1、浙江省杭州市临平区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）A B. C. D. 2. 袋中有5个红球、4个白球、3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）A. B. C. D. 3. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在O上，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则BPC（ ）A. 45B. 60C. 75D. 904. 下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角
2、三角形；其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. AB和CD是O的两条平行弦，AB6，CD8，O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A. 1或7B. 7C. 1D. 3或46. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点为扇形的圆心，格点分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则的长与扇形EOF的面积分别是为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在BCF中，点A为BF上一点，过点A作BC的平行线交CF于点E，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点D，则下列说法不正确的是（）A. B. C. D. 8. 如图，A、B、C是O上的点，且ACB140在这个图中，
3、画出下列度数的圆周角：40，50，90，140，仅用无刻度的直尺能画出的有（）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，在中，为边上一点，已知，E为的中点，延长交于F，则=（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接以下结论正确的是（ ）；点是线段的黄金分割点；A. B. C. D. 二、填空题11. 抛物线的顶点坐标是，则该抛物线的解析式是_12. RtABC中，C90，AB5，BC3，则sinA_13. 如图，直线abc，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F若ABBC12，DE3，则DF的
4、长为_14. 如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是_15. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（1，0），则二次函数的最大值为a+b+c； 9a+3b+c=0；b24ac0；当y0时，1x3；对于任意实数m，a+bam2+bm总成立，其中正确的是_（填序号）.16. 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E是AD所在直线上的一点，过点A作ANBE于N，点M是BC上一动点，连接NM，MD，则MN+MD的最小值为_三、解答题17. 已知，且x+y+z68求x，y，z的值18. 随着通讯技术迅猛发
5、展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率说明：设“微信，QQ和电话”三种沟通方式分别用字母W，Q和D表示）19. 2021年9月16号，泸县发生地震
6、，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角（BAD）为45，看这栋高楼底部C的俯角（CAD）为60，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋高楼的高度（结果保留根号）20. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且，（1）求证： （2）求：的长21. 某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，在销售过程中，每天还要支付其它费用450元（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值
7、范围（2）求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式22. 二次函数ya（xp）（xq）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0），C（0，m）（m0）（1）用只含a，m代数式表示点B的坐标（2）当AB时，写出二次函数的对称轴；（3）若点P（n，y1），Q（4，y2）均在二次函数ya（xp）（xq）图象上，当a0且当2n4时，有y1y2，求实数的取值范围23. 如图，在中，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点重合），的延长线交于点，且交于点，连结，（1）求证：（2）若，求浙江省杭州市临平区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题1.
8、 下列函数中，y是x二次函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的定义，即形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，进行判断即可【详解】A.，y是x的二次函数，故符合题意；B.中，当m=0时，y不是x的二次函数，故不符合题意；C.，y不是x的二次函数，故不符合题意；D.，y不是x的二次函数，故不符合题意故选：A【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义是解题的关键，注意二次项系数不为0这个条件2. 袋中有5个红球、4个白球、3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
9、析】【详解】解：故选B.3. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在O上，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则BPC（ ）A. 45B. 60C. 75D. 90【答案】A【解析】【分析】首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在O上，可得BOC=90，然后由圆周角定理，即可求得BPC的度数【详解】解：连接OB，OC，正方形ABCD的四个顶点分别在O上，BOC=90，BPC=BOC=45故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆的内接多边形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用4. 下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）
10、同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据确定圆的条件对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据圆周角定理对进行判断；根据三角形外心的性质对进行判断【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确；（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；故选：B【点睛】
