1、 吉林省松原市四校联考九年级吉林省松原市四校联考九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A斐波那契螺旋线 B笛卡尔心形线 C赵爽弦图 D科克曲线 2用配方法解一元二次方程 x210 x+110，此方程可化为（ ） A（x5）214 B（x+5）214 C（x5）236 D（x+5）236 3如图，点 A 是O 上一点，连接 OA弦 BCOA 于点 D若 OD2，AD1，则 BC 的长为（ ） A2 B4 C2 D2 4二次函数 y2x2+b
2、x+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ab0，c0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db0，c0 5如图，在 RtABC 中，C90，BAC40，将 RtABC 绕点 A 旋转得到 RtABC，且点 C落在 AB 上，则BBC 的度数为（ ） A100 B120 C135 D140 6如图，在平面直角坐标系中，直线 ymx+n 与抛物线 yax2+bx+c 交于 A（1，p），B（2，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是（ ） Ax1 Bx2 C1x2 Dx1 或 x2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7若关于 x
3、的一元二次方程 x2c1 有实数根，则 c 的值可以为 （写出一个即可） 8将抛物线 yx2+1 向下平移 3 个单位得到的解析式为 9在平面直角坐标系中，点 P（2，3）与点 Q（m，n+1）关于原点对称，则 mn 10已知 A（1，y1），B（3，y2）在抛物线 yx24x+c 上，则 y1 y2（填“”“”或“”） 11一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB12cm，BC5cm，则圆形镜面的半径为 12如图，在半径为 1 的O 上顺次取点 A，B，C，D，E，连接 AB，AE，OB，OC，OD，OE若BAE65，COD70，则BOC+
4、DOE 13如图，将 RtABC 绕点 A 旋转一定角度得到ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上若 AB2，B60，则 CD 14如图所示，A，B 分别为 y2（x2）21 图象上的两点，且直线 AB 垂直于 y 轴，若 AB2，则点 B的坐标为 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15解方程：x22x10 16解方程：y+35（y+3）2 17关于 x 的方程 x2+2x+2k10 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 18看图回答 （1）当 y0 时，x 的值为 ； （2）y 随 x 的增大而增大时，x 的范围为 ； （3）当 x时，直
5、接比较 y 的值与3 的大小 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19如图，是边长为 1 的小正方形组成的 88 方格，线段 AB 的端点在格点上建立平面直角坐标系，使点 A、B 的坐标分别为（2，1）和（1，3） （1）画出该平面直角坐标系 xOy； （2）画出线段 AB 关于原点 O 成中心对称的线段 A1B1； （3）画出以点 A、B、O 为其中三个顶点的平行四边形（画出一个即可） 20为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业 1 月份生产 9 万套防护服， 该企业不断加大生产力度，3
6、月份生产达到 12.96 万套防护服 （1）求该企业 1 月份至 3 月份防护服产量的月平均增长率 （2）若平均增长率保持不变，4 月份该企业防护服的产量能否达到 16 万套？请说明理由 21如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BAC70，ACB50 （1）求ABD 的度数； （2）求BAD 的度数 22如图，在ABC 中，ABAC，ABC50D 是ABC 内任一点，将ADC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 与点 B 重合，点 D 的对应点为 E （1）求证：EBDC； （2）连接 DE若 E，D，C 在同一直线上，则BED 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16
7、 分）分） 23单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 ya（xh）2+k（a0） 某运动员进行了两次训练 （1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据， 直接写出该运动员竖直高度的最大值， 并求出满足的函数关系 ya （x
8、h）2+k （a0） ； （2） 第二次训练时， 该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y0.04 （x9）2+23.24 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d1，第二次训练的着陆点的水平距离为 d2，则 d1 d2（填“”“”或“”） 24如图，在 RtABC 中，B90，AB6cm，BC10cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 移动，速度为 1cm/s；点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 移动，速度为 2cm/s，点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动 （1）几秒时，PQ 的长度为 3cm？ （2）
9、几秒时，PBQ 的面积为 8cm2？ （3）当 t（0t5）为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25如图 1，点 C 在线段 AB 上，（点 C 不与 A、B 重合），分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE、BD 交于点 P 【观察猜想】 AE 与 BD 的数量关系是 ； APD 的度数为 【数学思考】 如图 2，当点 C 在线段 AB 外时， （1）中的结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； 【拓展应用】 如
