1、 第第 6 6 讲讲 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1李师傅家的超市今年 1 月盈利 3000 元，3 月盈利 3630 元若从 1 月到 3 月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ） A10.5% B10% C20% D21% 2已知 3xy3a26a+9，x+ya2+6a10，当实数 a 变化时，x 与 y 的大小关系是（ ） Axy Bxy Cxy Dxy、xy、xy 都有可能 3 （2022 南通模拟）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染 （225 人可以理解为三轮感染的总人数
2、） ， 若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程（ ）. A1+x225 B1+x2225 C （1+x）2225 D1+（1+x2）225 4 （2022 泗阳模拟）方程2 4 = 0的解是（ ） A1= 2，2= 2 B = 0 C1= 2= 2 D1= 2= 2 5 （2021 徐州模拟）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了 28 场，则有几个球队参赛？设有 个球队参赛，则 满足的关系式为（ ） A12( + 1) = 28 B12( 1) = 28 C( + 1) = 28 D( 1) = 28 6 （2021 徐州模拟）已知1，2是关于的方程2 1 = 0的两
3、个实数根，下列结论一定正确的是（ ） A1 2 B1+ 2 0 C1 2 0 D1 0，2 0 B1 2 12 ，则 的值等于 . 19 （2021 射阳模拟）方程 x2-7x+10=0 的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长是 20（2021 栖霞模拟）已知， 关于 的方程 2 (3 + 1) + 2 + 2 = 0 根都是整数； 若 为整数，则 的值为 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 建湖模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）x2m80. （1）求证：方程总有两个实数根. （2）若方程有一个根是负数，求 m 的取值范围. 22 （2021 大丰模拟）某商店
4、经销一种成本为每千克 80 元的水果，据市场分析，若按每千克 100 元销售，一个月能售出 500 千克若销售价每涨 5 元，则月销售量减少 20 千克针对这种水果的销售情况请解答以下问题： （1）当销售单价为每千克 110 元时，计算月销售量和月销售利润； （2）商店想在月销售成本不超过 20000 元的情况下，使月销售利润达到 12000 元，销售单价应定为多少元？ 23 （2021 鼓楼模拟）已知关于 的一元二次方程 ( 1)( 2) = + 1 （ 为常数）. （1）若它的一个实数根是方程 2( 1) 4 = 0 的根，则 = ，方程的另一个根 为 ； （2）若它的一个实数根是关于 的
5、方程 2( ) 4 = 0 的根，求 的值； （3）若它的一个实数根是关于 的方程 2( ) 4 = 0 的根，求 + 的最小值. 24 （2021 兴化模拟）平安路上，多“盔”有你.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶 80 元，售价为每顶 120 元，平均每周可售出 200 顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108 元，经调查发现：每降价 1 元，平均每周可多售出 20 顶. （1）该商店若希望每周获利 12000 元，则每顶头盔应降价多少元？ （2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？ 25 （2021 苏州模拟）某牧场准备利用现成
6、的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线 表示墙面，已知 ， = 3 米， = 9 米） 和总长为 36 米的篱笆围建一个“日”形的饲养场 （细线表示篱笆， 饲养场中间 也是用篱笆隔开） ， 如图， 点 可能在线段 上， 也可能在线段 的延长线上. （1）当点 在线段 上时， 设 的长为 米，则 = 米（用含 的代数式表示） ； 若要求所围成的饲养场 的面积为 66 平方米，求饲养场的宽 ； （2）饲养场的宽 为多少米时，饲养场 的面积最大？最大面积为多少平方米？ 26 （2021 东台模拟）专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为 30 元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过 50 元）
7、，每天可售出 50 件.根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件.设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件. （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （写出自变量 x 的范围） （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润 1932 元？ （3）设超市每天销售这种文化衫可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 27 （2021 射阳模拟）为积极响应国家“旧房改造”工程， 该市推出 加快推进旧房改造工作的实施方案推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设. （1）根据方案该市的旧房改造户数从 2020 年底的 3 万户增长到 202
