1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 1212 讲讲 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 = ( 1)2 ( 0)，当1 4时，y 的最小值为4，则 a 的值为（ ） A12或 4 B43或12 C43或 4 D12或 4 2已知点 A（a，b） ，B（4，c）在直线 ykx3（k 为常数，k0）上，若 ab 的最大值为 9，则 c 的值为（ ） A1 B32 C2 D52 3点 A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数 y=(x-1)2+n 的图象上。若 y12 Bm 32 Cm1 D32 m2 4 （2022 湖州）将抛物线 y=x2向上平移 3 个单位，所得抛物
2、线的解析式是（ ） Ay=x2+3 By=x2-3 Cy=(x+3)2 Dy=(x-3)2 5 （2022 杭州）已知二次函数 y=x2+ax+b(a，b 为常数)命题：该函数的图象经过点(1，0)；命题：该函数的图象经过点(3，0)；命题：该函数的图象与 x 轴的交点位于 y 轴的两侧；命题；该函数的图象的对称轴为直线 x=1如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是( ) A命题 B命题 C命题 D命题 6 （2022 温州）已知点 A（a，2） 、B（b，2） 、C（c，7）都在抛物线 = ( 1)2 2 上，点 A 在点 B 左侧，下列选项正确的是（ ） A若 0 ，则 B若
3、 0 ，则 0 ，则 0 ，则 7 （2022 绍兴）已知抛物线 y=x2+mx 的对称轴为直线 x=2 ， 则关于 x 的方程 x2+mx=5 的根是 （ ） A0，4 B1，5 C1，5 D1，5 8 （2022 奉化模拟）如图，抛物线 = 2+ + 过点 (1，0) ， (0， 1) ，顶点在第四象限，记 = 2 ，则 P 的取值范围是（ ） A0 1 B1 2 C0 2 D不能确定 9 （2022 金东模拟）若二次函数 = 2( 1)2 1 的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A点 B点 C点 D点 10 （2022 宁波模拟）抛物线 yx26x+4 的
4、顶点坐标是（ ） A （3，5） B （-3，5） C （3，-5） D （-3，-5） 二、填空题二、填空题 11 （2022 衢州模拟）为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系为 = 225( 4)2+ 2，由此可知小豪此次投掷的成绩是 m. 12 （2022 浦江模拟）如图，抛物线 = 452+ 1与抛物线 = 2 2的交点在 x 轴上，现将抛物线 = 452+ 1向下平移15个单位， = 2 2向上平移 个单位，平移后两条抛物线的交点还在 x 轴上. 13（2022
5、 南浔模拟）如图， 一组 x 轴正半轴上的点 1 ， 2 ， 满足条件 1= 12= 23 =1= 2 ，抛物线的顶点 1 ， 2 ， 依次是反比例函数 =9 图象上的点，第一条抛物线以 1 为顶点且过点 O 和 1 ；第二条抛物线以 2 为顶点且经过点 1 和 2 ；第 n 条抛物线以 为顶点且经过点 1 ， ， 依次连结抛物线的顶点和与 x 轴的两个交点， 形成 11 、 122 、 1 . 学科网（北京）股份有限公司 （1）请写出所有满足三角形面积为整数的 n 的值 ； （2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 . 14 （2022 宁波模拟）在平面直角坐标系 xO
6、y 中， 已知点 M ， N 的坐标分别为 （-1，2） ， （2，1） ，若抛物线 y=ax2-x+2(a0） 与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是 15 （2022 普陀模拟）平行四边形 ABCD 中，BC14 ，BD3AC，设 ACx，则 x 的取值范围是 ，平行四边形 ABCD 面积的最大值是 16 （2022 玉环模拟）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致） ，第一次反弹后的最大高度为 1 ，第二次反弹后的最大高度为 2 ，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板 C 处，且离地高度 =231 ，若 =9
