1、广东省深圳市龙岗区2023届高三上期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 02. 在复平面内，复数满足，则对应点位于（ ）A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”，如18=7+11，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数满足
2、：、，则（ ）A. 偶函数且在上单调递减B. 是偶函数且在上单调递增C. 是奇函数且单调递减D. 是奇函数且单调递增6. 已知锐角满足，则（ ）A. B. C. 2D. 37. 在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积最小值为（ ）A. B. C. D. 8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若与的夹角为，则10. 若圆：与圆：的交点为，则（ ）A. 线段中垂线方程为B. 公共
3、弦所在直线方程为C. 公共弦的长为D. 在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆11. 在棱长为1的正方体中，是线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A. 四面体的体积恒为定值B. 直线与平面所成角正弦值可以为C. 异面直线与所成角的范围是D. 当时，平面截该正方体所得的截面图形为等腰梯形12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ）A. B. 可能等于C. 当时，的值不唯一D. 当时，的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 展开式中的常数项为_14. 等差数列的前n项和为，若，则_15. 若为偶函数，则_.（填写符合要求的一个值）16. 已知函数，若，则
4、最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 记为等比数列的前项和，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.18. 已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求函数在上的解析式；（2）若，恒成立，求实数的取值范围19. 在中，角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求，20. 如图，在等腰直角三角形中，是斜边上的高，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，、分别为、的中点，为的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如
5、下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分（1）若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；（2）若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望22. 已知函数（，是自然对数的底数）.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.广东省深圳市龙岗区2023届高三上期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】根据解出集合，再根据交集的含义得到答案.【详解】集合,则,故选：B.2. 在复平面内，复数满足，则对应的点位于（ ）A.
6、第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】解：因为，所以，则对应的点为，位于第三象限.故选：D.3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积.【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，底面周长，所以，所以圆锥的体积为.故选：B4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”，如18=7+11，在不
7、超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定不超过16的素数，写出任取2上的基本事件，同时得出和为16的基本事件，由概率公式计算概率【详解】不超过16的素数有2、3、5、7、11、13，满足“和”等于16的有(3，13)、(5，11)共有2组，总的有(2，3)、(2，5)、(2，7)、(2，11)、(2，13)、(3，5)、(3，7)、(3，11)、(3，13)、(5，7)、(5，11)、(5，13)、(7，11)、(7，13)、(11，13)，所以，故选：B5. 已知函数满足：、，则（ ）A. 是偶函数且在上单调递减
8、B. 是偶函数且在上单调递增C. 是奇函数且单调递减D. 是奇函数且单调递增【答案】D【解析】【分析】根据题意得，进而令即可判断函数奇偶性，再设，令即可判断函数的在上单调递增，再结合奇偶性即可判断.【详解】解：因为函数满足： 、，所以，令得，即，令得，即，所以，函数为奇函数，设，令，所以，因为，所以，即，所以，函数在上单调递增，所以，函数在单调递增，综上，是奇函数且单调递增.故选：D6. 已知锐角满足，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.【详解】，即，又为锐角，即，.故选：
9、A7. 在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，故，所以，故.当时等号成立故故选：C8. 设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于是上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较.【详解】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则
10、.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若与的夹角为，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，利用向量垂直，则点乘为0，得到方程解出即可，对于B选项，对于向量坐标化的共线，则有内积等于外积，得到方程解出即可，对于C选项向量坐标化模的计算方法得到方程，解出即可，对于D选项，利用向量夹角公式得到关于的方程，解出即可.【详解】对于A，与垂直，,解得,故A正确，对于B，,解得,故B正确,对于C，,解得,故C错误,对于D,若与夹角
11、为，则 ,化解得，解得或（舍去），故D正确.故选: ABD.10. 若圆：与圆：的交点为，则（ ）A. 线段中垂线方程为B. 公共弦所在直线方程为C. 公共弦长为D. 在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【答案】BD【解析】【分析】有两个圆方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断A；联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断B；根据圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断C；根据圆心在公共弦上即可判断D【详解】解：对于A选项，圆，其圆心为，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，故A错误；对于B选项，圆与圆，两圆方程作差可得，即公共弦
12、所在直线方程为，故B正确；对于C选项，圆，即，其圆心为，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，故C错误；对于D选项，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，故D正确.故选：BD11. 在棱长为1的正方体中，是线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）A. 四面体的体积恒为定值B. 直线与平面所成角正弦值可以为C. 异面直线与所成角的范围是D. 当时，平面截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，根据平面，判断的体积为定值；对于B选项，设与平面所成的角为，M到平面的距离为d，则，由/平面，且求d，结合正方体性质即可知与平面所成角正弦值的最大值
13、；对于C选项，根据异面直线所成角的平面角，及正方体性质确定异面直线BM与AC所成角的范围；对于D选项，过作，分别交于点，连接，根据几何关系即可判断；【详解】解：对于A选项，根据正方体的特征可得，因为平面，平面，所以平面，即线段上的点到平面的距离相等，又因为的面积为定值，是线段上一个动点，所以四面体的体积为定值，故A选项正确；对于B选项，设直线与平面所成的角为，到平面的距离为，则，因为，平面，平面所以平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等，连接，由可得，又，所以，易知当为的中点时，最小，为，此时取得最大值为，故B错误；对于C选项，设异面直线与所成的角为，当与或重合时，取得最小值，为，当为中点时
