1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 1111 讲讲 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1 （2022 金东模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 的坐标为 (10，0) ，对角线 ， 相交于点 ，双曲线 =( 0) 经过点 ， + = 65 ， ， 的值为（ ） A16 B32 C64 D8 2 （2022 桐乡模拟）已知点 (2，1) ， (1，2) ， (3，3) 都在反比例函数 = 2 的图象上，则（ ） A1 2 3 B1 3 2 C2 1 3 D2 3的解集是（ ） A 0.5 B1 0.5或1 0 D 1或0 0， 0) 经过 AC 中点 D， 并交 AB 于点 E
2、. 若 =310 ， 则 k 的值为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A12 B18 C24 D30 5 （2022 龙湾模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强 () 与气体的体积 (3) 的关系是如图所示的反比例函数 当气球内气体的压强大于 200kPa， 气球就会爆炸 为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积 需满足的取值范围是（ ） A 0.5 C 0.5 D 0.5 6 （2022 杭州模拟）如图，ABOA 于点 A，AB 交反比例函数 y （x0）的图象于点 C，且 AC：BC1：3，若 4，则 k（ ） A4 B4 C2 D2 7 （2022 西湖模拟）如图，
3、是三个反比例函数 1=1 ， 2=2 ， 3=3 在 y 轴右侧的图象，则（ ） A1 2 3 B2 1 3 C3 2 1 D3 1 2 8 （2022 鄞州模拟）如图，一次函数 1= 1+ 的图象与反比例函数 2=2 的图象交于点 学科网（北京）股份有限公司 (1，) ， (4，) .当 1 2 时， 的取值范围是（ ） A1 4 B0 4 C 0 或 1 4 D 4 9 （2022 富阳模拟）若点 (1，1)，(2，2)，(3，3) 在反比例函数 = 6 的图象上，则 1，2，3 的大小关系为（ ） A1 2 3 B2 3 1 C1 3 2 D3 2 1 10 （2022 宁波模拟）已知正
4、比例函数 yk1x 和反比例函数 y2，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 k1k20 的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11（2022 衢州）如图， 在ABC中， 边AB在x轴上， 边AC交y轴于点E 反比例函数 =( 0)的图象恰好经过点 C，与边 BC 交于点 D若 AE=CE，CD=2BD，= 6，则 k= 12 （2022 湖州）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在 y 轴的负半轴上， tanABO=3， 以AB为边向上作正方形ABCD 若图象经过点C的反比例函数的解析式是y= 1 ， 学科网（北京）股份有限公司 则
5、图象经过点 D 的反比例函数的解析式是 13 （2022 江干模拟）某函数满足当 1 时，函数随 的增大而减小，且过点 (1，2) ，写出一个满足条件的函数表达式 . 14（2022 舟山）如图， 在直角坐标系中， ABC的顶点C与原点O重合， 点A在反比例函数y= (k0，x0)的图象上，点 B 的坐标为(4，3)，AB 与 y 轴平行，若 AB=BC，则 k= 15 （2022 乐清模拟）如图，点 A，B 在反比例函数 =( 0， 0)的图象上， 轴于点 C， 轴于点 D，连接 OA，AB，若 = 3 = 6， = ，则 k 的值为 . 16 （2022 宁波模拟）在平面直角坐标系中， 对
6、于不在坐标轴上的任意一点 (，) ， 我们把点 (1，1) 称为点 的“逆倒数点”.如图， 正方形 的顶点 为 (4，0) ， 顶点 在 轴正半轴上， 函数 =( 0) 的图象经过顶点 和点 ， 连结 交正方形 的一边于点 ， 若点 是点 的 “逆倒数点”， 则点 的坐标为 . 学科网（北京）股份有限公司 17 （2022 洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 是反比例函数 =图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB=OA， 过点B作BCx轴， 交反比例函数图象交于点D， 连结AD， 且= 3， 则的值为 . 18 （2022 瓯海模拟）如图， 在平面直角坐标系中， ABC 为等腰直角
