1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 5 5 讲讲 二元一次方程组二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1 “市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分某校足球队在第一轮比赛中赛了 9 场，只负了 2 场，共得 17 分那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了 x 场，平了 y 场，根据题意可列方程组为（ ） A + = 7，3 + = 17. B + = 9，3 + = 17. C + = 7， + 3 = 17. D + = 9， + 3 = 17. 2我国古代数学名著算法统宗中记载：“今有绫七尺， 罗九尺，共价适等； 只云罗每尺价比绫每尺少钱
2、三十六文，问各钱价若干? ” 意思是： 现在有一匹 7 尺长的绫布和一匹 9 尺长的罗布恰好一样贵， 只知道每尺罗布比绫布便宜 36 文， 问两种布每尺各多少钱? 设绫布每尺 文， 罗布每尺 文，那么可列方程组为（ ） A7=9 = 36 B7=9 = 36 C7 = 9 = 36 D7 = 9 = 36 3我国古代数学名著九章算术中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十今有米在十斗桶中，不知其数满中添粟而春之，得米七斗，问故米几何？”意思为： 50 斗谷子能出 30 斗米，即出米率为 35 今有米在容量为 10 斗的桶中，但不知道数量是多少再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米 7斗问原米有米多少
3、斗？如果设原来有米 x 斗，向桶中加谷子 y 斗，那么可列方程组为( ) A + = 10 +35 = 7 B + = 1035 + = 7 C + = 7 +35 = 10 D + = 735 + = 10 4 （2022 温州模拟）某班学生人数共 41 人.一天，该班某女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的三分之一.该班男女生各多少人？设该班男生 x 人，女生 y 人，则可列方程组为（ ） A + = 41 = 3( 1) B + = 41 1 = 3 C + = 413( 1) = D + = 413 = 1 5 （2022 舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中 14 男生与女生同
4、桌，这些女生占全班女生的 15 。本学期该班新转入 4 个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生 x 人，女生 y 人根根据题意可得方程组为( ) 学科网（北京）股份有限公司 A + 4 = 4=5 B + 4 = 5=4 C 4 = 4=5 D 4 = 5=4 6 （2022 宁波模拟）我国古代数学菩作孙子算经有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人坐一辆车，那么有2 辆空车；如果每 2 人坐一辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各多少？设共有 x 人，y 辆车，则可列方程组为（ ） A3( 2) =
5、 2 9 = B3( + 2) = 2 + 9 = C3( 2) = 2 + 9 = D3( 2) = 2 + = 9 7 （2022 上城模拟）数学课上，同学们讨论了如下习题：“一组同学一起去种树.如果每人种 4 棵，还剩下 3 棵树苗；如果每人种 5 棵，则缺少 5 棵树苗.”设这组同学有人，需种植树苗棵.则根据题意列出的方程（组）正确的是（ ） A4 3 = 5 + 5 B4 + 3 = 5 + 5 C4 3 = 5 5 = D4 + 3 = 5 5 = 8 （2022 北仑模拟）九章算术是中国传统数学的重要著作，书中有一道题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡
6、适平；并燕雀重一斤.问：燕雀一枚，各重几何.“译文：”五只雀，六只燕，共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕重量各为多少？“设每只雀重斤，每只燕重斤，可列出方程组为（ ） A5 + 614 + 5 + B6 +514 + 5 + C5 + 615 + 6 + D6 +516 + 5 + 9 （2022 杭州）某体育比赛的门票分 A 票和 B 票两种，A 票每张 x 元，B 票每张 y 元已知 10 张 A票的总价与 19 张 B 票的总价相差 320 元，则( ) A|1019| = 320 B|1019| = 320 C|10 x-19y|=320 D|19x-10y|