7、0， = 2 ，则 21 为 17 （2021 北仑模拟） 北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱。有一草莓种植大户， 每天草莓的采摘量为 300 千克， 当草莓的零售价为 22 元/千克时， 刚好可以全部售完。 经调查发现，零售价每上涨 1 元，每天的销量就减少 30 千克，而剩余的草莓可由批发商以 18 元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为 元时，该种植户一天的销售收入最大。 18 （2022 金东模拟）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图 1 所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 = 4cm ， = 8cm ，液体高度 1
8、2cm ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 = 45 时停止转动，如图 2 所示，此时液面宽度 = cm ，液面 到点 所在水平地面的距离是 cm 学科网（北京）股份有限公司 图 1 图 2 19 （2022 兰溪模拟）已知抛物线 1= 2 2 3 ， 2= 2 2 ，若这两个抛物线与 x 轴共有 3 个交点，则 a 的值为 . 20 （2022 上城模拟）心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用时间 x(分)之间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0 x30)，y 值越大，表示接受能力越强，在第 分钟时，学生接受能力最强. 三、综合题三、综合题 21 （2022
9、温州模拟）疫情期间，某口罩公司生产 A、B 两种类型医用口罩.一家超市 4 月份向该公司订购了 1500 件 A 型口罩和 1500 件 B 型口罩，一共花了 5700 元；5 月份又花 5600 元订购了 2000 件 A型口罩和 1000 件 B 型口罩. （1）求该公司 A、B 两种类型医用口罩的单价. （2）6 月份，该超市决定只卖 A 型口罩.经调查发现，当销售单价定为 2 元时，每天可售出 100 件，销售单价每涨价 0.1 元，每天销售量减少 10 件.设每天销售量为 y 件，销售单价为 x 元（2 2.5）. 求 y 与 x 的函数关系式. 该超市决定每销售一件口罩便向某慈善机
10、构捐赠 a 元（0.2 0.4）.当销售单价为多少元时，当月获得的利润最大？最大利润为多少元？ 22 （2022 临安模拟）设二次函数 = 2 ( + 1) + 2+ 2 + 2 （m 是常数） （1）当 = 3 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）试判断二次函数图象与 x 轴的交点情况； （3）设二次函数的图象与 y 轴交于点 (0，) ，当 2 2 时，求 n 的最大值 23 （2022 杭州模拟）某超市销售一种商品，每件成本为 50 元，销售人员经调查发现，销售单价为 100元时，每月的销售量为 50 件，而销售单价每降低 2 元，则每月可多售出 10 件，且要求销售单价不得
11、低于成本. （1）求该商品每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为 4000 元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3） 超市的销售人员发现： 当该商品每月销售量超过某一数量时， 会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 24 （2022 婺城模拟）定义： 对于两个关于 x 的函数 y1， y2.如果 x=t， 两个函数的函数值相等， 即 y1=y2，那么称y1， y2互为“等值函数”， 其中x=t叫做函数y1， y2的“等值根”
12、.例如： 对于函数1= 2，2= + 3.当 x=1 时，y1=y2=2.因此 y1，y2互为“等值函数”，x=1 是这两个函数的“等值根”. （1）函数 = 1与 =1 （填“是”或“不是”）“等值函数”； （2）已知函数1= ( 1) + 1与2=2 2( 1)2 2( 1)，3= |2+2|.函数 y2的图象如图所示. 若 = 1，求 y1与 y2的“等值根”； 若 y1与 y2只存在一个“等值根”，则 k 的取值范围为 。 若函数 y1与 y3互为“等值函数”，且有两个“等值根”，请直接写出 k 的取值范围. 25（2022 诸暨模拟）已知直线 = 43 + 交 x 轴于点 A， 交