7、三角形， ABC=90 ， ACx 轴，经过点 B 的反比例函数 y= （k0） 交 AC 于点 D， 过点 D 作 DEx 轴于点 E， 若 AD=3CD， DE=6，则 k= 19 （2022 建德模拟）已知反比例函数的表达式为 =1+2 ， (1，1) 和 (2，2) 是反比例函数图象上两点，若 1 0 2 时， 1 2 ，则 的取值范围是 . 20 （2022 玉环模拟）如图，反比例函数 = 的图象经过点 (1， 1) ，则当函数值 1 时，自变量 x 的取值范围为 三、综合题三、综合题 21 （2022 台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度
8、）不变时，火焰的像高 y （单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6 时，y=2 学科网（北京）股份有限公司 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若火焰的像高为 3cm ，求小孔到蜡烛的距离 22（2022 宁波）如图， 正比例函数 y= 23 x 的图象与反比例函数 y= (k0)的图象都经过点 A(a， 2) （1）求点 A 的坐标和反比例函数表达式 （2）若点 P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到 y 轴距离小于 3，请根据图象直接写出 n 的取值范围 23 （2022 杭州）设函数 y1= 1 ，函数 y2=k2x+b(k1，k2，b
9、是常数，k10，k20) （1）若函数 y1和函数 y2的图象交于点 A(1，m)，点 B(3，1)， 求函数 y1，y2的表达式： 当 2x 233 2 ， 1 3 2 . 故答案为：D. 【分析】分别将 x=2、x=1、x=3代入反比例函数解析式中求出 y1、y2、y3的值，然后进行比较即可. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：直线 = + ( 0)和双曲线 =( 0)相交于点 A，B 两点，点 A、B的横坐标分别为-1 与 0.5， 不等式 + 的解集为-1x0.5. 故答案为：C. 【分析】根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的 x 的范围即可. 4 【答案】B
10、【解析】【解答】解：如图，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作 AGx 轴于点 G， 学科网（北京）股份有限公司 D 为 AC 中点， DH 为ACG 的中位线， CH=GH，DHAG， DH：AG=1：2， 设 CH=GH=a，则 CG=2a， C（2，0） ， OH=2+a，OG=2（1+a） ， AB=AC=2（1+a） ， BE=310AB，ABy 轴于点 B， BE=35（1+a） ， 又双曲线 y=经过点 D，交 AB 于点 E， AG=yE=53（1+），DH=2+， 2+：53（1+）=1：2， 整理，解得：a=4， BE=3，CG=2CH=8，AB=AC=10， 在
11、 RtACG 中，AG=102 82=6， E（3，6） ， k=3 6=18. 故答案为：B. 【分析】如图，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A 作 AGx 轴于点 G，推出 DH 为ACG 的中位线，得 CH=GH，DHAG，从而得 DH：AG=1：2，设 CH=GH=a，则 CG=2a，进而表示 OH=2+a，OG=2（1+a） ，AB=AC=2（1+a） ，再由 BE=310AB，ABy 轴于点 B，可得 BE=35（1+a） ，从而可表示AG=yE=53（1+），DH=2+，列出 k 和 a 的比例式求得 a=4，得 BE=3，CG=2CH=8，AB=AC=10，在 学科网（
12、北京）股份有限公司 RtACG 中，由勾股定理求得 AG=6，从而得 E（3，6） ，进而求出 k 值即可. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：设 P 与 V 的函数关系为 P=， 当 V=0.8 时，P=125， k=125 0.8=100， P=100， 当 P=200 时 V=0.5， 当 P200 时，V0.5. 故答案为：D. 【分析】设 P 与 V 的函数关系为 P=，把 V=0.8，P=125 代入解析式，求出 k=100，再把 P=200 代入解析式求出 V=0.5，根据反比例函数图象的性质即可得出答案. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：AC：BC1：3， 设 AC=m(
