1、20222022- -20232023 学年人教版九年级上学年人教版九年级上数学数学期中素养提升测试卷期中素养提升测试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1（3 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2（3 分）如图，在ABC 中，BAC114，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC，若点 B恰好落在 BC 边上，且 ABCB，则C 的度数为（ ） A18 B20 C22 D24 3（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（1，m2+1）关于原点对称点在（ ） A第一象限 B第二象限
2、C第三象限 D第四象限 4（3 分）关于 x 的方程（a1）x2+4x30 是一元二次方程，则（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da0 5（3 分）一元二次方程 x23x1 中，b24ac 的值为（ ） A5 B13 C13 D5 6（3 分）要将抛物线 y2x2平移后得到抛物线 y2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 7（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m0 的一个根是 1，则 m
3、的值等于（ ） A1 B1 C3 D3 8（3 分）对于二次函数 yx26x+a，在下列几种说法中：当 x2 时y 随 x 的增大而减小；若函数的图象与 x 轴有交点，则 a9；若 a8，则二次函数 yx26x+a（2x4）的图象在 x 轴的下方；若将此函数的图象绕坐标 原点旋转 180，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（3，9a），其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 9（3 分）定义：对于已知的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 x0 时，它们对应的函数值相等；当x0 时， 它们对应的函数值互为相反数， 我们称这样的两个函数互为相关函数 例如： 正比例函数 yx，它的相关函数为
4、 = ( 0)(0)已知点 M，N 的坐标分别为(12，1)，(92，1)，连结 MN，若线段 MN与二次函数 yx2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点，则 n 的取值范围为（ ） A3n1 或1 54 B3n1 或1 54 C3n1 或1 54 D3n1 或1 54 10（3 分）对于一元二次方程 ax2+bx+c0（a0），下列说法： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若方程 ax2+c0 有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c0 必有两个不相等的实根； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 ac+b+10 成立； 若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c
5、0 的根，则2 4 = (20+ )2 其中正确的（ ） A只有 B只有 C D只有 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11（3 分）如图，ABC 为钝角三角形，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC，连接BB，若 ACBB，则CAB的度数为 12（3 分）已知 x1，x2是一元二次方程 2x2+x30 的两个实数根，则 x1+x2的值是 13（3 分）若 x22x+y2+6y+100，则 x+y 14（3 分）抛物线 yax2+bx+c 与直线 ymx+n 交于点 A（2，5）、B（3，3）两点，则关于 x 的一
6、元二次方程 a（x+1）2+cn（mb）（x+1）的两根之和是 15（3 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB3，BC4，把ABC 绕 BC 边的中点 O 旋转后得DEF，若直角顶点 E 恰好落在 AC 边上，且 DF 边交 AC 边于点 G，则FCG 的面积为 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16（8 分）用适当的方法解下列方程 （1）4（x1）29； （2）x2+4x50（配方法）； （3）3（x5）22（5x）； （4）2x27x+30 17 （6 分）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点都是网格线的交点，已知 B
7、，C 两点的坐标分别为（3，0），（1，1） （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 A 的坐标 （2）将ABC 绕坐标原点顺时针旋转 90，画出转旋后的ABC 18（6 分）图、图、图均是 106 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C、D、P 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹 （1）在图中，作以点 P 为对称中心的平行四边形 ABEF （2）在图中，作四边形 ABCD 的边 BC 上的高 AM （3）在图中，在四边形 ABCD 的边 CD 上找一点 N，连结 AN，使DAN45 19（6 分）