7、=320 10 （2022 台州模拟）九章算术是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤.问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重 1 斤（古时 1 斤16 两）.雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重 x 两，燕重 y 两，可列出方程组（ ） A5 + 6 = 164 + = 5 + B5 + 6 = 104 + = 5 + 学科网（北京）股份有限公司 C5 + 6 = 105 + = 6 + D5 + 6 = 165 + = 6 + 二、填空题二、填空题 11 （202
8、1 金华）已知 = 2 = 是方程 3 + 2 = 10 的一个解，则 m 的值是 . 12 （2021 南湖模拟）“鸡兔同笼”是我国古代数学名著孙子算经上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡 只，兔 只，则可列出的二元一次方程组为 . 13 （2021 下城模拟）点点去文具店购买水笔和笔记本（水笔的单价相同，笔记本的单价相同）.已知购买 3 支水笔和 2 本笔记本，则需要支付 12 元，够买 1 支水笔和 2 本笔记本，则需要支付 8 元.若点点购买 1 支水笔和 1 本笔记本，则需要支付 元. 14 （2022 嘉兴模拟）若二元一次方程组2 +
9、= 34 7 = 9的解为 = = ，则 m-4n 的值为 . 15 （2022 拱墅模拟）若 x+y2，xy4，则 xy 16 （2022 上虞模拟）我国古代数学名著孙子算经上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡 x 只，兔 y 只，则由头数可列出方程 x+ y = 35，那么由足数可列出的方程为 17 （2022 舟山模拟）如图，用图 1 中的 a 张长方形和 b 张正方形纸板作侧面和底面，做成如图 2 的竖式和横式两种无盖纸盒，若 a+b 的值在 285 和 315 之间（不含 285 与 315） ，且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多 30 个
10、，则 a 的值可能是 . 18 （2022 永康模拟）现有 A，B，C 三种型号的纸片若干张，大小如图所示.从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为 11 和 5 的新矩形，在各种拼法中，B 型纸片最多用了 张. 学科网（北京）股份有限公司 19 （2022 吴兴模拟）二元一次方程组2 + = 2 = 1的解是 . 20 （2022 宁波模拟）九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是 3 + 2 = 17 + 4 = 23 ，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 .
11、 三、综合题三、综合题 21 （2022 宁波模拟）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17 吨及以下 0.80 超过 17 吨但不超过 30 吨的部分 0.80 超过 30 吨的部分 6.00 0.80 说明：每户产生的污水量等于该户自来水用水量；水费=自来水费同+污水处理费. 已知小王家今年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元；5 月份用水 25 吨，交水费 91 元. （1）求 ， 的值； （2）随着夏天的到来，用水量将增加，
12、为了节省开支，小王计划把 6 月份的水费控制在不超过本月计划支出的 2%.若小王的本月计划支出为 7500 元，则小王家 6 月份最多能用水多少吨？ 22已知关于 x，y 的方程组 + 2 = 5， 2 + + 9 = 0. （1）若方程组的解满足 + = 0 ，求 的值； （2）无论 取何实数，方程 2 + + 9 = 0 总有一个公共解，求出这个方程的公共解. 23某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cm 40cm 的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下 A 型与 B 型两种板材（不计损耗） ，如图 1.（单位：c
13、m） 学科网（北京）股份有限公司 （1）列出方程（组） ，求出图 1 中 a 与 b 的值； （2）在试生产阶段，若将 30 张标准板材用裁法一裁剪，4 张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与 B 型板材做侧面和底面，做成图 2 的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒. 两种裁法共生产 A 型板材 张，B 型板材 张. 能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把中的 A 型板材和 B 型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数. 24 （）某地建设工程部，因道
