1、 第第 1111 讲讲 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1 （2022 泰州）已知点(3，1)，(1，2)，(1，3)在下列某一函数图象上，且3 1 2那么这个函数是( ) A = 3 B = 32 C =3 D = 3 2 （2022 南通）如图，在中，对角线，相交于点 O， ， = 4， = 60，若过点 O 且与边，分别相交于点 E，F，设 = ，2= ，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 3 （2022 泗洪模拟）下列函数属于二次函数的是（ ） Ayx1 By（x3）2x2 Cy12x Dy2（x+1）21 4 （2022 泗洪模拟）关于 x 的二次函数
2、= ( )2+ 3，当1 3时，函数有最小值 4，则 h 的值为（ ） A0 或 2 B2 或 4 C0 或 4 D0 或 2 或 4 5 （2022 泗洪模拟）已知二次函数 = 2+ + 中，其函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表所示： 0 1 2 3 5 2 1 2 点(1，1)、 (2，2)在函数的图象上，当0 1 1、2 2 2 D1 0 ； 2 4 0； 4 + = 0 ； 不等式 2+（ 1） + 0 的解集为 1x3， 正确的结论个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 9 （2021 宝应模拟）把二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换，所得图象的
3、解析式为 ya(x1)2+2a，若(m1)a+b+c0，则 m 的最大值是（ ） A0 B1 C2 D4 10 （2021 无锡）设 (，1) ， (，2) 分别是函数 1 ， 2 图象上的点，当 时，总有 1 1 2 1 恒成立， 则称函数 1 ， 2 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”.则下列结论： 函数 = 5 ， = 3 + 2 在 1 2 上是“逼近函数”；函数 = 5 ， = 2 4 在 3 4 上是“逼近函数”；0 1 是函数 = 2 1 ， = 22 的“逼近区间”；2 3 是函数 = 5 ， = 2 4 的“逼近区间”.其中，正确的有（ ） A B C D 二、填空题二、
4、填空题 11 （2021 丰县模拟）若把函数 y（x3）22 的图象向左平移 a 个单位，再向上平移 b 个单位，所 得图象的函数表达式是 y（x+3）2+2，则 a ，b . 12 （2022 盐城）若点(，)在二次函数 = 2+ 2 + 2的图象上，且点到轴的距离小于 2，则的取值范围是 13 （2022 泗洪模拟）已知抛物线 = 2+ + 的对称轴是直线 = 1.若关于 x 的一元二次方程2+ + = 0的一个根为 4，则该方程的另一个根为 . 14 （2022 泗洪模拟）已知函数 = 2 2019 + 2020与 x 轴的交点为(，0)，(，0)，则(2 2019 + 2020)(2
5、2019 + 2020) = . 15 （2022 惠山模拟）如图，抛物线 yax2c 与直线 ymxn 交于 A（1，p） ，B（3，q）两点，则不等式 ax2cmxn 的解集是 . 16 （2022 海陵模拟）当 x 取任意实数时，二次函数 y=x2(2m+1)x+m2的值始终为正数，则 m 的取值范围是 . 17 （2022 连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 = 0.22+ + 2.25 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 m . 18（2022 沭阳模拟）二次函数 = 2+ + 的部分图象如图所示， 对称
6、轴为直线 = 1， 当 0时，x 的取值范围是 . 19 （2022 南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40/的速度将小球沿与地面成30角的 方向击出，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间的函数关系是 = 52+ 20，当飞行时间 t 为 s 时，小球达到最高点 20 （2022 泗阳模拟）二次函数 =122+12的图象如图所示，点1、2、3、4、2022在二次函数 =122+12位于第一象限的图象上，点1、2、3、4、2022在 y 轴的正半轴上， 11、 122、 202120222022都是等腰直角三角形，则20212022= . 三、综合题三、综合题
