1、 专题专题 13 13 一次函数一次函数 一、单选题一、单选题 1如图，一次函数 = + 4的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，点(2，0)是 x 轴上一点，点 E，F 分别为直线 = + 4和 y 轴上的两个动点，当 周长最小时，点 E，F 的坐标分别为（ ） A(52，32)，(0，2) B(2，2)，(0，2) C(52，32)，(0，23) D(2，2)，(0，23) 2如图，在方格纸中，点 P，Q，M 的坐标分别记为（0，2） ， （3，0） ， （1，4） 若 MNPQ，则点 N的坐标可能是（ ） A （2，3） B （3，3） C （4，2） D （5，1） 3 （202
2、2 周村模拟）一次函数 = 2的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A(1，1) B(1，3) C(0， 1) D(3， 1) 4 （2022 商河模拟）已知一次函数 = + 中 y 随 x 的增大而减小，且 0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A B C D 5 （2022 滕州模拟）如图，已知一次函数 = + 的图象经过点(2，3)，则关于的不等式 + 3 B 2 D 14 + 1 恰有 3 个整数解，且一次函数 = ( 2) + + 1不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A2 B1 C0 D1 8 （2022 垦利模拟）从下列 4 个函数y3x2
3、；y7（x0） ；y5；yx2（x0）中任取一个，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大的概率是（ ） A14 B12 C34 D1 9 （2022 金乡县模拟）若关于 x 的函数 y=（m-1）x|m|-5 是一次函数，则 m 的值为（ ） A 1 B-1 C1 D2 10 （2022 历城模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，顶点 A、C 分 别在 x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上若直线 ykx+2 与边 AB 有公共点，则 k 的值可能为（ ） A12 B32 C52 D3 二、填空题二、填空题 11（2022 济宁）已知直线 y1x1 与 y2kxb
4、 相交于点 （2， 1） 请写出 b 值 （写出一个即可） ，使 x2 时，y1y2 12 （2022 日照）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，4） ，P 是 x 轴上一动点，把线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 60 得到线段 PF，连接 OF，则线段 OF 长的最小值是 13（2022 菏泽）如图， 在第一象限内的直线： = 3上取点1， 使1= 1， 以1为边作等边 11，交轴于点1； 过点1作轴的垂线交直线于点2， 以2为边作等边 22， 交轴于点2； 过点2作轴的垂线交直线于点3，以3为边作等边 33，交轴于点3；，依次类推，则点2022的横坐标为 14 （20
5、22 聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8 元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格 x（元/个）的关系如图所示，当10 20时，其图象是线段 AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本） 15 （2022 滕州模拟）如图，一次函数 yx2 的图像与坐标轴分别交于 A，B 两点，点 P，C 分别是线段 AB，OB 上的点，且OPC45 ，PCPO，则点 P 的坐标为 16 （2022 东营模拟）如图，在平面直角坐标系中，若 A（0，3） ，B（2，1） ，在 x 轴上存在点 P，使P 到 A，B 两点的距离之和最小，则点 P 的坐标
6、为 17 （2022 济宁模拟）甲、乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下： 甲：函数的图象经过点(0，1)； 乙：函数的图象不经过第三象限 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 18 （2022 长清模拟）A，B 两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到 A 地的距离 S （千米） 都是骑车时间 t （时） 的一次函数 如图，直线1、2分别表示甲、乙骑车 S 与 t 之间关系的图象结合图象提供的信息，经过 小时两人相遇 19 （2022 庆云模拟）已知 a，b，c 分别是 的三条边长，c 为斜边长， =
7、 90，我们把关于x 的形如 = +的一次函数称为“勾股一次函数”若点(1，33)在“勾股一次函数”的图象上，且 的面积是 4，则 c 的值是 20 （2022 陵城模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线： = 1与 x 轴交于点1，以1为一边作正方形111，使得点1在 y 轴正半轴上，延长11交直线 l 于点2，按同样方法依次作正方形1222、正方形2333、正方形1，使得点1、2、3、均在直线 l 上，点1、2、3、在 y 轴正半轴上，则点2022的横坐标是 三、综合题三、综合题 21 （2022 济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车 24 辆恰好一次性将 328 吨的物资运往 A，B 两地，