14、路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方 540m2，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 租金(单位：元/台 时) 挖掘土石方量(单位：m3/台 时) 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共 8 台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ （2）如果每小时支付的租金不超过 850 元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？(甲，乙两种型号都需租用) 25 （2022 七下 西湖月考）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知
15、：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满物资一次可运 10 吨； 用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车一次可运 11 吨.某物流公司现有31 吨货物资，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. （1）1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满物资一次可分别运多少吨? 学科网（北京）股份有限公司 （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若 A 型车每辆需租金每次 100 元，B 型车租金每次 120 元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：设该队胜了 x 场，平了 y 场，
16、 由题意，得： + = 73 + = 17. 故答案为：A. 【分析】设该队胜了 x 场，平了 y 场，由“第一轮比赛中赛了 9 场，只负了 2 场，共得 17 分”可列出关于 x 和 y 的二元一次方程组 + = 73 + = 17，即可的得出答案. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：一匹 7 尺长的绫布和一匹 9 尺长的罗布恰好一样贵， 7x9y， 每尺罗布比绫布便宜 36 文， xy36， 可列出方程组为7 = 9 = 36. 故答案为：C. 【分析】由“一匹 7 尺长的绫布和一匹 9 尺长的罗布恰好一样贵，且每尺罗布比绫布便宜 36 文”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组7 =
17、 9 = 36. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：原来有米 x 斗，向桶中加谷子 y 斗，容量为 10 斗，则 x+y= 10； 已知谷子出米率为35，则来年共得米 x+35y= 7； + = 10 +35 = 7 . 故答案为：A. 【分析】根据“原来有米 x 斗，向桶中加谷子 y 斗，容量为 10 斗“和“谷子出米率为35“，分别列出二元 学科网（北京）股份有限公司 一次方程组，组成方程组即可. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可列出方程组为： + = 41 = 3( 1). 故答案为：A. 【分析】根据该班某女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的三分之一，得 x=3(y
18、-1)；根据某班学生人数共 41 人，可得 x+y=41，联立可得方程组. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：设上学期该班有男生 x 人，女生 y 人， 由题意，得： + 4 = 4=5. 故答案为：A. 【分析】设上学期该班有男生 x 人，女生 y 人，由”14男生与女生同桌，这些女生占全班女生的15“和“本学期该班新转入 4 个男生后，男女生刚好一样多”，可列出方程组 + 4 = 4=5，即可得出正确答案. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：设共有 x 人，y 辆车， 由题意，得：3（ 2）= 2 + 9 = . 故答案为：C. 【分析】设共有 x 人，y 辆车，由每 3 人坐一辆车，