7、21（2022 泰州）如图， 二次函数1= 2+ + 1的图象与 y 轴相交于点 A， 与反比例函数2=( 0)的图象相交于点 B(3，1). （1）求这两个函数的表达式； （2）当1随 x 的增大而增大且10）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，且 OB=OC. （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若点 P 是线段 BC（不与 B，C 重合）上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于 M 点， 连接 CM，当PCM 和ABC 相似时，求此时点 P 的坐标； （3）若点 P 是直线 BC（不与 B，C 重合）上一动点，过点 P 作 x 轴的垂
8、线交抛物线于 M 点，连接CM，将PCM 沿 CM 对折，如果点 P 的对应点 N 恰好落在 y 轴上，求此时点 P 的坐标； 25 （2021 常州模拟）【阅读理解】设点 P 在矩形 ABCD 内部，当点 P 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 P 为该边的“和谐点”.例如：如图 1，矩形 ABCD 中，若 PAPD，则称 P 为边 AD 的“和谐点”. 【解题运用】已知，点 P 在矩形 ABCD 内部，且 AB=10，BC=6. （1）设 P 是边 AD 的“和谐点”，则 P 边 BC 的“和谐点”（填“是”或“不是”） ； （2）若 P 是边 BC 的“和谐点”，连接 PA，PB，
9、当PAB 是直角三角形时，求 PA 的值； （3）如图 2，若 P 是边 AD 的“和谐点”，连接 PA，PB，PD，求 tanPAB tanPBA 的最小值. 26 （2022 苏州）如图，在二次函数 = 2+ 2 + 2 + 1 （m 是常数，且 0 ）的图象与 x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D.其对称轴与线段 BC 交于点 E，与 x 轴交于点 F.连接 AC，BD. （1）求 A，B，C 三点的坐标（用数字或含 m 的式子表示） ，并求 的度数； （2）若 = ，求 m 的值； （3）若在第四象限内二次函数 = 2+ 2 + 2 +
10、 1 （m 是常数，且 0 ）的图象上，始终存在一点 P，使得 = 75 ，请结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围. 27 （2022 宿迁）如图，二次函数 =122+ + 与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连 接、 ， 若点是线段上一动点， 连接， 将 沿折叠后， 点落在点的位置， 线段与轴交于点，且点与、点不重合. （1）求二次函数的表达式； （2）求证： ； 求的最小值； （3）当= 8时，求直线与二次函数的交点横坐标. 28 （2022 盐城）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的
11、一些交点，如图 1 所示，他发现这些点的位置有一定的规律 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上 （1） 【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图 2 所示当所描的点在半径为 5的同心圆上时，其坐标为 （2） 【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立 （3） 【深度思考】 小明继续思考：设点(0，)，为正整数，以为直径画 ，是否存在所描的点在 上若存在，求的值；若不存在，说明理由 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【
12、解析】【解答】解：A、把点(3，1)，(1，2)，(1，3)代入 y=3x，解得 y1=-9，y2=-3，y3=3，所以 y1y2y3，这与已知条件3 1y2=y3，这与已知条件3 1 2不符，故此选项错误，不符合题意； C、 把点(3，1)，(1，2)，(1，3)代入 y=3，解得 y1=-1，y2=-3，y3=3，所以 y2y1y3，这与已知条件3 1 2不符，故此选项错误，不符合题意； D、 把点(3，1)，(1，2)，(1，3)代入 y=-3，解得 y1=1，y2=3，y3=-3，所以3 1 2，这与已知条件3 13、h 2. 故答案为：C. 【分析】根据函数解析式可得函数图象开口向上
13、，由表格中的数据可得对称轴为直线 x=2，然后根据增减性确定出 y1、y2的范围，据此进行比较. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线 = 22 1向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 = 2( + 1)2 1 2 = 2( + 1)2 3 故答案为：A 【分析】抛物线的平移规律：“左加右减，变自变量，上加下减变常数项”，据此解答即可. 7 【答案】B 【解析】【解答】解： = 2 的顶点坐标为（0，0） 将二次函数 = 2 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1） ，
