1、 专题专题 7 7 不等式与不等式组不等式与不等式组 一、单选题一、单选题 1如图 1 所示，将长为 6 的矩形纸片沿虚线折成 3 个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图 2 所示的三棱柱形物体，则图中 a 的值可以是（ ） A1 B2 C3 D4 2若 x2 是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ） A 1 1 B 1 C 1 1 1 3不等式组3 122的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 4 （2022 株洲）不等式4 1 4 B 14 D 23 12 1 12( 2)有且只有三个整数解，则的最大值是（ ） A3 B4 C5 D6 6 （20
2、22 衡阳）不等式组 + 2 12 02 1 5的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 8 （2022 八上 长沙开学考）若不等式组 1 1 无解，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 9（2022八上 雨花开学考）已知关于的不等式2 + 1只有2个正整数解， 则的取值范围是 （ ） A5 3 B5 3 C5 3 D5 3 10 （2022 七上 长沙开学考）如果关于的不等式组 5 2 112 3( +12)有且仅有四个整数解，且关于的分式方程2282= 1有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（ ） A13 B15 C20 D22 二、填空题二、填空题 1
3、1 （2022 九上 长沙开学考）不等式组 3( 2) 41+23 03( ) 5 +只有 3 个整数解，则 m 的取值范围是 15 （2022 八上 雨花开学考）某商品的成本为 60 元，标价为 90 元，如果商店打折销售但要保证利润不低于 5%，则最多可以打 折出售 16 （2022 九上 长沙开学考）抛物线 = 2+ + (，为常数)的部分图象如图所示，设 = 4 2 + ，则的取值范围是 17 （2022 八上 岳麓开学考）已知关于的不等式2 + 3的解如图所示，则的值为 18（2022 七下 雨花期末）若关于 x 的不等式组2的解集是 2， 则 m 的取值范围是 19 （2022 八
4、下 永定期末）若点 P（m+1，2m）在第四象限，则 m 的取值范围是 . 20 （2021 八上 岳阳期末）不等式 3 5 1 的最小整数解是 . 三、计算题三、计算题 21 （2021 八上 岳阳期末）求不等式组 5 1 3 413 23 的解集. 22 （2022 常德）求不等式组5 13 413 23 的解集. 23 （2022 永州）解关于的不等式组： + 1 42( 1) 5 1 24 （2022 八上 长沙开学考）解不等式组1 12( + 3) 2( + 5) 4( 1) 25 （2022 八上 长沙开学考）解不等式组2 2( + 4) 13+ 1 四、综合题四、综合题 26 （
5、2022 怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双） ，其中购买雨衣用了 400 元，购买雨鞋用了 350 元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵 5 元. （1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？ （2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了 20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售. 优惠方案为：若一次购买不超过 5 套，则每套打九折：若一次购买超过 5 套，则前 5 套打九折，超过部分每套打八折.设今年该部门购买了 a 套，购买费用为 W元，请写出 W 关于 a 的函数关系式. （3）在（2）的情况下，今年该部门购买
6、费用不超过 320 元时最多可购买多少套？ 27（2022 岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行， 某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买 A， 两种跳绳若干.若购买 3 根 A 种跳绳和 1 根种跳绳共需 140 元； 若购买 5 根 A 种跳绳和 3根种跳绳共需 300 元. （1）求，两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买，两种跳绳共 46 根，总费用不超过 1780 元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 28 （2022 湘西）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品已知篮球的单价为每个 100 元，足球