8、2 年底的 4.32 万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2） 该市计划对某小区进行旧房改造， 如果计划改造 300 户， 计划投入改造费用平均 20000 元/户，且计划改造的户数每增加 1 户， 投入改造费平均减少 50 元/户， 求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：设这个平均增长率是 x，根据题意得 3000（1+x）2=3630 解之：x1=0.1=10，x2=-2.1（舍去）. 故答案为：B. 【分析】此题的等量关系为：今年 1 月盈利 （1+增长率）2=今年 3 月盈利，设未知数，列方程，然后求出符合题
9、意的方程的解. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：3xy3a26a+9，x+ya2+6a10， 3 ( + ) = (32 6 + 9) (2+ 6 10)， 2 2 = 22 12 + 19 = 2(2 6 + 9) + 1 = 2( 3)2+ 1， 不论 a 为何值，2( 3)2+ 1 1， 2 20， 22， 故答案为：A 【分析】 先求出2 2 = 22 12 + 19 = 2(2 6 + 9) + 1 = 2( 3)2+ 1， 再求出2 20，最后求解即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程： （1+x）2225. 故答案为：C. 【
10、分析】设 1 人平均感染 x 人， 责第一轮后共有（x+1）感染，第二轮可以传染 x(x+1)人，根据经过两轮传染将累计会有 225 人感染建立方程，即可解答. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：2 4 = 0， 2= 4， 1= 2，2= 2. 故答案为：A. 【分析】此题缺一次项，故将常数项移到方程的右边，然后利用直接开平方法进行计算. 5 【答案】B 【解析】【解答】设有 x 个球队参加比赛， 依题意得 1+2+3+x-1=28， 即 12( 1) = 28 故答案为：B. 【分析】设有 x 个球队参加比赛，可得共比赛12( 1)场，根据比赛场数共 28 场列出方程即可. 6 【答案】
11、A 【解析】【解答】解： 1，2是关于的方程2 1 = 0的两个实数根， 1+ 2= ， 1 2= 1， = 2+ 4 0， 不论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即 1 2， 故 A 选项符合题意； 不论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根，且 1+ 2= ， 1+ 2不一定大于 0， 故 B 选项不符合题意； 1 2= 10， x1与 x2异号， 故 C，D 选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系可得 x1+x2=k，x1x2=-1，=(-k)2+40，据此判断. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：a=1，b=1，c=-6， = 2 4 = 12 4
12、 1 (6) = 25 0， 方程有两个不相等的实数根. 故答案为：C. 【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当0 时，方程有两个不相等的实数根，当=0 时，方程有两个相等的实数根，当0 时，方程没有实数根；故确定 a，b，c 的值，代入公式判断出的符号即可得出结论. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：1 、 2 是关于 的方程 2 2 2= 0 的两根， 1+ 2= 2 0 ， 1 2= 2 0 ， = (2)2 4 1 (2) = 4 + 42 0 ， 1 2 ，方程必有一正根， 故答案为：B. 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出 x1+x2和 x1 x2，利用一元二次方
13、程根的判别式可得到此方程有两个不相等的实数根，由此可作出判断. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：由 2 3 + 2 = 0 可知，其二次项系数 = 1 ，一次项系数 = 3 ， 由韦达定理： 1+ 2= = (3)1= 3. 故答案为：A. 【分析】若 x1、x2分别为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根，则 x1+x2=，x1x2=，据此解答. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：A、 = (1)2 4 1 0 = 1 0 ，此方程有两个不相等的实数根； B、 = 0 4 1 (1) = 4 0 ，此方程有两个不相等的实数根； C、 = 12 4 1 14= 0 ，此方程有两个相
14、等的实数根； D、 = (2)2 4 1 4 = 12 0 ，此方程没有实数根. 故答案为：C. 【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式 = 2 4 的值就可以了，有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是 0 的一元二次方程. 11 【答案】-3 【解析】【解答】解：1，2 是方程 2+ 3 = 0 的两个根， 1+ 2= = 31= 3 ， 故答案是：-3. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知 1+ 2= ，据此求解即可. 12 【答案】2 【解析】【解答】解：关于 x 的方程 x2x10 的两根分别为 x1、x2， 1+ 2= 1，1 2= 1 ， x1+x2x1