14、，取得最大值，为，所以异面直线与所成角的范围是，故C选项正确；对于D选项，过作，分别交于点，连接，设与交点为 由正方体的性质知，因为，所以，所以，所以，即四边形为等腰梯形，故D正确故选：ACD12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ）A. B. 可能等于C. 当时，的值不唯一D. 当时，的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】设切线的切点为,利用导数的几何意义及题设条件可得，令，再利用导数研究函数的单调性,作出其草图,再逐项判断即可.【详解】,设切线的切点为,则切线的斜率为,又,则切线的方程为,则,令,则,所以,令得,所以,当或时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,且,当趋近
15、于时,趋近于0,当趋近于时,趋近于,作出函数的草图如下,对于A,由于,故,由图象可知,或2或3,即,又与不能同时取得,故,选项A正确;对于C,当时,即的值有两个,由图象可知,当且仅当时,的值有两个,选项C错误;对于D,由图象可知,当或时,的值唯一,此时,选项D正确;对于B,由图象可知,或2或3,若,若,则,由选项D可知,此时或,而，不合题意舍去，若，则，由C选项知此时取唯一值，不合题意，舍去，若，则，由图象得此时，而在此范围内，故可能取到,选项B正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线方程,考查转化思想及数形结合思想,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于较难题目.对于函数
16、外一动点作函数图像切线个数问题常见的方法：设切点，求切线方程，分离参数，如，再研究图像，转化为直线与函数图像交点个数问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 展开式中的常数项为_【答案】#0.9375【解析】【分析】根据二项式展开公式得到，令上的指数为0，得到值，再代入回去得到常数值.【详解】二项式的展开式的通项公式为,令,解得,则展开式的常数项为,故答案：.14. 等差数列的前n项和为，若，则_【答案】7【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质及求和公式即可得到答案【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，又，故答案为：715. 若为偶函数，则_.（填写符合要求
17、的一个值）【答案】，填写符合Z的一个即可【解析】【分析】把展开化简，只要能化成的形式即为偶函数.【详解】，只要，就为偶函数，Z，填写一个即可，如.故答案为：，填写符合Z的一个即可.16. 已知函数，若，则的最小值为_.【答案】#【解析】【分析】利用导数研究的单调性，结合可得，进而有，构造求最小值即可.【详解】由且，则，在时，递减；在时，递增；所以极小值，故单调递增，又，由，则，所以，所以，令，则，所以上，递减，上，递增，故，即的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：注意，根据的单调性求出的关系，进而转化目标式并构造函数求最小值.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或
18、演算步骤17. 记为等比数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到的值，再利用得出q的值，进而得到的值，即得到数列的通项；（2）由（1）可得到，再利用错位相减，可得解.【详解】解：（1），即，数列的通项公式为.（2）由得，即，由-得， .【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题.18. 已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求函数在上的解析式；（2）若，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再设，利用奇偶性求出时函数解析式，即可得解；（2
19、）首先判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得，恒成立，则，即可得到不等式，解得即可.【小问1详解】解：由题意知，解得，所以当时，当，则，所以又为奇函数，所以，故当时，综上：【小问2详解】解：由，得，因为是奇函数，所以当时，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增可得，恒成立，故，解得所以19. 在中，角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求，【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 .（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，.【小问1详解】中，已知，由正弦定理可得， ，ABC中， ， 【小问2详解】a=2，ABC的
20、面积为 ，解得bc=4. 由余弦定理可得： 化为.联立 ，解得.20. 如图，在等腰直角三角形中，是斜边上的高，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，、分别为、的中点，为的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）本题可连接，与相交与点，连接，然后根据以及得出是等边三角形，再然后通过重心的相关性质得出，最后根据得出，根据线面平行的判定即可证得结论；（2）本题首先可构造空间直角坐标系，然后令，得出以及平面的法向量，最后设直线与平面所成角为，根据即可得出结果.【详解】（1）如图，连接，与相交与点，连接，因为三角形是等腰直角三角形
21、，是斜边上的高，所以，即，因为，所以是等边三角形，因为、分别为、的中点，所以、是的中线，因为为中点，为的中点，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，所以平面，如图，过点作直线垂直平面，作空间直角坐标系，设，则，设，是平面的法向量，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行的判定以及线面角的正弦值的求法，考查三角形重心的相关性质的应用，考查借助空间直角坐标系求线面角，考查线面垂直的判定，考查数形结合思想，是难题.21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如
22、下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分（1）若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；（2）若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望【答案】（1） （2）分布列详见解析，数学期望.【解析】【分析】（1）连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法，再结合概率公式，即可求解（2）由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，即可求解分布列，再求数学期望【小问1详解】连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法，故恰好取到3种颜色球的概
23、率【小问2详解】由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8，当时，两个红球和一个白球，则，当时，两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则，当时，一个红球和一个白球和一个黑球，则，当时，一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则，当时，两个黑球和一个白球，则，故随机变量的分布列为：45678数学期望.22. 已知函数（，是自然对数的底数）.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求得的导函数，对分成和两种情况，分类讨论的单调区间.（2）首先判断.解法一：构造函数，求得的导函数，对分成，两种情况进行分类讨论，结合求得
24、的取值范围.解法二：当时，根据的单调性证得.当时，同解法一，证得此时不满足.【详解】（1），当时，在上单调递减；当时，由得，所以上单调递减；由得，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：当时，即，所以，令，则若，则当时，所以在上单调递增；当时，所以当时，单调递增，所以.若，则，由得，所以，所以，使得，且当时，所以在上单调递减，所以当时，不合题意.综上，的取值范围为.解法二：当时，即，所以，若，由（1）知：在上单调递增，因为，所以，所以在上单调递增，所以当时，.若，令，则所以，由得，所以，所以，使得，且当时，所以在上单调递减，所以当时，不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.