13、m0)，BC=3m，则 AB=4m， 12OA AB=12 OA 4m=4， 解得 OA=2， C(-2，m)， k=xy=m (-2)=-2. 故答案为：D. 【分析】根据 AC：BC1：3，设 AC=m(m0)，BC=3m，得出 AB=4m，然后根据 4 列等式表示出 OA，从而求出 C 点坐标，代入反比例函数式求解即可. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：反比例函数2=2和3=3 部分图象在第一象限，且3=3离原点更远， k3k20， 1=1的部分图象在第四象限， k10 ， k3k2k1. 故答案为：C. 【分析】根据 k0 时，k 越大，则反比例函数图象越远离原点，可判断 k3k2
14、0，再根据1=1的 学科网（北京）股份有限公司 部分图象在第四象限，则 k0，即可得出 k3k2k1. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：当 1 2 时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，由图可知 x 的取值范围为 0 或 1 4 . 故答案为：C. 【分析】由于 A（1，m） ，B(4，m） ，观察图象可知当 0 或 1 4时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，据此即得结论. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：点 (1，1)，(2，1)，(3，3) 在反比例函数 = 6 的图象上， 1= 61= 6 ， 2= 62= 3 ， 3= 63= 2 ， 3 2 3 2 . 故答案为：C
15、. 【分析】分别将 x=-1、x=2、x=3 代入反比例函数解析式中求出 y1、y2、y3的值，然后进行比较即可. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：k10，k20， k1 k20， 符合题意； k10，k20， k1 k20， 不符合题意； k10，k20， k1 k20， 不符合题意； k10，k20， k1 k20， 符合题意， 符合 k1 k20 的是：. 故答案为：B. 【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到 k1和 k2的正负情况，从而可以判断 k1 k2的正负情况，即可得出符合题意的答案. 11 【答案】125 学科网（北京）股份有限公司 【解析】【解答】解：过点 C 作
16、 CMx 轴于点 M，过点 D 作 DNx 轴于点 N， 点 C 在反比例函数图象上， 设点 C(，) = ， =， CMDNOE，AE=CE，CD=2BD， = 1，=13， OA=OM=m， =3， 3= 解之：x=3m， ON=3m，MN=3m-m=2m， BN=m， AB=m+m+2m+m=5m， = 6 =12 5 解之： =125. 故答案为：125. 【分析】过点 C 作 CMx 轴于点 M，过点 D 作 DNx 轴于点 N，设点 C(，)，可得到 OM，CM的长；再利用 CMDNOE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出 OA，DN的长，由此可得到关于
17、x 的方程，解方程表示出 x，即可表示出 ON，MN，BN，AB 的长，然后利用ABC 的面积为 6，可求出 k 的值. 12 【答案】y= 3 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CEy 轴交于点 E，过点 D 作 DFx 轴交于点 F， 学科网（北京）股份有限公司 tanABO=3， AO=3OB， 设 OB=a，则 AO=3a， ABC=90 ， ABO+OAB=ABO+CBE， OAB=CBE， 又AB=BC，AOB=BCE=90 ， RtAOBRtBCE（AAS） ， CE=OB=a，BE=AO=3a， OE=BE-BO=3a-a=2a， 点 C（a，2a） ， 点 C 在反比例
18、函数 y=1图象上， 2a2=1，解得 a1=22，a2=-22（舍去） ， CE=OB=22，BE=AO=322， 同理可证：RtAFDRtAOB（AAS） ， DF=AO=322，AF=BO=22， FO=2， D（-2，322） ， 设经过 D 点的反比例函数解析式为 y=（d0） ， d=-2322=-3， y=-3. 【分析】 如图， 过点 C 作 CEy 轴交于点 E， 过点 D 作 DFx 轴交于点 F， 由 tanABO=3 得 AO=3OB，设 OB=a，则 AO=3a，由“AAS”定理证出 RtAOBRtBCE，从而得 CE=OB=a，BE=AO=3a，进而得 学科网（北京
19、）股份有限公司 OE=2a，即点 C（a，2a） ，由点 C 在反比例函数 y=1图象上，列出关于 a 的方程，解之得 CE=OB=22，BE=AO=322，同理可证：RtAFDRtAOB（AAS） ，从而得 DF=AO=322，AF=BO=22，FO=2，即 D（-2，322） ，设经过 D 点的反比例函数解析式为 y=（d0） ，代入点 D 坐标求解即可. 13 【答案】 =2 【解析】【解答】解： =2 ，当 = 1 时， = 2 且函数 y 的值始终随自变量 x 的增大而减小， 故答案为： =2 . 【分析】对于 y=，当 k0 时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增
