1、 专题专题 3 3 整式整式 一、单选题一、单选题 1下列运算正确的是（ ） Aa6 a2=a3 Ba4a2=a6 C （a2）3=a5 Da3+a3=a6 2下列各式运算正确的是（ ） A3( ) = 3 + B3 2= 6 C( 3.14)0= 1 D(3)2= 5 3 （2022 聊城）下列运算正确的是（ ） A(3)2= 322 B32+ 42= 74+ 4 C(32 + 1) = 33 2+ 1 D(3)4 (4)3= 1 4 （2022 郯城模拟）下列运算正确的个数是（ ） 3( 1) = 3 3；(133)2=199；2+ 23= 35；23=18；2+ 1 = ( + 1)2；
2、8 22 = 0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5 （2022 临沭模拟）下列运算正确的是（ ） A9 3= 3 B23+ 43= 66 C(3)2= 6 D( + )2= 2+ 2 6 （2022 兰山模拟）已知9= 2，27= 3，则32+3的值为（ ） A1 B5 C6 D12 7 （2022 惠民模拟）下列计算正确的是（ ） A( )2= 2 2 B(223)3= 669 C33+ 23= 526 D1553 542= 3 8 （2022 沂源模拟）下列计算正确的是（ ） A23 + 33 = 56 B(2 + 1)(1 2) = 1 C（a）4 a2a2 D()1(12)2
3、=14 9 （2022 潍城模拟）已知2 3 = 0，则代数式(3 + 2)(3 2) + ( 10)的值为（ ） A34 B1413 C26 D713 10 （2022 莒南模拟）下列正确的个数是（ ） 3( 1) = 3 3；(133)2=192； 2+ 23= 35；23=16； 2+ 1 = ( + 1)2；8 22 = 0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题二、填空题 11 （2022 滨州）若 m+n=10，mn=5，则2+ 2的值为 12 （2022 岚山模拟）若单项式+1与1433是同类项，则 + 的平方根是 13 （2022 莒南模拟）已知 = 2 + 1，那
4、么( )( 3) + ( 2)2的值是 14 （2022 金乡县模拟）将(1.5 102) (8.4 105)的结果用科学记数法写成 10的形式时， = 15 （2021 阳谷模拟）用配方法解方程 32 6 + 2 = 0 ，将方程变为 ( )2=13 的形式，则 = 16（2021 金乡模拟）对于实数 m， n， 定义运算 mnmn2n 若 2a1 （2） 则 a 17 （2021 金乡模拟）当代数式 a+2b 的值为 3 时，代数式 1+2a+4b 的值是 18 （2021 巨野模拟）若 x2y30，则 2x 4y的值为 19 （2021 青岛模拟）(123)2 (2) = 20 （202
5、1 淄川模拟）计算 11 (12)2020 22021 的结果是 三、解答题三、解答题 21（2022 济宁模拟）先化简， 再求值： (2 )2+ ( 4) + 82 3， 其中|2 1| + ( + 2)2= 0 22 （2022 德城模拟）化简并求值：(2424+412) 222，其中 x 满足2+ 3 4 = 0 23（2022 七下 商河期末）先化简， 再求值： (3 + )2 (3 + )(3 ) 22， 其中 = 13， = 2 24 （2022 七下 东明期末）计算：已知3= 6，9= 2，求324的值 25 （2022 七下 济南期末）已知 am2，an3，求 a2m+3n的值
6、 四、综合题四、综合题 26 （2022 七下 商河期末）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： （1）如图 1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： （2）若图 1 中 a、b 满足 a+b7，ab10，求 a2+b2的值； （3）如图 2，C 是线段 AB 上一点，以 AC，BC 为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和 S1+S240，求图中阴影部分面积 27 （2022 六下 龙口期末）已知关于 x 的多项式 A，当 A-（x-2）2=x（x+7）时，完成下列各题： （1）求多项式 A； （2）若 x2+32x+1=0，求