15、x2=1-（-1）=2. 故答案为：2. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得1+ 2= 1，1 2= 1，然后整体代入计算即可. 13 【答案】3 【解析】【解答】解：m 是一元二次方程 x2+3x-1=0 的根， m2+3m-1=0， 3m-1=-m2， m、n 是一元二次方程 x2+3x-1=0 的两个根， m+n=-3， 3+231=2(+)2= ( + ) = 3 ， 故答案为：3. 【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得 m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可. 14 【答案】300(1 + )2= 363 【解析】【解答】解：设平均每年增产的百分
16、率为 x； 第一年粮食的产量为：300（1+x） ； 第二年粮食的产量为：300（1+x） （1+x）300（1+x）2； 依题意，可列方程：300（1+x）2363； 故答案为：300（1+x）2363. 【分析】设平均每年增产的百分率为 x，根据两年前粮食的产量 （1+增长百分率）2=两年后粮食的产量，列出方程即可. 15 【答案】2 【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： 1+ 2= 3 ， 1 2= ， 1= 22 ， 32= 3 ， 2= 1 ， 1= 2 ， = 1 2 = 2 ; 故答案为：2. 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 x1+x2和 x1 x2的值；再结合
17、已知条件可求出 k 的值. 16 【答案】2022 【解析】【解答】解：方程 x2-2021x-1=0 的两个根分别为 x1、x2， x1+x2=2021，x1x2=-1， x1+x2-x1x2=2021+1=2022. 故答案为：2022. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 x1+x2=2021，x1x2=-1，再代入原式进行计算，即可得出答案. 17 【答案】 0 0 ， 解得： 12 且 0 . 故答案为： 0 且 a0，求解可得 a 的范围. 18 【答案】1 【解析】【解答】解：关于 的一元二次方程 2 2 4 = 0 的两根是 1 、 2 1+ 2= 2，12= 4 1+
18、 2 12 2 4 解得 2 是负整数 = 1 故答案为：-1. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2=2m，x1x2=-4，然后根据 x1+x2x1x2可得m 的范围，结合 m 为负整数就可得到 m 的值. 19 【答案】12 【解析】【解答】解：方程 x2-7x+10=0， 分解因式得： （x-2） （x-5）=0， 可得 x-2=0 或 x-5=0， 解得：x1=2，x2=5， 当 2 为等腰三角形的腰时，5 为底边，此时三角形三边分别为 2，2，5，不满足两边之差大于第三边，舍去； 当 5 为等腰三角形的腰时，2 为底边，此时三角形三边分别为 5，5，2，周长为 5+
19、5+2=12， 综上，这个三角形的周长为 12. 故答案为：12. 【分析】利用因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系确定出三角形的边长，进而求出周长. 20 【答案】-1，0，1 【解析】【解答】解：当 = 0 时，方程为 + 2 = 0 ，此时解为 = 2 ，符合题意； 当 0 时， = (3 + 1) 24 (2 + 2) = 2 2 + 1 = ( 1)2 0 ， 1+ 2=3+1= 3 +1 ， 12=2+2= 2 +2 ， 1，2 和 k 均为整数， = 1 或 1， 综上所述，k 的值为-1，0，1， 故答案为：-1，0，1. 【分析】分情况讨论：当 k=
20、0 时，求出方程的解；当 k0 时，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出方程的两根之和及两根之积，根据方程的根为整数且 k 为整数，可得到符合题意的 k 的值. 21 【答案】（1）证明：=-（m-2）2-4 （2m-8） =m2-4m+4-8m+32 =m2-12m+36 =（m-6）2. （m-6）20， 方程总有两个实数根 （2）解：用因式分解法解此方程 x2-（m-2）x+2m-8=0， 可得（x-2） （x-m+4）=0，解得 x1=2，x2=m-4， 若方程有一个根为负数，则 m-40， 故 m4. 【解析】【分析】 （1）此题就是证根的判别式的值恒不为负数即可； （2）利用因式
21、分解法解方程得出 x1=2，x2=m-4， 根据方程有一个根式负数即可列出不等式， 解不等式即可求出 m 的取值范围. 22 【答案】（1）解： 500 20 1101005= 460 （千克） ； (110 80) 460 = 13800 （元 ) 答：当销售单价为每千克 110 元时，月销售量为 460 千克，月销售利润为 13800 元 （2）解：设销售单价应定为 元，则每千克的销售利润为 ( 80) 元，月销售量为 500 20 1005= (4 + 900) 千克， 依题意得： ( 80)(4 + 900) = 12000 ， 整理得： 2 305 + 21000 = 0 ， 解得：
