1、 2022-2023 学年吉林省白城市大安市九年级学年吉林省白城市大安市九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2若抛物线 yax2与 yx2+3x1 的形状相同，则 a 的值为（ ） A1 B1 C1 D3 3下列关于 x 的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） Ax28x+160 B2x2+10 Cx22x30 Dx250 4如图，将AOB 绕着点 O 顺时针旋转，得到COD（点 C 落在AOB 外），若AOB30，BOC10，则旋转角度是（
2、） A20 B30 C40 D50 5如图，C、D 是O 上直径 AB 两侧的点，若D75，则ABC 等于（ ） A35 B25 C20 D15 6如图，已知抛物线 yax2+bx+c 开口向上，与 x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线 x1下列结论错误的是（ ） Aabc0 Bb24ac C4a+2b+c0 D2a+b0 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7在平面直角整标系中，若点 A（3，2）与点 B（m，2）关于原点对称，则 m 的值是 8抛物线 y3（x+8）2的顶点坐标是 9 如图所示， 这个图案绕精它的中心旋转 （0360） 后能够与它本
3、身重合， 则 可以为 （写出一个即可） 10已知点（4，y1）、（1，y2）、（，y3）都在函数 yx2+5 的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系为 （用“”连接） 11数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点 A，B，再作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 C，交于点 D，连接 CD，经测量 AB8cm，CD2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm 12如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC，若点 A 的坐标为（4，3），则点 A的坐标为 13如图，四边形 ABCD 内接于O，CBE 是它的一个外角，若CBE58，则AOC 度 14
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作CDx 轴，交抛物线于另一点 D，若 AB+CD3，则 c 的值为 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15解方程：x23x30 16在平面直角坐标系中，求抛物线 yx22x1 与 x 轴的交点坐标 17 某市 2019 年底， 城市树木花草的绿化面积约 350 万亩， 为持续保护和改善生态环境， 经过两年的努力，到 2021 年底绿化面积约 423.5 万亩求这两年绿化面积的年平均增长率 18如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到AED使
5、点 B 的对应点 E 落在边 BC 上，求AEC 的度数 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19图 1、图 2、图 3 均为 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点和点 D 均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、 （1）在图 1 中，画出将ABC 绕点 D 顺时针旋转 90得到的A1B1C1 （2）在图 2 中，画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 关于点 D 成中心对称； （3）在图 3 中，以 AB 为一边画出一个ABEF、使 ABEF 的面积是ABC 的面积的 4 倍 20如图，正常
6、水位时，抛物线形拱桥下的水面宽 AB 为 20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为 4m （1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； （2）当水面宽 10m 时，达到警戒水位，如果水位以 0.2m/h 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 21如图，在O 中，B、C 是 AD 的三等分点，弦 AC、BD 相交于点 E （1）求证：ACBD； （2）连接 AB，若BAC25，求BEC 的度数 22如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C1：yx2+bx+c 的图象经过点（3，0）、（3，3），与 y轴交于点 C （1）求抛物线
7、C1的解析式； （2）将抛物线 C1先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后得到抛物线 C2，抛物线 C2的顶点为 D，求ODC 的面积 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 23如图，用 40m 的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长 15m垂直于墙的边长为 xm围成的矩形场地的面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求这个矩形场地面积的最大值 24猜想如图 1，在O 中，点 C 在优弧 ACB 上，连接 AO、BO，得到圆心角AOB，发现，ACB 与AOB 对着同一条弧 AB，则AOB2ACB