10、图 3，点 E 为四边形 ABCD 内一点，且满足AEDBEC90，AEDE，BECE，对角线 AC、BD 交于点 P，AC10，则四边形 ABCD 的面积为 26如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2+2ax+3 的图象与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B （1）求该函数的表达式及顶点坐标； （2）点 P（m，n）在该二次函数图象上，当 mxm+3 时，该二次函数有最大值 2，请根据图象求出m 的值； （3）将该二次函数图象在点 A，B 之间的部分（含 A，B 两点）记为图象 W 点 Q 在图象 W 上，连接 QA，QB，求ABQ 面积的最大值； 若直
11、线 yc 与图象 W 只有一个公共点，结合函数图象，直接写出 c 的取值范围 参考答案参考答案 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A斐波那契螺旋线 B笛卡尔心形线 C赵爽弦图 D科克曲线 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形
12、，故此选项不合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原来的图形重合 2用配方法解一元二次方程 x210 x+110，此方程可化为（ ） A（x5）214 B（x+5）214 C（x5）236 D（x+5）236 【分析】 将常数项移到方程的右边， 两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案
13、 解：x210 x+110， x210 x11， 则 x210 x+2511+25，即（x5）214， 故选：A 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法 3如图，点 A 是O 上一点，连接 OA弦 BCOA 于点 D若 OD2，AD1，则 BC 的长为（ ） A2 B4 C2 D2 【分析】求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案 解：如图，连接 OB， AD1，OD2， OAAD+OD3OB， BCOA， ODB90，BDCD， 在 RtBOD 中，由勾股定理得， BD， B
14、C2BD2， 故选：A 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提 4二次函数 y2x2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ab0，c0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db0，c0 【分析】根据抛物线的对称轴判定 b 的符号；根据抛物线与 y 轴的交点位置判定 c 的符号 解：如图，抛物线的开口方向向下，则 a0 如图，抛物线的对称轴 x0，则 a、b 同号，即 b0 如图，抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0 综上所述，b0，c0 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系解题时，需要学生具有一定的读图能力 5如图，在 RtABC 中
15、，C90，BAC40，将 RtABC 绕点 A 旋转得到 RtABC，且点 C落在 AB 上，则BBC 的度数为（ ） A100 B120 C135 D140 【分析】由旋转的性质可得 ABAB，CACB90，BACBAC40，即可求解 解：将 RtABC 绕点 A 旋转得到 RtABC， ABAB，CACB90，BACBAC40， BBA70， C90，BAC40， ABC50， BBC120， 故选：B 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 6如图，在平面直角坐标系中，直线 ymx+n 与抛物线 yax2+bx+c 交于 A（1，p），B（2，q）两点
16、，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是（ ） Ax1 Bx2 C1x2 Dx1 或 x2 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论 解：观察函数图象可知：当 x1 或 x2 时，直线 ymx+n 在抛物线 yax2+bx+c 的上方， 不等式 mx+nax2+bx+c 的解集为 x1 或 x2 故选：D 【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7 若关于 x 的一元二次方程 x2c1 有实数根， 则 c 的值可以为 2 （答案不唯一） （写
17、出一个即可） 【分析】将原方程转化为一般形式，利用根的判别式0，即可求出 c 的取值范围，任取其内一值即可得出结论 解：将原方程化为一般形式为 x2c+10， 该方程有实数根， 0241（c+1）0， c1 故答案为：2（答案不唯一） 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键 8将抛物线 yx2+1 向下平移 3 个单位得到的解析式为 yx22 【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解 解：抛物线 yx2+1 向下平移 3 个单位得到的解析式为 yx2+13，即 yx22 故答案为 yx22 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握“左加右减
18、，上加下减”的平移规律是解题的关键 9在平面直角坐标系中，点 P（2，3）与点 Q（m，n+1）关于原点对称，则 mn 4 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案 解：由点 P（2，3）与点 Q（m，n+1）关于原点对称，得： m2，n+13， 所以 n2 则 mn224， 故答案为：4 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 10已知 A（1，y1），B（3，y2）在抛物线 yx24x+c 上，则 y1 y2（填“”“”或“”） 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，