20、大而减小，将（1，2）代入求出 k 的值，据此可得函数表达式. 14 【答案】32 【解析】【解答】解：ABy 轴，B（4，3） ，点 A 在反比例函数 y= (k0，x0)的图象上， 点 A（4，4） ， ABC 的顶点 C 与原点 O 重合， BC=OB=42+ 32=5， AB=BC， 5=4-3， k=32. 故答案为：32. 【分析】由 ABy 轴，B（4，3） ，点 A 在反比例函数 y= (k0，x0)的图象上，得点 A（4，4） ，再由勾股定理求得 OB 的长，结合 AB=BC，从而得 5=4-3，解之即可确定 k 的值. 15 【答案】415 【解析】【解答】解： = 3 =
21、 6， = 2， 点 A，B 在 =上， A（6，6） ，B（2，2） ， OA=OB， 2= 2， (6 0)2+ (6 0)2= (6 2)2+ (62)2， 学科网（北京）股份有限公司 整理得，212= 20， 解得：1= 415，2= 415， 0， = 415， 故答案为：415. 【分析】由已知条件可得 BD=2，设 A（6，6） ，B（2，2） ，根据 OA=OB 可得 OA2=OB2，结合两点间距离公式可得 k 的值，由反比例函数图象所在的象限可得 k0，据此解答. 16 【答案】(64，14) 或 (14，64) 【解析】【解答】解：正方形 OCDE，C（4，0） D（4，4
22、） ，将点（4，4）代入到 =得 k=16 =16， 令 A(，16) 点 B 是点 A 的 “逆倒数点” (16，1) 当 B 在 ED 上时，1= 4，得 =14； 当 B 在 CD 上时，16= 4，得 = 64； 综上所述， A 的坐标为(64，14) 或 (14，64). 【分析】先通过正方形上 C 点的坐标，可得 D（4，4） ，代入反比例函数，求得 K 的值，从而求出反比例函数的解析式，先假设 A 点坐标，即可得 B 点坐标，若 B 在 ED 上，那么 B 的纵坐标为 4，若 B在 CD 上，那么 B 的横坐标为 4，据此即可求解. 17 【答案】4 【解析】【解答】解：连接 O
23、D，作 . = ， 学科网（北京）股份有限公司 = = 3， =12 =12 =12|， 反比例函数图象在第一象限， 0， =12， 且 = ， 是 的中位线， = 2， = 2， =12 =12 2 2 = 2 = 2， = + + ， 3 + 3 +12 = 2， 解得： = 4. 故答案为： = 4. 【分析】连接 OD，作 AEOC，根据 OA=AB 可得 SOAD=SABD=3，根据反比例函数 k 的几何意义可得 SODC=2， 易得 AE 是OBC 的中位线， 则 OC=2AE， BC=2EC， 根据三角形的面积公式可 SOBC=2k，然后根据 SOBC=SABO+SOAD+SOD
24、C就可求出 k 的值. 18 【答案】27 【解析】【解答】解：如图，过 B 作 BFx 轴于点 F，交 AC 于点 H， 设 CD=m， AD=3CD=3m，AC=4m， ACx 轴， DE=6， D（3m，6） ， ABC 为等腰直角三角形， 学科网（北京）股份有限公司 AB=BC，ABC=90 ， AH=CH=HB=2m， B（2m，2m+6） ， 点 B，D 在双曲线 y=上， k=18m=2m（2m+6） ， m=32， k=27. 故答案为：27. 【分析】 过 B 作 BFx 轴于点 F， 交 AC 于点 H， 设 CD=m， 根据题意得出 D （3m， 6） ， B （2m，
25、2m+6） ，再根据点 B，D 在双曲线 y=上，得出 k=18m=2m（2m+6） ，求出 m 的值，即可得出 k 的值. 19 【答案】 12 【解析】【解答】 解： 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)为反比例函数 =1+2 图象上两点， 当 1 0 2 时， 10， 解得 12 ， 故 m 的取值范围是 12. 故答案为： 12. 【分析】根据题意可得：反比例函数的图象的两个分支分别在第一、第三象限，则 1+2m0，求解可得m 的范围. 20 【答案】0 x1 【解析】【解答】解：反比例函数 y=的图象经过点 A（-1，-1） ， k=-1 （-1）=10，图象也经过点（1，1
26、） ， 在第一、三象限内 y 随 x 的增大而减小， 当 y1 时，0 x1. 故答案为：0 x1. 【分析】 先由反比例函数 y=的图象经过点 A （-1， -1） ， 求得 k 值及关于原点对称的点 （1， 1） ， 由 y1，结合反比例函数性质可得 0 x1，即可求解. 21 【答案】（1）解：y 是关于 x 的反比例函数， 学科网（北京）股份有限公司 设 y 与 x 之间的函数解析式为 =， 当 x=6 时 y=2 k=2 6=12； 函数解析式为 =12 （2） =12 当 y=3 时 3x=12， 解之：x=4 答：若火焰的像高为 3cm ，小孔到蜡烛的距离为 4cm. 【解析】【