8、； 特例探究为证明图 1 中的结论，我们不妨使点 O 在ACB 的边 AC 上，如图 2若 BCOC，则AOB 度； 证明结论请结合图 2 的特例探究，用图 1 证明猜想中的结论； 结论应用在图 1 中，若C65，点 P 在O 上，且BAP 是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25操作如图 1ABC 是等腰直角三角形，ACB90，D 是其内部的一点，连接 CD将 CD 绕点（顺时针旋转 90得到 CE，连接 DE，作直线 AD 交 BE 于点 F （1）求证：ADCBEC； （2）求AFE 的度数； 探究如图
9、 2，连接图 1 中的 AE，分别取 AB、DE、AE 的中点 M、N、P，作MNP若 BE8，则MNP 的周长为 26如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，3）在抛物线 yx2+bx+c 上，其对称轴是直线 x2点 P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为 m，m+3，设该抛物线在点 P 与点 Q 之间部分（含点 P 和点 Q）的图象记为 G，图象 G 的最高点与最低点的纵坐标之差为 h （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P 的纵坐标为 2 时，求点 Q 的坐标； （3）当图象 G 的最低点是该抛物线的顶点时，求 h 与 m 之间的函数关系式；当 h5 时，直接写出 m 的值 参考答案参考
10、答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 2若抛物线 yax2与 yx2+3x1 的形状相同，则 a 的值为（ ） A1 B1 C1 D3 【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解
11、即可 解：抛物线 yax2与 yx2+3x1 的形状相同， |a|1， a1 故选：B 3下列关于 x 的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） Ax28x+160 B2x2+10 Cx22x30 Dx250 【分析】根据根的判别式b24ac 的值的符号，即可判定方程实数根的情况 解：A、b24ac（8）241160， 此方程有两个相等的实数根， 故本选项符合题意； B、b24ac0242180， 此方程没有实数根， 故本选项不符合题意； C、b24ac（2）241（3）160， 此方程有两个不相等的实数根， 故本选项不符合题意； D、b24ac0241（5）200， 此方程有两个不相等
12、的实数根， 故本选项不符合题意 故选：A 4如图，将AOB 绕着点 O 顺时针旋转，得到COD（点 C 落在AOB 外），若AOB30，BOC10，则旋转角度是（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】由旋转的性质可直接求解 解：将AOB 绕着点 O 顺时针旋转， AOC 是旋转角， AOCAOB+BOC30+1040， 旋转角度为 40， 故选：C 5如图，C、D 是O 上直径 AB 两侧的点，若D75，则ABC 等于（ ） A35 B25 C20 D15 【分析】由 AB 是直径可得ACB90，根据圆周角定理由D75可知CAB75，再根据直角三角形锐角互余可得ABC 的度数 解：AB
13、 是O 的直径， ACB90， D75， CAB75， ABC907515 故选：D 6如图，已知抛物线 yax2+bx+c 开口向上，与 x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线 x1下列结论错误的是（ ） Aabc0 Bb24ac C4a+2b+c0 D2a+b0 【分析】利用函数图象的开口，与 y 轴交点坐标，和对称轴，分别判断出 a，b，c 的正负，可以判断出A 选项，由抛物线与 x 轴交点个数，可以判断b24ac 的正负，可以判断出 B 选项，又当 x2 时，y4a+2b+c，根据图象可以判断 C 选项，由对称轴为 x1，可以判断 D 选项 解：由图象可得，抛物线开口向上，故 a0
14、， 由于抛物线与 y 轴交点坐标为（0，c）， 由图象可得，c0， 对称轴为 x， ， b2a， a0， b0， abc0， 故 A 选项正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， b24ac， 故 B 选项正确； 由图象可得，当 x2 时，y0， 4a+2b+c0， 故 C 选项错误； 抛物线的对称轴为 x1， ， 2a+b0， 故 D 选项正确， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7在平面直角整标系中，若点 A（3，2）与点 B（m，2）关于原点对称，则 m 的值是 3 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点
15、 P（x，y）关于原点 O 的对称点是 P（x，y），进而得出答案 解：点（3，2）与点（m，2）关于原点对称， m3 故答案为：3 8抛物线 y3（x+8）2的顶点坐标是 （8，0） 【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标 解：y3（x+8）2， 抛物线顶点坐标为（8，0）， 故答案为：（8，0） 9如图所示，这个图案绕精它的中心旋转 （0360）后能够与它本身重合，则 可以为 90（答案不唯一） （写出一个即可） 【分析】把此图案绕看作正方形，然后根据正方形的性质求解 解：图形看作正方形， 而正方形的中心角为 90， 所以此图案绕旋转中心旋转 90的整数倍时能够与自身重合， 故 可以为