8、两种货车载重量及到 A，B 两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往 A 地的成本（元/辆） 运往 B 地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往 A 地的甲、乙两种货车共 12 辆，所运物资不少于 160 吨，其余货车将剩余物资运往B 地设甲、乙两种货车到 A，B 两地的总运输成本为 w 元，前往 A 地的甲种货车为 t 辆 写出 w 与 t 之间的函数解析式； 当 t 为何值时，w 最小？最小值是多少？ 22 （2022 枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结
9、果显示：所排污水 中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L环保局要求该企业立即整改，在 15天内（含 15 天）排污达标整改过程中，所排污水中硫化物的浓度 y（mg/L）与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AC 表示前 3 天的变化规律，第 3 天时硫化物的浓度降为 4.5mg/L从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 满足下面表格中的关系： 时间 x（天） 3 5 6 9 硫化物的浓度 y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 （1）在整改过程中，当 0 x3 时，硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （2）在整改过程中，当
10、x3 时，硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在 15 天以内不超过最高允许的 1.0mg/L？为什么？ 23 （2022 济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗已知购买 20 棵甲种树苗和 16棵乙种树苗共花费 1280 元，购买 1 棵甲种树苗比 1 棵乙种树苗多花费 10 元 （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买甲、乙两种树苗共 100 棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的 3 倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由 24 （2022 任城模拟）A，B 两地相距 200 千米早上 8
11、：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往 B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 B 地联系B 地收到消息后立即派货车乙从 B 地出发去接运甲车上的物资货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 B 地两辆货车离开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数关系如图所示 （通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式； （2）货车乙赶往事故地所需时间为 小时；若货车乙返程速度保持与到达事故地前一致，整个过程比原计划多 小时 25 （2022 惠民模拟）为落实“精准扶贫”精神， 市农科院专家指导李
12、大爷利用坡前空地种植优质草莓 根据市场调查，在草莓上市销售的 28 天中，其销售价格 m（元公斤）与第 x 天之间满足 =2 + 16(1 14) + 58(14 28)（x 为正整数） ，销售量 n（公斤）与第 x 天之间的函数关系如图所示： （1）求销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式； （2）求草莓上市销售第 8 天李大爷的销售收入； （3）求草莓上市销售的第 11 天至 14 天这 4 天，每天的销售收入 y 与第 x 天之间的函数关系式；并求出这 4 天当中哪一天的销售额最高？为多少元？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】 解： 作(2，0)关于轴的对称点
13、(2，0)， 作(2，0)关于直线 = + 4的对称点 D，连接 AD，连接 DG 交 AB 于 E，交轴于 F，如图： = ， = ， + + = + + = ，此时 周长最小， 由 = + 4得(4，0)，(0，4)， = ， 是等腰直角三角形， = 45， C、D 关于 AB 对称， = = 45， = 90， (2，0)， = = 2 = ， (4，2)， 由(4，2)，(2，0)可得直线 DG 解析式为 = 13 +23， 在 = 13 +23中，令 = 0得 =23， (0，23)， 由 = + 4 =13 +23，得 = 52 =32， (52，32)， 的坐标为(52，32)，
14、的坐标为(0，23)， 故答案为：C 【分析】 作(2，0)关于轴的对称点(2，0)， 作(2，0)关于直线 = + 4的对称点 D， 连接 AD，连接DG交AB于E， 交轴于F， 此时 周长最小， 由 = + 4得(4，0)， (0，4)， = 45，根据C、 D关于AB对称， 得出点D的坐标， 可得出直线DG解析式， 即可得出点F的坐标， 由 = + 4 =13 +23，即可得出点 E 的坐标。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：P，Q 的坐标分别为（0，2） ， （3，0） ，设直线的解析式为 = + ， 则 = 23 + = 0， 解得 = 23 = 2， 直线的解析式为 = 23