8、已知关于 x 的方程2 2 +142= 0，其中 m、n 是等腰三角形的腰和底边长 （1）说明这个方程有两个不相等的实数根 （2）若方程的两实数根的差的绝对值是 8，且等腰三角形的面积是 16，求 m，n 的值 20（6 分）超市销售某种商品，每件盈利 50 元，平均每天可达到 30 件为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价 1 元平均每天可多售出 2 件 （1）当一件商品降价 5 元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到 2100 元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈
9、利最高可以达到 k 元，请你利用学过的判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出 k 的值？ 21（8 分）阅读材料，解答问题： 材料 1 为了解方程 （x2）213x2+360， 如果我们把 x2看作一个整体， 然后设 yx2， 则原方程可化为 y213y+360， 经过运算， 原方程的解为 x1，22， x3，43 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法 材料 2 已知实数 m，n 满足 m2m10，n2n10，且 mn，显然 m，n 是方程 x2x10 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 m+n1，mn1 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程 x45x2+60 的解为
10、； （2）间接应用： 已知实数 a，b 满足：2a47a2+10，2b47b2+10 且 ab，求 a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数 m，n 满足：14+12=7，n2n7 且 n0，求14+n2的值 22 （8 分）家委会计划用班费购买 A、B 两种相册共 45 本作为学生的毕业礼品，已知购买 2 本 A 种相册，3 本 B 种相册需要 110 元购买 4 本 A 种相册，5 本 B 种相册需要 200 元 （1）求 A、B 两种相册的售价分别是多少元？ （2）若要求购买的 A 种相册的数量要不少于 B 种相册数量的12，且购买总金额不超过 1000 元，则家委会有多少种不同的购
11、买方案？ （3）已知商店 A、B 两种相册的进价分别是 18 元和 16 元，目前正在对 A 种相册在不亏本的前提下进行促销活动当购买 A 种相册数量不超过 10 本时，没有优惠，超过 10 本时，每超过一本，单价降低 0.1元，问家委会分别购买多少本 A、B 相册时，商店获利最大？最大利润是多少？ 23（8 分）在平面直角坐标系中，抛物线 C外：y= 16x76x+1，抛物线 C内：yax2+bx 的对称轴为直线x= 1110，且 C内的图象经过点 A（3，2），动直线 xt 与抛物线 C内交于点 M，与抛物线 C外交于点 N （1）求抛物线 C内的表达式 （2）当AMN 是以 MN 为直角
12、边的等腰直角三角形时，求 t 的值 （3）在（2）的条件下，设抛物线 C外与 y 轴交于点 B，连接 AM 交 y 轴于点 P，连接 PN若平面内有一点 G，且 PG1，是否存在这样的点 G，使得GNPONB？若存在，直接写出点 G 的坐标，若不存在，说明理由 24（9 分）某超市销售 A，B 两种饮料，A 种饮料进价比 B 种饮料每瓶低 2 元，用 500 元进货 A 种饮料的数量与用 600 元进货 B 种饮料的数量相同 （1）求 A，B 两种饮料平均每瓶的进价 （2）经市场调查表明，当 A 种饮料售价在 11 元到 17 元之间（含 11 元，17 元）浮动时，每瓶售价每增加 0.5 元
13、时，日均销售量减少 20 瓶；当售价为每瓶 12 元时，日均销售量为 320 瓶；B 种饮料的日均毛利润 m（元）与售价为 n（元/瓶）（12.5n18）构成一次函数，部分数据如下表：（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价） 售价 n（元/瓶） 18 17.5 16 日均毛利润 m（元） 640 700 880 当 B 种饮料的日均毛利润超过 A 种饮料的最大日均毛利润时，求 n 的取值范围 某日该超市 B 种饮料每瓶的售价比 A 种饮料高 3 元，售价均为整数，当 A 种饮料的售价定为每瓶多少元时，所得总毛利润最大？最大总毛利润是多少元？ 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax
14、2+bx+c（a0）交 x 轴于 A（4，0），B（1，0），交 y 轴于 C（0，3） （1）求抛物线解析式； （2）如图 1，点 P 为直线 AC 上方抛物线上一点，过 P 作 PQx 轴于点 Q，再过点 Q 作 QRAC 交 y轴于点 R，求 PQ+QR 的最大值及此时点 P 的坐标； （3）如图 2，点 E 在抛物线上，横坐标为3， 连接 AE，将线段 AE 沿直线 AC 平移，得到线段 AE，连接 CE，当AEC 为等腰三角形时，直接写出点 A的坐标 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1C； 2C；