16、 90（答案不唯一）（写出一个即可） 故答案为：90（答案不唯一） 10已知点（4，y1）、（1，y2）、（，y3）都在函数 yx2+5 的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系为 y2y3y1 （用“”连接） 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是 y 轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到 解：yx2+5， 函数图象的对称轴是 y 轴，图象的开口向下， 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， 点（4，y1）、（1，y2）、（，y3）都在函数 yx2+5 的图象上， 点（，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（
17、，y3）在函数 yx2+5 的图象上， 41， y2y3y1， 故答案为：y2y3y1 11数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点 A，B，再作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 C，交于点 D，连接 CD，经测量 AB8cm，CD2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 5 cm 【分析】 设这个齿轮内圈圆的圆心为 O， 半径为 Rcm， 连接 OA、 OC， 由垂径定理得 O、 C、 D 三点共线，则 OC（R2）cm，然后在 RtAOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 解：设这个齿轮内圈圆的圆心为 O，半径为 Rcm，连接 OA、OC， 则 O、C、
18、D 三点共线，OC（R2）cm， CD 是 AB 的垂直平分线，AB8cm， ACAB4（cm）， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：42+（R2）2R2， 解得：R5， 即这个齿轮内圈圆的半径为 5cm， 故答案为：5 12如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到ABC，若点 A 的坐标为（4，3），则点 A的坐标为 （4，1） 【分析】分别过 A，A向 y 轴引垂线，可得AECADC，利用全等得到 A 到 x 轴，y 轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标 解：作 AEy 轴于点 E，ADy 轴于点 D，则AECADC， ACEACD，ACAC， AECADC（AAS）， ADA
19、E4，CECD， OD3，OC1， CD2， CE2， OE1， 点 A的坐标为（4，1） 故答案为：（4，1） 13如图，四边形 ABCD 内接于O，CBE 是它的一个外角，若CBE58，则AOC 116 度 【分析】根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义求出ADC，再根据圆周角定理解答即可 解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形， ADC+ABC180， CBE+ABC180，CBE58， ADCCBE58， 由圆周角定理得：AOC2ADC116， 故答案为：116 14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作CDx
20、轴，交抛物线于另一点 D，若 AB+CD3，则 c 的值为 【分析】先用根与系数的关系求出 AB2，再根据 CDx 求出 CD，然后由 AB+CD3 得到关于 c的方程，解方程求出 c 即可 解：设 A（x1，0），B（x2，0）， 令 y0，则 yx2+2x+c0， 由根与系数的关系得：x1+x22，x1x2c， 则 AB|x1x2|2， 令 x0，则 yc， C（0，c）， CDx 轴， 点 D 纵坐标为 c， 当 yc 时，则x2+2x+cc， 解得：x2，或 x0， D（2，c）， CD2， AB+CD3， 2+23， 解得：c， 故答案为： 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5
21、分，共分，共 20 分）分） 15解方程：x23x30 【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根 解：x23x30， a1，b3，c3， （3）241（3）210， x， x1，x2 16在平面直角坐标系中，求抛物线 yx22x1 与 x 轴的交点坐标 【分析】令 y0，得 x 的一元二次方程，解方程便可求得结果 解：令 y0，得 x22x10， 解得 x1， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）或（1+，0） 17 某市 2019 年底， 城市树木花草的绿化面积约 350 万亩， 为持续保护和改善生态环境， 经过两年的努力，到 2021 年底绿化面积约 423.5 万亩
22、求这两年绿化面积的年平均增长率 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为 x，利用该市 2021 年底绿化面积该市 2019 年底绿化面积（1+这两年绿化面积的年平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 解：设这两年绿化面积的年平均增长率为 x， 依题意得：350（1+x）2423.5， 解得：x10.110%，x22.1（不符合题意，舍去） 答：这两年绿化面积的年平均增长率为 10% 18如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到AED使点 B 的对应点 E 落在边 BC 上，求AEC 的度数 【分析】由旋转的性质可知 AEAB，BAE40，求出AEB
