1、 专题专题 13 13 图形认识初步、平行线与相交线图形认识初步、平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1如图，直线，相交于点 O， = 90， = 90，平分，给出下列结论：当 = 50时， = 50；为的平分线；若 = 150时， = 30； = 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2点 P 为直线 l 外一点，点 A、B、C 为直线 l 上三点，PA4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点 P 到直线l 的距离为（ ） A4cm B5cm C小于 3cm D不大于 3cm 3如图所示，在所标识的角中，内错角是（ ） A1和2 B2和3 C2和4 D1和3 4如
2、图，已知直线 ，点 B 在直线 a 上，点 A，C 在直线 b 上，且 若1 = 35，则2的度数是（ ） A45 B50 C55 D60 5 （2022 七下 南康期末）如图， 已知直线 AB， CD 被直线 AC 所截， ， E 是平面内任意一点 （点E 不在直线 AB， CD， AC 上） ， 设BAE， DCE， 下列各式： ， ， 180 +，360 ，可以表示AEC 的度数的有（ ） A B C D 6 （2022 七下 萍乡期末）如图，在 中。 = 67， = 33，AD 是 的角平分线，过点 D作 交 AC 于 E，则的度数为（ ） A40 B45 C50 D55 7 （202
3、2 七下 萍乡期末）如图，已知1 = 2，那么下列结论一定正确的是（ ） A = B C D3 = 4 8 （2022 七下 抚州期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在 2022 年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛项目图标如下图；则在下列判断中1 与2 是对顶角；3 与4 是同旁内角；5 与6 是同旁内角；1 与4 是内错角，其中正确的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 9 （2022 江西模拟）如图，直线/， 如图放置， = 90.若1 + = 70，则2的度数为() A20 B40 C30 D25 10 （202
4、2 七下 宜黄期中）下列说法正确的是（ ） A同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D一条直线有可能同时与两条相交的直线平行 二、填空题二、填空题 11 （2020 八上 萍乡期末）如图，把一块含有 45 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果1=15 ，那么2 的度数是 12 （2022 七下 宜黄期中）如图，直线/直线，一个含30角的直角三角尺的两个锐角顶点分别落在直线、上若1 = 70，则2 = 13 （2021 七上 章贡期末）如图，点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线 OC，BOC
5、=100 ，一直角三角板的直角顶点与点 O 重合，边 OM 与 OB 重合，边 ON 在直线 AB 的下方若三角板绕点 O 按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角AOC，则 t 的值为 14 （2022 七下 宜黄期中）如图， ， ，则表示点到直线所在直线的距离为线段 的长度 15 （2022 七下 宜黄期中）将直角三角板按如图所示的位置放置， = 45， = 90，直线/， 平分， 在直线上确定一点， 满足 = 30， 则 = 16（2021 七上 乐平期末）如图， 点 C、 D 在线段 AB 上， 线段 = ， 若线段 = 15， =
6、 11， 则线段 CD 的长度为 cm 17 （2021 七上 乐平期末）已知点 C 在线段 AB 上，点 D、E 分别是 AC 和 BC 的中点，若 = 10，则 = cm 18 （2022 七下 宜黄期中）根据题意结合图形填空 如图，/， = 70， = 20， = 130，试说明/ 解：因为/， （已知） 所以 = = 70， （ ） 所以 = = 70 20 = 50， 所以 + = 130 + 50 = 180， 所以/ .（ ） 又因为/， （已知） 所以/ （ ） 19 （2021 七上 乐平期末）把弯曲的道路改直，就能缩短里程，其中蕴含的数学道理是 20 （2022 七下 抚州
