1、北京市海淀区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（共16分，每题2分）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，6，4B. 3，4C. 3，6，D. 3，2. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（）A. B. C. D. 3. 下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转得到的图案是（）A. B. C. D. 4. 如图，是中线，分别是，的中点，连接EF若，则的长为（）A. B. 2C. D. 45. 用配方法解方程时，结果正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 二次函数的x与y的部分对应值如下表：则的值是（）A. 1B. 2C. 5
2、D. 107. 如图，在 中，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A. B. C. D. 8. 如图，已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域和区域，区域均含端点，则k的值可能是（）A. B. C. D. 第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若1是关于x的方程的根，则a的值为_10. 已知的周长为，则的长为_11. 若二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则ac_0（填“”或“”或“”）12. 如图，等边绕顶点逆时针旋转得到，连接，则_13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_14.
3、 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米停车场内车道的宽都相等停车位总占地面积为288平方米设车道的宽为x米，可列方程为_15. 点在二次函数的图象上若，写出一个符合条件的a的值_16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点第三象限；丙：经过点（，），（，）根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是_（填“甲”，“乙”或“丙”）三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）1
4、7. 解方程：（1）；（2）18. 如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，点A与点D对应，点B与点E对应（1）依题意补全图形；（2）直线AB与直线DE的位置关系为_19. 已知是方程的一个根，求代数式的值20. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转得到，交于点F若，求的长21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点（1）求该抛物线的解析式；（2）该抛物线的对称轴为_22. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围23. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2
5、）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集24. 如图，在ABC中，BD为的中线，连接CE（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若，求DE的长25. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F（1）点F的坐标是_；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为 画出沿射线方
6、向射出的光线的反射光线；所在直线与x轴的交点坐标为_26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；（2）已知点 当抛物线过点时，求的值； 点的坐标为若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围27. 在等边ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转（030）得到线段CD，线段CD与线段AB交于点E，射线AD与射线CB交于点F（1） 依题意补全图形； 分别求CEB和AFC的大小（用含的式子表示）；（2）用等式表示线段BE，CE，CF之间数量关系，并证明28. 在平面直角坐标系xOy中，已知点对于点给出如下定义：当时，若实数k满足，则称k为点P关于点
7、A的距离系数若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系数（1）当点A与点O重合时，在中，关于点A的距离系数为1的是_；（2）已知点，若线段BC关于点距离系数小于，则m的取值范围为_；（3）已知点，其中以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D，E为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（） 线段关于点A的距离系数的最小值为_； 若线段关于点A距离系数的最大值是，则的长为_北京市海淀区2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（共16分，每题2分）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.
8、3，6，4B. 3，4C. 3，6，D. 3，【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，；故选D【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键2. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是，即，故选A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键3. 下列四幅图案中，可以由右侧的
9、一笔画“天鹅”旋转得到的图案是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质即可解答【详解】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转得到的图案是故选A【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变了图形的方向、不改变形状4. 如图，是的中线，分别是，的中点，连接EF若，则的长为（）A. B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线求出，再根据三角形中位线定理即可求出【详解】解：是的中线，点E，F分别是，的中点，故选：B【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键5. 用配方法解方程时，结果正确的
10、是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键6. 二次函数的x与y的部分对应值如下表：则的值是（）A. 1B. 2C. 5D. 10【答案】C【解析】【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解【详解】解：有表格可知，当，当，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，时的值与时的值相等，时的值为5，即的值为5，故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质7. 如图，