15、3D； 4C； 5B； 6A； 7D； 8C； 9C； 10B； 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1130 1212 132 141 152125 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16解：（1）4（x1）29， （x1）2=94， 则 x1= 32， x1=52，x2= 12； （2）x2+4x50， x2+4x5， 则 x2+4x+45+4，即（x+2）29， x+23， 解得 x11，x25； （3）3（x5）22（5x）， 3（x5）2+2（x5）0， 则（x5）（3x13）0，
16、x50 或 3x130， 解得 x15，x2=133； （4）2x27x+30， （x3）（2x1）0， 则 x30 或 2x10， 解得 x13，x20.5 17解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求，A（2，3） （2）如图，ABC即为所求 18解：（1）如图中，平行四边形 ABEF 即为所求； （2）如图中，高 AM 即为所求； （3）如图中，点 N 即为所求 19解：（1）m、n 是等腰三角形的腰和底边长， 2mn， 又b24ac（2m）241142= 42 2， 4m2n2， 0， 方程有两个不相等的实数根 （2）由题意得|x1x2|8， （x1x2）264， （x1+x2）24x1
17、x264， 由韦达定理得：x1+x22m，x1x2=142， （2m）24142=64，即2142=4， 等腰三角形的面积是 16， 如图，过点 A 作 ADBC 于点 D， BDCD=2 AD= 2 2=2142， 12 2142=16， n8， 代入2142=4， 解得 m42， m42，n8 20解：（1）降价 5 元，销售量达到 30+2540 件， 当天盈利：（505）401800（元）； 故答案为：40，1800； （2）根据题意，得：（50 x）（30+2x）2100， 解得：x15 或 x20， 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选 x20， 答：每件商品降价
18、20 元，商场日盈利可达 2100 元； （3）根据题意可得（30+2x）（50 x）k， 整理得到：2x270 x+k15000 则b24ac490042（k1500）169008k0， 解得 k2112.5 故超市每天盈利最高可以达到 2112.5 元 21解：（1）令 yx2，则有 y25y+60， （y2）（y3）0， y12，y23， x22 或 3， x1= 2，x2= 2，x3= 3，x4= 3； 故答案为：x1= 2，x2= 2，x3= 3，x4= 3； （2）ab， a2b2或 a2b2， 当 a2b2时，令 a2m，b2n mn，则 2m27m+10，2n27n+10， m
19、，n 是方程 2x27x+10 的两个不相等的实数根， + =72 =12， 此时 a4+b4m2+n2（m+n）22mn=454 当 a2b2（ab）时，a2b2=7414，此时 a4+b42a42（a2）2=457414， 综上所述，a4+b4=454或457414 （3）令12=a，nb，则 a2+a70，b2+b70， n0， 12 n，即 ab， a，b 是方程 x2+x70 的两个不相等的实数根， + = 1 = 7， 故14+n2a2+b2（a+b）22ab15 22解：（1）设 A、B 两种相册的售价分别是 x 元、y 元，根据题意得： 2 + 3 = 1104 + 5 = 2
20、00， 解得： = 25 = 20 答：A、B 两种相册的售价分别是 25 元、20 元； （2）设买 A 种相册 x 册买这两种相册共花费 y 元， 25 + 20(45 ) 1000 12(45 )， 解得：15x20 有 6 种不同的购买方案； （3）设买 A 种相册 m 册，B 种相册（45m）册，此吋商店获利 w 元， 当 0m10 时，w（2518）m+（2016）（45m）3m+180， 当 m10 时，利润最大为 210 元； 当 10m45 时，w3m+1800.1m（m10）0.1（m20）2+220， 0.10，开口向下， 当 m20 时，利润最大为 220 元； 220
21、210， 当 m20 时，有最大利润为 220 元 答：分别购买 A、B 相册 20 本和 25 本时，商店获利最大，最大利润是 220 元 23解：（1）yax2+bx 的对称轴为直线 x= 1110，且 C内的图象经过点 A（3，2）， 2= 11109 3 = 2， 解得： = 56 = 116， 抛物线 C内的表达式为 y= 56x2116x； （2）动直线 xt 与抛物线 C内交于点 M，与抛物线 C外交于点 N M（t，56t2116t），N（t，16t276t+1）， AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形，A（3，2）， ANM90或AMN90， 当ANM90时，16t2
22、76t+12， 解得：t19，t22， 当 t9 时，AN3（9）6，MN256（9）2116（9）49， ANMN， t9 不符合题意，舍去； 当 t2 时，AN2（3）5，MN2（56221162）5 ANMN， AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形； 当AMN90时，56t2116t2， 解得：t13，t2=45， 当 t3 时，AM0，不符合题意，舍去， 当 t=45时，AM=45（3）=195，MN=4925， AMMN， t=45不符合题意，舍去； 综上所述，AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，t2 （3）存在点 G 使得GNPONB 如图，连接 BN，ON，作