14、所得抛物线对应的函数表达式为 = ( + 2)2+ 1 ， 故答案为：B 【分析】 先求出 = 2 的顶点坐标为（0，0） ，再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1） ，利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线的开口向上， a0，故正确； 抛物线与 x 轴没有交点 2 4 0，故错误 抛物线的对称轴为 x=1 2= 1 ，即 b=-2a 4a+b=2a0，故错误； 由抛物线可知顶点坐标为（1，1） ，且过点（3，3） 则 = 2 + + = 19 + 3 + = 3 ，解得 =12 = 1 =32 2+ ( 1) + 0 可化为 12
15、2 2 +32 0，解得：1x3 故错误. 故答案为：A. 【分析】 根据开口向上可得a0； 根据与x轴无交点可得 2 4 0； 由对称轴x = b2a= 1可得 4a+b=2a；由抛物线顶点坐标和过点（3，3）可得抛物线解析式，即可得 1222 +32 0，可得结果. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：把二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换，所得图象的解析式为 ya（x1）2+2a， 原二次函数的顶点为（1，2a） ， 原二次函数为 ya（x1）22aax22axa， b2a，ca， （m1）a+b+c0， （m1）a2aa0， a0， m1210，即 m4，
16、 m 的最大值为 4， 故答案为：D. 【分析】先求出关于 x 轴对称点的坐标特征，得出原二次函数的顶点（1，2a） ，即得原二次函数为 ya（x1）22aax22axa，从而得出 b2a，ca，将其代入(m1)a+b+c0 中，得出 （m1）a2aa0，据此即可求出结论. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：1= 5 ， 2= 3 + 2 ， 1 2= ( 5) (3 + 2) = 2 7 ，当 1 2 时， 11 1 2 9 ， 函数 = 5 ， = 3 + 2 在 1 2 上不是“逼近函数”； 1= 5 ， 2= 2 4 ， 1 2= ( 5) (2 4) = 2+ 5 5 ，当 3
17、4 时， 1 1 2 1 ， 函数 = 5 ， = 2 4 在 3 4 上是“逼近函数”； 1= 2 1 ， 2= 22 ， 1 2= (2 1) (22 ) = 2+ 1 ，当 0 1 时， 1 1 2 34 ， 0 1 是函数 = 2 1 ， = 22 的“逼近区间”； 1= 5 ， 2= 2 4 ， 1 2= ( 5) (2 4) = 2+ 5 5 ，当 2 3 时， 1 1 254 ， 2 3 不是函数 = 5 ， = 2 4 的“逼近区间”. 故答案为：A 【分析】 根据当 时，总有 1 1 2 1 恒成立， 则称函数 1 ， 2 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，据此逐一判断
18、即可. 11 【答案】6；4 【解析】【解答】解：抛物线 y（x3）22 的顶点坐标为（3，-2） ， 而平移后抛物线 = ( + 3)2+ 2的顶点坐标为（-3，2） 平移方法为向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位. 故答案为：6，4 【分析】分别求出平移前后的顶点坐标，根据点的坐标平移规律即可求解. 12 【答案】1n10 【解析】【解答】解：点 P 到 y 轴的距离小于 2， 2 2， 点(，)在二次函数 = 2+ 2 + 2的图象上， = 2+ 2 + 2 = ( + 1)2+ 1， 当 = 1时，有最小值为 1 当 = 2时， = (2 + 1)2+ 1 = 10， 的取值范
19、围为 1n10. 故答案为：1n10. 【分析】根据一个点到 y 轴的距离等于其横坐标的绝对值可得-2m2，将 P（m，n）代入 y=x2+2x+2中可得 n=(m+1)2+1，根据二次函数的性质可得 n 的最小值，然后求出 m=2 时对应的 n 的值，据此可得n 的范围. 13 【答案】6 【解析】【解答】解：由题意抛物线的对称轴 x=-1，与 x 轴的交点为（4，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标（-6，0） ， 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的另一个根为-6. 故答案为：-6. 【分析】根据对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标，然后结合二次函数与对应的一元二次方程的