15、+ 2， MNPQ， 设的解析式为 = 23 + ， (1，4)， 则4 = 23+ ， 解得 =143， 的解析式为y = 23x +143， 当 = 2时， =103， 当 = 3时， =83， 当 = 4时， = 2， 当 = 5时， =43， 故答案为：C 【分析】先求出直线 PQ 的解析式，再根据两直线平行的性质可设直线 MN 的解析式为 = 23 + ，再将点 M 的坐标代入可得y = 23x +143，然后分别将 x=2，3，4，5 代入解析式求解即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】 = 2 = ( 2)， 可知一次函数必经过点(2，0)， A.12，10，此时不满足 y 随
16、 x 的增大而增大，故 A 项不符合题意，不符合题意； B-12，30，此时不满足 y 随 x 的增大而增大，故 B 项不符合题意，不符合题意； C.02，-10，此时满足 y 随 x 的增大而增大，故 C 项符合题意，符合题意； D.32，-10，此时不满足 y 随 x 的增大而增大，故 D 项不符合题意，不符合题意； 故答案为：C 【分析】将各选项分别代入解析式求出 k 的值，再利用一次函数的性质与系数的关系可得答案。 4 【答案】A 【解析】【解答】解： 一次函数 = + 中 y 随 x 的增大而减小， 0， 又 0， 一次函数 = + 的图象经过一、二、四象限， 故答案为：A 【分析】
17、利用一次函数的图象和性质与系数的关系逐项判断即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：由图中可以看出，当 x2 时，mx+n 14 + 1 ，得14 14 + 1 恰有 3 个整数解， 1 14 0， 解得-3a1， 一次函数 y=（a-2）x+a+1 不经过第三象限， a-20 且 a+10， -1a2， 又-3a1， -1a1， 整数 a 的值是-1，0，1， 所有满足条件的整数 a 的值之和是：-1+0+1=0， 故答案为：C 【分析】 利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集14 3， 再结合不等式组恰有3个整数解，可得1 0 时，y 随 x 的增大而减小，x0 时，y 随 x 的增
18、大而减小； yx2（x0） ，y 随 x 的增大而增大， 综上所述，4 个函数中，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大的函数有，共 3 个， 概率 P=34， 故答案为：C 【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质及二次函数的性质逐项判断即可。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：关于 x 的函数 y=（m1）x|m|+5 是一次函数， m10，|m|=1， m=1 故答案为：B 【分析】根据一次函数的定义可得 m10，|m|=1，再求出 m 的值即可。 10 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得：点 A（1，0） ，点 B（1，1） ， 把点 A 代入解析式可得：k+20， 解得
19、：k2， 把点 B 代入解析式可得：k+21， 解得：k1， 所以 k 的取值范围为：1k2， 故答案为：B 【分析】利用待定系数法即可求出一次函数解析式，即可得出 k 的值。 11 【答案】2（答案不唯一） 【解析】【解答】解：直线 y1x1 与 y2kxb 相交于点（2，1） ， 点（2，1）代入 y2kxb， 得2 + = 1， 解得 =12， 直线 y1x1，随的增大而增大， 又 x2 时，y1y2， 1， 1 1， 故答案为：2（答案不唯一） 【分析】先求出 =12，再求出1 2，最后求解即可。 12 【答案】2 【解析】【解答】解：将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 60 得到线段
20、 PF， APF=60 ，PF=PA， APF 是等边三角形， AP=AF， 如图，当点 F1在 x 轴上时，P1AF1为等边三角形， 则 P1A=P1F1=AF1，AP1F1=60 ， AOP1F1， P1O=F1O，AOP1=90 ， P1AO=30 ，且 AO=4， 由勾股定理得：1 = 1 =433， 1 = 11= 1=833， 点 F1的坐标为(433，0)， 如图，当点 F2在 y 轴上时， P2AF2为等边三角形，AOP2O， AO=F2O=4， 点 F2的坐标为（0，-4） ， 12=21=4433= 3， OF1F2=60 ， 点 F 运动所形成的图象是一条直线， 当 OF
21、F1F2时，线段 OF 最短， 设直线 F1F2的解析式为 y=kx+b， 则433 + = 0 = 4， 解得 =3 = 4， 直线 F1F2的解析式为 y=3x-4， AO=F2O=4，AOP1F1， 12= 1=833， 在 RtOF1F2中，OFF1F2， 设点 O 到 F1F2的距离为 h，则12 1 2=12 12 ， 12433 4 =12833 ， 解得 h=2， 即线段 OF 的最小值为 2， 故答案为 2 【分析】分类讨论，利用待定系数法，锐角三角函数计算求解即可。 13 【答案】22020 【解析】【解答】解：过点1作1 轴于点，点3作34 轴交直线于点4， 11是等边三
22、角形，1= 1， 11= 1= 1= 1， =121=12， 点1的横坐标为12，即21， 22是等边三角形，21 轴，1= 1， 点2的横坐标为1，即20，2= 22 2= 21= 2 1 = 2， 33是等边三角形，32 轴， 点3的横坐标为2，即21，3= 33 3= 22= 2 2 = 4， 44是等边三角形，43 轴， 点4的横坐标为4，即22， 以此类推，点的横坐标为22， 当 = 2022时，点2022的横坐标为22020 故答案为：22020 【分析】先求出2= 21= 2 1 = 2，再求出点的横坐标为22，最后求解即可。 14 【答案】121 【解析】【解答】解：当10 2