23、GNPONB，使 NG 交 y 轴于 G，且 G 在 P 上方，设 AN 交 y 轴于 R，则 R（0，2）， 由（2）知，t2， N（2，2），M（2，7）， 设直线 AM 解析式为 ykx+c，将 A（3，2），M（2，7）代入， 得3 + = 22 + = 7， = 1 = 5， 直线 AM 解析式为 yx5， 令 x0，得 y5， P（0，5）， 在 y= 16x276x+1 中，令 x0，得 y1， B（0，1）， 在 RtBNR 中，BN= 2+ 2= 32+ 22= 13， 在 RtPNR 中，PN= 2+ 2= 32+ 22= 13， BNPN， NBONPR， GNPONB，
24、 GNPONB（ASA）， PGOB1， G（0，4） 根据可得 G（0，4）符合要求，作点 G 关于直线 PN 的对称点 G， 设直线 PN 解析式为 ymx+n， P（0，5），N（2，2）， = 52 + = 2， 解得： = 32 = 5， 直线 PN 解析式为 y=32x5， GGPN， 直线 GG解析式为 y= 23x4， 设 G（t，23t4）， 点 G，G关于直线 PN 的对称， PGPG， t2+23t4（5）212， 解得 t10（舍去），t2=1213， 当 t=1213时，23t4= 2312134= 6013， G（1213，6013）， 设直线 NG 的解析式为 y
25、k1x+b1，将 N（2，2），G（0，4）代入， 得21+ 1= 21= 4， 解得1= 11= 4， 直线 NG 的解析式为 yx4， 设直线 NG 上存在另一点 G1（t，t4），满足 PG11， 则（t0）2+（t4+5）212， 解得 t0（舍去）或 t1， G1（1，5）， 设直线 NG的解析式为 yk2x+b2，将 N（2，2），G（1213，6013）代入， 得22+ 2= 212132+ 2= 6013， 解得2=1772= 487， 直线 NG的解析式为 y=177x487， 设直线 NG 上存在另一点 G2（t，177t487），满足 PG21， 则（t0）2+（177t
26、487+5）212， 解得：t=513或 t=1213（舍去）， G（513，7713）， 综上所述，点 G 坐标为（0，4）或（1213，6013）或（1，5）或（513，7713） 24解：（1）设 A 饮料进价为 x 元/瓶，B 饮料进价为（x+2）元/瓶 500=600+2，解得 x10 经检验，x10 是所列方程的根，且符合题意 x+212 答：A 饮料进价为 10 元/瓶，B 饮料进价为 12 元/瓶 （2）设 A 饮料售价为 y 元/瓶，日均毛利润为 z 元 z（y10）320200.5（y12） 40y2+1200y8000 40（y15）2+1000， y15 时，zmax1
27、000， 设 mkn+b， 18 + = 64016 + = 880， 解得 = 120 = 2800， m120n+2800 令120n+28001000， 解得 n15， m 随着 n 的减小而增大， n15，而 12.5n18， 12.5n15 即 n 的取值范围是 12.5n15 设 A 饮料售价为 a 元/瓶，则 B 饮料售价为（a+3）元/瓶，总毛利润为 W 元 W40a2+1200a8000120（a+3）+280040a2+1080a5560， + 3 12.5， + 3 18，而 11a17， 11a15 = 10802(40)=272，且 a 为整数， 当 a13 或 14
28、 时，Wmax1720 当 A 种饮料的售价定为每瓶 13 或 14 元时，所得总毛利润最大，最大总毛利润是 1720 元 25解：（1）抛物线 yax2+bx+c（a0）交 x 轴于 A（4，0），B（1，0），交 y 轴于 C（0，3） 16 4 + = 0 + + = 0 = 3， 解得 = 34 = 94 = 3， 抛物线的解析式为 y= 34x294x+3； （2）设 P（x，34x294x+3），则 Q（x，0），R（0，m） A（4，0），C（0，3） 直线 AC 的解析式为 y=34x+3， QRAC， =， =34， m= 34x， PQ+QR= 34x294x+3+2+ (
29、34)2= 34x272x+3= 34（x+73）2+8512， x= 73时，PQ+QR 的最大值8512， P（73，256）； （3）如图 2 中，AEC 为等腰三角形有三种情况：AEAC，ACCE，AECE， 由（2）得，直线 AC 的解析式为 y=34x+3， 抛物线的解析式为 y= 34x294x+3， E（3，3）， A（4，0）， AE= 32+ 12= 10， AEAC， AEACAE= 10， 设 A（x，34x+3），过点 A作 AMy 轴于 M，则 AMx 轴， =34， CM|34x|， AC= 2+ 2=2+ (34)2=|54x|= 10， x0 时，54x= 1
30、0， x= 4105， x0 时，54x= 10， x=4105， A（4105，33105）或（4105，3+3105）； ACCE， 设 A（x，34x+3），过点 C 作 CNAE于 N，则 AN=12AE=102， E（x+1，34x+3+3），即 E（x+1，34x+6）， AC=2+ (34)2=|54x|， CE=( + 1)2+ (34 + 6 3)2=25162+132 + 10， CEAC， （54x）2（25162+132 + 10）2， 化简得132x10， 解得：x= 2013， A（2013，2413）， AECE， （10）2（25162+132 + 10）2， 化简得2516x2+132x0， 解得：x10，此时，点 A与 C 重合，不合题意，舍去；x2= 10425， A（10425，325）； 综上所述， 点 A的坐标为 （4105， 33105） 或 （4105， 3+3105） 或 （2013，2413） 或 （10425， 325）