7、多项式 A 的值 28（2022七下 潍城期末）如图， 现有边长分别为a， b的正方形硬纸板A和B， 邻边长为a和b （ ） 的长方形硬纸板 C 若干 （1）活动课上，老师用图中的 1 张正方形 A，1 张正方形 B 和 2 张长方形 C 纸板，排成了如图中的大正方形观察图形，由图可以得到的等式为 （等号两边用含 a，b的代数式表示） ； （2）小莹想用图的三种纸板拼一个面积为( + )( + 2)的大长方形，则需要 A 硬纸板 张，B 硬纸板 张，C 硬纸板 张（空格处填写数字） ，并参考图画出该大长方形的设计图（画出一种即可） ； （3） 如图， 已知点 K 为线段 MN 上的动点， 分别
8、以 MK， NK 为边在 MN 的两侧作正方形 MKED和正方形 NKFG， 面积分别记作1， 2， 若 = 8， MKF 的面积为 6， 利用 （1） 中得到的结论求1+ 2的值 29 （2022 七下 临清期中）已知2= ，2= ， （1）求23+2； （结果用含 a，b 的代数式表示） （2）求4+2 （结果用含 a，b 的代数式表示） 30 （2022 李沧模拟）问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小 例如： 对于任意两
9、个代数式 M，N 的大小比较，有下面的方法： 当 MN0 时，M N； 当 MN0 时，MN； 当 MN0 时，M N. 反过来也成立. 因此，我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法” 对于比较两个正数 a，b 的大小，我们还可以用它们的平方进行比较： a2b2（ab） （ab） ，ab0， （a2b2）与（ab）的符号相同. 当 a2b20 时，ab0，得 ab； 当 a2b20 时，ab0，得 ab； 当 a2b20 时，ab0，得 ab 问题解决 （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了 2 张 A4 纸，8 张 B
10、5 纸. 设每张 A4 纸的面积为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且 xy，张丽同学的用纸总面积为 S1，李明同学的用纸总面积为 S2. 回答下列问题： S1 （用含 x，y 的代数式表示） ； S2 （用含 x，y 的代数式表示） ； 试比较谁的用纸总面积更大？ （2）如图 1 所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，向 A，B 两镇供气，已知 A，B 到 l 的距离分别是 3km，4km（即 AC3km，BE4km） ，ABx km，现设计两种方案： 方案一：如图 2 所示，APl 于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道长度 a1=AB+AP. 方案二：如图 3 所示，点 A与点
11、A 关于 l 对称，AB 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道长度 a2AP+BP. 在方案一中，a1 km（用含 x 的代数式表示） ； 在方案二中，a2 km（用含 x 的代数式表示） ； 请分析说明哪种方案铺设的输气管道较短？ （3）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次购买的价格有变化，两位采购员的购 货方式也不同，其中，甲每次购买 1000kg，乙每次用去 1000 元，而不管购买多少饲料. 设两次购买的饲料单价分别为 m 元/kg 和 n 元/kg（m，n 是正数，且 mn） ，试分析哪位采购员的购货方式合算？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】
12、B 【解析】【解答】解：A、a6 a2=a4，故 A 不符合题意； B、a4a2=a6，故 B 符合题意； C、 （a2）3=a6，故 C 不符合题意； D、a3+a3=2a3，故 D 不符合题意； 故答案为：B 【分析】利用同底数幂的乘除法则，幂的乘方，合并同类项法则计算求解即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】A：3( ) = 3 + 3，A 不符合题意； B：3 2= 5，B 不符合题意； C：( 3.14)0= 1，C 符合题意； D：(3)2= 6，D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用去括号法则，同底数幂的乘法，零指数幂，幂的乘方计算求解即可。 3 【答案】D 【解析】【解