13、y 轴于点 C （0， 4） ， 抛物线 =232+ + 经过点 A，交 y 轴于点 B（0，-2） ，点 P 为抛物线上一个动点，设 P 的横坐标为 m（m0） ，过点 P 作x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BDPD 于点 D，联结 PB. （1）求抛物线的解析式； （2）当BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长； （3） 将BDP 绕点 B 旋转得到，且旋转角PB=OAC， 当点 P 对应点落在 y 轴上时， 学科网（北京）股份有限公司 求点 P 的坐标. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：ya（x1）2a 此抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1
14、，a） ， 当 a0 时，在1x4，函数有最小值a， y 的最小值为4， a4， a4； 当 a0 时，在1x4，当 x4 时，函数有最小值， 9aa4， 解得 a12； 综上所述：a 的值为 4 或12. 故答案为：D. 【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当 a0 时，在1x4，函数有最小值a；当 a0 时，在1x4，当 x4 时，函数有最小值为-4；分别得到关于 a 的方程，解方程求出 a 的值. 2 【答案】C 【解析】【解答】 解：点 A（a，b） ，B（4，c）在直线 y=kx+3(k 为常数，k0)上， b=ak+3，c=4k+3， ab=a（ak
15、+3）=ka2+3a=k（a+32）2-94， 当 k0 时，ab 取最大值为-94， ab 的最大值为 9， -94=9，解得 k=-14， c=4 （-14）+3， c=2. 故答案为：C. 学科网（北京）股份有限公司 【分析】 把点 A （a， b） ， B （4， c） 分别代入一次函数解析式得 b=ak+3， c=4k+3， 再表示出 ab=k （a+32）2-94，当 k0 时，ab 取最大值为-94，又 ab 的最大值为 9，即-94=9，求得 k=-14，将 k 值代入 c=4k+3中计算，即可求出 c 值. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：点 A (m-1，y1)，B(m
16、，y2)都在二次函数 y=(x-1)2+n 的图象上 ， y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ， y1y2， (m-1-1)2+n(m-1)2+n ， 整理得：-2m+332， 故答案为：B. 【分析】把 A、B 点坐标代入函数式，根据 y1 1432 12 14， 7 14， 根据平行四边形的性质有= 4= 4 12 = 28， 当最大时，平行四边形的面积最大， 设 = ，则 = 14 ， 2= 2 2，2= 2 2， 2 2= 2 2， 学科网（北京）股份有限公司 即(32)22= (12)2 (14 )2， = 7 +214，即 = 7 +214， =(32)2 (7
17、 +214)2=4196+542 49， 令2= ，则 =2196+54 49， 当 =4904时，即 =7102时，最大， =214， 平行四边形的面积最大值为：28 = 28 214= 147 故答案为：7x14；147. 【分析】设 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC 于点 E，由题意可得 BD=3x，根据平行四边形的性质可得 BO=32x，CO=12x，根据三角形的三边关系可得 x 的范围，根据平行四边形的性质可得SABCD=4SBOC=28OE，设 BE=y，则 CE=14-y，根据勾股定理可得 BO2-BE2=CO2-CE2可表示出 y，根据勾股定理可得 OE，然后结
18、合二次函数的性质进行解答. 16 【答案】2536 【解析】【解答】解：OB=90dm，OA=2AB， OA=23OB=60dm，AB=30dm， 第一次反弹后抛物线的对称轴为 x=30，顶点坐标为（30，h1） 设第一次反弹后的抛物线解析式为 y=a（x-30）2+h1， 第一次反弹后抛物线过原点， a（0-30）2+h1=0， 解得：h1-900a， 又每次反弹后保持相同的抛物线形状， 设第二次反弹后的抛物线解析式为 y=a（x-m）2+h2， BC23h1， BC-600a， C 点坐标为（90，-600a） 抛物线过 A，C 两点， 0 = （60 ）2+ 2600 = （90 ）2+
19、 2， 学科网（北京）股份有限公司 整理，解得： = 852= 625 ， 21=625900=2536. 故答案为：2536. 【分析】易知 OA 及 AB 的长度，从而得第一次反弹后抛物线的对称轴为 x=30dm，顶点坐标为（30，h1） ，设第一次反弹后的抛物线解析式为 y=a（x-30）2+h1，由第一次反弹后抛物线过原点，可求出 h1-900a； 根据每次反弹后保持相同的抛物线形状， 设第二次反弹后的抛物线解析式为 y=a （x-m）2+h2，再由 BC23h1， 得 BC-600a， 即点 C （90， -600a） ， 把 A， C 两点坐标代入函数解析式可解出 h2的值，即可求