23、0时，设 = + ，把（10，20） ， （20，10）代入可得： 10 + = 2020 + = 10， 解得 = 1 = 30， 每天的销售量 y（个）与销售价格 x（元/个）的函数解析式为 = + 30， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 w 元， = ( 8) = ( 8)( + 30) = 2+ 38 240 = ( 19)2+ 121， 10， w 随 t 的减小而减小 当 t4 时， w 最小50 422 50022 700（元） 【解析】【分析】 （1）先求出 16x12（24x）328 ，再解方程求解即可； （2）根据题意求出 = 1200 + 1000(12 )
24、+ 900(10 ) + 75014 (12 ) = 50 +22500 即可作答； 先求出 w 随 t 的减小而减小 ，再求解即可。 22 【答案】（1）解：由前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12） （3，4.5）代入函数关系式，得12 = 4.5 = 3 + ，解得：k=2.5，b=12当 0 x3 时，硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式为：y=2.5x+12； （2）解：当 x3 时，设 y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得 4.5=3，解得 k=13.5，当 x3 时，硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式为：y=13.5 ； （3） 解：
25、 能， 理由如下： 当 x=15 时， y=13.515=0.9， 因为 0.91， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在 15 天以内不超过最高允许的 1.0mg/L 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 4.5=3， 再求出 k 的值，最后求解即可； （3）先求出 y=13.515=0.9， 再求解即可。 23 【答案】（1）解：设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元 由题意得，20 + 16 = 1280 = 10，解得 = 40 = 30， 答：甲种树苗每棵 40 元，乙种树苗每棵 30 元 （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗(100 )棵，购买两
26、种树苗总费用为元， 由题意得 = 40 + 30(100 )， = 10 + 3000， 由题意得100 3，解得 25， 因为随的增大而增大，所以当 = 25时取得最小值 答：当购买甲种树苗 25 棵，乙种树苗 75 棵时，花费最少 【解析】【分析】 （1）先求出 20 + 16 = 1280 = 10， 再求解即可； （2）根据题意先求出 = 10 + 3000， 再根据函数解析式求解即可。 24 【答案】（1）解：设函数表达式为 = + ( 0)， 把(1.6，0)，(2.6，80)代入 = + ， 得0 = 1.6+ 80 = 2.6 + ， 解得： = 80 = 128， y 关于
27、x 的函数表达式为 = 80 128； （2）1.5；0.9 【解析】【解答】 解：（2） 由图可得： 货车甲的速度为 80 1.6=50 （千米/时） ， 货车乙的速度为 80 （2.6-1.6）=80（千米/时） ，货车甲在出发后 80 千米处出现故障， A，B 两地相距 200 千米， （200-80） 80=1.5， 货车乙赶往事故地所需时间为 1.5 小时； 200 50=4， 原计划是 4 小时， 1.6+1.5+1.5+1860=4.9，4.9-4=0.9， 整个过程比原计划多 0.9 小时 【分析】 （1）利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）结合函数图象和时间、速度和路程
28、的关系求解即可。 25 【答案】（1）解：当1 10，设直线 AB 的解析式为 = + ， 将 A（1，12） 、B（10，30）代入可得： + = 1210 + = 30，解得： = 2 = 10， 即此时解析式为： = 2 + 10， 当10 28时，同理可得： = 32 + 45， 则销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式为： = 2 + 101 1032 + 4510 28（x 为整数） （2）解：令 x=8，分别代入价格函数和销量函数， 得： = 2 8 + 16 = 32 = 2 8 +10 = 26， 则第 8 天的销售收入为 mn=32 26=832（元） ； （3）解：在
29、11 天至 14 天这 4 天里， = 2 + 16， = 32 + 45， 则每天的销售收入 = = (2 + 16)(32 + 45)， 化简，配成顶点式得 = 3( 11)2+ 1083， （11 14，且为整数） 可知当 x=11 时，即第 11 天时，销售收入最高，且最高收入为 1083 元 【解析】【分析】 （1）分两种情况：当1 10，当10 28时，求出直线 AB 的解析式即可； （2）将 x=8 分别代入价格函数和销量函数，可得 = 2 8 + 16 = 32 = 2 8 + 10 = 26，再求出 mn 即可； （3）先求出每天的销售收入 = = (2 + 16)(32 + 45)，再利用二次函数的性质求解即可