13、答】解：A、原式= 922，不合题意； B、原式= 72，不合题意； C、原式= 33 2+ ，不合题意； D、原式=-1，符合题意； 故答案为：D 【分析】利用积的乘方、合并同类项、单项式乘多项式和同底数幂的除法逐项判断即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：3( 1) = 3 3，符合题意； (133)2=196，不符合题意； 2+ 23，不是同类项，不能合并，故此项不符合题意； 23=18，符合题意； 2+1，不能因式分解，故此项不符合题意； 8 22 = 22 22 = 0，故此项符合题意， 故正确的个数为 3 个 故答案为：C 【分析】根据去括号、积的乘方、合并同类项、负整数指数
14、幂、完全平方公式、二次根式的减法分别进行计算，再判断即可. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：A、9 3= 6，故 A 不符合题意； B、23+ 43= 63，故 B 不符合题意； C、(3)2= 6，故 C 符合题意； D、( + )2= 2+2 + 2，故 D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用同底数幂的除法、单项式除以单项式、幂的乘方和完全平方公式逐项判断即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解： 9= 32= 2，27= 33= 3， 又 9 27= 32 33= 32+3= 2 3 = 6， 故32+3= 6， 故答案为：C 【分析】先利用幂的乘方化简可得9= 32= 2，
15、27= 33= 3，再将32+3变形为9 27= 3233，再将数据代入计算即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：( )2= 2 2 + 2，故 A 不符合题意； (223)3= 869，故 B 不符合题意； 33+ 23= 53，故 C 不符合题意； 1553 542= 3，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】利用完全平方公式、积的乘方、幂的乘方、合并同类项和单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：A、23 + 33（2+3）353；故 A 不符合题意； B、(2 + 1)(1 2) = 1 2 = 1；故 B 不符合题意； C、（a）4 a
16、2a4 a2a2；故 C 不符合题意； D、()1(12)2=14()1+2=14；故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】利用二次根式的加法、平方差公式、同底数幂的除法、同底数幂的乘法和积的乘方计算方法逐项判断即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：(3 + 2)(3 2) + ( 10) = 92 4 + 2 10 = 102 10 4 = 10(2 ) 4， 2 3 = 0 2 = 3 原式=10 34 =26 故答案为：C 【分析】先利用整式的混合运算化简，再将2 3 = 0代入计算即可。 10 【答案】B 【解析】【解答】解：3( 1) = 3 3；计算正确，故符合题意； (1
17、33)2=192；计算不正确，正确计算为：(133)2=196，故不符合题意 2+ 23= 35；计算不正确，两者不能合并，故不符合题意 23=16；计算不正确，正确计算为：23=18，故不符合题意； 2+1 = ( +1)2；计算不正确，两者不相等，故不符合题意； 8 22 = 0，计算正确，符合题意； 综上：计算正确 故答案为：B 【分析】利用单项式乘多项式、积的乘方、幂的乘方、合并同类项、负指数幂的性质和二次根式的减法逐项判断即可。 11 【答案】90 【解析】【解答】解： + = 10， = 5， 2+2 = ( + )2 2 = 102 2 5 = 100 10 = 90 故答案为：
18、90 【分析】将代数式2+ 2变形为( + )2 2，再将 m+n=10，mn=5 代入计算即可。 12 【答案】 2 【解析】【解答】解：+1与1433是同类项， 3 = 1 + 1 = 3， = 2 = 2， + = 2 + 2 = 4， + 的平方根是 2 故答案为： 2 【分析】根据同类项的定义可得3 = 1 + 1 = 3求出 m、n 的值，再将 m、n 的值代入计算即可。 13 【答案】1 【解析】【解答】解： = 2 + 1， 2 = 1， ( )( 3) + ( 2)2= (2 + 1 )(2 + 1 3) + 2= 1 2+ 2= 1 故答案为：1 【分析】先利用整式的混合运