7、的单价为每个 80 元 （1）原计划募捐 5600 元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共 60 个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共 6890 元，若购买篮球和足球共80 个，且支出不超过 6890 元，那么篮球最多能买多少个？ 29 （2022 郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地.最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多 100 元，购买 2 吨甲种有机肥和 1 吨乙种有机肥共需 1700 元
8、. （1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ （2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共 10 吨，且总费用不能超过 5600 元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 30 （2022 邵阳）2022 年 2 月 4 日至 20 日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共 180 个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为 80 元/个，“冰墩墩”挂件的进价为 50 元/个. （1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了 11400 元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量. （2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为 100 元/个，“冰墩墩”挂件售价定为 60 元/个，若购进
9、的180 个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利 2900 元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可知长为 6 的线段围成的等腰三角形的腰长为 a，则底边长为 6-2a， 26 26 20 解之：323 图中 a 的值可以是 2. 故答案为：B. 【分析】由题意可知长为 6 的线段围成的等腰三角形的腰长为 a，则底边长为 6-2a，利用三角形的三边关系定理及三角形的边长为正数，可得到关于 a 的不等式组，解不等式组求出 a 的取值范围，对照各选项，可得到可能的 a 的值， 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 1
10、 1 不等式组的解集为 x-1， x=2 不是此不等式组的解，故 A 不符合题意； B、 1 ， 不等式组的解集为 1x-1， x=2 不是此不等式组的解，故 B 不符合题意； C、 1 1 1 ， 此不等式组的解集为 x1， x=2 是此不等式组的解，故 D 符合题意； 故答案为：D. 【分析】分别求出每一个选项中的不等式组的解集，利用解集进行判断；利用不等式组的解集的确定方法：小小取小，可对 A 作出判断；利用大于小，小于大，中间找，可对 B 作出判断；利用大于大，小于小，找不了，可对 C 作出判断；利用大大取大，可对 D 作出判断. 3 【答案】C 【解析】【解答】解： 不等式组3 12
11、 2中， 解得，x2， 解得，x-1， 不等式组的解集为-1x2， 数轴表示如下： 故答案为：C. 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，进行判断. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：4x10 移项得：4x1 不等号两边同时除以 4，得：x23 ， 13 + 23， 23 23， 1， 解不等式12 1 12( 2)， 得12 12( 2) +1， ， 不等于组的解集为1 ， 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的整数解应为：2，3，4，
12、 4a5， a 的最大值应为 5 故答案为：C. 【分析】分别求出两个不等式的解集，结合不等式组有且只有三个整数解可得 a 的范围，据此可得 a的最大值. 6 【答案】A 【解析】【解答】解： + 2 12 1 由得，x2， 又因为不等式组无解， 所以 m2. 故答案为：D. 【分析】首先求出第一个不等式的解集，根据“大大小小无解了”可得 m 的范围. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：解不等式2 + 1得： 12， 不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2， 根据题意得：2 12 3， 解得：5 3 故答案为：B. 【分析】根据移项、系数化为 1 可用含 m 的式子表示出 x，由不等式有两