20、得21的值. 17 【答案】25 【解析】【解答】解：设草莓的零售价为 x 元/千克，销售收入为 y 元， 由题意得，y=x 300-30（x-22）+18 30（x-22）=30 x2+1500 x-11880， -300， 当 x=2=150060=25 时，y 最大， 即当草莓的零售价为 25 元/千克时，种植户一天的销售收入最大 故答案为：25. 【分析】设草莓的零售价为 x 元/千克，销售收入为 y 元，再根据零售价每上涨 1 元，每天的销量就减少30千克， 而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走， 可列二次函数关系式 y=x 300-30（x-22）+18 30（x-
21、22） ，整理得 y=30 x2+1500 x-11880，再结合二次函数的性质求解即可. 18 【答案】52；72 【解析】【解答】解：如图建立平面直角坐标系，作ABE=45 ，交抛物线与点 E，交 x 轴于点 F，过 B作 BMCD 于点 M， 根据题意知：A（-2，-12） ，B（2，12） ，C（4，0） ，D（-4，0） ，M（2，0） ，BM=12， 学科网（北京）股份有限公司 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 4 2 + = 124 + 2 + = 1216 + 4 + = 0， = 1 = 0 = 16， 抛物线的解析式为 y=-x2+16， ABE=45 ，ABM=
22、90 ， FBM=45 ， BMF=90 ， BFM=FBM=45 ， FM=BM=12， BF=122， M（2，0） ， F（-10，0） ， 设 BF 的解析式为 y=kx+b1， 2 +1= 1210+1= 0， = 11= 10， BF 的解析式为 y=x+10， 联立方程组 = 2+ 16 = + 10， 解得1= 21= 12，2= 32= 7， E（-3，7） ， B（2，12） ，C（4，0） ， BE=(2 + 3)2+(12 7)2= 52，CE=(4 + 3)2+(0 7)2= 72， EF=BF-BE=122-52=72， C（4，0） ，F（-10，0） ， CF=
23、14， （72）2+（72）2=142， EF2+CE2=CF2， FEC=90 ， 点 C 到 BE 的距离为 CE=72. 故答案为 52；72. 学科网（北京）股份有限公司 【分析】如图建立平面直角坐标系，作ABE=45 ，交抛物线与点 E，交 x 轴于点 F，过 B 作 BMCD 于点 M，分别求出抛物线和直线 BE 的解析式，以及点 E 的坐标，从而求出 BE，CE，EF 的长，再根据勾股定理的逆定理得出FEC=90 ，得出点 C 到 BE 的距离为 CE 的长，即可得出答案. 19 【答案】18 ，1，3 【解析】【解答】解：1= 2 2 3 = ( + 1)( 3) 抛物线 1=
24、 2 2 3 与 x 轴的交点坐标为（-1，0） ， （3，0） ， 抛物线 1= 2 2 3 ， 2= 2 2 与 x 轴共有 3 个交点， 分三种情况： 抛物线 2= 2 2 与 x 轴有一个交点，则有 (1)2 4 1 (2) = 0 解得： = 18 当抛物线 2= 2 2 经过点（-1，0）时，则有： (1)2 (1) 2 = 0 解得， = 1 当抛物线 2= 2 2 经过点（3，0）时，则有： 32 3 2 = 0 解得， = 3 综上，两个抛物线与 x 轴共有 3 个交点时 a 的值有 18 ，1，3. 故答案为： 18 ，1，3. 【分析】易得抛物线 y1与 x 轴的交点坐标
25、为（-1，0） ， （3，0） ，当抛物线 y2与 x 轴有一个交点时，根据=0 可得 a 的值；当抛物线 y2经过点（-1，0）时，代入求解可得 a 的值；当抛物线 y2经过点（3，0）时，代入求解可得 a 的值. 20 【答案】13 【解析】【解答】解：0.10， 函数开口向下，有最大值， 根据二次函数的性质，当 = 2.62(0.1)= 13 时，y 最大， 即在第 13 分钟时，学生接受能力最强. 故答案为：13. 【分析】根据函数关系式可得函数开口向下，有最大值，然后结合二次函数的性质进行解答. 21 【答案】（1）解：设口罩的单价为元，则口罩的单价元. 学科网（北京）股份有限公司
26、由题意，得1500 + 1500 = 57002000 + 1000 = 5600， 解，得 = 1.8 = 2 答：A、B 口罩的单价分别为 1.8 元和 2 元； （2）解：由题意可得： = 100 10 20.1= 100 + 300（2 2.5） 设该超市每天获得的利润为 W 元， 由题意可得： = ( 1.8 ) = ( 1.8 )(100 + 300) = 1002+ (480 + 100) 540 300， 2=12 + 2.4，0.2 0.4， 2.5 12 + 2.4 2.6， 2 2.5， = 100 0， 当 = 2.5时，一天获得的利润最大，为(35 50)元. 因此，