19、那么有 2 辆空车可得 3（y-2）=x；如果每 2 人坐一辆车，那么有 9 人需要步行列可得 2y+9=x，由此可列出方程组. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：设这组同学有人，需种植树苗棵， 由题意得：4 + 3 = 5 5 = ， 故答案为：D. 【分析】设这组同学有 x 人，需种植树苗 y 棵，根据每人种 4 棵，还剩下 3 棵树苗可得 4x+3=y；根据每人种 5 棵，则缺少 5 棵树苗可得 5x-5=y，联立可得方程组. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：五只雀、六只燕，共重 1 斤， 5x+6y=1， 雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重， 5x-x+y=6y-y+x，即 4x
20、+y=5y+x， 学科网（北京）股份有限公司 5 + 614 + 5 + 故答案为：A. 【分析】根据五只雀、六只燕，共重 1 斤可得 5x+6y=1；根据互换其中一只，恰好一样重可得5x-x+y=6y-y+x，联立可得方程组. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：10 张 A 票的总价与 19 张 B 票的总价相差 320 元， |10 x-19y|=320. 故答案为：C. 【分析】利用 10 张 A 票的总价与 19 张 B 票的总价相差 320 元，列方程即可. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：依题意，得：5 + 6 = 164 + = 5 + 故答案为：A. 【分析】根据五只雀
21、、六只燕，共重 1 斤可得方程 5x+6y=16，根据雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重可得方程 4x+y=5y+x，联立可得方程组. 11 【答案】2 【解析】【解答】 = 2 = 是方程 3 + 2 = 10 的一个解， 6+2m=10， 解得 m=2， 故答案为：2. 【分析】将 x，y 的值代入方程，建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值即可. 12 【答案】 + = 432 + 4 = 102 【解析】【解答】解：根据题意可得： + = 432 + 4 = 102 ， 故答案为： + = 432 + 4 = 102 . 【分析】 设笼中有鸡 只，兔 只， 根据“ 上有四十三头，下
22、有一百零二足” ，列出二元一次方程组即可. 13 【答案】5 【解析】【解答】解：设笔记本的单价为 x 元，水笔的单价为 y 元，由题意得 2 + 3 = 122 + = 8， 解得 = 3 = 2. 学科网（北京）股份有限公司 点点购买 1 支水笔和 1 本笔记本，则需要支付 2+35（元） ； 故答案为：5. 【分析】设笔记本的单价为 x 元，水笔的单价为 y 元，根据购买 3 支水笔和 2 本笔记本，则需要支付12 元可得方程 2x+3y=12，根据购买 1 支水笔和 2 本笔记本，则需要支付 8 元可得方程 2x+y=8，联立求解即可. 14 【答案】3 【解析】【解答】解：把 = =
23、 代入二元一次方程组2 + = 34 7 = 9得：2 + = 34 7 = 9， -得：2 8 = 6， 4 = 3； 故答案为：3. 【分析】将 = = 代入二元一次方程组中可得关于 m、n 的方程组，两式相减可得 m-4n 的值. 15 【答案】-3 【解析】【解答】解：联立 + = 2 = 4， 解得 = 3 = 1， = 3 故答案为：-3. 【分析】联立已知中的两个等式，结合加减消元法可得 x、y 的值，然后根据有理数的乘法法则进行计算. 16 【答案】2x+4y=94 【解析】【解答】解：由题意得：2x+4y94 故答案为：2x+4y94 【分析】由一只鸡有 2 只脚，一只兔四只
24、脚，共有九十四只脚可列出二元一次方程 2x+4y94，即可求解. 17 【答案】218 或 225 或 232 【解析】【解答】解：设横式纸盒 x 个，竖式纸盒为 y 个， 由题意得： = 4 + 3 = + 2 ， 整理得：a+b5x+5y， a+b 的值在 285 和 315 之间（不含 285 与 315） ， 285a+b315， 学科网（北京）股份有限公司 2855x+5y315， 又yx+30， 2855x+5（x+30）315， 解得：13.5x16.5， x 为整数， x14 或 15 或 16， 当 x14 时，a218；当 x15 时，a225； 当 x16 时，a232；