19、对称轴是直线 x2，根据 x2 时，y 随 x 的增大而增大，即可得出答案 解：yx24x+c（x2）2+c4， 图象的开口向上，对称轴是直线 x2， 越靠近直线 x2 时，y 的值越小， A（1，y1），B（3，y2）， B 比 A 靠近直线 x2， y1y2， 故答案为： 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键 11一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB12cm，BC5cm，则圆形镜面的半径为 cm 【分析】连接 AC，根据ABC90得出 A
20、C 是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出 AC 即可 解：连接 AC， ABC90，且ABC 是圆周角， AC 是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：AC13（cm）， 所以圆形镜面的半径为cm， 故答案为：cm 【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出 AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键 12如图，在半径为 1 的O 上顺次取点 A，B，C，D，E，连接 AB，AE，OB，OC，OD，OE若BAE65，COD70，则BOC+DOE 60 【分析】由圆周角定理可得BOE 的大小，从而可得BOC+DOE 的大小，进而求解 解：BAE65， BOE2BAE130， BOC
21、+DOEBOECOD60 故答案为：60 【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系 13如图，将 RtABC 绕点 A 旋转一定角度得到ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上若 AB2，B60，则 CD 2 【分析】根据含 30角的直角三角形的性质可得 BC2AB4，然后根据旋转的性质可得 ABAD，进而判断出ABD 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 BDAB2，然后根据 CDBCBD 计算即可得解 解：RtABC 中，B60， C906030， BC2AB4， 由旋转的性质得，ABAD， 又B60， ABD 是等边三角形， BDAB2， CDB
22、CBD422 故答案为：2 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出ABD是等边三角形是解题的关键 14如图所示，A，B 分别为 y2（x2）21 图象上的两点，且直线 AB 垂直于 y 轴，若 AB2，则点 B的坐标为 （3，1） 【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴，从而可得点 B 横坐标，进而求解 解：y2（x2）21， 抛物线对称轴为直线 x2， AB2， 点 B 横坐为 2+13， 将 x3 代入 y2（x2）21 得 y1， 点 B 坐标为（3，1） 故答案为：（3，1） 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系
23、数的关系 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15解方程：x22x10 【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可 解：解法一：a1，b2，c1 b24ac441（1）80 ，； 解法二：x22x10， 则 x22x+12 （x1）22， 开方得：， ， 【点评】命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择本题考查了解一元二次方程的方法， 公式法适用于任何一元二次方程 方程 ax2+bx+c0 的解为 x（b24ac0） 16解方程：y+35（y+3）2 【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即
24、可解答 解：y+35（y+3）2， （y+3）5（y+3）20， （y+3）15（y+3）0， （y+3）（5y14）0， y+30 或5y140， y13，y2 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键 17关于 x 的方程 x2+2x+2k10 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 【分析】根据方程的系数结合根的判别式b24ac0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围 解：关于 x 的方程 x2+2x+2k10 有两个不相等的实数根， 2241（2k1）0， 解得：k1， k 的取值范围为 k1 【点评】本题考
25、查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根” 18看图回答 （1）当 y0 时，x 的值为 1 和 3 ； （2）y 随 x 的增大而增大时，x 的范围为 x1 ； （3）当 x时，直接比较 y 的值与3 的大小 y3 【分析】（1）根据抛物线的对称性求得另一个交点坐标，可得答案； （2）根据待定系数法求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据二次函数的性质可得答案 解：（1）由图象可知，抛物线经过点（1，0），对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）， 当 y0 时，x 的值为1 和 3； 故答案为：1 和 3； （2）抛物
26、线经过点（1，0），（3，0），（0，3）， 设抛物线的解析式为 ya（x+1）（x3）， 代入（0，3）得，33a， 解得 a1， y（x+1）（x3）（x1）2+4， 抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线 x1， y 随 x 的增大而增大时，x 的范围是 x1 故答案为：x1； （3）当 x时，0， y3 故答案为：y3 【点评】 本题考查了二次函数的图象， 待定系数法求二次函数解析式， 利用二次函数的性质是解题关键 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19如图，是边长为 1 的小正方形组成的 88 方格，线段 AB 的端点在格点上建立平面直角
