1、 专题专题 7 7 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1若，方程2 2 3 = 0的两个根，则 + =（ ） A2 B-2 C3 D-3 2已知关于 x 的一元二次方程 x23x+10 有两个不相等的实数根 x1，x2，则 x12+x22的值是（ ） A7 B7 C2 D2 3某县 2019 年投入教育经费 2500 万元，2021 年投入教育经费 3600 万元已知 2019 至 2021 年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则 2020 年该县投入的教育经费为（ ） A2700 万元 B2800 万元 C2900 万元 D3000 万元 4下列关于 x 的方程中，一定是一
2、元二次方程的是（ ） A3+ = 3 B( 1)2= 2 C2= 0 D2+ + = 0 5 （2021 九上 九江期末）一元二次方程2 4 = 0的根为（ ） A = 2 B = 2 C = 2 D = 2 6 （2021 九上 峡江期末）若一元二次方程2 2 = 0的两根为1，2，则(1 + 1) + 2(1 1)的值是（ ） A4 B2 C1 D2 7 （2021 九上 上饶期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ） A222= 3 B2+ + = 0 C( 1)2+ 3 = 0 D(2 +1)2 5 = 42 8 （2021 九上 高安期末）方程( 2) = 2的根是（ ） A = 1
3、B1= 2，2= 0 C1= 1，2= 2 D = 2 9 （2021 九上 玉山期末）解方程( 3) = 0所得结果是（ ） A = 3 B = 0 C1= 0，2= 3 D1= 0，2= 3 10（2021 九上 铅山期末）已知关于 x 的方程22 2 + 2 1 = 0有实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） A 14 B 34 二、填空题二、填空题 11（2022 遂川模拟）已知m， n是关于x的一元二次方程2 3 + = 0的两个根， 若2+ 2 = 6，则的值为 12 （2022 九江模拟）设 m、n 分别为一元二次方程2+ 2 13 = 0的两个实数根，则 m+n+mn 的值 为
4、 13 （2022 萍乡模拟）设，是方程2+ 2022 = 0的两个实数根，则2+ 2 + + 的值为 14 （2022 江西模拟）已知 a、b 是方程 x23x50 的两根，则代数式 2a36a2+b2+7b+1 的值是 15 （2022 湖口模拟）设1，2是一元二次方程2 5 + 3 = 0的两个根，则11+12= 16 （2022 赣州模拟）已知，是方程2 2 4 = 0的两根，则2 + = 17 （2022 赣州模拟）已知 x1、x2是方程 x2mx+20 的两个根 x12，则 2m5x1x2 18 （2021 江西）已知 1 ， 2 是一元二次方程 2 4 + 3 = 0 的两根，则
5、 1+ 212= 19 （2021 章贡模拟）关于 x 的方程 x2kx+20 有一个根是 1，则方程的另一个解为 20 （2021 南昌模拟）若实数 a、b 满足 a28a+50，b28b+50，则 a+b 的值 三、计算题三、计算题 21 （2021 九上 南昌期末）解方程： （1）( 2)2= 3( 2)； （2）32 4 1 = 0 22 （2021 九上 九江期末）解方程 （1）2 2 + 1 = 0 （2）22 7 + 3 = 0 23 （2021 九上 峡江期末）解方程： （1）(2x+1)2=9； （2）(x+4)2=3(x+4) 24 （2021 九上 上饶期末）用适当的方法
6、解下列方程 （1）2 6 + 4 = 0 （2）( 3)2= 2(3 ) 四、综合题四、综合题 25（2022 八上 丰城期中）利用我们学过的知识， 可以导出下面这个形式优美的等式： 2+ 2+2 =12（ ）2+（ ）2+（ ）2 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美 （1）请你说明这个等式的正确性； （2）若 = 2014， = 2015， = 2016，你能很快求出2+ 2+2 的值； （3）已知实数 x，y，z，a 满足 + 2= 2014， + 2= 2015， + 2= 2016，且 = 36求 代数式+111的值 26 （2022 八下 抚州期
7、末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若 m2+2mn+2n24n+40，求 m 和 n 的值； 解：由题意得： （m2+2mn+n2）+（n24n+4）0， （m+n）2+（n2）20 + = 0 2 = 0，解得 = 2 = 2请解决以下问题： （1）若 x2+4xy+5y24y+40，求 yx 的值； （2）若 a，b，c 是ABC 的边长，满足 a2+b212a+8b52，c 是ABC 的最长边，且 c 为偶数，则c 可能是哪几个数？ 27 （2022 湖口模拟）冬奥会期间，各类吉祥物玩偶摆件在市场出现热销，俊俊决定购进“吉祥物毛绒玩具”与“吉祥物金属摆件”两种款式在自家网
8、店销售， 已知一件“吉祥物金属摆件”的进价比一件“吉祥物毛绒玩具”多 20 元，6400 元购进的“吉祥物毛绒玩具”数量是 4000 元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍 （1）每件“吉祥物毛绒玩具”与“吉祥物金属摆件”的进价各多少元？ （2）俊俊通过第一个月的销售数据发现，将“吉祥物毛绒玩具”定价 150 元销售时，每周可售出 10个，销售单价每降价 5 元，每周销售量可增加 1 个，若俊俊希望一周销售“吉祥物毛绒玩具”获得 720元的销售利润，则“吉祥物毛绒玩具”应如何定价 28 （2021 九上 章贡期末）某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元
9、/斤，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第 1 天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示 时间（天） 1 9 9 15 售价（元/斤） 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量（斤） 80 3 120 储存和损耗费用（元） 40 + 3 32 64 + 400 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第（天）的利润为（元） ，求与（1 0， =42823=273， 1=2+73，2=273 【解析】【分析】 （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可。 22 【答案】（1）解：2
