1、 专题专题 11 11 一次函数一次函数 一、单选题一、单选题 1将直线 = 2 + 1向上平移 2 个单位，相当于（ ） A向左平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位 C向右平移 2 个单位 D向右平移 1 个单位 2在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点(，1)、(1，)（ 0且 1） ，过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ） 点、在反比例函数 =的图象上； 成等腰直角三角形；0 90；的值随的增大而增大. A B C D 3在平面直角坐标系中，一次函数 = 5 + 1的图象与轴的交点的坐标为（ ） A(0， 1) B(15，0) C(15，0) D(0，
2、1) 4在直角坐标系中，已知点(32，)，点(72，)是直线 = + ( 0 + 4 0 解集为（ ） A4 2 B 2 D 2 6 （2021 长沙）下列函数图象中，表示直线 = 2 + 1 的是（ ） A B C D 7 （2021 芦淞模拟）已知正比例函数 = ( 1) 的图象上两点 (1，1)，(2，2) ，当 1 2 时，有 1 2 ，那么 的取值范围是（ ） A 1 B 1 C 0 D 0 8 （2021 渌口模拟）已知一次函数 ykx+4 的图象经过点 A，且 y 随 x 的增大而减小，则点 A 的坐标不会是（ ） A （2，5） B （1，6） C （2，6） D （1，3）
3、9 （2021 长沙模拟）定义：对于给定的一次函数 = + （ 、 为常数，且 0 ，把形如 = + ( 0) ( 0) 的函数称为一次函数 = + 的“相依函数”，已知一次函数 = + 1 ，若点 (2，) 在这个一次函数的“相依函数”图象上，则 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 10 （2020 南县）一次函数 = + 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A 2 时， + 0 二、填空题二、填空题 11 （2022 永州）已知一次函数 = + 1的图象经过点(，2)，则 = . 12 （2022 湘潭）请写出一个 y 随 x 增大而增大的一次函数表达式 13 （2022 衡阳模拟
4、）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，An1AnBn 都是斜边在 x 轴上的等腰直角三角形，点 A1，A2，A3，An 都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，Bn 都在反比例函数 y1（x0）的图象上，则点 Bn 的坐标为 .（用含有正整数 n 的式子表示） 14 （2021 永州）如图，A，B 两点的坐标分别为 A（4，3） ，B（0，3） ，在 x 轴上找一点 P，使线段PA+PB 的值最小，则点 P 的坐标是 . 15 （2021 茶陵模拟）如图两条相交直线 y1与 y2的图象如图所示，当 x 时，y1y2. 16 （2021 渌口模拟）小李从家步行到学校需走的路程为 1800
5、 米.图中的折线 OAB 反映了小李从家步行到学校所走的路程 s（米）与时间 t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行 16 分钟时，到学校还需步行 米. 17 （2020 郴州）小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至 4 日的成绩与日期具有如下关系： 日期 （日） 1 2 3 4 成绩 （个） 40 43 46 49 小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 18（2020 永州模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 菱形 OABC 的一个顶点 C 的坐标是 （0， 4） ， COA=60 ，则直线 AC 的解析式是 19 （2020 澧县模
6、拟）已知一次函数 1= +1（ 0) 的图象交于点 (12,12) ，则关于 的不等式组 + 1 3 的解集为 20 （2020 桂阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3和 B1，B2，B3，分别在直线 y 15 x+b 和 x 轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形如果点 A1（1，1） ，那么点 A2019的纵坐标是 三、综合题三、综合题 21 （2022 益阳）如图，直线 y12x+1 与 x 轴交于点 A，点 A 关于 y 轴的对称点为 A，经过点 A和 y轴上的点 B（0，2）的直线设为 ykx+b （1）求点 A的坐标； （2）确定直线 AB
7、 对应的函数表达式 22 （2022 常德）如图，已知正比例函数1= 与反比例函数2的图象交于(2，2)，两点. （1）求2的解析式并直接写出10） 个单位长度， 得到的新一次函数的解析式为 y=k(x+m)+b；一次函数 y=kx+b 向右平移 m（m0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为 y=k(x-m)+b；一次函数 y=kx+b 向上平移 m （m0） 个单位长度， 得到的新一次函数的解析式为 y=kx+b+m； 一次函数 y=kx+b向下平移 m（m0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为 y=kx+b-m，据此一一判断得出答案. 2 【答案】D 【解析】【解答】解： 点(，1
8、)、(1，)的横纵坐标的积为， 点、在反比例函数 =的图象上；故符合题意； 设过点(，1)、(1，)的直线为： = + ， + = 1 + = ， 解得： = 1 = + 1， 直线 PQ 为： = + + 1， 当 = 0时， = + 1， 当 = 0时， = + 1， 所以： = = + 1， = 90， 所以 是等腰直角三角形，故符合题意； 点(，1)、(1，)（ 0且 1） ， 点(，1)、(1，)在第一象限，且 P，Q 不重合， 0 90， 故符合题意； (，1)，(1，)，而 PQ 在直线 = + + 1上， 如图， 显然是随的增大先减小，再逐渐增大，故不符合题意； 故答案为：D.