23、可得结论 解：由旋转的性质可知 AEAB，BAE40， ABEAEB（18040）70 AEC180AEB110 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19图 1、图 2、图 3 均为 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点和点 D 均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、 （1）在图 1 中，画出将ABC 绕点 D 顺时针旋转 90得到的A1B1C1 （2）在图 2 中，画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 关于点 D 成中心对称； （3）在图 3 中，以 AB 为一边画出一个ABEF、使 A
24、BEF 的面积是ABC 的面积的 4 倍 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2即可； （3）利用三角形面积公式和平行四边形的性质，把 AB 向上平移可得到满足条件的平行四边形 解：（1）如图 1，A1B1C1为所作； （2）如图 2，A2B2C2为所作； （3）如图 3，ABEF 为所作 20如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽 AB 为 20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为 4m （1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函
25、数的表达式； （2）当水面宽 10m 时，达到警戒水位，如果水位以 0.2m/h 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【分析】（1）建立如图所示坐标系，根据题意设抛物线的解析式为 yax2+4，把 A 点坐标代入解析式求出 a 即可； （2）首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间 t 解：（1）以水面所在直线 AB 为 x 轴，以过拱顶垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示： A（10，0），C（0，4）， 设二次函数的解析式为 yax2+4（a0）， 把点 A 坐标代入解析式得：100a+40， 解得：a， 这个函数的表达式为：yx2+4；
26、 （2）当水面宽 10m 时，即 x5 时，y52+43， 此时水面离拱顶 431（m）， 10.25（h）， 答：达到警戒水位后，再过 5h 此桥孔将被淹没 21如图，在O 中，B、C 是 AD 的三等分点，弦 AC、BD 相交于点 E （1）求证：ACBD； （2）连接 AB，若BAC25，求BEC 的度数 【分析】（1）根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可得解； （2）根据圆周角定理及三角形三角形外角的性质求解即可 【解答】（1）证明：B，C 是的三等分点， ， ， ， ACBD； （2）解：BAC25， BACCADBDA25， AED+CAD+BDA180， AED180CA
27、DBDA130， BECAED130 22如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C1：yx2+bx+c 的图象经过点（3，0）、（3，3），与 y轴交于点 C （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后得到抛物线 C2，抛物线 C2的顶点为 D，求ODC 的面积 【分析】（1）把点（3，0）、（3，3）代入 yx2+bx+c，解方程组即可得到结论； （2）根据平移规律得到 D 点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论 解：（1）yx2+bx+c 的图象经过点（3，0）、（3，3）， ， 解得， 抛物线 C1的解析式为 yx2+x+
28、； （2）yx2+x+（x1）2+4， 抛物线 C1的顶点坐标为（1，4），y 轴交于点 C（0，）， 将抛物线 C1先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后得到抛物线 C2， 抛物线 C2的顶点 D 的坐标为（2，2）， ODC 的面积为2 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 23如图，用 40m 的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长 15m垂直于墙的边长为 xm围成的矩形场地的面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求这个矩形场地面积的最大值 【分析】（1）表示出矩形的长和宽可得出 y 和
29、 x 的函数关系式； （2）利用配方法和函数的性质求得最大面积 解：（1）垂直于墙的边长为 xm，平行于墙的边长为（402x）m， yx（402x）， 根据题意得：， 解得x20， y 与 x 之间的函数关系式为 y2x2+40 x（x20）； （2）y2x2+40 x2（x10）2+200， 20，x20， 当 x时，y 最大，最大值为 187.5， 答：这个矩形场地面积的最大值为 187.5m2 24猜想如图 1，在O 中，点 C 在优弧 ACB 上，连接 AO、BO，得到圆心角AOB，发现，ACB 与AOB 对着同一条弧 AB，则AOB2ACB； 特例探究为证明图 1 中的结论，我们不妨
30、使点 O 在ACB 的边 AC 上，如图 2若 BCOC，则AOB 120 度； 证明结论请结合图 2 的特例探究，用图 1 证明猜想中的结论； 结论应用在图 1 中，若C65，点 P 在O 上，且BAP 是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数 【分析】 特例探究由 OCOBBC，可得BOC 是等边三角形，有BOC60，即得AOB180BOC120； 证明结论连接并延长 CO 交O 于 D，由 OAOC，得OACOCA，即得AOD2OCA，同理BOD2OCB，故AOB2ACB； 结论应用分三种情况画出图形：当 P 在优弧 ACB 上，APBP 时，连接 OA，OB，由AOB2C，AOB
