1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 7 7 讲讲 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1若关于 x 的方程 x2+6x+c=0 有两个相等的实数根，则 c 的值是（ ） A36 B-36 C9 D-9 2如图，一块长方形绿地长 90 米，宽 60 米.在绿地中开辟两条道路，使得的 ： = 2 ： 3 ，开辟道路后剩余绿地面积为 5046 平方米，则 的值为（ ） A1 米 B2 米 C3 米 D4 米 3解一元二次方程 2 2 = 4 ，配方后正确的是（ ） A( + 1)2= 6 B( 1)2= 5 C( 1)2= 4 D( 1)2= 8 4 （2022 乐清模拟）若关于 x 的
2、方程2 + 4 = 0有实数根，则 m 的值可以是（ ）. A1 B2 C3 D4 5 （2022 瓯海模拟）如图是小明在解方程 12 x2-2x-1= 0 时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ） A第步 B第步 C第步 D第步 6 （2022 海曙模拟）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A + 2 = 0 B2+ =2 C3( 1) = 1 D2= 2 1 7 （2022 衢州模拟）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 64 元， 求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为 x， 可列方程得 （ ） A100(1 )
3、2= 64 B100(1 + )2= 64 C100(1 2) = 64 D100(1 + 2) = 64 8 （2022 定海模拟）直线 = 不经过第二象限，且关于 x 的方程2 2 + 1 = 0有实数解，则 a 学科网（北京）股份有限公司 的取值范围是（ ） A0a1 B0a1 C0a1 D0a0） ，则 x= (用百分数表示) 13 （2022 宁波模拟）关于 的一元二次方程 2 2 + = 0 有两个实数根，则 的取值范围是 . 14 （2022 上城模拟）已知方程 x23x+m=0 有两个实数根，则 m 所取的值可以是 .（填一个即可） 15 （2022 海曙模拟）受疫情影响，某快
4、递公司的投递业务锐减，已知今年 1 月份与 3 月份完成的快递总件数分别为25万件和16万件， 若假设快递量平均每月降低率为 ， 则可列出方程 . 16 （2022 海曙模拟）若 是方程 2+ 2 1 = 0 一个根， 则代数式 32+ 6 + 1 的值为 . 17 （2022 北仑模拟）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎具有人传人的特性， 若一人携带病毒， 未进行有效隔离， 经过两轮传染后共有 121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同） ，则每轮传染中平均每个人传染了 人. 18（2022 兰溪模拟）如图， 用 8 个全等的 RtAB
5、C (AC BC) 分别拼成如图 1 和图 2 中的两个正方形，中间的两个小正方形的面积分别记为 1 和 2 ，且 2= 31 ， 则 tanA= . 学科网（北京）股份有限公司 19 （2021 临海模拟）小丽在解一个三次方程 x32x10 时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为 1，所以原方程可以转化为(x1)(x2bxc)0.根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 . 20 （2021 婺城模拟）已知 m 是方程 x2-2021x+1=0 的一个根，则代数式 m2-2022m+ 2+12021 +2022 的值是 三、计算题三、计算题 21 （2021 婺城模拟）解方程： （x
6、1） （2x3）（2x3）. 22 （2021 婺城模拟）解方程：(x-1)(2x+3)=(2x+3) 23 （2021 东阳模拟）解方程： ( 3)2= (2 1)( 3) 24 （2022 海曙模拟）解方程： （1）2 6 = 0 ； （2）2 4 12 = 0 . 四、综合题四、综合题 25 （2022 舟山模拟）阅读下面的例题. 解方程： 2 | 1 = 0 . 解： （1）当 0 时，原方程化为 2 2 = 0 ，解得 1= 2 ， 2= 1 （不合题意，舍去）. （2）当 0 ， 解方程得： =352 ， ba， = a 可得1，然后结合三角函数的概念进行计算. 19 【答案】15