19、算化简，再将 = 2 + 1代入计算即可。 14 【答案】-2 【解析】【解答】解：(1.5 102) (8.4 105) = (1.5 8.4) 1025 = 12.6 103 = 1.26 102， = 2， 故答案为：-2 【分析】利用同底数幂的乘法公式及科学记数法的书写要求求解即可。 15 【答案】1 【解析】【解答】解：3x2-6x+2=0， 2 2 = 23 2 2 + 1 =13 ( 1)2=13 ，即 m=1 故填 1 【分析】本题考查一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是关键。先将方程整理，然后利用完全平方公式配方得到结果即可。 16 【答案】2 或 32 【解析】【解
20、答】解：根据定义，2a1（2）转化为：2a2a=1 （2）2（2）, 解方程得，a1=2，a1= 32 ， 故答案为：2 或 32 【分析】先把定义的运算弄清楚，在按照 mnmn2n 计算即可。这里 m=2,n=a，所以 2a =2a2a。同时m=1,n=-2,1（2）=1 （2）2（2）,再根据 2a1（2） ，可得：2a2a=1 （2）2（2）,解方程可得结果。 17 【答案】7 【解析】【解答】解：a+2b 的值为 3， 即 a+2b=3 两边乘以 2 得 2a+4b=6 1+2a+4b=1+6=7 故答案为 7 【分析】本题用到的是整体思想。要求的代数式中 2a+4b 与已知 a+2b
21、 是有 2 倍关系，所以整体代入可求出结果。 18 【答案】8 【解析】【解答】解：由题意，得 2x+y=3. 2y 4x=2y 22x=22x+y=23=8， 故答案为 8. 【分析】利用同底数幂的乘法化简，再代入计算即可。 19 【答案】185 【解析】【解答】解： (123)2 (2) =1426 2 =185 ， 故答案是： 185 【分析】利用积的乘方和单项式除以单项式计算即可。 20 【答案】-1 【解析】【解答】解：原式 = 1 (12)2020 22020 2 ， = 1 (12 2)2020 2 ， = 1 12020 2 ， = 1 2 ， = 1 ， 故答案为： -1 【
22、分析】先利用积的乘方算出(12)2020 22021的结果，再利用负指数幂的性质化简11，最后再计算即可。 21 【答案】解：原式（4x24xyy2xy4x28y2） 3y（3xy9y2） 3y-x3y |2x1|（y2）20，2x10，y20 x12，y2 原式123 （2）132 【解析】【分析】 先利用整式的混合运算化简， 再利用非负数之和为 0 的性质求出 x、 y 的值， 最后将 x、y 的值代入计算即可。 22 【答案】解：(2424+412) 222 = (+2)(2)(2)2+12 2(2) = (+22+12) (2)2 =+32(2)2 =2+32， 2+ 3 4 = 0，
23、 2+ 3 = 4， 原式=2+32=42= 2 【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式对式子进行因式分解，化简合并，最后求出答案 23 【答案】解：原式= 92+ 6 + 2 92+ 2 22= 6， 当 = 13， = 2时，原式= 4 【解析】【分析】利用整式的混合运算化简，再将 = 13， = 2代入计算即可。 24 【答案】解：3= 6，9= 2， 32= (3)2= 36，34= (32)2= (9)2= 4， 324= 3234= 36 4 = 9 【解析】【分析】 由324= 32 34= (3)2(9)2，然后整体代入计算即可. 25 【答案】解： = 2，= 3， 2
24、+3= 2 3= ()2 ()3= 22 33= 108 【解析】【分析】先应用同底数幂的乘法运算的逆运算，再应用幂的乘方的逆运算。 26 【答案】（1）a2+ b2（a+b）2-2ab （2）解：由（1）得，a2+ b2（a+b）2-2ab，a+b7，ab10，a2+ b272-2 10=29 ； （3） 解： 设正方形 ACDE 的边长为 a， 正方形 BCFG 的边长为 b， 则 S1a2， S2b2， AC+BC=8， S1+S240，a+b8，a2+b240，a2+ b2（a+b）2-2ab，4064-2ab，ab12， 阴影部分的面积为12ab6 【解析】【解答】解： （1）解：图
25、 1 中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为 a，b 的小正方形的面积之和，即 a2+b2，也可表示为边长是 a+b 的大正方形的面积减去两个长、宽分别为 a，b 的小长方形的面积，即（a+b）2-2ab等量关系为 a2+ b2（a+b）2-2ab； 【分析】 （1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可得到答案； （2）利用（1）的结论，将数据代入计算即可； （3）设正方形 ACDE 的边长为 a，正方形 BCFG 的边长为 b，可得 a+b8，a2+b240，再利用（1）的结论将数据代入计算即可。 27 【答案】（1）解：根据题意，整理得 A=（x-2）2+x（x+7） =x2-4x+4