13、个正整数解可得关于 m 的不等式组，求解即可. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：原不等式组的解集为 72 25 ， 因为不等式组有且仅有四个整数解， 所以 0 25 1 ， 解得 2 1 ，且 5 ，因为 = 5 时 = 2 是原分式方程的増根 所以符合条件的所有整数 的和是 2 + 3 + 4 + 6 = 15 故答案为：B. 【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，结合不等式组有且仅有四个整数解可得关于 m 的不等式组，求出 m 的范围，解分式方程表示出 y，由分式方程有非负数解可得m 的范围，据此可得符合条件的整数 m 的值，然后求和即可. 11 【答案】
14、无解 【解析】【解答】解： 3( 2) 41+23 4， 不等式组的无解. 故答案为：无解. 【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集. 12 【答案】 【解析】【解答】解： 3 = 4 (1) + = 3(2)， （2）（1）得：4y4t4， yt1， 把 yt1 代入（2）得 x2t+1， = 2 + 1 = 1， 当 t0 时， = 1 = 1， = 1 = 1是方程组的解，故正确； 若 xy3，则 2t+1（t1）3， t1，故正确； M2xyt2（2t+1）（t1）t2t+3，3t1， 3M5， M 的最小值为3，故正确； 正确的有. 故答案为：. 【分析】将
15、方程组中的两个方程相减可得 y，将 y 代入第二个方程中表示出 x，据此可得方程组的解，令 t=0，求出 x、y 的值，据此判断；根据 x-y3 可得关于 t 的方程，求出 t 的值，进而判断；根据 x、y 可得 M2x-y-t2t+3，结合 t 的范围可得 M 的范围，据此判断. 13 【答案】32 2 【解析】【解答】解：2.5 2 1 = 6， 32 1 = 6， 2 1 = 2， 则2 2 1 3， 解得32 2， 故答案为：32 2. 【分析】根据定义的新运算可得 22x-13，求解可得 x 的范围. 14 【答案】3m73 【解析】【解答】解：不等式组整理得： 0， 抛物线对称轴在
16、轴左侧， 2 0， 抛物线经过(0， 2)， = 2， 抛物线经过(1，0)， + + = 0， + = 2， = 2 ， = 4 2 + = 4 2(2 ) + (2) = 6 6， = 2+ (2 ) 2， 当 = 2时， = 4 2(2 ) + (2) = 6 6， = 2 0， 0 2， 6 6 6 0 可得 a 的范围，进而可得 m 的范围. 17 【答案】5 【解析】【解答】解：解不等式 2 + 3 得 32 由图可得， 1 则 32= 1 解之得， = 5 故答案为：5. 【分析】根据数轴可得不等式的解集为 x-1，解不等式表示出 x，进而可得关于 m 的方程，求解可得m 的值.
17、 18 【答案】m2 【解析】【解答】解：因为不等式组2的解集是 x2 根据同大取较大原则可知，m2， 当 m=2 时，不等式组2的解集也是 x2， 故 m2. 故答案为：m2. 【分析】不等式组解集的确定方法：同大取大，据此可得 m 的范围. 19 【答案】-1m0 【解析】【解答】解：点( + 1，2)在第四象限， + 1 02 6 2 ， 此不等式的最小整数解为 3. 故答案为：3. 【分析】利用移项合并、系数化为 1 求出不等式的解集，再求出其解集范围内的最小整数解即可. 21 【答案】解： 5 1 3 413 23 由得：x 32 ， 由得：x1， 所以原不等式组的解集为 32 x1
18、. 【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集. 22 【答案】解：5 13 413 23 由得：x32， 由得：x1， 所以原不等式组的解集为32x1. 【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集. 23 【答案】解：解不等式（1）得 3， 解不等式（2） ，得 4 所以，原不等式组的解集是 4 【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集. 24 【答案】解：由 112（x+3）
19、x，得：x12， 由 2（x+5）4（x1） ，得：x7， 则不等式组的解集为12x7 【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集. 25 【答案】解：2 2( +4) 13+ 1， 解不等式，得：x2， 解不等式，得：x1， 原不等式组的解集是2x1 【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集. 26 【答案】（1）解：设每件雨衣( + 5)元，每双雨鞋元，则 400+5=350，解得 = 35， 经检验，
