）2+76， 当 x75 时，y2125 （7525）2+7636， 3621， 他的落地点能超过 K
27、 点 【解析】【解答】解：(1)起跳台的高度 OA 为 66m， A（0，66） ， 把 A（0，66）代入 yax2+bx+c 得： c66， 故答案为：66； (2)a150， y150 x2+bx+66， 运动员落地点要超过 K 点， 当 x75 时，y21， 即150 752+75b+6621， 解得 b910， 故答案为：b910； 【分析】 （1）根据起跳台的高度 OA 为 66m，即可得到 c=66； （2）由 = 150， =910，知道 y150 x2+910 x+66，根据基准点 K 到起跳台的水平距离为 75m，即可得到基准点 K 的高度 h 为 21m； 运动员落地点要
28、超过 K 点，即是 x=75 时，y21，故150 752+75b+6621，即可解得答案； （3）运动员飞行的水平距离为 25m 时，恰好达到最大高度 76m，即是抛物线的顶点为（25，76） ，设抛物线解析式为 ya（x25）2+76，可得抛物线解析式为 y2125（x25）2+76，当 x=75 时，y=36，从而可知他的落地点能超过 K 点。 22 【答案】（1）解：直线 = + 3与轴交于点，与轴交于点， (3，0)，(0，3)， 抛物线1：1= 2+ 以点(0，3)为顶点， = 3， 抛物线1的解析式为1= 2+ 3； 如图，作直线 轴于点，则/， =13， =13， =13 =1
29、3 3 = 1， (1，0)， (1，2)， 抛物线1：1= 2+ 3，当 = 1时， = 2， 抛物线1经过点； 抛物线2：2= 2+ +以点(1，2)为顶点， 设抛物线2：2= ( 1)2+ 2， 抛物线2：2= ( 1)2+ 2经过点(0，52)， + 2 =52， 解得 =12， 抛物线2的解析式为2=12( 1)2+ 2，即2=122 +52， 抛物线1和2的解析式的解析式分别为1= 2+ 3和2=122 +52，抛物线1经过点 （2）解：的取值范围时0 1 （3）解：3的取值范围是0 0时，随的增大而减小； 抛物线2：2=12( 1)2+ 2的对称轴为直线 = 1， 当 1时，随的
30、增大而减小； 当抛物线1和2中的都随的增大而减小时，的取值范围时0 1 (3)由（1）得1= 2+ 3，2=122 +52， 3= 1 2= (2+ 3) (122 +52) = 322+ +12， 3= 322+ +12= 32( 13)2+23，且32 0，0 13 1， 当 =13时，3有最大值，最大值为23； 0 1， 当0 13时，随的增大而增大；当13 1时，随的增大而减小， 若 = 0，则3=12；若 = 1，则3= 0，且0 12， 当0 1时，0 323， 3= 322+ +12，当 =13时，函数3有最大值，最大值为23，3的取值范围是0 0时，随的增大而减小；再由抛物线2
31、：2=12( 1)2+ 2的对称轴为直线 = 1， 得出当 1时， 随的增大而减小； 当抛物线1和2中的都随的增大而减小时，即可得出的取值范围； （3） 用 （1） 中求得的抛物线1= 2+ 3， 2=122 +52， 当 =13时， 3有最大值， 最大值为23； 当0 13时， 随的增大而增大； 当13 1时， 随的增大而减小， 若 = 0， 则3=12； 若 = 1， 则3= 0，且0 12，得出当0 1时，0 0，所示2的值随的增大而增大 由题意得100 2，解得 1003，则 b 取 33 时，2最大， 2= 0.9+ 140 = 0.9 33 + 140 = 169.7（万元） 答：
32、获利最大的购买方案为：购买甲种型号汽车 33 辆，则购买乙种型号汽车 67 辆，此批 100 辆汽车销售能获得最大利润为 169.7 万元 【解析】【分析】 （1）根据题意先求出 20+ 30 = 36010+ 35 = 260， 再解方程组即可； （2）根据题意，利用利润公式计算求解即可； 先求出 2= (14.3 12) + (5.4 4)(100 ) = 0.9 + 140， 再根据函数解析式计算求解即可。 27 【答案】（1）解： = 2+ 2 3 = ( + 1)2 4，顶点坐标为(1， 4) = 2 4 3 = ( + 2)2+ 1，顶点坐标为(2，1) 设它们的根函数为 = +
33、，将(1， 4)、(2，1)代入得 + = 42+ = 1，解得 = 5 = 9 它们根函数为 = 5 9 （2）解： = 2 4 + 42 4 + 1 = ( 2)2 4 + 1 = ( 2)2 2 2 + 1 顶点坐标为(2， 2 2 + 1) 将2当成整体，所以满足二次函数的所有二次函数的根函数为 = 2 + 1 故答案为 = 2 + 1 将 = 3代入函数解析式，得 = 9 + 12 + 42 4 + 1 = 42+ 8 + 10 = 4( + 1)2+ 6 故当 = 1时，有最小值，为 6，即点到轴的最小距离为 6 【解析】【分析】 （1）先求出 + = 42+ = 1， 再求出 = 5 = 9 ，最后求解即可； （2）先求出顶点坐标为(2， 2 2 + 1) ，再求解即可； 根据题意求出 = 9 + 12 + 42 4 + 1 = 42+ 8 + 10 = 4( + 1)2+ 6即可作答
