广东省深圳市龙岗区2023届高三上期中数学试卷(含答案解析)

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1、广东省深圳市龙岗区2023届高三上期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设集合,则( )A. B. C. D. 02. 在复平面内,复数满足,则对应点位于( )A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( )A. B. C. D. 4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”,如18=7+11,在不超过16的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于16的概率是( )A. B. C. D. 5. 已知函数满足

2、:、,则( )A. 偶函数且在上单调递减B. 是偶函数且在上单调递增C. 是奇函数且单调递减D. 是奇函数且单调递增6. 已知锐角满足,则( )A. B. C. 2D. 37. 在平面中,过定点作一直线交轴正半轴于点,交轴正半轴于点,面积最小值为( )A. B. C. D. 8. 设是定义域为的偶函数,且在上单调递减,则( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 已知向量,则( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若与的夹角为,则10. 若圆:与圆:的交点为,则( )A. 线段中垂线方程为B. 公共

3、弦所在直线方程为C. 公共弦的长为D. 在过,两点的所有圆中,面积最小的圆是圆11. 在棱长为1的正方体中,是线段上的一个动点,则下列结论正确的是( )A. 四面体的体积恒为定值B. 直线与平面所成角正弦值可以为C. 异面直线与所成角的范围是D. 当时,平面截该正方体所得的截面图形为等腰梯形12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切,则( )A. B. 可能等于C. 当时,的值不唯一D. 当时,的取值范围是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 展开式中的常数项为_14. 等差数列的前n项和为,若,则_15. 若为偶函数,则_.(填写符合要求的一个值)16. 已知函数,若,则

4、最小值为_.四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 记为等比数列的前项和,.(1)求数列通项公式;(2)若,求数列的前项和.18. 已知是定义在上的奇函数,当时,(1)求函数在上的解析式;(2)若,恒成立,求实数的取值范围19. 在中,角,的对边分别为,已知(1)求;(2)若,的面积为,求,20. 如图,在等腰直角三角形中,是斜边上的高,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,、分别为、的中点,为的中点,(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球,其中红、白、黑三种颜色,每种颜色各两个小球,现制定如

5、下游戏规则:每次从盒子里不放回的摸出一个球,若取到红球记1分;取到白球记2分;取到黑球记3分(1)若从中连续取3个球,求恰好取到3种颜色球的概率;(2)若从中连续取3个球,记最后总得分为随机变量,求随机变量的分布列与数学期望22. 已知函数(,是自然对数的底数).(1)讨论的单调性;(2)当时,求的取值范围.广东省深圳市龙岗区2023届高三上期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设集合,则( )A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】根据解出集合,再根据交集的含义得到答案.【详解】集合,则,故选:B.2. 在复平面内,复数满足,则对应的点位于( )A.

6、第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数,再根据复数的几何意义即可得解.【详解】解:因为,所以,则对应的点为,位于第三象限.故选:D.3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得圆锥底面半径和高,由此求得圆锥的体积.【详解】设圆锥底面半径为,高为,母线长为,则,底面周长,所以,所以圆锥的体积为.故选:B4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”,如18=7+11,在不

7、超过16的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于16的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定不超过16的素数,写出任取2上的基本事件,同时得出和为16的基本事件,由概率公式计算概率【详解】不超过16的素数有2、3、5、7、11、13,满足“和”等于16的有(3,13)、(5,11)共有2组,总的有(2,3)、(2,5)、(2,7)、(2,11)、(2,13)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(3,13)、(5,7)、(5,11)、(5,13)、(7,11)、(7,13)、(11,13),所以,故选:B5. 已知函数满足:、,则( )A. 是偶函数且在上单调递减

8、B. 是偶函数且在上单调递增C. 是奇函数且单调递减D. 是奇函数且单调递增【答案】D【解析】【分析】根据题意得,进而令即可判断函数奇偶性,再设,令即可判断函数的在上单调递增,再结合奇偶性即可判断.【详解】解:因为函数满足: 、,所以,令得,即,令得,即,所以,函数为奇函数,设,令,所以,因为,所以,即,所以,函数在上单调递增,所以,函数在单调递增,综上,是奇函数且单调递增.故选:D6. 已知锐角满足,则( )A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据已知条件,利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程,化简,然后利用同角三角函数关系求得的值.【详解】,即,又为锐角,即,.故选:

9、A7. 在平面中,过定点作一直线交轴正半轴于点,交轴正半轴于点,面积的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直线的截距式,再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线不经过原点,故设直线的方程为,因为直线过定点,故,所以,故.当时等号成立故故选:C8. 设是定义域为的偶函数,且在上单调递减,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于是上递减的偶函数,故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小,结合指数函数,对数函数的单调性即可比较.【详解】由,即,注意到,由,故,即,又根据指数函数性质,是上的减函数,故,即,于是,又是上递减的偶函数,则