20、关系进行解答. 14 【答案】0 【解析】【解答】解：函数 = 2 2019 + 2020与 x 轴的交点为(，0)，(，0)， 22019 + 2020 = 0，2 2019+ 2020 = 0， (2 2019 + 2020)(2 2019 + 2020) = 0， 故答案为：0. 【分析】由二次函数图象与 x 轴交点的横坐标为对应的一元二次方程的根得 m2-2019m+2020=0、n2-2019n+2020=0，据此计算. 15 【答案】1 3 【解析】【解答】解：不等式 ax2cmxn 的解集即为直线 ymxn 图象在抛物线 yax2c 图象上方时自变量的取值范围， 不等式 ax2c
21、mxn 的解集为1 3， 故答案为：1 0， b2-4ac=(2m+1)2-4 1 m2=4m+10， 解得：m-14 故答案为：m-14 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出 4m+10，再求解即可。 17 【答案】4 【解析】【解答】解：篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ， -0.2x2+x+2.25=3.05， 整理，解得：x1=1，x2=4， H（4，0） ， OH=4m. 故答案为：4. 【分析】由篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，得出-0.2x2+x+2.25=3.05，解得 x1=1，x2=4，从而得出点 H 的坐标为（4，0） ，即可得出 OH=4m. 18 【答案
22、】5 0 时，5 3 . 故答案为：5 0)的图象相交于点(3，1)， 32+ 3 + 1 = 1，3= 1， 解得 = 3， = 3， 二次函数的解析式为1= 2 3 + 1，反比例函数的解析式为2=3( 0)； （2）32 3 （3）解：由题意作图如下： 当 = 0时，1= 1， (0，1)， (3，1)， 的边上的高与的边上的高相等， 与的面积相等， = ， 即 E 点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当 =32时，2= 2， (32，2). 【解析】【解答】解： （2）二次函数的解析式为1= 2 3 + 1， 对称轴为直线 =32， 由图象知，当1随 x 的增大而增大且1 2时，
23、32 0 ， (1，0) ， (2 + 1，0) . 当 = 0 时， = 2 + 1 . (0，2 + 1) . = = 2 + 1 . = 90 ， = 45 . （2）解：方法一：如图 1，连接 AE. = 2+ 2 + 2 + 1 = ( )2+ ( + 1)2 ， (，( + 1)2) ， (，0) . = ( + 1)2 ， = ， = + 1 . 点 A，点 B 关于对称轴对称， = . = = 45 . = 90 . = ， = ， + = + ， 即 = . ， tan =+1 . +1=(+1)2+1 . 0 ， 解方程，得 = 1 . 方法二：如图 2，过点 D 作 交
24、BC 于点 H. 由方法一，得 = ( + 1)2 ， = = + 1 . = 2+ . = = 45 ， = =22 =22(2+ ) ， = 2 = 2( + 1) . = + =22(2+ 3 + 2) . = ， = = 90 ， . = . 12+1=22(2+)22(2+3+2) ，即 12+1=+2 . 0 ， 解方程，得 = 1 . （3）解： 0 312 . 【解析】【解答】解： （3）0 ，即 45 . = 75 ， 60 . tan 3 ， = 2 + 1 ， 2 + 1 3 . 解得 0 ， 0 CBA=45 ，结合内角和定理得CAO60 ，然后结合三角函数的概念就可求
25、出 m 的范围. 27 【答案】（1）解：二次函数 =122+ + 与轴交于 (0，0)， (4，0)两点， 代入 (0，0)， (4，0)得， = 08 + 4 + = 0， 解得： = 2 = 0， 二次函数的表达式为 =122 2； （2）解：证明： =122 212( 2)2 2， 顶点 C 的坐标是（2，2） ，抛物线 =122 2的对称轴为直线 x2， 二次函数 =122+ + 与轴交于(0，0)，(4，0)两点， 由抛物线的对称性可知 OCAC， CABCOD， 沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点， ABCBC， CAB，ABB， COD， ODCBD， ； ， =， 设点