9、 【分析】由题意可得点 P、Q 在反比例函数 y=的图象上，据此判断；表示出直线 PQ 的解析式，分别令 x=0、y=0，求出 y、x，可得 OA=OB=m+1，据此判断；由题意可得点 P、Q 在第一象限，且P，Q 不重合，据此判断；画出直线 PQ 的图象，结合图象可判断. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：令 x=0， y=1， 一次函数 = 5 + 1的图象与 y 轴的交点的坐标为(0，1）. 故答案为：D. 【分析】令直线方程中的 x=0，求出 y 的值，可得一次函数的图象与 y 轴的交点坐标. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：因为直线 = + ( （7）2， 3272 m 0+
10、4 0 解集为 4 0 ， 随 的增大而增大，则可排除选项 , ， 当 = 0 时， = 1 ，则可排除选项 ， 故答案为：B. 【分析】由直线解析式可得 k=20，b=10，根据一次函数的图象与系数之间的关系可知：当 k0时， 直线经过一、 三象限， 且 y 随 x 的增大而增大； 当 b0 时， 直线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上；结合各选项可求解. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：当 1 2 时，有 1 2 ， 随 的增大而减小， 1 0 ， 解得： 1 . 故答案为：A. 【分析】正比例函数 y=kx（k0）中，当 k0 时，y 随 x 的增大而减小，据此可得 m-10，求解
11、即可. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：A、当点 A 的坐标为（2，5）时，2k+45， 解得 k4.50， y 随 x 的增大而增大，选项 A 符合题意； B、当点 A 的坐标为（1，6）时，k+46， 解得 k20， y 随 x 的增大而减小，选项 B 不符合题意； C、当点 A 的坐标为（2，6）时，2k+46， 解得 k10， y 随 x 的增大而减小，选项 C 不符合题意； D、当点 A 的坐标为（1，3）时，k+43， 解得 k10， y 随 x 的增大而减小，选项 D 不符合题意. 故答案为：A. 【分析】把各点坐标代入一次函数式，分别求出 k 值，再根据一次函数的性质 yk
12、x+b(k0）中档 k0时，y 随 x 的增大而增大，当 k0 时，y 随 x 的增大而减小即可解答. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：一次函数 = + 1 的“相依函数”为 = + 1( 0) 1( 0 时，y 随 x 的增大而增大，k0 时，y 随 x 的增大而减小；依此解答即可. 13 【答案】（ 1 +， 1 + ） 【解析】【解答】解：过 B1作 B1M1x 轴于 M1，如图所示： 易知 M1（1，0）是 OA1的中点， A1（2，0） ， 可得 B1的坐标为（1，1） ， B1O 的解析式为：yx， B1OA1B2， A1B2的表达式一次项系数与 B1O 的一次项系数相等， 将
13、 A1（2，0）代入 yx+b， b2， A1B2的表达式是 yx2， 与 y=1（x0）联立，解得 B2（1+2，1+2） ， 仿上，A2（22，0） ， B3（2 +3，2 + 3） ， 以此类推，点 Bn 的坐标为（ 1 +， 1 + ）. 故答案为： （ 1 +， 1 + ）. 【分析】过 B1作 B1M1x 轴于 M1，根据等腰直角三角形的性质可得 M1（1，0）是 OA1的中点，则A1（2， 0） ， B1（1， 1） ， 求出B1O、 A1B2的解析式， 联立反比例函数解析式求出x、 y， 可得B2（1+2， 1+2） ，同理可得 A2、B3的坐标，进而推出 Bn的坐标. 14