27、该超市当月获得的最大利润为(35 50) 30 = 1050 1500元. 【解析】【分析】 （1）设 A 口罩的单价为 m 元，B 口罩的单价 n 元，根据购了 1500 件 A 型口罩和 1500件 B 型口罩， 一共花了 5700 元可得 1500m+1500n=5700； 根据花 5600 元订购了 2000 件 A 型口罩和 1000件 B 型口罩可得 2000m+1000n=5600，联立求解即可； （2）根据题意可得每天的销售量减少20.1 10，然后利用 100 减去减少的量可得 y 与 x 的关系式； 设该超市每天获得的利润为 W 元，根据(售价-进价-向某慈善机构捐赠的钱数
28、) 销售量可得 W 与 x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答. 22 【答案】（1）解：当 m3 时，二次函数 yx24x+17（x2）2+13， 该二次函数图象的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，13） ； （2）解：令 x2（m+1）x+m2+2m+20， （m+1）24（m2+2m+2）3（m+1）240， 该一元二次方程无解， 二次函数图象与 x 轴无交点； （3）解：令 x0， nm2+2m+2（m+1）2+1， 对称轴为 m=-1， 2m2，抛物线开口向上， 当 m2 时，二次函数有最大值，即 n 的最大值为 10 【解析】【分析】 （1）将 m3 代入二次函数解析式，再把
29、函数解析式化成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标； 学科网（北京）股份有限公司 （2）判断根的判别式 的正负即可得出结论； （3）令 x=0，可得到 n 关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可得出 n 的最大值. 23 【答案】（1）解：依题意得 = 50 + (100 ) 12 10， 与的函数关系式为 = 5 + 550； （2）解：依题意得( 50) = 4000， 即(5 + 550)( 50) = 4000， 解得：1= 70，2= 90， 70 90 当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； （3）解：设每月总利润为，依题意得 = ( 50)
30、= (5 + 550)( 50) = 52+ 800 27500 5 0，此图象开口向下 当 = 8002(5)= 80时， 有最大值为：5 802+ 800 80 27500 = 4500（元） ， 当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元， 故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元. 【解析】【分析】 （1）根据实际销售量=原销售量+1012（销售单价-原计划销售单价）列式即可； （2）销售利润=单件利润 销售量，据此列出方程并解之即可； （3）根据销售利润=单件利润 销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可. 24 【答案】（1）是 （2）解： 由题意：k=
31、1，y1=x+2 当 x1 时，x+2=2x2，解得 x=43 当 x1 时，x+2=22x，解得 x=0 y1与 y2的等值根为 0 或43； 2或 2； 8或13 1或 k4-22 【解析】【解答】 （1）解：1= 12=1 解得1=1+52，2=152 当 =152时，1= 2 函数 = 1与 =1是“等值函数”； 故答案为：是； 学科网（北京）股份有限公司 （2）解： 1= ( 1) + 1 1过定点(1，1)， 如图， 2或 2时，y1与 y2只存在一个“等值根”， 如图， 由3= |2+ 2|，令 = 0，解得1= 0，2= 2 (2，0)，对称轴为 = 1， (1， 1) 学科网
32、（北京）股份有限公司 由（2）可知1过定点(1，1) 当1经过点时，设解析式为 = + ，将(1，1)，(2，0)代入得， + = 12+ = 0 解得 =13 =23 设解析式为 =13 +22， 当1经过点时，设解析式为 = 1 + 1，将(1，1)，(1， 1)代入得， + = 1+ = 1 解得 = 1 = 0 设解析式为 = ， 根据函数图象可知，当13 1符合题意， 设1与3分别相切与点， 由3= |2+ 2|，当2 0时，3= 2 2 3= 2 21= ( 1) + 1 即2 2 = + 1 2 (2 + ) + 1 = 0 = (2 + )2+ 4( 1) = 0 解得 = 0
