1、第十四章整式的乘法与因式分解一、单选题1已知xa=2，xb=3，则xa+2b的值为()A11B12C15D182下列运算正确的是（）ABCD3若，则的值为（）ABC5D74（2022湖南衡阳八年级期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）ABCD5（2022湖南湘西八年级期末）下列运算正确的是()A(a+b)2=a2+b2B(-3x3)2=6x6Ca2+a2=2a4D(a4)3=a126（2022湖南湘西八年级期末）下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是 ()ABCD7（2022湖南衡阳八年级期末）下列各
2、式从左到右的变形属于因式分解的是（）ABCD8（2022湖南长沙八年级期末）下列各数中，可以写成两个连续偶数的平方差的（）A500B520C250D2059（2022湖南永州八年级期末）2x3可以表示为（）A2x4xBx3x3Cx3x3D2x6x210（2022湖南邵阳八年级期末）若，则x的值为：（）A4B8C16D32二、填空题11（2022湖南长沙八年级期末）已知，则_12（2022湖南湘西八年级期末）计算：（x2）5_13（2022湖南娄底八年级期末）若，则_14（2022湖南衡阳八年级期末）如果多项式y24ym是完全平方式，那么m的值为_15（2022湖南邵阳八年级期末）已知的整数部分
3、是小数部分是，则_16（2022湖南娄底八年级期末）在实数范围内分解因式_三、解答题17（2022湖南湘西八年级期末）计算：18（2022湖南永州八年级期末）计算：(1)(2)19（2022湖南长沙八年级期末）化简求值：，其中20（2022湖南湘西八年级期末）已知，求的值21（2022湖南湘西八年级期末）因式分解：(1)(2)22（2022湖南衡阳八年级期末）把下列多项式分解因式（1）4x316xy2；（2）（x2）（x4）+123（2022湖南怀化八年级期末）同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧!想办法计算：24（2022湖南长沙八年级期末）方法探究：已知二次多项式，我们把代入多
4、项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x3）设另一个因式为（xk），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：我们把以上分解因式的方法叫“试根法”问题解决：(1)对于二次多项式，我们把x 代入该式，会发现成立；(2)对于三次多项式，我们把x1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；(3)对于多项式，用“试根法”分解因式25（2022湖南衡阳八年级期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若ab3，ab1，求的值解：因为ab3，ab1，所以，2ab2，即可得得根
5、据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若xy8，则xy_；(2)若2ab5，ab2，求2ab的值；若（4x）（5x）8，求的值；(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积26（2022湖南衡阳八年级期末）阅读下列材料利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，然后由(x+m)20就可求出多项式x2+bx+c的最小值.例题：求x212x+37的最小值.解：x212x+37x22x6+6262+37(x6)2+1,因为不论x取何值，(x6)2总是非负数，即(x6)20,所以(x6)2+11.所
6、以当x=6时，x212x+37有最小值，最小值是1.根据上述材料，解答下列问题：(1)填空:x28x+_=(x_)2,(2)将x2+10x2变形为(x+m)2+n的形式，并求出x2+10x2的最小值,(3)如图所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1：如图所示的长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2. 试比较S1与S2的大小，并说明理由.参考答案：1D【解析】根据同底数幂相乘及幂的乘方进行计算解：xa2，xb3，xa+2bxa（xb）223218故选：D本题考查同底数幂相乘及幂的乘方，熟练掌握其运算法则是关键2A【解析】根据整式的运算法则逐个计算即可.A 正确，B 错误，C 错误
7、，D 错误，故选A.本题主要考查整式的计算法则，关键在于幂指数的计算法则，是常考点.3B【解析】根据多项式乘多项式法则把左边式子展开，进而即可求解解：，a=-5故选B本题主要考查多项式乘多项式法则，掌握整式的运算法则是解题的关键4C【解析】根据题意得出，求出即可解：长方形的面积为：=6a-9(cm2).故选C.本题主要考查了平方差公式与几何图形5D【解析】根据完全平方公式、幂的乘方、积的乘方，合并同类项法则，对各个选项分析判断即可得出正确选项解：A、 ，故A选项错误；B、 ，故B选项错误；C、 ，故C选项错误；D、，故D选项正确故答案为：D本题考查了完全平方公式、幂的乘方、积的乘方，合并同类项
8、，熟练掌握相关的性质是解题的关键6B【解析】根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解解：根据因式分解的概念，A选项属于整式的乘法，错误；B选项符合因式分解的概念，正确；C选项不符合因式分解的概念，错误；D选项因式分解错误，应为，错误故选B本题目考查因式分解的概念，难度不大，熟练区分因式分解与整数乘法的关系是解题的关键7D【解析】根据因式分解就是把一个多项式分解成几个因式的积的形式，即可一一判定解：A.，是多项式乘以多项式，不是因式分解，故不符合题意；B.6xy不是多项式，不是因式分解，故不符合题意；C.，不是几个因式积的形式，不
9、是因式分解，故不符合题意；D.，是因式分解，故符合题意；故选：D本题考查了因式分解的定义，理解和掌握因式分解的定义是解决本题的关键8A【解析】设较小的偶数为2m，则与之相邻的较大的偶数为，然后利用平方差公式求出两个偶数的差为，据此求解即可解：设较小的偶数为2m，则与之相邻的较大的偶数为，这两个偶数的平方差为：，当，解得，符合题意，同理可求B、C、D不符合题意，故选 ：A本题主要考查了平方差公式和解一元一次方程，熟知平方差公式是解题的关键9B【解析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除法运算法则求解即可合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变同底数幂乘法法则：同底数幂相