10、.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 已知向量,则( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若与的夹角为,则【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项,利用向量垂直,则点乘为0,得到方程解出即可,对于B选项,对于向量坐标化的共线,则有内积等于外积,得到方程解出即可,对于C选项向量坐标化模的计算方法得到方程,解出即可,对于D选项,利用向量夹角公式得到关于的方程,解出即可.【详解】对于A,与垂直,,解得,故A正确,对于B,,解得,故B正确,对于C,,解得,故C错误,对于D,若与夹角

11、为,则 ,化解得,解得或(舍去),故D正确.故选: ABD.10. 若圆:与圆:的交点为,则( )A. 线段中垂线方程为B. 公共弦所在直线方程为C. 公共弦长为D. 在过,两点的所有圆中,面积最小的圆是圆【答案】BD【解析】【分析】有两个圆方程求出两圆的圆心坐标,分析可得直线的方程,即可得线段中垂线方程,可判断A;联立两个圆的方程,分析可得公共弦所在直线方程,可判断B;根据圆心在公共弦上,即可得公共弦的长为圆的直径,可判断C;根据圆心在公共弦上即可判断D【详解】解:对于A选项,圆,其圆心为,圆,其圆心为,直线的方程为,即线段中垂线方程,故A错误;对于B选项,圆与圆,两圆方程作差可得,即公共弦

12、所在直线方程为,故B正确;对于C选项,圆,即,其圆心为,半径,圆心,在公共弦上,则公共弦的长为,故C错误;对于D选项,圆心,在公共弦上,在过,两点的所有圆中,面积最小的圆是圆,故D正确.故选:BD11. 在棱长为1的正方体中,是线段上的一个动点,则下列结论正确的是( )A. 四面体的体积恒为定值B. 直线与平面所成角正弦值可以为C. 异面直线与所成角的范围是D. 当时,平面截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项,根据平面,判断的体积为定值;对于B选项,设与平面所成的角为,M到平面的距离为d,则,由/平面,且求d,结合正方体性质即可知与平面所成角正弦值的最大值

13、;对于C选项,根据异面直线所成角的平面角,及正方体性质确定异面直线BM与AC所成角的范围;对于D选项,过作,分别交于点,连接,根据几何关系即可判断;【详解】解:对于A选项,根据正方体的特征可得,因为平面,平面,所以平面,即线段上的点到平面的距离相等,又因为的面积为定值,是线段上一个动点,所以四面体的体积为定值,故A选项正确;对于B选项,设直线与平面所成的角为,到平面的距离为,则,因为,平面,平面所以平面,所以到平面的距离与到平面的距离相等,连接,由可得,又,所以,易知当为的中点时,最小,为,此时取得最大值为,故B错误;对于C选项,设异面直线与所成的角为,当与或重合时,取得最小值,为,当为中点时

14、,取得最大值,为,所以异面直线与所成角的范围是,故C选项正确;对于D选项,过作,分别交于点,连接,设与交点为 由正方体的性质知,因为,所以,所以,所以,即四边形为等腰梯形,故D正确故选:ACD12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切,则( )A. B. 可能等于C. 当时,的值不唯一D. 当时,的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】设切线的切点为,利用导数的几何意义及题设条件可得,令,再利用导数研究函数的单调性,作出其草图,再逐项判断即可.【详解】,设切线的切点为,则切线的斜率为,又,则切线的方程为,则,令,则,所以,令得,所以,当或时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,且,当趋近

15、于时,趋近于0,当趋近于时,趋近于,作出函数的草图如下,对于A,由于,故,由图象可知,或2或3,即,又与不能同时取得,故,选项A正确;对于C,当时,即的值有两个,由图象可知,当且仅当时,的值有两个,选项C错误;对于D,由图象可知,当或时,的值唯一,此时,选项D正确;对于B,由图象可知,或2或3,若,若,则,由选项D可知,此时或,而,不合题意舍去,若,则,由C选项知此时取唯一值,不合题意,舍去,若,则,由图象得此时,而在此范围内,故可能取到,选项B正确.故选:ABD.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线的切线方程,考查转化思想及数形结合思想,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于较难题目.对于函数

16、外一动点作函数图像切线个数问题常见的方法:设切点,求切线方程,分离参数,如,再研究图像,转化为直线与函数图像交点个数问题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 展开式中的常数项为_【答案】#0.9375【解析】【分析】根据二项式展开公式得到,令上的指数为0,得到值,再代入回去得到常数值.【详解】二项式的展开式的通项公式为,令,解得,则展开式的常数项为,故答案:.14. 等差数列的前n项和为,若,则_【答案】7【解析】【分析】设等差数列的公差为,利用等差数列的性质及求和公式即可得到答案【详解】解:设等差数列的公差为,由,得,又,故答案为:715. 若为偶函数,则_.(填写符合要求