7、期末）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，若2 = 42，则1 的度数为 三、作图题三、作图题 21（2022 七下 宜黄期中）如图， 已知、 ， 请用直尺和圆规求作MON， 使得MON=a（不写作法，保留作图痕迹） 22 （2021 九上 南昌期末）如图，ABCD 的顶点 A、B、D 都在O 上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图： （1）在图 1 中，画出一条弦与 AD 相等； （2）在图 2 中，画出一条直线与 AB 垂直平分 23 （2021 七上 乐平期末）如图，已知 A、B、C、D 四点 （ 1 ）画直线 AD、射线 BC 相交于点 E （ 2 ）画线段 AC、线段
8、BD 相交于点 F （ 3 ）画线段 CD，在线段 CD 上找一点 O，使 + 最短 24 （2022 九下 乐平期中）如图，在O 中，点 A，B，C 在O 上，请用无刻度直尺完成下列作图 （1）如图 1，以点 C 或点 B 为顶点作一锐角，使该锐角与CAB 互余（并标记） （2）如图 2，已知 交O 于点 D，过点 A 作 AE 将BAC 平分 25 （2022 寻乌模拟）如图，正六边形 ABCDEF 在正三角形网格内，点 O 为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图 （1）在图 1 中，过点 O 作 AC 的平行线； （2）在图 2 中，过点 E 作 AC 的平行线 四、综合题四、综
9、合题 26 （2022 七下 宜黄期中）“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路沟通了山里与外面的世界数学活动课上，老师把山路抽象成图 1 所示的样子，并提出了以下问题： 如图 1，/，点在直线、之间求证： + = 180 小贤的解法如下： 解：如图 1，过点作 EFAB 因为 ，所以 因为 ，所以 + = 180 因为 ，所以 = （根据 1） ， 所以 = + + = 180 + ， 即 + = 180 （1）材料中的根据 1 是指 （2）若把图 1 变为图 2，其中 ， = 125， = 65， = 145，求的度数 （3）如图 3， ，是内部一点，且 =14，延长与交于点，
10、 =12， 且 已知 = (0 11)， 则的度数为 （用含的式子表示） 27 （2021 七上 章贡期末） （1）如图所示的长方体，长、宽、高分别为 4，3，6若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 （填序号） （2）图 A，B 分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图 A 的外围周长为 52，请你求出图B 的外围周长 （3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长 28 （2021 七上 乐平期末）如图 1，一块三角板的一条直角边 OC 放在直线 A
11、B 上将图 1 中的三角板绕点 O 顺时针旋转，使它的两直角边 OC、OD 均在直线 AB 的上方，得图 2；将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转， 使它的直角边 OC 在直线 AB 下方， OD 在直线 AB 的上方得图 3 OE 始终平分 （1）图 1 中，的度数为 ， = ；图 2 中，若 = 35，则 = （2）在图 2 中，猜想与数量关系，并说明理由 （3）在图 3 中，直接写出与的数量关系不必说明理由 29 （2022 七下 湘东期中）如图，已知1 2，射线分别和直线1，2交于点，射线分别和直线1，2交于点， 点在射线上运动 （点与，三点不重合） ， 设 = ， = ， = （1
12、）如果点在，两点之间运动时，之间有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在，两点之外运动时，之间有何数量关系？（只需写出结论，不必说明理由） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：AOE=90 ，DOF=90 ， BOE=90 =AOE=DOF， AOF+EOF=90 ，EOF+EOD=90 ，EOD+BOD=90 ， EOF=BOD，AOF=DOE， 当AOF=50 时，DOE=50 ； 故符合题意； OB 平分DOG， BOD=BOG， BOD=BOG=EOF=AOC， 故符合题意； = 150， BOD=180 -150 =30 ， = 30 故符合题意； 若为的