10、乘，底数不变，指数相加同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减解：A、2x4和x不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B、，2x3可以表示为x3x3，选项正确，符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项错误，不符合题意故选：B此题考查了合并同类项和同底数幂的乘除法运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减10C【解析】按照底数不变，指数相减计算即可，故选C本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键111【解析】
11、首先把81化为，进而可得，再解即可解：，故答案为：1本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是理解有理数乘方和同底数幂相乘的运算法则12x10【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可解：（x2）5x25x10故答案为：x10本题主要考查了幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键13【解析】根据同底数幂的乘法运算法则即可求出答案解：，原式 故答案为：本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法，本题属于基础题型14【解析】根据完全平方公式的形式求解即可解：多项式y24ym是完全平方式，则故答案为此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的形式156-1
12、6【解析】先估算，确定a，b的值，进而即可求解34，又a是的整数部分，b是的小数部分，a3，b3，3-(3)2=3-(10-6+9)= 3-10+6-9=6-16故答案是：6-16本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a、b的值是解决问题的关键16【解析】将转化为，16转化为，进而利用平方差公式进行分解因式解：，故答案为：本题考查利用公式法进行因式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键17【解析】根据整式的乘积运算及乘积的幂运算法则进行计算即可解：本题考查了幂的运算及单项式与多项式的乘法法则，属于基础题，计算过程中细心即可18(1)(2)【解析】（1）先根据同底数幂的乘法法则
13、进行计算，再相加即可；（2）直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可（1）解：原式；（2）解：原式本题考查了同底数幂的乘法法则及合并同类项，难度不大，注意在运算时要细心19，【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案解：原式，当时，原式，本题主要考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是正确运用乘法公式2012.25【解析】由完全平方公式变形可得，再代入数值进行计算即可得到答案解：，本题考查的是利用完全平方公式的变形进行求值，掌握“”是解本题的关键21(1)(2)【解析】（1）先题公因式，再利用平方差公式因式分解即可；（2）先利用多项式乘以多项式去括号，然后合并同类项
14、，再利用完全平方公式因式分解即可(1)原式；(2)原式本题考查了因式分解，涉及多项式的乘法运算，熟练掌握公式法和提公因式法是解题的关键22（1）4x（x+2y）（x2y）；（2）（x3）2【解析】（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式即可得解；（2）首先因式分解，然后利用完全平方公式即可得解.（1）原式4x（x24y2）4x（x+2y）（x2y）；（2）原式x26x+9，（x3）2此题主要考查分解因式，熟练掌握，即可解题.23【解析】根据平方差公式进行计算即可原式本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键24(1)2(2)a=0，b=-3；(3)【解析】（1）将x=2代入即可；（
15、2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；（3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可(1)解：当x=2时，x2-4=0，故答案为：2；(2)解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，1-a=1，b=-3，a=0，b=-3；(3)解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2
16、+ax+b），x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，a-2=4，2b=18，a=6，b=9，x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键25(1)(2)；(3)【解析】（1）根据完全平方公式变形求出的值，从而求出的值；（2）先求出的值，再求出的值；先把要求的式子变形之后在代入求值；（3）先设出、的长度，再代入题目中得到关于、的式子，再根据完全平方公式求出的值，最后求出阴影部分的面积（1）解：（
17、2）解：，（3）解：设，四边形为正方形本题主要考查了完全平方公式的运用，以及三角形的面积计算，熟练掌握运用完全平方公式是解答本题的关键26（1）16,4；（2）最小值为-27；（3）.【解析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可；（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；（3）分别求出S1与S2，然后作差，利用材料提供的方法求解即可.（1）x2214x+42=(x4)2，故答案为16；4；（2）=，不论x取何值，（x+5）2总是非负数，即（x+5）20，当x=-5时，x2+10x2有最小值，最小值是-27；（3）= = 不论a取何值，(a-3)2总是非负数，即,.此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13