17、的一个值)【答案】,填写符合Z的一个即可【解析】【分析】把展开化简,只要能化成的形式即为偶函数.【详解】,只要,就为偶函数,Z,填写一个即可,如.故答案为:,填写符合Z的一个即可.16. 已知函数,若,则的最小值为_.【答案】#【解析】【分析】利用导数研究的单调性,结合可得,进而有,构造求最小值即可.【详解】由且,则,在时,递减;在时,递增;所以极小值,故单调递增,又,由,则,所以,所以,令,则,所以上,递减,上,递增,故,即的最小值为.故答案为:【点睛】关键点点睛:注意,根据的单调性求出的关系,进而转化目标式并构造函数求最小值.四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或

18、演算步骤17. 记为等比数列的前项和,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知得到的值,再利用得出q的值,进而得到的值,即得到数列的通项;(2)由(1)可得到,再利用错位相减,可得解.【详解】解:(1),即,数列的通项公式为.(2)由得,即,由-得, .【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识,属于基础题.18. 已知是定义在上的奇函数,当时,(1)求函数在上的解析式;(2)若,恒成立,求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质,即可求出,再设,利用奇偶性求出时函数解析式,即可得解;(2

19、)首先判断函数的单调性,再结合函数的奇偶性可得,恒成立,则,即可得到不等式,解得即可.【小问1详解】解:由题意知,解得,所以当时,当,则,所以又为奇函数,所以,故当时,综上:【小问2详解】解:由,得,因为是奇函数,所以当时,所以函数在上单调递增,又是定义在上的奇函数,所以在上单调递增可得,恒成立,故,解得所以19. 在中,角,的对边分别为,已知(1)求;(2)若,的面积为,求,【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)已知,由正弦定理和辅助角公式可得,解得 .(2)由余弦定理和三角形面积公式,可解求,.【小问1详解】中,已知,由正弦定理可得, ,ABC中, , 【小问2详解】a=2,ABC的

20、面积为 ,解得bc=4. 由余弦定理可得: 化为.联立 ,解得.20. 如图,在等腰直角三角形中,是斜边上的高,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,、分别为、的中点,为的中点,(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】【分析】(1)本题可连接,与相交与点,连接,然后根据以及得出是等边三角形,再然后通过重心的相关性质得出,最后根据得出,根据线面平行的判定即可证得结论;(2)本题首先可构造空间直角坐标系,然后令,得出以及平面的法向量,最后设直线与平面所成角为,根据即可得出结果.【详解】(1)如图,连接,与相交与点,连接,因为三角形是等腰直角三角形

21、,是斜边上的高,所以,即,因为,所以是等边三角形,因为、分别为、的中点,所以、是的中线,因为为中点,为的中点,所以,因为,所以,因为平面,平面,所以平面.(2)因为,所以平面,如图,过点作直线垂直平面,作空间直角坐标系,设,则,设,是平面的法向量,则,即,令,则,设直线与平面所成角为,则,故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】关键点点睛:本题考查线面平行的判定以及线面角的正弦值的求法,考查三角形重心的相关性质的应用,考查借助空间直角坐标系求线面角,考查线面垂直的判定,考查数形结合思想,是难题.21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球,其中红、白、黑三种颜色,每种颜色各两个小球,现制定如

22、下游戏规则:每次从盒子里不放回的摸出一个球,若取到红球记1分;取到白球记2分;取到黑球记3分(1)若从中连续取3个球,求恰好取到3种颜色球的概率;(2)若从中连续取3个球,记最后总得分为随机变量,求随机变量的分布列与数学期望【答案】(1) (2)分布列详见解析,数学期望.【解析】【分析】(1)连续取3个球有种方法,从中连续取3个球,红,白,黑各取一个有种方法,再结合概率公式,即可求解(2)由题意可得,随机变量所有可能取值为4,5,6,7,8,分别求出对应的概率,即可求解分布列,再求数学期望【小问1详解】连续取3个球有种方法,从中连续取3个球,红,白,黑各取一个有种方法,故恰好取到3种颜色球的概

23、率【小问2详解】由题意可得,随机变量所有可能取值为4,5,6,7,8,当时,两个红球和一个白球,则,当时,两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球,则,当时,一个红球和一个白球和一个黑球,则,当时,一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球,则,当时,两个黑球和一个白球,则,故随机变量的分布列为:45678数学期望.22. 已知函数(,是自然对数的底数).(1)讨论的单调性;(2)当时,求的取值范围.【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】【分析】(1)求得的导函数,对分成和两种情况,分类讨论的单调区间.(2)首先判断.解法一:构造函数,求得的导函数,对分成,两种情况进行分类讨论,结合求得

24、的取值范围.解法二:当时,根据的单调性证得.当时,同解法一,证得此时不满足.【详解】(1),当时,在上单调递减;当时,由得,所以上单调递减;由得,所以在上单调递增.综上,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)解法一:当时,即,所以,令,则若,则当时,所以在上单调递增;当时,所以当时,单调递增,所以.若,则,由得,所以,所以,使得,且当时,所以在上单调递减,所以当时,不合题意.综上,的取值范围为.解法二:当时,即,所以,若,由(1)知:在上单调递增,因为,所以,所以在上单调递增,所以当时,.若,令,则所以,由得,所以,所以,使得,且当时,所以在上单调递减,所以当时,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想.

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