1、浙江省杭州市萧山区2022-2023学年高二上期中考试数学试题一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1. 直线的倾斜角为()A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，复数，则()A. 1B. C. D. 23. 在中，已知，则AB等于()A. 1B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是()A. B. C. D. 5. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列命题正确的是()A. ，则B. ，则C. 若，则D. 若，则6. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为()A. B. C. D. 7. 已知，则点
2、A到直线BC的距离为()A. B. 1C. D. 8. 柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为()A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）9. 设复数，下列说法正确的是()A. z的虚部是yB. C. 若，则z为纯虚数D. 若z满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是()A. 异面直线与所成的角为B. 三棱锥的体积为C. 直线平面D. 二面角的大小为11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并
3、记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是()A. 事件B与事件C是互斥事件B. 事件A与事件B是相互独立事件C. 事件B与事件C是相互独立事件D. 12. 已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，则下列选项中正确的是()A. B. 的最大值为C. 的最大值为12D. 的最大值为9三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知向量，若，则_14. 写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程_.15. 已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值
4、范围为_.16. 已知直四棱柱，底面ABCD为平行四边形，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为_.四、解答题（本大题共6题，共70分）17. 已知直线求证：直线l过定点，并求出此定点;求点到直线l的距离的最大值.18. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?请补全频率分布直方图;求这120名学生运动时间的
5、第80百分位数是多少?19. 袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1，2，3，从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次。甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平?说明你的理由.20. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面平面证明：平面若，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.21. 已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为求圆C方程;过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.22. 图1是直角梯形ABCD，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图证明
6、：求二面角余弦值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：由直线，即可得直线的斜率为，即，所以直线的倾斜角为2.【答案】B【解析】解：，则3.【答案】B【解析】解：，由正弦定理，4.【答案】C【解析】解：圆锥侧面展开图是半圆，面积为，设圆锥的母线长为a，则，侧面展开扇形的弧长为，设圆锥的底面半径，则，解得，则这个圆锥的体积为5.【答案】D【解析】解：由题意可知，在A中，若，则m与相交或平行或，A错；在B中，若，则或m与n异面，B错；在C中，若，则n与相交或平行或，C错；在D中，若，则，D正确.6.【答案】B【解析】解：在上的投影向量的坐标为7.【答案】A【解析】解：8.【答案】C【解析】解：分别用
7、，表示6只鞋，则可能发生的情况有15种，取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，9.【答案】AD【解析】解：由复数的概念知，A正确；，故B不正确；当且时，z是纯虚数，故C不正确；因为，所以，即，表示以为圆心，1为半径的圆，故D正确；10.【答案】ABC【解析】解：由于和平行且相等，故异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.再由正方体的性质可得为等边三角形，故，即异面直线与所成的角为，A正确；三棱锥的体积即，B正确；由正方体的性质可得，在上底面内的射影为，且由三垂线定理可得同理可证，而和是平面内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得平面，C正确；由正
8、方体的性质可知二面角的平面角为，大小为，D错误；11.【答案】BCD【解析】解：根据互斥事件的定义可知A选项错误；对于事件A与事件B，事件A与事件B是相互独立事件，B正确，同理可知C正确；事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，D正确.12.【答案】AC【解析】解：由题意知，圆心，半径为，所以，当点P在AC的延长线上时，IAPl最大，此时，当点P在AC之间时，最小，此时，所以，即选项A正确;当直线AP与圆C相切时，取得最大值，此时，即选项B错误;设，当时，此时点，有最大值为，所以的最大值为，即选项D错误.13.【答案】【解析】解：，由，可得，解得14.【答案】或写出1条即可
9、【解析】解：当直线过原点时，方程设为代入点A得：；当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得，则直线方程是则答案为或写出1条即可15.【答案】【解析】解：由题意知，两圆相交或相切，两圆心的距离，解得16.【答案】【解析】解：如图，取，连结，因为在直四棱柱中，侧棱底面ABCD，可得直四棱柱的四个侧面均为矩形，所以，因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切.在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，根据余弦定理可得，所以因为，平面，所以，所以，所以球面与侧面的交点为F和，又，平面，所以点F和在以为圆心，半径为1的圆上，因为，所以弧的长度为，所以球面与侧面的交线为弧，所以球面与侧面
10、的交线的长度为17.【答案】解：由直线，则，故直线l过定点；由直线得过定点18.【答案】解：报名的学生共有1080人，抽取的比例为所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人补全得第80百分位数是19.【答案】解：试验的样本空间，共6个样本点，设标号和为奇数为事件 B，则 B包含的样本点为，共4个，所以试验的样本空间，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，故所求概率为，所以甲、乙获胜的概率是公平的。20.【答案】解：四棱锥的底面为正方形，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面平面，又平面ABCD，平面ABCD，平面由底面ABCD且四棱锥的底面为正方形，可知DA、DC、DP两两
11、互相垂直，以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：由于，则，设平面PAC的法向量是，则，令，得，设直线l与平面PAC所成角为，则21.【答案】解：设圆心，则圆的方程为，或舍去圆的方程为当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，令代入圆方程得或，满足题意.此时方程为当斜率存在时，设直线l的方程为，圆心到直线l的距离，原点O到直线l的距离，整理，得，此时k无解综上所述，所求的直线的方程为22.【答案】解：在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形，又，四边形CEAB是菱形故，面，又平面，由 可得，又设二面角的平面角为，则或过作于则面如图建系：，设面的一个法向量为，则取或取而面ABD的一个法向量为或