20、 = 35是原分式方程的根， + 5 = 40， 答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元； （2）解：据题意，一套原价为35 + 40 = 75元，下降 20%后的现价为75 (1 20%) = 60元，则 = 60 0.9 = 54，0 270， 购买的套数在 5范围内， 即48 + 30 320，解得 14524 6.042， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过 320 元时最多可购买6套. 【解析】【分析】 （1）设每件雨衣(x+5)元，每双雨鞋 x 元，用 400 元可以购买雨衣的数量为400+5，用 350元可以购买雨鞋的数量为350，然后根据数量相同列出方程，求解即可； （
21、2） 根据题意可得一套原价为 35+40=75 元，下降 20%后的现价为 75 (1-20%)=60 元，根据套数 现价 0.9 可得一次购买不超过 5 套时对应的 W 与 a 的关系式； 购买超过 5 套时， 前 5 套的钱数为 5 60 0.9元，超过 5 套部分的钱数为(a-5) 60 0.8 元，相加可得 W 与 a 的关系式； （3）令（2）求出的超过 5 套的函数关系式中的 W320，求解即可. 27 【答案】（1）解：设 A 种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元. 根据题意得：3 + = 1405 + 3 = 300， 解得： = 30 = 50， 答：A 种跳绳的单价为 30
22、元，种跳绳的单价为 50 元. （2）解：设购买种跳绳根，则购买 A 种跳绳(46 )根， 由题意得：30(46 ) + 50 1780， 解得： 20， 答：至多可以购买种跳绳 20 根. 【解析】【分析】 （1）设 A 种跳绳的单价为 x 元，B 种跳绳的单价为 y 元，根据购买 3 根 A 种跳绳和 1根 B 种跳绳共需 140 元可得 3x+y=140；根据购买 5 根 A 种跳绳和 3 根 B 种跳绳共需 300 元可得5x+3y=300，联立求解即可； （2）设购买 B 种跳绳 a 根，则购买 A 种跳绳(46-a)根，根据根数 单价=总价结合总费用不超过 1780元列出关于 a
23、的不等式，求解即可. 28 【答案】（1）解：设原计划篮球买 x 个，则足球买 y 个，根据题意得： + = 60100 + 80 = 5600，解得： = 40 = 20答：原计划篮球买 40 个，则足球买 20 个 （2）解：设篮球能买 a 个，则足球（80a）个，根据题意得：100a+80（80a）6890，解得：a24.5，答：篮球最多能买 24 个 【解析】【分析】 （1）此题的等量关系为：购买篮球的数量+购买足球的数量=60；购买篮球的数量 其单价+购买足球的数量 其单价=5600；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解. （2）购买篮球的数量+购买足球的数量=80；不等关系为：
24、购买篮球的数量 其单价+购买足球的数量其单价6890，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解. 29 【答案】（1）解：设甲种有机肥每吨 x 元，乙种有机肥每吨 y 元， 根据题意，得 = 1002 + = 1700， 解得： = 600 = 500. 答：甲种有机肥每吨 600 元，乙种有机肥每吨 500 元. （2）解：设沟买甲种有机肥 m 呠，则购实乙种有机肥 (10 ) 吨， 根据题意，得 600 + 500(10 ) 5600 ，解得 6 . 答：小姣最多能购买甲种有机用 6 吨. 【解析】【分析】 （1）设甲种有机肥每吨 x 元，乙种有机肥每吨 y 元，根据甲种有机肥每吨的
25、价格比乙种有机肥每吨的价格多 100 元可得 x-y=100；根据购买 2 吨甲种有机肥和 1 吨乙种有机肥共需 1700 元可得 2x+y=1700，联立求解即可； （2）设沟买甲种有机肥 m 吨，则购实乙种有机肥 (10-m)吨，根据总费用=甲种有机肥的吨数 每吨的 价格+乙种有机肥的吨数 每吨的价格结合总费用不超过 5600 元可得关于 m 的不等式，求解即可. 30 【答案】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件 x 件，“冰墩墩”挂件的 y 件， 依题意得： + = 18080 + 50 = 11400， 解得： = 80 = 100， 答：购进“冰墩墩”摆件 80 件，“冰墩墩”挂件的 100 件； （2）解：设购买“冰墩墩”挂件 m 个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个， 依题意得： （100-80） （180-m）+（60-50）m2900， 解得：m70， 答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过 70 个. 【解析】【分析】 （1）设购进“冰墩墩”摆件 x 件，“冰墩墩”挂件的 y 件，根据共 180 个可得 x+y=180；根据共花费 11400 元可得 80 x+50y=11400，联立求解即可； （2）设购买“冰墩墩”挂件 m 个，则购买“冰墩墩”摆件(180m)个，根据(售价进价) 数量=利润可得关于 m 的不等式，求解即可