13、平分线，则DOE=DOG， BOG+BOD=90 -EOE， EOF=30 ，而无法确定 = 30， 无法说明的符合题意性； 故答案为：B 【分析】利用角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点 P 到直线 l 的距离PC， 即点 P 到直线 l 的距离不大于 3cm 故答案为：D 【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。 3 【答案】B 【解析】【解答】解：1和2不是内错角，选项 A 不符合题意； 2和3是内错角，选项 B 符合题意； 2和4是同位角，选项 C 不符合题意； 1和3不是内错角，选项 D 不
14、符合题意 故答案为：B 【分析】利用内错角的定义逐项判断即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：135 ，ABBC， 3180 -903555 ， a/b， 2=3=55 ， 故答案为：C 【分析】先利用角的运算求出3180 -903555 ，再利用平行线的性质可得2=3=55 。 5 【答案】C 【解析】【解答】解： CDAB BAEDFE= 又DCE， AEC=- 符合题意 CDAB DCEEFB= 又BAE， AEC=- 符合题意 过点 E，作 EFAB EFAB EFABCD BAE，DCE， AEF，CEF， AEC=AEF+CEF=+ CDAB BAEDFE= 又DCE， AE
15、C=- 符合题意 CDAB DCEEFB= 又BAE， AEC=- 符合题意 过点 E，作 EFAB EFAB EFABCD BAE，DCE， AEF180 -，CEF180 -， AEC=AEF+CEF=360 - 符合题意 符合题意 故答案为：C 【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。 6 【答案】A 【解析】【解答】解：在ABC 中，B67 ，C33 ， BAC180 BC80 ， AD 是ABC 的角平分线， BAD=12BAC40 ， DEAB， ADEBAD40 ， 故答案为：A 【分析】平行线的性质和三角形内角和定理的应用。 7 【答案】C 【解析】【解答】解：1=2
16、ABCD（内错角相等，两直线平行） ，故 C 符合题意 故答案为：C 【分析】平行线的性质。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：1 与2 有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故符合题意； 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此3 与4 是同旁内角，故符合题意； 5 与6 是邻补角，不是同旁内角，故不符合题意； 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此1 与4 是内错角，故符合题意； 综上，正确的有 故答案为：C 【分析】一般情况下，两条直线被第三条直线所截形成八个角
17、，即“三线八角”，其中包含四组同位角，两组同旁内角，两组内错角，要深刻理解其区别与联系。 9 【答案】A 【解析】【解答】如图： 3为三角形的外角， 3 = 1 + = 70， /， 3 + 4 + 2 = 180， 4 = 90，3 = 70， 2 = 20 故答案为：A 【分析】 根据三角形外角的性质可得3 = 1 + = 70， 利用平行线的性质可得3+4+2=180 ，从而得解. 10 【答案】C 【解析】【解答】A同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故 A 项不符合题意； B在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故 B 项不符合题意； C两条射线或线段平行是指它们所在
18、的直线平行，故 C 项符合题意； D一条直线不可能同时与两条相交的直线平行，故 D 项不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据平面内两直线的位置关系逐项判断即可。 11 【答案】30 【解析】【解答】如图所示： 由题意得，ABCD， 1=3， 三角板为含有 45 角的直角三角板， 2=45 -3=45 -15 =30 故答案是：30 【分析】根据平行线的性质得出1=3，由此得出答案。 12 【答案】40 【解析】【解答】解：如图： ab， 123230 70 ， 240 故答案为：40 【分析】根据平行线的性质可得123230 70 ，再求出2 的度数即可。 13 【答案】5 或 23 【解析