7、2 或 1 【解析】【解答】解：(x1)(x2bxc)0， 3+ ( 1)2+ ( ) = 0 ， 学科网（北京）股份有限公司 又由题意得： 3 2 + 1 = 3+ ( 1)2+ ( ) ， 1 = 0 = 2 = 1 解得： = 1 = 1 ( 1)(2+ 1) = 0 ， 1 = 0 ， 2+ 1 = 0 ， 由求根公式得： =11+42=152 ， 则原方程所有的解为： 152 或 1， 故答案为： 152 或 1. 【分析】观察发现方程有一根为 1，则原方程转化为 (x1)(x2bxc)0 ，再将左式展开，与已知的三次方程比较， 根据 x 的相同指数项系数相等分别列等式求出 b、 c
8、 值， 将其代入 x2bxc0 中，再解一元二次方程即可. 20 【答案】2021 【解析】【解答】解： m 是方程 x2-2021x+1=0 的一个根， m2-2021m+1=0， m2=2021m-1，m2+1=2021m， 原式=2021m-1-2022m+20212021+2022=2021. 故答案为：2021 【分析】根据题意得出 m2-2021m+1=0，从而得出 m2=2021m-1，m2+1=2021m，代入原式进行计算，即可得出答案. 21 【答案】解： （x1） （2x3）（2x3） 2x2-x-6=0 =（-1）2-4 （-6） 2=490 x= (1)4922=174
9、 ， 1= 2，2= 32 【解析】【分析】由题意先将原方程化为一般形式，再用一元二次方程的求根公式“ =242”可求解. 22 【答案】解：2x -x-6=0 （x-2） （2x+3）=0 学科网（北京）股份有限公司 x1=2 ；x2=32 【解析】【分析】直接去括号，再利用十字相乘法分解因式得出答案。 23 【答案】解： ( 3)2= (2 1)( 3) 化简得： 2 6 = 0 ， ( + 2)( 3) = 0 ， + 2 = 0 或 3 = 0 ， 1= 2，2= 3 . 【解析】【分析】先把括号展开，移项，将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘
10、积等于 0，则这两个因式至少有一个为 0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解. 24 【答案】（1）解： 2 6 = 0 分解因式得： ( 6) = 0 ， 则 = 0 或 6 = 0 ， 1= 0 ， 2= 6 . （2）解： 2 4 12 = 0 分解因式得： ( + 2)( 6) = 0 ， 则 + 2 = 0 或 6 = 0 ， 1= 2 ， 2= 6 . 【解析】【分析】 （1） 此方程是一元二次方程的一般形式， 且缺了一次项， 故可以利用因式分解法求解； （2）此方程是一元二次方程的一般形式，且方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故可以利用因式分解
11、法求解. 25 【答案】解： 2 | 1| 1 = 0 . （1）当 1 1 时，原方程化为 2 = 0 ， 解得 1= 1 ， 2= 0 （不合题意，舍去）. （2）当 1 时，原方程化为 2+ 2 = 0 ， 解得 1= 2 ， 2= 1 （不合题意，舍去）. 故原方程的解是 1= 1 ， 2= 2 . 【解析】【分析】当 x1 时，原方程可化为 x2+x-2=0，利用因式分解法可得 x 的值；当 x1 时，原方程可化为 x2-x=0，利用因式分解法求出 x 的值，据此可得方程的解. 26 【答案】（1）解：若每件衬衫降价 4 元，则平均每天销售数量为 20 + 2 4 = 28 件. 每
12、天销售获利为 (40 4) 28 = 1008 元 （2）解：设每件衬衫应降价 元时，每天销售利润为 1200 元. 学科网（北京）股份有限公司 根据题意，得 (40 )(20 + 2) = 1200 ， 整理，得 2 30 + 200 = 0 . 解得： 1= 10 ， 2= 20 . 要求每件盈利不少于 25 元， 2= 20 应舍去， = 10 . 答：每件衬衫应降价 10 元时，衬衫每天销售利润为 1200 元. （3）不能. 理由：销售获利为 (40 )(20 + 2) = 22+ 60 + 800 = 2( 15)2+ 1250 1250 因此衬衫每天的销售获利不能达到 1300
13、元. 【解析】【分析】 （1）由题意可得平均每天的销售量为 20+2 4=28 件，然后利用(盈利-降低的钱数) 销售量可得总利润； （2）设每件衬衫应降价 x 元，则实际的销售量为（20+2x）件，根据(盈利-降低的钱数) 销售量=总利润列出关于 x 的方程，求解即可； （3）根据(盈利-降低的钱数) 销售量=总利润表示出总利润，结合二次函数的性质进行解答即可. 27 【答案】（1）解：设该市汽车拥有量年平均增长率为 x，根据题意，得 150（1+x）2=216，解得x1 =0.2=20%，x2 =-2.2（不合题意，舍去）. 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为 20%. （2） 解： 设全