10、 2 + 1 = 0， 即(x-1)2=0， x1=x2=1 （2）解：22 7 + 3 = 0， 因式分解得：(2x-1)(x-3)=0， 2x-1=0 或 x-3=0， x1=12，x2=3 【解析】【分析】 （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可。 23 【答案】（1）解：(2 + 1)2= 9 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3，2 + 1 = 3 1= 1，2= 2 （2）解：( + 4)2= 3( + 4) ( + 4)2 3( + 4) = 0 ( + 4)( + 4 3) = 0 ( + 4)( + 1) = 0 1= 4，2= 1 【解析】【分析】
11、（1）利用直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可。 24 【答案】（1）解：2 6 + 4 = 0 移项得：2 6 = 4， 配方得：2 6 + 32= 32 4， 合并得：( 3)2= 5， 开方得： 3 = 5， 1= 3 +5，2= 3 5； （2）解：( 3)2= 2(3 )， ( 3)2+ 2(3 ) = 0， ( 3 + 2)( 3) = 0即(3 3)( 3) = 0， 解得1= 1，2= 3 【解析】【分析】 （1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可。 25 【答案】（1）解：等式右边=12(2 2
12、+ 2+ 2 2 + 2+ 2 2 + 2) =12(22+ 22+22 2 2 2) = 2+ 2+ 2 =左边，得证 （2）解：当 = 2014， = 2015， = 2016时，2+ 2+ 2 =12( )2+( )2+( )2 = 3 （3）解： = 36， +111=136(2+ 2+ 2 )， + 2= 2014， + 2= 2015， + 2= 2016， = 2+ 2014， = 2+ 2015， = 2+ 2016， 原式=136 3 =112 【解析】【分析】 （1）利用完全平方公式计算求解即可； （2）根据 = 2014， = 2015， = 2016， 利用完全平方公式
13、计算求解即可； （3）先求出 +111=136(2+ 2+ 2 )， 再计算求解即可。 26 【答案】（1）解：由题意得： （x2+4xy+4y2）+（y2-4y+4）=0， （x+2y）2+（y-2）2=0， + 2 = 0 2 = 0解得 = 4 = 2， yx=2-4=116； （2）解：由题意得： （2-12+36）+（2-8+16）=0， （-6）2+（-4）2=0， 6 = 0 4 = 0，解得： = 6 = 4 又a，b，c 是ABC 的边长，且 c 为最长边， 6c10， 又c 为偶数， c=6 或 8 【解析】【分析】 （1）利用配方法将原式变形为（x+2y）2+（y-2）2
14、=0，利用非负数之和为 0 的性质可得 + 2 = 0 2 = 0，求出 x、y 的值，再将其代入计算即可； （2）利用配方法将原式变形为（-6）2+（-4）2=0，利用非负数之和为 0 的性质可得 6 = 0 4 = 0，求出 a、b 的值，再利用三角形三边的关系求出 c 的取值范围即可。 27【答案】（1） 解： 设每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是 x 元， 每件“吉祥物金属摆件”的进价是( + 20)元， 6400=4000+20 2， 解得 = 80， 经检验， = 80是原方程的解，且符合题意 + 20 = 100（元） 答：每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是 80 元，每件“吉祥物金属摆
15、件”的进价是 100 元 （2）解：设每件“吉祥物毛绒玩具”降价 y 元， (150 80)(10 +5) = 720， 解得1= 2= 10 150 10 = 140（元） 答：“吉祥物毛绒玩具”应定价为每件 140 元 【解析】【分析】（1） 设每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是 x 元， 每件“吉祥物金属摆件”的进价是( + 20)元，根据“6400 元购进的“吉祥物毛绒玩具”数量是 4000元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍”列出方程并求解即可； （2）设每件“吉祥物毛绒玩具”降价 y 元， 根据总利润=单件的利润 销售量，列出方程并解之即可. 28 【答案】（1）解：设该种水果每次降价的百
16、分率是，依题意，得： 10(1 )2= 8.1 解得 = 10%或 = 190%（不符合题意，舍去） ， 答：该种水果每次降价的百分率是 10%； （2）解：当1 9时，第 1 次降价后的价格：10(1 10%) = 9元， = (9 4.1)(80 3) (40 + 3) = 17.7 + 352， 17.7 0， 随的增大而减小， 当 = 1时，有最大值，最大= 17.7 1 + 352 = 334.3（元） ， 当9 15时，第 2 次降价后的价格：8.1 元， = (8.1 4.1)(120 ) (32 64 + 400) = 32+ 60 + 80 = 3( 10)2+ 380， 3
17、 0， 当 = 10时，有最大值，最大= 380（元） 380334.3 第 10 天时销售利润最大； 【解析】【分析】 （1）先求出10(1 )2= 8.1，再解方程即可； （2）先求出 y 随 x 的增大而减小， 再求出 当 x=10 时，y 有最大值，最大= 380（元） ，最后比较大小求解即可。 29 【答案】（1）解：2+ 2 8 = 2+ 2 + 1 1 8 = ( + 1)2 9 = ( + 1 3)( + 1 + 3) = ( 2)( + 4) （2）解：2+ 4 3 = 2+ 4 + (42)2 (42)23 = ( + 2)2 7 ( + 2)2 0 ( + 2)2 7 7 多项式2+ 4 3的最小值为-7 （3）解：2+ 2+2+ 50 = 6 + 8 + 10 2+ 2+ 2+ 50 6 8 10 = 0 即2 6 + 9 + 2 8 + 16 + 2 10 + 25 9 16 25 + 50 = 0 ( 3)2+ ( 4)2+ ( 5)2= 0 3 = 0， 4 = 0， 5 = 0 = 3， = 4， = 5 的周长= 3 + 4 + 5 = 12 【解析】【分析】 （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解