11、本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理5. AB和CD是O的两条平行弦，AB6，CD8，O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A. 1或7B. 7C. 1D. 3或4【答案】A【解析】【分析】分两种情况：当AB、CD在圆心两侧时；当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案.【详解】解：当AB、CD在圆心两侧时；过O作OECD交CD于E点，过O作OFAB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：半径r5，弦
12、ABCD，且AB6，CD8，OAOC5，CEDE4，AFFB3，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离在RtOEC中，由勾股定理可得：OE2OC2CE2OE3，在RtOFA中，由勾股定理可得：OF2OA2AF2OF4，EFOE+OF3+47，AB与CD的距离为7；当AB、CD在圆心同侧时；同可得：OE3，OF4；则AB与CD的距离为：OFOE1；综上所述：AB与CD间的距离为1或7故选：A.【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.6. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点为扇形的圆心，格点分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格
13、的边长为1，则的长与扇形EOF的面积分别是为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，根据勾股定理求出，即圆半径，求出，根据弧长公式以及扇形面积公式，求出即可【详解】解：如图，连接由图可知，的长=，扇形EOF的面积为故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，弧长公式，扇形面积等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键7. 如图，在BCF中，点A为BF上一点，过点A作BC的平行线交CF于点E，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点D，则下列说法不正确的是（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的判定和性质证明即可【详解】解：A、， ， ， ，B、
14、 ， ， ， ，选项A已证， ，C、选项B已证， ， ，四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，D、选项B已证， ， ， ， ， ，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8. 如图，A、B、C是O上的点，且ACB140在这个图中，画出下列度数的圆周角：40，50，90，140，仅用无刻度的直尺能画出的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作直径AD，连接BD，在上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到AEB140，ABD90，利用圆内接四边形的性质得到D40，根据互余可计算出BAD50【详解
15、】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，ACB+D180，D18014040，AD为直径，ABD90，BAD90D50；在上取一点E，连接AE、BE，AEBACB140故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径9. 如图，在中，为边上一点，已知，E为的中点，延长交于F，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点D作交于G，先证，得，再由平行线的性质可得对应线段成比例，从而得答案【详解】解：过点D作交于G，如图所示，E是的中点，故选D【点睛
16、】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的性质定理，熟练掌握这些判定与性质是解答此题的关键10. 如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接以下结论正确的是（ ）；点是线段的黄金分割点；A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由是绕点逆时针旋转得到的，得到，再由矩形的性质得出从而判断；由，可得，从而判断；由和，得出，可以判断；在线段上作，如图所示，连接，通过证明，得出是等腰直角三角形，可以判断【详解】证明：是绕点逆时针旋转，又四边形是矩形，即，即，故正确；，即是直角三角形，而不是直角三角形，错误；在和中，点是线段的黄金分割点，正确；在线段
17、上作，如图所示，连接，在和中，是等腰直角三角形， ，正确，故选：D【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用二、填空题11. 抛物线的顶点坐标是，则该抛物线的解析式是_【答案】【解析】【分析】根据解析式可知，设顶点式即可求解【详解】抛物线的顶点坐标是，设，又，即，故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，掌握顶点式是解题的关键12. 在RtABC中，C90，AB5，BC3，则sinA_【答案】【解析】【分析】先画出图形，再根据正弦三角函数的定义即可得【详解】解：由题意，画出图形如下：，故答案为：【点睛】本题考
18、查了正弦，熟练掌握正弦的概念是解题关键13. 如图，直线abc，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F若ABBC12，DE3，则DF长为_【答案】9【解析】分析】通过平行线分线段成比例列出式子即可；【详解】abc，即，解得EF6，DFDEEF9【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例成的知识点，准确分析是解题的关键14. 如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是_【答案】 【解析】【详解】试题分析：AED与ABC都对，AED=ABC，在RtABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cosAED=cosABC= =考点：1.圆周角
19、定理；2.勾股定理；3.锐角三角函数的定义15. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（1，0），则二次函数的最大值为a+b+c； 9a+3b+c=0；b24ac0；当y0时，1x3；对于任意实数m，a+bam2+bm总成立，其中正确的是_（填序号）.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质，再结合函数与x轴的交点，求解二次函数的解析式，逐个判断即可.【详解】正确，由已知可得二次函数的对称轴x=1，所以可得当x=1时，取得最大值f(1)=a+b+c.正确，由于二次函数关于对称轴对称，由x=1为对称轴，B（-1,0），可得A（3