14、市每年新增汽车数量为 y 万辆， 则 2020 年底全市的汽车拥有量为 216 90%+y 万辆， 2021年底全市的汽车拥有量为（216 90%+y） 90%+y 万辆.根据题意得（216 90%+y）90%+y231.96， 解得 y30. 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过 30 万辆. 【解析】【分析】 （1）设该市汽车拥有量年平均增长率为 x，由题意可得 2019 年底全市的汽车拥有量为150(1+x)2万辆，然后根据到 2019 年底全市的汽车拥有量已达 216 万辆列出方程，求解即可； （2） 设全市每年新增汽车数量为y万辆， 则2021年底全市的汽车拥有量为(216 90%+
15、y) 90%+y万辆，根据 2021 年底全市汽车拥有量不超过 231.96 万辆列出不等式，求解即可. 28 【答案】（1）解：调查的村民数=240+60=300(人)， 参加合作医疗得到了返回款的人数=240 2.5%=6(人)； 答：本次调查了 300 人，被调查的村民中，有 6 人参加合作医疗得到了返回款； （2）解：参加医疗合作的百分率为240300 100%=80%， 估计该乡参加合作医疗的村民有 10000 80%=8000(人)； 设年平均增长率为 x， 学科网（北京）股份有限公司 根据题意得：8000（x+1）2=9680， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）
16、 答：年平均增长率为 10%； （3） 解： 本次调查了 300 人， 被调查的村民中， 有 6 人参加合作医疗得到了返回款， 且返回款人均 5000元， 共返回 5000 6=30000(元)， 人均返回 30000 300=100(元)， 与每人每年交 100 元钱相当，但增强了农民抵御大病风险的能力. 建议参加新型农村合作医疗. 【解析】【分析】 （1）根据条形统计图可得调查的村民数， 利用调查的村民数乘以参加合作医疗得到了返回款的人数所占的比例可得对应的人数； （2）用样本中参加合作医疗的人数所占的百分比乘以该乡村民的总人数即可估计该乡参加合作医疗的村民的人数；设年平均增长率为 x，根
17、据参加合作医疗的村民 (1+增长率)2=两年后参加合作医疗的人数列出关于 x 的方程，求解即可； （3）求出人均返回，然后与每人每年交的钱数进行比较即可判断. 29 【答案】（1）解：设销售量的平均月增长率为 % ，则 4 月份销售量为 400(1 + %) 株，根据题意得： 256(1 + %)2= 400 ， 解得 % = 25% （负值已舍去） ， 400(1 + %) = 400 (1 + 25%) = 500 ， 答：销售量的平均月增长率为 25% ，4 月的销售量是 500 株； （2）解：设每株多肉植物降价 y 元， 3 月份销售多肉植物所获的利润为 (10 5) 400 = 2
18、000 （元 ) ，根据题意得： 5002 (10 5) +5002 (10 5) 2000 ， 解得 2 ， 答：每株多肉植物最多降价 2 元. 【解析】【分析】 （1）设销售量的平均月增长率为 x%，则 2 月份销售量为 256(1+x%)株，3 月份销售量为 256(1+x%)2株，然后根据 3 月的销售量达到 400 株列出方程，求解即可； （2）设每株多肉植物降价 y 元，则 3 月份销售多肉植物所获的利润为(10-5) 400=2000（元） ，根据题意可得4月份的利润为5002 (10-5)+5002 (10-y-5)， 然后根据4月的利润不低于3月的利润列出不等式，求解即可.
19、30 【答案】（1）解：解：该景区游客人数平均每月增长的百分率为 x，根据题意得 学科网（北京）股份有限公司 4（1+x）2=5.76 解之：x1=20，x2=-2.2（不符合题意，舍去）. 答：该景区游客人数平均每月增长 20. （2）解：由题意得 （2-0.6） 100+（3-0.4） 80+（2+0.6+0.4） （160-10）=140+208+450=798 万. 答：若丙种门票下降 10 元，景区六月份的门票总收入为 798 万. 设将丙种门票价格下降 x 元时，景区六月份的门票总收入为 w 元，根据题意得 w=100（2-0.06x）+80 （3-0.04x）+（160-x） （
20、2+0.6x+0.4x） 整理得 w=-0.1x2+4.8x+760=-0.1（x-24）2+817.6 a=-0.10， 抛物线的开口向下， 当 x=24 时，w最大值=817.6 万元. 答：将丙种门票价格下降 24 元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值,817.6 万元. 【解析】【分析】 （1）三月份的游客人数 （1+增长率）2=五月份的游客人数，设未知数，列方程求出方程的解. （2）抓住已知条件：丙种门票每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，列式计算，可求解； 设将丙种门票价格下降 x 元时， 景区六月份的门票总收入为 w 元， 根据题意列出 w 与 x 之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质，可求解