25、 即 a 的值可能是 218 或 225 或 232， 故答案为：218 或 225 或 232. 【分析】设横式纸盒 x 个，竖式纸盒为 y 个，由题意得 = 4 +3 = + 2 ，整理得 a+b5x+5y，由 285 a+b315，可得 2855x+5y315，再由 yx+30，解得 13.5x16.5，求出 x 的整数解即可. 18 【答案】7 【解析】【解答】解：如图， 设需要的 A 卡片 x 张，B 卡片 y 张，C 卡片 z 张，x、y、z 均为正整数，由图可知，A 的面积为 4，B的面积为 6，C 的面积为 9， 4x+6y+9z=55 未知数的取值范围为：x 取 0 至 11
26、 的正整数，y 取 0 至 9 的正整数，z 取 0 至 6 的正整数； 当 x=0 时，此时表明只选择了 B、C 两张纸片，则有：6y+9z=55， 3（2y+3z）=55 55 无法被 3 整除，显然此时 y、z 无法取正整数，不合题意， 必选了 A 纸片； 当 z=0 时，此时表明只选择了 A、B 两种纸片，则有：4x+6y=55， 2（2x+3y）=55 55 无法被 2 整除，此时 x、y 无法取正整数，不合题意，则必选了 C 纸片； 从题目所求可知，不必讨论当 y=0 时的情况， 综上可以发现除 B 纸张外，A、C 至少都取了一张， 学科网（北京）股份有限公司 则有，即 4+6y+
27、9=55， 6y=42 6y42 解之：y7， B 型纸张最多用了 7 张， 故答案为：7. 【分析】设需要的 A 卡片 x 张，B 卡片 y 张，C 卡片 z 张，x、y、z 均为正整数，由图可知，A 的面积为 4，B 的面积为 6，C 的面积为 9，可得到 4x+6y+9z=55；再分情况讨论：当 x=0 时；当 z=0 时，可得到除 B 纸张外，A、C 至少都取了一张，由此可得到关于 y 的不等式，然后求出不等式的最大正整数解. 19 【答案】 = 1 = 0 【解析】【解答】解：2 + = 2 = 1， +得：3x3， 解得：x1， 把 x1 代入得：y0， 则方程组的解为 = 1 =
28、 0， 故答案为： = 1 = 0. 【分析】观察方程组可知未知数 y 的系数互为相反数，于是将两个方程相加可得关于 x 的一元一次方程，解之求得 x 的值，再把 x 的值代入方程计算可求得 y 的值，最后写出结论即可. 20 【答案】2 + = 124 + 3 = 26 【解析】【解答】解：由图(1)可得，第一列为 x 的系数、第二列为 y 的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示 1，第三列一横表示 10，第四列一竖表示 1，一横表示 5 ， 则图(2)表示：2 + = 124 + 3 = 26. 故答案为：2 + = 124 + 3 = 26. 【分析】根据例题得出算筹图
29、每列所表示的意义，结合图(2)列出二元一次方程组，即可解答. 21 【答案】（1）解：由题意，得 17( + 0.8) + 3( + 0.8)6617( + 0.8) + 8( + 0.8)91 ， 学科网（北京）股份有限公司 解得： 2.24.2 （2）解：当用水量为 30 吨时，水费为：17 2.2+13 4.2+0.8 30=116 元， 7500 2%=150 元， 116150， 小王家六月份的用水量超过 30 吨， 设小王家 6 月份用水量为 x 吨， 由题意得：17 2.2+13 4.2+6（x-30）+0.8x150， 解得：x35， 小王家六月份最多用水 35 吨. 【解析】
30、【分析】 （1）根据“ 小王家今年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元；5 月份用水 25 吨，交水费 91元. ”列出方程组并解之即可； （2）先判断出小王家六月份的用水量超过 30 吨，设小王家 6 月份用水量为 x 吨，根据 17 吨内的费用+ 超过 17 吨但不超过 30 吨的部分 + 超过 30 吨的部分 + 污水处理费75002%，列出不等式求出其最大整数解即可. 22 【答案】（1）解：由题意得 + 2 = 5， + = 0， 解得 = 5， = 5， 代入 2 + + 9 = 0 得 5 10 5 + 9 = 0 ， 解得 = 65 （2）解： 2 + + 9 = 0 ，
31、即 (1 + ) 2 + 9 = 0 .总有一个公共解， 方程的解与 无关， = 0， 2 + 9 = 0， 解得 =92 ， 则方程的公共解为 = 0， =92. 【解析】【分析】 （1）将 x+y=0 与 x+2y=5 进行组合，并解出 x、y 值，再将 x、y 代入 x-2y+mx+9=0，解出 m 即可； （2）将 x-2y+mx+9=0 变形为（1+m）x-2y+9=0，根据无论 m 为何实数，方程总有一个解，即方程的解与 m 取值无关，可得 x=0，-2y+9=0，求出 x、y，即可求出方程的公共解. 23 【答案】（1）解：由题意得 2 + + 10 = 170 + 2 + 30