27、坐标系，使点 A、B 的坐标分别为（2，1）和（1，3） （1）画出该平面直角坐标系 xOy； （2）画出线段 AB 关于原点 O 成中心对称的线段 A1B1； （3）画出以点 A、B、O 为其中三个顶点的平行四边形（画出一个即可） 【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置； （2）根据中心对称的性质，即可画出线段 A1B1； （3）根据平行四边形的性质即可画出图形 解：（1）如图，即为所求； （2）如图，线段 A1B1即为所求； （3）如图，平行四边形 AOBD 即为所求（答案不唯一） 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，作图旋转变换，熟练掌握
28、各性质是解题的关键 20为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业 1 月份生产 9 万套防护服， 该企业不断加大生产力度，3 月份生产达到 12.96 万套防护服 （1）求该企业 1 月份至 3 月份防护服产量的月平均增长率 （2）若平均增长率保持不变，4 月份该企业防护服的产量能否达到 16 万套？请说明理由 【分析】（1）设防护服产量的月平均增长率为 x，根据 1 月份及 3 月份的产量，列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据 3 月份产量达到 12.96 万套，即可求出预计 4 月份平均日产量 解：（1）
29、设防护服产量的月平均增长率为 x，根据题意，得 9（1+x）212.96 解得 x12.2（舍去），x20.220%， 答：防护服产量的月平均增长率为 20%； （2）12.96（1+0.2）15.552（万套） 答：预计 4 月份的产量为 15.552 万套 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 21如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BAC70，ACB50 （1）求ABD 的度数； （2）求BAD 的度数 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出ABC，根据圆周角定理求出ABD 的度数； （2）根据圆周角定理求出BCD，进而求出BCD，
30、根据圆内接四边形的性质计算，得到答案 解：（1）BAC70，ACB50， ABC180BACACB60， ， ABDCBDABC30； （2）由圆周角定理得：ACDABD30， BCDACB+ACD80， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， BAD180BCD100 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 22如图，在ABC 中，ABAC，ABC50D 是ABC 内任一点，将ADC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 与点 B 重合，点 D 的对应点为 E （1）求证：EBDC； （2）连接 DE若 E，D，C 在同一直线上
31、，则BED 80 【分析】（1）由旋转的性质可直接得到； （2）由旋转的性质可得 ADAE，BACDAE80，ADCAEB，由等腰三角形的性质可得AEDADE50，即可求解 【解答】（1）证明：将ADC 绕点 A 顺时针旋转， ADCAEB， BEDC； （2）解：如图， ABAC，ABC50， ABCACB50， BAC80， 将ADC 绕点 A 顺时针旋转， ADAE，BACDAE80，ADCAEB， AEDADE50， ADC130AEB， BED80， 故答案为：80 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8
32、分，共分，共 16 分）分） 23单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 ya（xh）2+k（a0） 某运动员进行了两次训练 （1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据， 直接写出该运动员竖直高度的最大值， 并求出满足的函
33、数关系 ya （xh）2+k （a0） ； （2） 第二次训练时， 该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y0.04 （x9）2+23.24 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d1， 第二次训练的着陆点的水平距离为 d2， 则 d1 d2（填“”“”或“”） 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出 h、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出 a 的值即可得出函数解析式； （2）设着陆点的纵坐标为 t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用 t 表示出 d1和 d2，然后进行比较即可
34、 解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20）， h8，k23.20， 即该运动员竖直高度的最大值为 23.20m， 根据表格中的数据可知，当 x0 时，y20.00，代入 ya（x8）2+23.20 得： 20.00a（08）2+23.20， 解得：a0.05， 函数关系式为：y0.05（x8）2+23.20； （2）设着陆点的纵坐标为 t，则第一次训练时，t0.05（x8）2+23.20， 解得：x8+或 x8， 根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 d18+， 第二次训练时，t0.04（x9）2+23.24， 解得：x9+或 x9， 根据图象可知，第二次训
35、练时着陆点的水平距离 d29+， 20（23.20t）25（23.24t）， ， d1d2， 故答案为： 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为 t，用 t 表示出 d1和 d2是解题的关键 24如图，在 RtABC 中，B90，AB6cm，BC10cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 移动，速度为 1cm/s；点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 移动，速度为 2cm/s，点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动 （1）几秒时，PQ 的长度为 3cm？ （2）几秒时，PBQ 的面积为 8cm