31、2P，得PC65，即等腰三角形 BAP 的顶角是 65；当 P 在劣弧 AB 上，APBP时，连接 OA，OB，OP，由AOB2C，C65，得AOB130，有OAP+OPA+OPB+OBP230，而 OAOPOB，证OAPOBP（SSS），即得OAPOPAOPBOBP57.5，故APBOPA+OPB57.5+57.5115，即等腰三角形 BAP 的顶角是115；当 ABPB 时，可得PABP65，有PBA180PPAB50，即等腰三角形 BAP 的顶角是 50 【解答】特例探究 解：如图： OCOBBC， BOC 是等边三角形， BOC60， AOB180BOC120， 故答案为：120； 证
32、明结论 证明：连接并延长 CO 交O 于 D，如图： OAOC， OACOCA， AODOAC+OCA， AOD2OCA， 同理BOD2OCB， AOD+BOD2OCA+2OCB2（OCA+OCB）2ACB， 即AOB2ACB； 结论应用 解：当 P 在优弧 ACB 上，APBP 时，连接 OA，OB，如图： AOB2C，AOB2P， PC65，即等腰三角形 BAP 的顶角是 65； 当 P 在劣弧 AB 上，APBP 时，连接 OA，OB，OP，如图： AOB2C，C65， AOB130， OAP+OPA+OPB+OBP360130230， OAOPOB， OAPOPA，OPBOBP， OA
33、OB，APBP，OPOP， OAPOBP（SSS）， OAPOBP， OAPOPAOPBOBP57.5， APBOPA+OPB57.5+57.5115，即等腰三角形 BAP 的顶角是 115； 当 ABPB 时，如图： PAOBC65，ABPB， PABP65， PBA180PPAB50，即等腰三角形 BAP 的顶角是 50； 同理 ABAP时，PAB50，等腰三角形 BAP顶角是 50； 综上所述，BAP 是等腰三角形，该等腰三角形的顶角的度数是 65或 115或 50 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25操作如图 1ABC 是等腰直角三角形，ACB
34、90，D 是其内部的一点，连接 CD将 CD 绕点（顺时针旋转 90得到 CE，连接 DE，作直线 AD 交 BE 于点 F （1）求证：ADCBEC； （2）求AFE 的度数； 探究如图 2，连接图 1 中的 AE，分别取 AB、DE、AE 的中点 M、N、P，作MNP若 BE8，则MNP 的周长为 8+4 【分析】操作（1）由旋转的性质得DCE90，CDCE，再证ACDBCE，然后由 SAS 证ADCBEC 即可； （2）由全等三角形的性质得CADCBE，再由三角形的外角性质得HFBACB90，即可得出结论； 探究由全等三角形的性质得 ADBE8， 再由三角形中位线定理得 PMBE， PM
35、BE4， PNAD，PNAD4，则 PMPN，然后证 PMPN，则MNP 是等腰直角三角形，即可解决问题 【解答】操作（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，ACB90， ACBC， 由旋转的性质得：DCE90，CDCE， ACBDCE， ACBBCDDCEBCD， 即ACDBCE， 在ADC 和BEC 中， ， ADCBEC（SAS）； （2）解：如图 1，设 AF 与 BC 交于点 H， 由（1）可知，ADCBEC， CADCBE， AHBCBE+HFBCAD+ACB， HFBACB90， AFE180HFB90； 探究解：由（1）可知，ADCBEC， ADBE8， M、N、P 分别是 AB
36、、DE、AE 的中点， PM 是ABE 的中位线，PN 是ADE 的中位线， PMBE，PMBE4，PNAD，PNAD4， PMPN， 由（2）可知，AFE90， AFBE， PMPN， MPN90， MNP 是等腰直角三角形， MNPM4， MNP 的周长PM+PN+MN4+4+48+4， 故答案为：8+4 26如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，3）在抛物线 yx2+bx+c 上，其对称轴是直线 x2点 P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为 m，m+3，设该抛物线在点 P 与点 Q 之间部分（含点 P 和点 Q）的图象记为 G，图象 G 的最高点与最低点的纵坐标之差为 h （1）求该抛
37、物线的解析式； （2）点 P 的纵坐标为 2 时，求点 Q 的坐标； （3）当图象 G 的最低点是该抛物线的顶点时，求 h 与 m 之间的函数关系式；当 h5 时，直接写出m 的值 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式； （2）把 y2 代入解析式求出 m 的值，再求出 Q 点坐标； （3）求出抛物线的对称轴，再根据图象 G 的最低点是该抛物线的顶点时，根据1m和m 2 两种情况求出 h 关于 m 的解析式； 把 h5 代入中解析式，求出 m 的值即可 解：（1）根据题意得， 解得 b4，c3， 抛物线的解析式为 yx24x3； （2）当 y2 时，2m24m3， 解得 m11，m25， 当
38、 m1 时，m+32， 当 x2 时，y4837， 当 m5 时，m+38， 当 x8 时，y6432329， 点 Q 的坐标为（2，7）或（8，29）； （3）yx24x3（x2）27， 抛物线的顶点坐标为（2，7）， 当图象 G 的最低点是该抛物线的顶点时，m2m+3， 1m2， 当1m时，在图象 G 中当 xm 时取得最大值 m24m3， hm24m3（7）m24m+4； 当m2 时，在图象 G 中当 xm+3 时取得最大值（m+3）24（m+3）3m2+2m6， hm2+2m6（7）m2+2m+1， h 与 m 之间的函数关系式为 hm24m+4 或 hm2+2m+1； 当 h5 时，m24m+45 或 m2+2m+15， 解得 m12+（舍去），m22或 m31（舍去），m31+， m2或 m1+