11、在 中，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可【详解】解：将ABC绕点逆时针旋转得到DEC， 故A不符合题意； 故B不符合题意； 故C不符合题意； 故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键8. 如图，已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域和区域，区域均含端点，则k的值可能是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定方程
12、两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称即可解答【详解】解：关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域和区域，区域均含端点，一个根 ，另一个根，抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，k的值可能为1故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程关系，掌握二次函数图像与x轴的交点关于对称轴对称是解答本题的关键第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若1是关于x的方程的根，则a的值为_【答案】【解析】【分析】把1代入方程即可【详解】解：把1代入方程得，故答案为：1【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的
13、做法，能够正确代入方程计算是解题关键10. 已知的周长为，则的长为_【答案】4【解析】【分析】根据平行四边形对边相等，即可求解【详解】解：的周长为，,故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键11. 若二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则ac_0（填“”或“”或“”）【答案】【解析】【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系【详解】解：抛物线的开口向下，a0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，c0，ac0故答案为【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定二次项系数a决定抛物
14、线的开口方向和大小常数项c决定抛物线与y轴交点12. 如图，等边绕顶点逆时针旋转得到，连接，则_【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质得出，根据等边三角形的性质可得，等量代换得到，由旋转得出，继而可得，根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出【详解】解：等边绕顶点逆时针旋转得到，是等边三角形，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案【详解】关于x的一
15、元二次方程有两个相等的实数根，方程的判别式：，故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键14. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米停车场内车道的宽都相等停车位总占地面积为288平方米设车道的宽为x米，可列方程为_【答案】【解析】【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可【详解】解：依题意得，故答案为：【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
16、的关键15. 点在二次函数的图象上若，写出一个符合条件的a的值_【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可【详解】解：二次函数开口向上，离对称轴：直线越远的点的函数值越大，A点离对称轴水平距离为1，故a可以等于3故答案为3（答案不唯一）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点在第三象限；丙：经
17、过点（，），（，）根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是_（填“甲”，“乙”或“丙”）【答案】甲【解析】【分析】根据可知，函数图象过，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断【详解】解：，当时，；图象过，根据丙的描述，可得的图象如下：抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，乙，丙两位同学描述的是同一函数图象，抽到与其他两人解析式不同的是：甲；故答案为：甲【点睛】本题考查二次函数的图象和性质熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（
18、1）根据直接开平方法进行求解方程即可；（2）根据因式分解法进行求解方程即可【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：或【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键18. 如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，点A与点D对应，点B与点E对应（1）依题意补全图形；（2）直线AB与直线DE的位置关系为_【答案】（1）见解析 （2）ABDE【解析】【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可；（2）如图：延长交于点F，然后根据旋转的性质可得，然后根据对顶角相等并结合即可解答【小问1详解】解：如图即为所求： 【小问2详解】解：延长交于点F由旋转可得:,， ,，即故答案为：【点睛
19、】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键19. 已知是方程的一个根，求代数式的值【答案】3【解析】【分析】把代入方程，求出，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可【详解】19解：是方程的一个根，原式 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键20. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转得到，交于点F若，求的长【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可【详解】解：绕点A顺时针旋转得到， ， ，是等腰直角三角形 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股
20、定理熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点（1）求该抛物线的解析式；（2）该抛物线的对称轴为_【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案【小问1详解】解：抛物线经过和两点，解得：， 抛物线的解析式为：【小问2详解】解：，抛物线的对称轴为故答案：【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键22. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围【答案】（1）