22、 1= 105 ， 2= 200 当 = 105 时，月销售成本为 80 (900 4 105) = 38400 （元 ) ， 38400 20000 ，不合题意，舍去； 当 = 200 时，月销售成本为 80 (900 4 200) = 8000 （元 ) ， 8000 108 ，不符题意，舍去， 当 = 20 时，售价为 120 20 = 100 108 ，符合题意， 答：每顶头盔应降价 20 元； （2） 解： 设商店每周获得最大利润 元， 每顶头盔的售价为 元， 则平均每周可售出 20(120 ) +200 顶，且 80 108 ， 由题意得： = 20(120 ) + 200( 80
23、) ， 整理得： = 20( 105)2+ 12500 ， 由二次函数的性质可知，在 80 108 内，当 = 105 时， 取最大值 12500， 答：当每顶头盔的售价为 105 元，商店每周获得最大利润，最大利润是 12500 元. 【解析】【分析】 （1）设每顶头盔降价 元，从而可得平均每周可售出 (20 + 200) 顶，再根据“每周获利 12000 元”建立方程， 解方程即可得；（2） 设商店每周获得最大利润 元， 每顶头盔的售价为 元，从而可得平均每周可售出 20(120 ) + 200 顶，再根据利润公式可得 与 的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得. 25 【答案】（
24、1）解：(39 3) ； 要求所围成的饲养场 的面积为 66 平方米， = 66 . (39 3) = 66 . 解得 1= 11 ， 2= 2 ， 点 在线段 上，且 BC=9， 9 ，即 39 3 9 . 解得 10 . x=11，即饲养场的宽 为 11 米. 答：饲养场的宽 为 11 米. （2）解：设饲养场 的面积为 ， 的长为 米. 当点 在线段 上时， 根据（1）可得： = = (39 3) = 32+ 39 = 3( 132)2+5074 ， = 3 0 ， 当 =132 时， 有最大值，最大值为 5074 ，且当 132 时， 随 的增大而减小. 当点 在线段 上时，需满足 1
25、0 ， = 10 时， 有最大值，最大值为 3 102+ 39 10 = 90 （平方米）. 此时 = = 39 3 = 39 3 10 = 9 ，满足点 F 在线段 BC 上. 当点 在线段 的延长线上时，设 DE 为 y 米， 由（1）可得 DB=GH=EF=x，DE=BF=y， = 3 ， BC=9， = 9 . + = 36 . + 9 = 36 ( 3) . 解得 =12(48 3) . =12(48 3) . = =12(48 3) = 322+ 24 = 32( 8)2+ 96 . = 32 90 ， 饲养场的宽 为 8 米时，饲养场 的面积最大，最大面积为 96 平方米. 答：
26、饲养场的宽 为 8 米时，饲养场 的面积最大，最大面积为 96 平方米. 【解析】【解答】解： （1）饲养场 BDEF 是一个“日”形， 四边形 BDEF 是由矩形 BDGH 和矩形 FEGH 组成的矩形. DE=BF，DB=GH=EF. EF=x， DB=GH=EF=x. 又AB=3， = 3 . = 36 = 36 ( 3) = 39 3 . = 39 3 . 故答案为： （ 39 3 ） ； 【分析】（1） 易得四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形， 由矩形的性质可得DE=BF，DB=GH=EF，则 DB=GH=EF=x，AD=x-3，然后根据 DE=36-AD-GH-
27、EF 进行解答； 由矩形的面积等于长乘以宽建立方程， 求出 x 的值， 根据点 F 在线段 BC 上， 且 BC=9 可得 39-3x9，求出 x 的范围，然后对 x 的值进行取舍； （2）设饲养场 BDEF 的面积为 S，EF 的长为 x 米，当点 F 在线段 BC 上时，根据（1）可得S=DE EF=-3x2+39x，结合二次函数的性质可得最大值以及 x 的值，进而求出 BF；当点 F 在线段 BC的延长线上时，设 DE 为 y 米，由（1）可得 DB=GH=EF=x，DE=BF=y，AD=x-3，CF=y-9，根据DE+CF=36-AD-GH-EF 可得 y，表示出 S，然后根据二次函数
28、的性质进行解答. 26 【答案】（1）解：设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件. 根据题意得， = 12 + 50(0 20) （2）解：根据题意得， (30 + )(12 + 50) = 1932 ， 解得： 1= 54，2= 16 ， 每件利润不能超过 50 元， = 16 ， 答：当 x 为 16 时，超市每天销售这种玩具可获利润 1932 元 （3） 解： 根据题意得， = (30 + )(12 + 50) = 122+ 35 + 1500 = 12( 35)2+ 2112.5 ， = 12 0 ， 当 0， 由题意得： 3(1 + )2= 4.32 ， 解得：x=0.2 或 x=
29、-2.2（舍） ， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为 20%； （2）解：设多改造 y 户，最高投入费用为 w 元， 由题意得： = (300 + ) (20000 50) = 50( 50)2+ 612500 ， a=-50，抛物线开口向下， 当 a-50=0，即 a=50 时，w 最大，此时 w=612500 元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为 612500 元. 【解析】【分析】 （1）设平均增长率为 x，根据 2020 年底的户数 （1+增长率）2=2022 年底 的户数，据此列出方程，解之并检验即可； （2） 设多改造 y 户，最高投入费用为 w 元， 根据总费用=平均每户的费用 总户数，列出关系式，列二次函数的性质求解即可