27、分析】 （1）利用 y 是关于 x 的反比例函数，因此 y 与 x 之间的函数解析式为 =，将 x=6，y=2 代入函数解析式求出 k 的值，可得到反比例函数解析式. （2）将 y=3 代入函数解析式求出对应的 x 的值，即可求解. 22 【答案】（1）解：把 A(a，2)的坐标代入 y= 23 x，得 2= 23 a， 解得 a=-3， A (-3，2)， 把 A (-3，2)的坐标代入 y= ，得 2= 3， 解得 k=-6， 反比例函数的表达式为 y= 6； （2）n 的范围为 n2 或 n-2. 【解析】【解答】解：(2)点 P（m，n）在反比例函数图象上， 且它到 y 轴距离小于 3
28、， -3m0 或 0m2 或 n-2. 【分析】(1)把 A(a，2)代入正比例函数式求出 A 点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可； (2)观察图象先确定出 m 的范围，再结合函数关系式和图象确定出 n 的取值范围即可. 23 【答案】（1）解：由题意，得 k1=3 1=3， 函数 y1= 3 函数 y1的图象过点 A(1，m)， m=3， 学科网（北京）股份有限公司 由题意，得 3 = 2+ ，1 = 32+ ， 解得 2= 1， = 4， y2=-x+4 y1y2 （2）解：由题意，得点 D 的坐标为(-2，n-2)， -2(n-2)=2n， 解得 n=1 【解析】【分析】 （1
29、）将点 B 的坐标代入反比例函数解析式，可求出 k1的值；再求出 m 的值，可得到点 A 的坐标；将点 A，B 的坐标代入一次函数解析式，建立关于 k，b 的方程组，解方程组求出 k，b 的值，可得到两函数解析式；利用反比例函数和一次函数的性质，可得到 2x 0 【解析】【分析】 （1）将点（3，-2）代入反比例函数解析式求出 k 的值，可得到反比例函数解析式；再利用描点法画出反比例函数的另一支图象. （2） 将 y=5 代入函数解析式求出对应的 x 的值； 观察函数图象可得到当 y5 且 y0 时的 x 的取值范围. 25 【答案】（1）解：设药物燃烧时 关于 的函数关系式是 = ( 0)
30、， 将点 (8，6) 代入，得 =34 ， 所以药物燃烧时 关于 的函数关系式是 =34 ，自变量 的取值范围是 0 8 ； 设药物燃烧后 关于 的函数关系式是 = ， 把 (8，6) 代入得： = 48 ， 所以药物燃烧后 与 的函数关系式为 =48 ， （2）解：当 = 1.6 时，代入 =48 ， 得 = 30 ， 那么从药薰开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次灭蚊有效， 将 = 3 分别代入 =34 ， =48 ， 得， = 4 和 = 16 ， 那么持续时间是 16 4 = 12() 10 ， 所以能有效杀灭室内的蚊虫. 【解析】【分析】 （1）设药物
31、燃烧时 y 关于 x 的函数关系式是 y=kx，将（8，6）代入求出 k 的值，据此可得对应的函数关系式；设药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式是 y=，将（8，6）代入求出 m 的值，据此可得对应的函数表达式； （2）将 y=1.6 代入反比例函数解析式中求出 x 的值即可； （3）将 y=3 代入（1）中的关系式中求出 x 的值，然后作差，再与 10 进行比较即可判断. 26 【答案】（1）解： 爆炸前浓度呈直线型增加， 可设 与 的函数关系式为 = 1 + (1 0) ， 由图象知 = 1 + 过点 (0，30) ， (6，75) ， 30 = 75 = 61+ ，解得 1=152 =
32、 30 学科网（北京）股份有限公司 =152 + 30 ，此时自变量 的取值范围是 0 6 ， 爆炸后浓度成反比例下降， 可设 与 的函数关系式为 =2(2 0) . 由图象知 =2 过点 (6，75) ， 26= 75 ， 2= 450 ， =450 ，此时自变量 的取值范围是 6 ； （2）解： 当 = 60 时，由 =152 + 30 得： 152 +30 = 60 ，解得 = 4 ， 撤离的最长时间为 6 4 = 2( 小时 ) . 撤离的最小速度为 3 2 = 1.5(/) ； （3）解：当 = 30 时，由 =450 得， = 15 ， 15 6 = 9( 小时 ) . 矿工至少在爆炸后 9 小时才能下井. 【解析】【分析】 （1） 由图象可得：爆炸前浓度呈直线型增加，设 y=k1x+b，将（0，30） 、 （6，75）代入求出 k1、b 的值，据此可得函数关系式；爆炸后浓度成反比例下降，设 y=2，将（6，75）代入求出k2的值，据此可得对应的函数关系式； （2）令爆炸前对应的函数关系式中的 y=60，求出 x 的值，然后求出撤离的时间，进而可得撤离的最小速度； （3）令爆炸后对应的函数关系式中的 y=30，求出 x 的值，据此求解