19、】【解答】解：BOC=100 ， AOC=80 ， 当直线 ON 恰好平分锐角AOC 时，如下图： BON=12AOC=40 ， 此时，三角板旋转的角度为 90 -40 =50 ， t=50 10 =5； 当 ON 在AOC 的内部时，如下图： 三角板旋转的角度为 360 -90 -40 =230 ， t=230 10 =23； t 的值为：5 或 23 故答案为：5 或 23 【分析】当直线 ON 恰好平分锐角AOC 时，当 ON 在AOC 的内部时，分为两种情况解答，求出 t的值即可。 14 【答案】AD 【解析】【解答】 则表示点到直线所在直线的距离为线段 AD 的长度 故答案为：AD
20、【分析】根据点到直线的距离的定义可得答案。 15 【答案】7.5 或 127.5 【解析】【解答】解：D 在 C 的左边，如图， BE 平分ABC，ABC=45 ABE=12 = 22.5， CEAB， ABD=180 -BDC=150 ， EBD= = 150 22.5 = 127.5； D 在 C 的右边，如图， BE 平分ABC， ABE=12ABC=22.5 ， CEAB， ABD=BDC=30 ， EBD=30 -22.5 =7.5 故EBD=7.5 或 127.5 故答案为：7.5 或 127.5 【分析】 分两种情况： D 在 C 的左边； D 在 C 的右边， 根据平行线的性质
21、和角平分线的定义即可求解。 16 【答案】7 【解析】【解答】 = 15， = 11 = = 15 11 = 4 = = 4 = = 11 4 = 7 故答案为 7 【分析】先根据题意求出 BD 的值，再根据 = = 4，即可得出 CD 的值。 17 【答案】20 【解析】【解答】解：如图所示： D、E 分别是 AC 和 BC 的中点 DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB 又DE=10cm AB=20cm 故答案为：20 【分析】根据线段中点的性质可得 DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB，再根据 = 10，即可求出 AB 的值。 18 【答案】解：因为/， （已知） 所以
22、CBA= = 70， （两直线平行，内错角相等） 所以 = = 70 20 = 50， 所以 + = 130 + 50 = 180， 所以/AB （同旁内角互补，两直线平行） 又因为/， （已知） 所以/ （平行公理的推论） 【解析】【分析】根据平行线的判定方法和性质求解即可。 19 【答案】两点之间线段最短 【解析】【解答】把弯曲的道路改直，就能缩短里程，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短 故答案是：两点之间线段最短 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短可得答案。 20 【答案】48 【解析】【解答】解：如图，过点作 ， 2 = 4， 长方形纸片 ABCD， ， = = 90， ， 1
23、 = 3， 3 + 4 = 90， 1 + 2 = 90， 2 = 42 1 = 48， 故答案为：48 【分析】过点 D作 BA 的平行线，由平行线的性质可知1与2互余。 21 【答案】解：MON，如图所示： 【解析】【分析】根据角的作图方法求解即可。 22 【答案】（1）解：BE 就是所求作的弦； （2）解：FG 就是所求作的垂直平分线 【解析】【分析】 （1）根据 画出一条弦与 AD 相等 作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作图即可。 23 【答案】解：如下图所示：直线 AD、射线 BC、点 E 即为所求； 解：如下图所示：线段 AC、线段 BD、点 F 即为所求； 解：当点，
24、三点共线时， + ， 如下图所示：线段 CD，点 O 即为所求 【解析】【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可。 24 【答案】（1）解：连接 CO（或 BO）并延长，交O 于点 P（或 Q） ，连接 BP（或 CQ） ，CP（或BQ） ，则BCP（或CBQ）与CAB 互余 标记如图 （2）解：如图，连接 CD 交 AB 于点 F连接 FO，并延长交O 于点 E，连接 AE 即可 【解析】【分析】 （1）连接 CO（或 BO）并延长，交O 于点 P（或 Q） ，连接 BP（或 CQ） ，CP（或BQ） ，则BCP（或CBQ）与CAB 互