14、【答案】（2，0） 【解析】【解答】解：如图，连接 AB 交 x 轴于点 P， 根据两点之间，线段最短可知：P即为所求， 设直线 AB 的关系式为：ykx+b， 4 + = 3 = 3 ， 解得 =32 = 3 ， y 32 3 ， 当 y0 时，x2， P（2，0） ， 故答案为： （2，0）. 【分析】连接 AB 交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 最小，利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，然后令y=0，求出 x 的值，据此可得点 P 的坐标. 15 【答案】a 【解析】【解答】解：观察图象得：当 xa 时，y1y2； 故答案为：a. 【分析】观察函数图象，找出一次函数 y1在 y2
15、的图象下方所对应的自变量的范围即可. 16 【答案】280 【解析】【解答】解：当 8t20 时，设 s=kt+b， 将(8，960)、(20，1800)代入，得： 8 + = 96020 + = 1800 ， 解得： = 70 = 400 ， s=70t+400； 当 t=16 时，s=1520， 18001520=280， 当小明从家出发去学校步行 16 分钟时，到学校还需步行 280 米. 故答案为：280. 【分析】利用待定系数法求出 AB 段的函数关系式，然后求出当 t=16 时的函数值，则可求出剩余的路程即可. 17 【答案】y=3x+37 【解析】【解答】解：设该函数表达式为 y
16、=kx+b，根据题意得： + 402+ 43 ， 解得 337 ， 该函数表达式为 y=3x+37 故答案为：y=3x+37 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式 18 【答案】 = 33 + 4 【解析】【解答】如图， 由菱形 OCBA 的一个顶点在原点 O 处，C 点的坐标是（0，4） ，得 OCOA4 160 ， 230 sin2 = 12 ， AD2 cos2cos30 = 32 ， OD2 3 ， A（2 3 ，2） 设 AC 的解析式为 ykx+b， 将 A，C 点坐标代入函数解析式，得 23+ = 2 = 4 ， 解得 = 33 = 4 ， 直线 AC 的表达式是 y 33
17、 x+4， 故答案为：y 33 x+4 【分析】根据菱形的性质，可得 OA 的长，根据三角函数，可得 OD 与 AD，根据待定系数法，可得答案 19 【答案】12 2 【解析】【解答】一次函数 1= + 1 （k0）的图象过点( 12 ， 12 )， 12 =12 + 1 ， = + 2 ， 不等式组 + 1 3 即为 +1 ( + 2) 3 ， 解得 12 2 故答案为： 12 2 【分析】将点( 12 ， 12 )代入 1= + 1 得出 = + 2 ，再把 = + 2 代入不等式组，解新的不等式组即可 20 【答案】(32)2018 【解析】【解答】A1（1，1）在直线 y= 15 x+
18、b， b= 45 ， y= 15 x+ 45 ， 设 A2（x2，y2） ，A3（x3，y3） ，A4（x4，y4） ，A2019（x2019，y2019） 则有 y2= 15 x2+ 45 ， y3= 15 x3+ 45 ， y2019= 15 x2019+ 45 又OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形 x2=2y1+y2， x3=2y1+2y2+y3， x2019=2y1+2y2+2y3+2y2018+y2019 将点坐标依次代入直线解析式得到： y2= 12 y1+1 y3= 12 y1+ 12 y2+1= 32 y2 y4= 32 y3 y2019= 32 y20