20、,0），所以有f(3)= 9a+3b+c=0错误，因为二次函数与x轴有两个交点，因此对应的二次方程有两个实数根，所以b24ac0.正确，根据函数图像可得当y0时，1x3正确，因为当x=1时，取得最大值，所以f(1)f(m),所以可得对于任意实数m，a+bam2+bm总成立.故都正确.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，这是常考点，也是重点，必须熟练掌握.16. 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E是AD所在直线上的一点，过点A作ANBE于N，点M是BC上一动点，连接NM，MD，则MN+MD的最小值为_【答案】【解析】【分析】取AB的中点O，由题意可得点N的运动轨迹为以O为圆心，2为半径
21、的圆弧，作点D关于BC的对称点H，然后连接OH，与BC交于一点M，与圆弧交于点N，此时MN+MD的值最小，然后根据题意进行求解即可【详解】解：ANBE，AB4，取AB的中点O，则点N的运动轨迹为以O为圆心，2为半径的圆弧，作点D关于BC的对称点H，然后连接OH，与BC交于一点M，与圆弧交于点N，此时MN+MD的值最小，如图所示：根据轴对称的性质可得MD=MH，DC=CH，过点O作OGDC于点G，四边形ABCD是矩形，AB4，AD6，AB=DC=CH=4，四边形AOGD是矩形，GH=6，在RtOGH中，MN+MD=MN+MH=HN=OH-ON=，MN+MD的最小值为；故答案为【点睛】本题主要考查
22、圆的基本性质、矩形的性质及轴对称的性质，熟练掌握圆的基本性质、矩形的性质及轴对称的性质是解题关键三、解答题17. 已知，且x+y+z68求x，y，z的值【答案】x，y，z的值分别为18，22，28【解析】【分析】令，然后分别用k表示x、y、z，再根据x+y+z68，求出k的值，最后可分别得到x、y、z的值.【详解】设，则x9k，y11k，z14k，9k+11k+14k68，解得：k2，x18，y22，z28答：x，y，z的值分别为18，22，28【点睛】本题切不可直接用x表示y或者z，这样计算量复杂，结果容易出错；通过设一个固定的未知数k，用k分别表示x、y、z，可根据关系式最终得到x、y、z
23、的值.18. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率说明：设“微信，QQ和电话”三种沟通方式分别用字母W，Q和D表示）【答案】
24、（1）100，108；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由2020%可得这次统计共抽查人数，根据圆心角公式可得结果；（2）先求喜欢用微信和短信的人数，再画图；（3）用列表法求概率即可.【详解】解：（1）2020%100；所以这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数360108；故答案为：100，108；（2）喜欢用短信的人数为：1005%5（人）喜欢用微信的人数为：10020530540（人），补充图形，如图所示：（3）列表如下为：甲乙WQDWWWWQWDQQWQQQDDDWDQDD共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为
25、3，所以甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为【点睛】本题考查了列表法与树状图，也考查了统计图和用样本估计总体，求扇形统计图的圆心角的度数，掌握统计的基本知识，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率19. 2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角（BAD）为45，看这栋高楼底部C的俯角（CAD）为60，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋高楼的高度（结果保留根号）【答案】这栋楼的高度为【解析】【分析】先根据，可得
26、BDAD50，再根据，可得，由此可得，再根据勾股定理即可求得，由此即可求得答案【详解】解：在中，AD50，在中，AD50，答：这栋楼的高度为【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质以及勾股定理的应用熟练掌握特殊三角形的特殊性质是解决本题的关键20. 如图，在平行四边形中，交于，交的延长线于，且，（1）求证： （2）求：的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由两角相等很容易证出；（2）利用对应边成比例即可求解【小问1详解】证明：在中， ，又，；【小问2详解】解：由（1）知，即 ，；故长为 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形相似的判定和
27、性质，解题的关键在于利用平行四边形的性质证明出三角形相似得到对应边成比例21. 某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，在销售过程中，每天还要支付其它费用450元（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（2）求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式【答案】（1）()； （2）()【解析】【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；（2）根据利
28、润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可【小问1详解】设与的函数关系式为时，时，解得，根据部门规定，得【小问2详解】【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键22. 二次函数ya（xp）（xq）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0），C（0，m）（m0）（1）用只含a，m的代数式表示点B的坐标（2）当AB时，写出二次函数的对称轴；（3）若点P（n，y1），Q（4，y2）均在二次函数ya（xp）（xq）图象上，当a0且当2n4时，有y1y2，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）对称轴为直线或；（3
29、）【解析】【分析】（1）由函数解析式得到函数图象与轴的交点为，然后由点的坐标设，进而代入点得到点的坐标；（2）利用的线段长度和点的坐标求得点的坐标，然后求得二次函数的对称轴；（3）先求出对称轴，然后利用对称性求出点的对称点坐标，再利用已知条件和二次函数的增减性与对称性【详解】解：（1）将代入得，令，则，或，函数图象与轴的两个交点坐标为，由，设，则，（2）当在左侧时，对称轴为直线，当在右侧时，对称轴为直线，综上所述，对称轴为直线或（3），对称轴：直线，由题意得，关于对称轴的对称点，当时，时，有，时，点与点重合，不符合条件，舍去综上所述，【点睛】本题考查了二次函数的交点式、二次函数的对称性、二次函
30、数的增减性，解题的关键是学会用含有未知数的式子表示线段或点的坐标23. 如图，在中，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点重合），的延长线交于点，且交于点，连结，（1）求证：（2）若，求【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，证明，是等腰直角三角形，即可得证；（2）过点作，连接，根据题意证明四边形是正方形，得出，结合已知条件，得出，证明，得出是等腰直角三角形，由，可得，根据三角形外角的性质得出，根据即可求解【小问1详解】证明：是等腰直角三角形，连接，是直径，是等腰直角三角形，；【小问2详解】解：如图，过点作，连接，由（1）可知，又，四边形是矩形，四边形是正方形，在与中，等腰直角三角形，又，【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键