25、余； （2）连接 CD 交 AB 于点 F连接 FO，并延长交O 于点 E，连接 AE 即可 25 【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一） ： （2）解：如图所示（答案不唯一） ： 【解析】【分析】 （1）根据要求作出过点 O 的平行线即可； （2）根据要求作出过点 E 的平行线即可。 26 【答案】（1）两直线平行，内错角相等 （2）解：如图，过点 P 作 PNAB，过点 Q 作 QMAB， ABCD， PNQMCD， B+BPN=180 ，NPQ=PQM，MQC+C=180 ， = 125， = 65， = 145， BPN=180 -B=180 -125 =55 ，CQM=180 -C
26、=180 -145 =35 ， PQM=PQC-CQM=65 -35 =30 ， NPQ=PQM=30 ， BPQ=BPN+NPQ=55 +30 =85 ； （3）180 7 【解析】【解答】 （1）解：材料中的根据 1 是指两直线平行，内错角相等； 故答案为：两直线平行，内错角相等 （3）解：如图，延长 BM 交 CD 于点 O， =14， = ， = 4， = = 3， =12， = 2， ABCD， BOC=ABM=2NBM， BNDE， DEM=NBM， BOC=DEM+CDE， 2 = 4 + ， = 4， EDM+DEM+NMB=180 ， = 180 3 4 = 180 7 【分
27、析】 （1）根据平行线的性质求解即可； （2） 过点P作PNAB， 过点Q作QMAB， 根据平行线的性质可得BPN=180 -B=180 -125 =55 ，CQM=180 -C=180 -145 =35 ，再利用角的运算可得PQM=PQC-CQM=65 -35 =30 ，所以NPQ=PQM=30 ，再利用角的运算可得BPQ=BPN+NPQ=55 +30 =85 ； （3） 延长 BM 交 CD 于点 O， 先求出 = 4， = 2， 再结合BOC=DEM+CDE，可得2 = 4 + ，求出 = 4，最后利用 = 180 3 4 = 180 7计算即可。 27 【答案】（1） （2）解：由已知
28、可以给图 B 标上尺寸如下： 图 B 的外围周长为 6 34 4+4 658 （3）解：能如图所示 外围周长为 6 84 43 24816670 【解析】【解答】解： （1）根据长方体展开图的特征可得答案为：； 【分析】 （1）根据长方体展开图的特征即可得出答案； （2）观察图形可知图 B 的外围周长有四个长，四个宽，六个高围成，再代入计算即可； （3）钥匙展开图的外围周长最大，应尽量使连在一起的棱为较短的棱即可。 28 【答案】（1）45 ；90 ；70 （2）解：猜想： BOD=2COE；理由如下： 设COE=.得DOE=90 ， AOD=2DOE =2（90 ） BOD=180 AOD=
29、180 2（90 ）=2 BOD=2COE （3）解：BOD=2COE，理由如下： 设COE=.得DOE=90 ， AOD=2DOE =2（90 ） BOD=180 AOD=180 2（90 ）=2 BOD=2COE OE 平分 = =12 =12 90 = 45 图 2 中， = 35 = 90 = 90 35 = 55 OE 平分 AOD=2DOE =2 55 = 110 = 180 = 180 110 = 70， 故答案是：45 ，90 ，70 ； 【分析】 【解析】（1）根据角的运算求解即可； （2）设COE=.得DOE=90 ，得出AOD=2DOE =2（90 ） ，得出BOD=2，
30、即可得出结论； （3）设COE=.得DOE=90 ，得出BOD=2COE根据角平分线的性质得出、AOD的度数，从而得出答案。 29 【答案】（1）解：=+， 理由：过点 P 作 PFl1（如图 1） ， l1l2， PFl2， =DPF，=CPF， =DPF+CPF=+； （2）解：当点 P 在 MB 上运动时（如图 2） ， l1l2， =CFD， CFD 是DFP 的外角， CFD=+， =+， 同理可得，当点 P 在 AN 上运动时，=+. 【解析】【分析】 （1）过点 P 作 PF/l1，根据平行线的性质可得=DPF，=CPF，再利用角的运算和等量代换可得=DPF+CPF=+； （2） 当点 P 在 MB 上运动时， 根据平行线的性质可得=CFD， 利用三角形外角的性质可得CFD=+，再利用等量代换可得=+，同理可得，当点 P 在 AN 上运动时，=+，从而得解