19、18 又y1=1 y2= 32 y3=（ 32 ）2 y4=（ 32 ）3 y2019=（ 32 ）2018 故答案为（ 32 ）2018 【分析】设点 A2，A3，A4，A2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题 21 【答案】（1）解：令 y0，则12x+10，x2，A（2，0） 点 A 关于 y 轴的对称点为 A，A（2，0） （2）解：设直线 AB 的函数表达式为 ykx+b，2 + = 0 = 2，解得： = 1 = 2，直线 AB 对应的函数表达式为 yx+2 【解析】【分析】 （1）由 y=0 可求出对应的 x 的值，可得到点 A 的坐标，利用关于 y 轴对称点的坐
20、标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点 A的坐标. （2）设直线 AB 的函数表达式为 ykx+b，将点 A和点 B 的坐标代入，可得到关于 k，b 的方程组，解方程组求出 k，b 的值，可得到直线 AB 的函数解析式. 22 【答案】（1）解：设2=( 0)， (2，2)在反比例函数2=( 0)的图象上， = = 2 2 = 4， 2=4；当0 2或 2时，1 2； （2）解：如图所示，菱形的另外两个点设为 M、N， 由菱形的性质和判定可知 M、N 在直线 = 的图象上且两个点关于原点对称， 不妨设(， )( 0)，则(，)， 菱形 AMBN 的周长为410， = 10， = 22+
21、 22= 22， ， = 2 2= 2 = 2+ ()2， = 1，即(1，1)，(1， 1)， 设直线 AM 的解析式为： = + ， 则： + = 12 + = 2，解得： =13 =43， AM 的解析式为： =13 +43， 同理可得 AN 的解析式为： = 3 4， BM 的解析式为： = 3 + 4， BN 的解析式为： =13 43. 【解析】【解答】 】 解：（1） 由反比例函数图象的性质对称性可知： A 与 B 关于原点对称， 即(2， 2)， 当0 2或 2时，1 2； 【分析】 （1）设 y2=，将 A（2，2）代入求出 k 的值，据此可得反比例函数的解析式；根据反比例函
22、数图象的对称性可得 B（-2，-2） ，然后根据图象，找出正比例函数图象在反比例函数图象下方部分所 对应的 x 的范围即可， （2）菱形的另外两个点设为 M、N，由菱形的性质和判定可知 M、N 在直线 y=-x 的图象上且两个点关于原点对称，设 M（a，-a） ，则 N（-a，a） ，根据菱形的周长可得 AM，利用勾股定理求出 AO、MO，得到点 M、N 的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线 AM、AN、BM、BN 的解析式. 23 【答案】（1）解：设每件雨衣( + 5)元，每双雨鞋元，则 400+5=350，解得 = 35， 经检验， = 35是原分式方程的根， + 5 = 40， 答：
23、每件雨衣40元，每双雨鞋35元； （2）解：据题意，一套原价为35 + 40 = 75元，下降 20%后的现价为75 (1 20%) = 60元，则 = 60 0.9 = 54，0 270， 购买的套数在 5范围内， 即48 + 30 320，解得 14524 6.042， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过 320 元时最多可购买6套. 【解析】【分析】 （1）设每件雨衣(x+5)元，每双雨鞋 x 元，用 400 元可以购买雨衣的数量为400+5，用 350元可以购买雨鞋的数量为350，然后根据数量相同列出方程，求解即可； （2） 根据题意可得一套原价为 35+40=75 元，下
24、降 20%后的现价为 75 (1-20%)=60 元，根据套数 现价 0.9 可得一次购买不超过 5 套时对应的 W 与 a 的关系式； 购买超过 5 套时， 前 5 套的钱数为 5 60 0.9元，超过 5 套部分的钱数为(a-5) 60 0.8 元，相加可得 W 与 a 的关系式； （3）令（2）求出的超过 5 套的函数关系式中的 W320，求解即可. 24 【答案】（1）解：设 = + ， 将(25，70)，(35，50) 代入解析式， 可得：25 + = 7035 + = 50 ， 解得： = 2 = 120 ， = 2 + 120 ； （2）解：根据题意可得：( 20)(2 + 12