26、+x2+7x =2x2+3x+4； （2）解：因为 x2+32x+1=0， 所以 2x2+3x=-2， 所以 A=-2+4=2， 则多项式 A 的值为 2 【解析】【分析】 （1）通过移项化简，即可得出答案； （2）对所给狮子进行变形，即可的答案。 28 【答案】（1）( + )2= 2+2+ 2 （2）1；2；3 设计图可以为： a 2 ab ab ab ab 2 b a 2 ab ab 2 2 2 a b b a b b （3）解：设 = ， = 由题意得： + = 8，12 = 6 由（1）知：( +)2= 2+ 2+ 2 2+2= ( + )22 = 64 24 = 40 即1+ 2=
27、 40 【解析】【解答】 （1）解：根据图形可得：( + )2= 2+ 2+ 2， 故答案为：( + )2= 2+ 2+ 2 （2）解： （a+b） （a+2b）=2+3 + 22， 需要 A 硬纸板 1 张，B 硬纸板 2 张，C 硬纸板 3 张， 故答案为：1，2，3； 【分析】 （1）利用大正方形的面积等于各部分面积的和即可，写出等式； （2）利用多项式乘多项式的法则，将式子展开后，即可得出结论，仿照（1）的样例解答即可； （3）设 = ， = ，根据图形得出 + = 8，12 = 6，再利用（1）中的结论解答即可。 29 【答案】（1）解：2= ，2= ， 23+2= 23 22= (
28、2)3 (2)2= 32 （2）解：2= ，2= ， 4+2= (22)+2 = 22+24 = (2)2 (2)2 (22)2 =2216 【解析】【分析】 （1）将代数式23+2变形为23+2= 23 22= (2)3 (2)2，再将2= ，2= 代入计算即可； （2） 先将代数式4+2变形为4+2= (22)+2= 22+24= (2)2 (2)2 (22)2， 再将 2= ，2= 代入计算即可。 30 【答案】（1）解：3x+7y；2x+8y； S1S2(3x+7y)(2x+8y)xy xy xy0 S1S20 S1S2 所以张丽同学的用纸总面积更大 （2）解：3+x；2+ 48； 解
29、：a12a22 (x+3)2(2+ 48)2 6x-39 由 6x-39=0，得 =132，此时 a12a220，即 a1a2，两种方案铺设的输气管道一样长； 由6 39 0，得 132，此时 a12a220，即 a1a2，方案二铺设的输气管道较短； 由6 39 0，得 132，此时 a12a220，即 a10 1000+10001000+10001000+10001000+1000 乙采购员的购货方式合算 【解析】【解答】(1)解： 由题意得：S1 3x+7y ； S2 2x+8y ； 故答案为：3x+7y ；2x+8y ； （2）解：AC3km，ABx km， a1APABACAB（3+x
30、）km； 故答案为： （3+x） 如图 4，过点 B 作 BMAC 于点 M， CEAC BMCP， MCBE4 km， AMMCAC431 km， 在 RtABM 中，由勾股定理得： 2= 2 1 = (2 1) km， 点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l 相交于点 P， APAP，ACAC3 km AMACACAM7 km + = + = = 2+ 2= 2+ 48（km） 故答案为：2+ 48； 【分析】 （1） 由于张丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸 ，可得 S1 3x+7y ； 由于李明同学用了 2张 A4 纸，8 张 B5 纸 ，可得 S2 2x+8y ； （2）利用作差法求出 S1S2xy ，据此即可判断； （3）根据 a1APABACAB 即可求解；过点 B 作 BMAC 于点 M， 根据 a2APPB APPB=AB，根据勾股定理求出 AB 即可；求得 a12a226x-39，分三种情况：由 6x-39=0 知两种方案铺设的输气管道一样长；由6 39 0知 方案二铺设的输气管道较短；由6 39 0 知方案一铺设的输气管道较短， 据此分别解答即可； （4） 先求出甲两次购货的平均单价为1000+10001000+1000元/kg， 乙两次购货的平均单价为1000+10001000+1000元/kg， 然后根据作差法比较两个分式的大小即可