26、 D 的坐标为（d，0） ， 由两点间距离公式得 DC( 2)2+ (0 + 2)2=( 2)2+ 4， 点与、点不重合， 0d4， 对于2 ( 2)2+ 4来说， a10， 抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当 d2 时，2的最小值是 4， 当 d2 时，DC 有最小值为4 = 2， 由两点间距离公式得 OC(2 0)2+(2 0)2= 22， 有最小值为222=22， 的最小值为22； （3）解：= 8， = 8， ， =8 = 22， OC22， BAB1， 点 B 的坐标是（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为 y1x1， 把点 B（3，0） ，C（2，2）代入得31+ 1= 021
27、+1= 2， 解得1= 21= 6， 直线 BC 的解析式为 y2x6， 设点的坐标是（p，q） ， 线段A 的中点为（+42，2） ， 由折叠的性质知点（+42，2）在直线 BC 上， 22+426， 解得 q2p4， 由两点间距离公式得B( 3)2+ ( 0)2=( 3)2+ (2 4)2= 1， 整理得( 3)2+ (2 4)21， 解得 p2 或 p125， 当 p2 时，q2p40，此时点（2，0） ，很显然不符合题意， 当 p125时，q2p445，此时点（125，45） ，符合题意， 设直线的解析式为 y2x2， 把点 B（3，0） ，（125，45）代入得，32+ 2= 012
28、52+2=45， 解得2= 432= 4， 直线的解析式为 y43x4， 联立直线和抛物线 =122 2得到， = 43 + 4 =122 2， 解得1=2+21931=288199，2=221932=28+8199， 直线与二次函数的交点横坐标为2+2193或22193. 【解析】【分析】 （1）将 O（0，0） 、A（4，0）代入 y=12x2+bx+c 中求出 b、c 的值，据此可得二次函数的表达式； （2）根据二次函数的表达式可得顶点 C 的坐标为（2，-2） ，对称轴为直线 x=2，根据抛物线的对称性可得 OC=AC，由等腰三角形的性质可得CAB=COD，根据折叠的性质可得ABCAB
29、C，则CABA，ABAB，推出CODA，根据对顶角的性质可得ODCBDA，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明； 设 D（d，0） ，根据两点间距离公式表示出 DC，根据点 D 与 O、A 不重合可得 0d4， 利用二次函数的性质可得CD的最小值， 利用两点间距离公式求出OC， 然后根据相似三角形的性质进行计算； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得 AB，据此可得点 B 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，设 A（p，q） ，表示出 AA 的中点坐标，代入直线 BC 的解析式中可得 q=2p-4，利用两点间距离公式可得 AB， 据此求出 p 的值， 进而可
30、得点 A的坐标， 利用待定系数法求出直线 AB的解析式，联立抛物线解析式求出 x、y，据此可得交点的横坐标. 28 【答案】（1） （-3，4）或（3，4） （2）解：小明的猜想成立 解法 1：如图，设半径为的圆与直线 = 1的交点为(， 1) 因为 = ，所以2+ ( 1)2= 2，即2= 2 1， 所以 =122+12， 所以 = 1 =12212上，小明的猜想成立 解法 2：设半径为的圆与直线 = 1交点为(， 1)， 因为 = ，所以2+ ( 1)2= 2，解得 = 2 1，所以(2 1， 1) = 2 1， = 1，消去，得 =12212， 点在抛物线 =12212上，小明的猜想成立
31、 （3）解：存在所描的点在 上，理由： 如图，设所描的点(2 1， 1)在 上， 则 = ，因为(0，2)， 所以(2)2= (2 1)2+ ( 1 2)2， 整理得 =21=21+11= + 1 +11， 因为，都是正整数， 所以只有 = 2， = 4满足要求 因此，存在唯一满足要求的，其值是 4 【解析】【解答】解： （1）如图， = = = 5， = 4， ， = = 52 42= 3， (3，4)，(3，4)， 故答案为：(3，4)或(3，4)； 【分析】（1） 画出示意图， 由题意可得 OA=OB=OD=5， OC=4， OCAB， 根据勾股定理可得 AC=BC=3，据此可得点 A、B 的坐标； （2）解法 1：设半径为 n 的圆与直线 y=n-1 的交点为 P（x，n-1） ，根据 OP=n 可得 x2=2n-1，表示出 n，据此证明； 解法 2：设半径为 n 的圆与直线 y=n-1 交点为 P（x，n-1） ，根据 OP=n 可得 x2+(n-1)2=n2，求出 x，表示出点 P，据此证明； （3）设所描的点 N（2 1，n-1）在M 上，则 MO=MN，根据两点间距离公式得 m=n+1+11根据 m、n 都是正整数可得 m、n 的取值，据此解答