25、0) = 600 ， 整理得：2 80 + 1500 = 0 ， 解得：1= 30，2= 50 ， 20 45 ， = 30 ， 每件商品的售价应定为 30 元； （3）解： = ( 20)(2 + 120) = 22+ 160 2400 = 2( 40)2+ 800 ， 20 45， = 40 时，w 取最大值，且最大值为 800 元. 当每件商品的售价定为 40 元时，每天销售利润最大，最大利润是 800 元. 【解析】【分析】 （1）设 y=kx+b，将（25，70） 、 （35，50）代入求出 k、b 的值，据此可得 y 与 x 之间的函数关系式； （2）根据(售价-进价) 销售量可得
26、关于 x 的方程，求解即可； （3）根据(售价-进价) 销售量可得 w 与 x 的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答. 25 【答案】（1）解：根据观察 y 与 x 是一次函数的关系，所以设 = + ( 0) 依题意，得 2 + = 1488 + = 136 解得， = 2 = 152 ； y 与 x 的函数关系式： = 2 + 152 （2）解：设背带长度是 则 = + (2 + 152) = + 152 当 = 130 时， + 152 = 130 解得， = 22 （3）解： 0 ，2 + 152 0 解得， 76 又 0 0 76 76 + 152 152 即 76 152 【解析
27、】【分析】 （1） 根据观察 y 与 x 是一次函数的关系 ，然后利用待定系数法求出解析式即可； （2） 设背带长度是 ，由于背带的长度为单层部分与双层部分长度的和，据此可得 = +(2 + 152) = + 152，然后求出 L=130 时的 x 值； （3）根据 0，x0，求出 x 的范围，从而求出 L 的范围. 26 【答案】（1）解：把 = 0 代入 = 38 398 ，得 = 13 . (13，0) . 把 = 5 代入 = 38 398 ，得 = 3 . (5， 3) . 点 ， 关于 轴对称， (5，3) . 设直线 的表达式为 = + ，则 = 5，5 + = 3， 解得 =2
28、5， = 5. 直线 的表达式为 =25 + 5 （2）解： = 8 ， = = 3 ， = = 5 ， =12 8 3 = 12 ， 四边形=12 (3 + 5) 5 = 20 ，即 = 32 （3）解：当 = 13 时， =25 + 5 = 0.2 0 ， 点 不在直线 上，即 ， ， 三点不共线. 她的想法错在将 与四边形 拼接后看成了 【解析】【分析】 （1）利用坐标轴上点的坐标特点及一次函数图象坐标特征，求出点 C、E 坐标，然后利用待定系数法求出直线 AB 解析式即可； （2）直接利用直角三角形的面积公式和直角梯形的面积公式计算即可； （3）先求出直线 AB 与 x 轴交点坐标，再
29、将 x=-13 代入直线 AB 解析式中求出 y 值即可判断出点 C 不在直线 AB 上即可. 27 【答案】（1）解：因为 = 4 ，且点 在 轴正半轴上， 所以点 的坐标为 (0，4) . 设直线 的函数表达式为 = + ， 将点 (2，0) ， (0，4) 的坐标分别代入，得 = 4，2 + = 0， 解得 = 2， = 4， 所以直线 的函数表达式为 = 2 + 4 （2）解：设 = ，则 = + 2 . 因为 的面积是 5， 所以 12 = 5 . 所以 12( +2) = 5 ，即 2+ 2 10 = 0 . 解得 = 1 + 11 或 = 1 11 （舍去）. 因为 = 90 ， 所以点 的运动路径长为 14 2(1+11) =1+112 【解析】【分析】 （1）先求就出 B 坐标，再利用待定系数法求出直线 AB 解析式即可； （2） 设 = ，则 = + 2，利用 的面积=12 = 5建立方程，求出 m 值， 由于 = 90 ，利用弧长公式计算出点的运动路径长即可