32、 = 170 ， 学科网（北京）股份有限公司 解得 = 60 = 40 即 a 与 b 的值分别为 60，40. （2）解：64；38； 不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把中的 A 型板材和 B 型板材用完，理由如下： 设竖式无盖礼品盒做 x 个，横式无盖礼品盒做 y 个， 则 A 型板材需要（4x+3y）张，B 型板材需要（x+2y）张， 则 4 + 3 = 64 + 2 = 38 ， 解得 =145 =885 x，y 是自然数， 不能恰好把中的 A 型板材和 B 型板材用完. x+y= 1025 最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共 20 个，此时做成的横式无盖礼品盒为 16 个或
33、17 个或 18个. 【解析】【解答】 （2） 由裁法一生产 A 型板材为 2 30=60 （张） ， 裁法二生产 A 型板材为 1 4=4 （张） ， 两种裁法共生产 A 型板材为 60+4=64（张） 。 由图示裁法一生产 B 型板材为 1 30=30（张） ，裁法二生产 B 型板材为 2 4=8（张） ， 两种裁法共生产 B 型板材为 30+8=38（张） 故答案为：64，38. 【分析】(1)观察图形，利用板材的长列出关于 a、b 的二元一次方程组求解即可； (2)根据已知条件和图示分别计算出两种裁法共产生 A 型板材和 B 型板材的张数即可； 设竖式无盖礼品盒做 x 个， 横式无盖礼
34、品盒做 y 个， 根据竖式与横式礼品盒所需要的 A、B 两种型号板材的张数列出关于 x、y 的二元一 次方程组， 然后求解即可. 24 【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需工台，y 台. 依题意，得 + = 8，60 + 80 = 540， 解得 = 5， = 3. 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需 5 台、3 台. （2）解：设租用 m 台甲型挖掘机，n 台乙型挖掘机. 依题意，得 60m+80n=540，化简，得 3m+4n=27， 则 3m=27-4n. 学科网（北京）股份有限公司 = 9 43， 方程的正整数解为 = 5， = 3 或 = 1. = 6. 当 = 5， = 3
35、时，支付租金为 100 5 + 120 3 = 860( 元 ) 850( 元)，超出限邾，不符合要求；当 = 1， = 6 时，支付租金为 100 1 + 120 6 = 820( 元 ) 850( 元)，符合要求. 答：有一种租用方案，即租用 1 台甲型挖掘机和 6 台乙型挖掘机. 【解析】【分析】 （1）抓住关键已知条件：用甲、乙两种型号的挖掘机共 8 台；计划每小时挖掘土石方540m2；包含了两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可. （2）设租用 m 台甲型挖掘机，n 台乙型挖掘机，根据题意可得到关于 m，n 的方程，用含 n 的代数式表示出 m，求出此方程的正整数
36、解；然后根据每小时支付的租金不超过 850 元，又恰好完成每小时的挖掘量，可得到符合题意的租用方案. 25 【答案】（1）解：设 1 辆 A 型车装满物资一次可运 x 吨，1 辆 B 型车装满物资一次可运 y 吨， 依题意，得：2 + = 10 + 2 = 11， 解得： = 3 = 4 1 辆 A 型车装满物资一次可运 3 吨，1 辆 B 型车装满物资一次可运 4 吨 （2）解：依题意得：3a+4b31， a3143， 又a，b 均为正整数， = 9 = 1或 = 5 = 4或 = 1 = 7， 该物流公司共有 3 种租车方案，方案 1：租用 9 辆 A 型车，1 辆 B 型车；方案 2：租
37、用 5 辆 A 型车，4 辆 B 型车；方案 3：租用 1 辆 A 型车，7 辆 B 型车； （3）解：方案 1 所需租金为：100 9+120 11020 元； 方案 2 所需租金为：100 5+120 4980 元； 方案 3 所需租金为：100 1+120 7940 元 1020980940， 最省钱的租车方案为租用 1 辆 A 型车，7 辆 B 型车，最少租车费为 940 元 【解析】【分析】 （1）设 1 辆 A 型车装满物资一次可运 x 吨，1 辆 B 型车装满物资一次可运 y 吨，根据“用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满物资一次可运 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车一次可运 11 吨”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可解决问题； 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据要一次运送 31 吨货物，即可得出关于 a，b 的二元一次方程，结合 a，b 均为正整数即可得出各租车方程； （3）根据总租金每辆车的租车费用 租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论