36、2？ （3）当 t（0t5）为何值时，四边形 APQC 的面积最小？并求这个最小值 【分析】（1）设运动时间为 t 秒，分别用 t 的代数式表示出线段 PB，BQ 的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解； （3）利用（1）中的方法求得四边形 APQC 的面积，利用二次函数的性质即可求解 解：设运动时间为 t 秒时，PQ 的长度为 3cm， 依题意得：APtcm，BQ2tcm， PB（6t）cm B90， PB2+BQ2PQ2， ， 解得：t3 或（负数不合题意，舍去） t3 3 秒时，PQ 的长度为 3cm； （2）设运动时间为
37、t 秒时，PBQ 的面积为 8cm2， 依题意得：APtcm，BQ2tcm，0t5， PB（6t）cm PBQ 的面积为 8cm2， （6t）2t8 解得：t2 或 4 2 或 4 秒时，PBQ 的面积为 8cm2 （3）四边形 APQC 的面积 SABCSPBQ ABBCBQPB 610（6t）2t t26t+30 （t3）2+21， 当 t3 时，四边形 APQC 的面积最小，最小值为 21 【点评】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用 t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）
38、分） 25如图 1，点 C 在线段 AB 上，（点 C 不与 A、B 重合），分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE、BD 交于点 P 【观察猜想】 AE 与 BD 的数量关系是 AEBD ； APD 的度数为 60 【数学思考】 如图 2，当点 C 在线段 AB 外时， （1）中的结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； 【拓展应用】 如图 3，点 E 为四边形 ABCD 内一点，且满足AEDBEC90，AEDE，BECE，对角线 AC、BD 交于点 P，AC10，则四边形 ABCD 的面积为 50 【
39、分析】【观察猜想】：证明ACEDCB（SAS），可得 AEBD，CAOODP，由AOCDOP，推出DPOACO60 【数学思考】：结论成立，证明方法类似 【拓展应用】 ：证明ACBD，可得S四边形ABCDACDP+ACPBAC （DP+PB） ACBD 解：【观察猜想】：结论：AEBDAPD60 理由：设 AE 交 CD 于点 O ADC，ECB 都是等边三角形， CACD，ACDECB60，CECB， ACEDCB， ACEDCB（SAS）， AEBD，CAOODP， AOCDOP， DPOACO60， 即APD60 故答案为 AEBD，60 【数学思考】：结论仍然成立 理由：设 AC 交
40、BD 于点 O ADC，ECB 都是等边三角形， CACD，ACDECB60，CECB， ACEDCB ACEDCB（SAS）， AEBD，PAOODC， AOPDOC， APODCO60， 即APD60 【拓展应用】： 设 AC 交 BE 于点 O ADE，ECB 都是等腰直角三角形， EDEA，AEDBEC90，CEEB， AECDEB AECDEB（SAS）， ACBD10，PBOOCE， BOPEOC， BPOCEO90， ACBD， S四边形ABCDACDP+ACPBAC（DP+PB）ACBD50 故答案为 50 【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的
41、性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题 26如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2+2ax+3 的图象与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B （1）求该函数的表达式及顶点坐标； （2）点 P（m，n）在该二次函数图象上，当 mxm+3 时，该二次函数有最大值 2，请根据图象求出m 的值； （3）将该二次函数图象在点 A，B 之间的部分（含 A，B 两点）记为图象 W 点 Q 在图象 W 上，连接 QA，QB，求ABQ 面积的最大值； 若直线 yc 与图象 W 只有一个公共点，结合函数图象，直接写出 c 的取值范围 【分析】（1）
42、用待定系数法求得抛物线的解析式，再把解析式化成顶点式便可得出顶点坐标； （2）分两种情况：m+31；m1；根据二次函数的性质列出方程求得 m 的值便可； （3）设 Q（t，t22t+3）（3t0），过 Q 作 QMy 轴于点 M，根据三角形的面积公式得出函数解析式，再由函数的性质求得最大值便可； 根据函数图象求得当直线 yc 与图象 W 只有一个交点时的 c 的取值便可 解：（1）把 A（3，0）代入 yax2+2ax+3 中， 得 9a6a+30， 解得 a1， 抛物线的解析式为：yx22x+3， yx22x+3（x+1）2+4， 抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）当 m+31，即 m4
43、 时， mxm+3 时，该二次函数有最大值 2， （m+3）22（m+3）+32， 解得 m4+（舍）或 m4， 当 m1 时， mxm+3 时，该二次函数有最大值 2， m22m+32， 解得 m1（舍）或 m1+， 故 m 的值为 m4或 m1+； （3）令 x0，得 yx22x+33， B（0，3）， 设 Q（t，t22t+3）（3t0），过 Q 作 QMy 轴于点 M， 则 QMt，OMt22t+3， ABQ 的面积 SS梯形OAQBSOABSBQM （3t0）， ABQ 面积的最大值为； 由函数图象可知，当 c4 或 0c3 时，直线 yc 与 W 只有一个交点， c4 或 0c3 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，三角形的面积公式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征， 要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、 顶点等点坐标的求法， 及这些点代表的意义及函数特征