33、（舍去）或 = 8 综上所述，当 8或13 1或 k4-22 【分析】 （1）根据 “等值函数” 的定义判断即可； （2）当 k=1 时 y1=x+2 ，分两种情况当 x1 和 x1 ，据此分别建立方程并求解即可； 由1= ( 1) + 1知1过定点(1，1)，分别画出 y1，y2的图象，根据图象及 “等值根”的定义即可求解； 学科网（北京）股份有限公司 如图，由3= |2+ 2|，令 = 0，解得1= 0，2= 2即得 A（-2，0） ，对称轴为直线 x=-1，从而求出 B（-1，-1） ，由（2）可知1过定点(1，1)，利用待定系数法求出1经过点时解析式为 =13 +22，1经过点时解析式
34、 = ，根据函数图象可知当13 1符合题意；设1与3分别相切与点，由3= |2+ 2|，当2 0时3= 2 2，联立1= ( 1) + 1，可得关于 x 的一元二次方程，根据=0 求出 k 值.结合函数图象即可求出 k 的范围. 25 【答案】（1）解：由直线 = 43 + 过点 C（0，4） ， 得 n=4， 直线 y=43x+4， 当 y=0 时，0=43x+4，解得 x=3， A（3，0） ， 抛物线 =232+ + 经过点 A（3，0） ，B（0，-2） ， 6 + 3+ = 0 = 2， 解得 = 43 = 2， =23243 2； （2）解：由题意设 P（m，23243-2） ，D
35、（m，-2） ， 若BPD 为等腰直角三角形，则 PD=BD， 当点 P 在直线 BD 的上方时，PD=23243， m0，点 P 在 y 轴的右侧，BD=m， 23243=m， 解得 m1=0（舍去） ，m2=72， 学科网（北京）股份有限公司 PD=72； 当点 P 在直线 BD 的下方时，m0，BD=m，PD=232+43， 232+43=m， 解得 m1=0（舍去） ，m2=12， 综上，m=72或12； 当BPD 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12； （3）解：= ，OA=3，OC=4， AC=5，sin= sin =45，cos=35， 当点落在 y 轴上时，如图，过点作x
36、 轴交 BD 于点 M，过点作y 轴，交的延长线于点 N， 逆时针旋转， = ，= ， = ， BDM+PDN=180-BDP=90，DBM+BDM=90， PDN=DBM， 学科网（北京）股份有限公司 = = ， = =23243， = = = ， 在 中， = sin=45(23243)， 在 中， = cos=35， = ， 即：45 （23m2-43m）=35m， 解得： =258或 = 0（舍去） ， 将 =258代入抛物线得： =1132， P（258，1132）. 当点落在 y 轴上时，如图，过点作x 轴交 BD 于点 M，过点作y 轴，交的延长线于点 N， 顺时针旋转 = ，=
37、 ， = ， BDM+PDN=180-BDP=90，DBM+BDM=90， PDN=DBM， = = ， = =43 232， = = = ， 在 中， = sin=45(43 232)， 在 中， = cos=35， = ， 即：45(43 232)=35m， 学科网（北京）股份有限公司 解得： =78或 = 0（舍去） ， 将 =78代入抛物线得： = 25596， P（78，25596）. 当点 P 对应点落在 y 轴上时，点 P 的坐标（258，1132）或（78，25596）. 【解析】【分析】 （1）将 C（0，4）代入 y=43x+n 中可得 n 的值，进而可得直线解析式，令 y
38、=0，求出x 的值，可得 A（3，0） ，然后将 A、B 的坐标代入 y=23x2+bx+c 中求出 b、c 的值，进而可得抛物线的解析式； （2）P（m，23m2-43m-2） ，则 D（m，-2） ， BPD 为等腰直角三角形，则 PD=BD，当点 P 在直线BD 的上方时，PD=23m2-43m，BD=m，根据 PD=BD 求出 m 的值，进而可得 PD；当点 P 在直线 BD的下方时，BD=m，PD=232+43，同理可得 m 的值，进而得到 PD； （3）利用勾股定理求出 AC，根据三角函数的概念可得 sinPBP、cosPBP的值，当点 P落在 y 轴上时，过点 D作 DMx 轴交 BD 于点 M，过点 P作 PNy 轴，交 MD的延长线于点 N，根据旋转的性质可得DBD=PBP，PD=PD，BD=BD，推出PDN=DBM，表示出 PD、BD，根据三角函数的概念可得 PN、BM，根据 PN=BM 可得 m 的值，进而可得点 P 的坐标；当点 P落在 y 轴上时，过点 D作 DMx 轴交 BD 于点 M，过点 P作 PNy 轴，交 MD的延长线于点 N，同理可得点 P 的坐标