21、见解析 （2）【解析】【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；（2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答【小问1详解】证明：由题意， 该方程总有两个实数根【小问2详解】（2）解：解方程，得：， 方程有一个实数根小于2， 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根23. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的
22、不等式的解集【答案】（1）（2，0），画图见解析 （2）【解析】【分析】（1）令，得出，然后解方程即可求出点B的坐标；（2）先在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，然后观察函数图象即可得出答案【小问1详解】解：令，则，解得，B点坐标为（2，0），列表得：x0123y3003画图得： 【小问2详解】解：如图，观察图象可知：关于x的不等式的解集为【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键24. 如图，在ABC中，BD为的中线，连接CE（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若，求DE的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用对边平行
23、且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可（2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可【小问1详解】证明：， 四边形为平行四边形 ，BD为AC边上的中线， ， 四边形为菱形【小问2详解】解：连接DE交BC于O点，如图 四边形为菱形， ， 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键25. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为
24、F（1）点F坐标是_；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为 画出沿射线方向射出光线的反射光线；所在直线与x轴的交点坐标为_【答案】（1） （2）见解析，【解析】【分析】（1）根据题意得出，即可确定点F的坐标；（2）根据题意确定轴，得出，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，轴，据此作出平行线即可；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与联立求解即可得出结果【小问1详解】解：根据题意得，故答案为：；【小问2详解】由题意可知抛物线的对称轴是y轴，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线
25、反射后所得的光线平行于y轴，轴所在的直线与x轴的交点坐标为，A点的横坐标为4，纵坐标为，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，轴画出沿射线方向射出的光线的反射光线，如下图所示：设直线的解析式为，把、代入，得，解得：直线的解析式为，由题意可知，直线与抛物线交于A、B两点，把代入整理得，解得：，点B在y轴的左侧，B点的横坐标为，轴，所在直线与x轴的交点坐标为，故答案为：【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
26、（2）已知点 当抛物线过点时，求的值； 点的坐标为若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围【答案】（1） （2），或【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）将点代入解析式，解一元二次方程，即可得的值；根据的结论，结合图形即可求解【小问1详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为【小问2详解】 点在抛物线上， 解得， 解：抛物线的对称轴为，点的坐标为，根据可得，点在抛物线上，当时，点在对称轴的右侧，此时抛物线与线段恰有一个公共点，如图，当时，点在对称轴的左侧，此时抛物线与线段恰有一个公共点，如图，综上所述， 或【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性
27、质是解题的关键27. 在等边ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转（030）得到线段CD，线段CD与线段AB交于点E，射线AD与射线CB交于点F（1） 依题意补全图形； 分别求CEB和AFC的大小（用含的式子表示）；（2）用等式表示线段BE，CE，CF之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析，CEB=60，AFC= （2）CF=BECE，见解析【解析】【分析】（1）按要求补全图形即可，利用等边三角形及旋转的性质结合外角，内角和解题即可（2）CF=BECE，延长EA至点G使得EG=CE，运用截长补短方法解题即可【小问1详解】解： 补全图形，如图 解： ABC是等边三角形， BAC=ACB=60
28、线段CA绕点C逆时针旋转得到线段CD， CA=CD，ACD= CAD=CDA= CEB=BACACD=60 AFC=180-CAD-ACB=【小问2详解】解：线段BE，CE，CF之间的数量关系为CF=BECE证明：延长EA至点G使得EG=CE，连接CG，如图 G=ECG CEB=GECG=2G，CEB=60， G= AFC=， G=AFC ABC是等边三角形， AC=BC，ABC=ACB=60 ACFCBG CF=BG BG=BEEG=BECE， CF=BECE【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及截长补短法在三角形全等证明中的应用，能够熟练运用内角，外角知识点求角度，能够利用截长补短作辅助线
29、是解题关键28. 在平面直角坐标系xOy中，已知点对于点给出如下定义：当时，若实数k满足，则称k为点P关于点A的距离系数若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系数（1）当点A与点O重合时，在中，关于点A的距离系数为1的是_；（2）已知点，若线段BC关于点的距离系数小于，则m的取值范围为_；（3）已知点，其中以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D，E为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（） 线段关于点A的距离系数的最小值为_； 若线段关于点A的距离系数的最大值是，则的长为_【答案】（1）， （2）或 （3），【解
30、析】【分析】（1）根据距离系数的定义进行计算即可；（2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，进行计算即可；（3）根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可；根据线段关于点A的距离系数的最大值是，即线段上的所有点关于点A的距离系数存在最小值为，得到线段上的点的横坐标和纵坐标的取值范围，利用勾股定理进行求解即可【小问1详解】解：，；关于点A的距离系数为1的是：，；【小问2详解】解：，线段：，即：或 或当两个点的横坐标间的距离越远，越小，当点离点横坐标最远时：，当离点横坐标最远时：，综上：或；【小问3详解】解：由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； 若线段关于点A的距离系数的最大值是，即线段上的所有点关于点A的距离系数存在最小值为，由题意知： ，即当时， 【点睛】本题考查坐标系下的新定义熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键
