1、江苏省徐州市鼓楼区江苏省徐州市鼓楼区二校联考二校联考八年级上第一次月考数学试题八年级上第一次月考数学试题 一、选择题一、选择题 32 分分 1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在ABC和DCB中，ACBDBC ，添加一个条件，不能证明ABC和DCB全等的是（ ） A. ABCDCB B. ABDC C ACDB D. AD 3. 如图，OAOB，OCOD，O50 ，D35 ，则AEC 等于（ ） A. 60 B. 50 C. 45 D. 30 4. 若等腰三角形的两条边长为 3 和 8，则该等腰三角形的周长为（ ） A.
2、14 B. 16 C. 19 D. 14或 19 5. 如图，将一张三角形纸片 ABC 沿过点 B的直线折叠，使点 C落在边 AB上的点 E处，折痕为 BD，则下列结论一定正确的是（ ） A ADBD B. =AE AD C. EDADAB D. AEBCAB 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是BOA的角平分线”他这样做的依据是( ) A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边
3、的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 7. 如图，在ABC 中，AB20cm，AC12cm，点 P从点 B出发以每秒 3cm速度向点 A 运动，点 Q从点 A同时出发以每秒 2cm速度向点 C运动， 其中一个动点到达端点， 另一个动点也随之停止， 当APQ 是以 PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 8. 如图，点 A、B、C都在方格纸“格点”上，请找出“格点”D，使点 A、B、C、D 组成一个轴对称图形，这样的点 D共有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题二、填空题 4
4、0 分分 9. 在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是_ 10. 如图，己知ABCDEF，且ABC的周长为 18，若=5=6ABEF，则=AC_ 11. 如图在RtABC中，90C，AFEF若72CFE，则B_ 12. 如图，射线 OC是AOB 的平分线，P是射线 OC上一点，PDOA 于点 D，DP6，若 E是射线 OB上一点，OE4，则 OPE 的面积是 _ 13. 如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB交 AC于点 E若65DECE，则 AC的长为_ 14. 如图，在ABC 中，AB=3，BC=5，B=60，将ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到
5、 ADE，当点 B的对应点 D恰好落在边 BC 上时，则 CD 的长为_. 15. 如图， 已知 AD是ABC的中线，1=22CEAD，于点 E，BFAD， 交 AD 的延长线于点 F 若6EF ，则BC=_ 16. 如图，BAC的平分线与 BC的垂直平分线交于点 D，DEAB于点 E，DFAC，交 AC的延长线于点 F若=15=9ABAC，则=CF_ 17. 如图，线段 AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1 39 ，则AOC=_ 18. 如图， 在ABC中，3,4,ABACABAC EF垂直平分BC， 点 P为直线EF上一动点， 则ABP周长的最小值是_ 三、解答题三、解答题 6
6、8 分分 19. 如图，网格中ABC与DEF为轴对称图形. （1）利用网格线作出ABC与DEF的对称轴 l； （2）如果每一个小正方形的边长为 1，请直接写出ABC的面积=_. （3）顶点在格点，找出以 BC 为一边且与ABC全等（不与ABC重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出_个. 20. 已知：如图，点 E、F在线段 BD上，BEDF，ABCD，AC求证：ABFCDE 21. 如图，在ABC中，A40 ，ABC80 ，BE 平分ABC交 AC于点 E，EDAB于点 D，求证：ADBD 22. 如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分 AC 和 BC交 AB于 M、N （1）若12c
7、mAB ，求MCN的周长； （2）若=120?ACB，求MCN的度数 23. 如图，在四边形 ABCD中，90ADBCABEADCEBD ，垂足为 E （1）求证：ABDECB； （2）若50DBC，则DCE_ 24. 如图， 点 C 是线段 AB上除点 A、 B外的任意一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接 AE交 DC于 M，连接 BD 交 CE 于 N，连接 MN （1）求证：AEBD； （2）请判断CMN的形状，并说明理由 25. 如图，90MON，点 A、B分别在射线 OM、ON 上，点 C在MON内部. （1）若=OA OB， 如图 1，
8、若CAOMCBON，求证：=CA CB. 如图 2，若90ACB，求证：OC平分ACB （2）如图 3，点 A、B 分别在射线 OM、ON上运动，点 C随之运动，且90ACBACBC，P为OM上定点，当点 C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出 PC最短时 C 点的位置（保留作图痕迹，不要写作法） 江苏省徐州市鼓楼区江苏省徐州市鼓楼区二校联考二校联考八年级上第一次月考数学试题八年级上第一次月考数学试题 一、选择题一、选择题 32 分分 1. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个图形沿着一条直线翻
9、折后，两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，根据定义判断即可. 【详解】A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形， 故选：C. 【点睛】此题考查轴对称图形的定义，正确理解图形的特点是解题的关键. 2. 如图，在ABC和DCB中，ACBDBC ，添加一个条件，不能证明ABC和DCB全等的是（ ） A. ABCDCB B. ABDC C. ACDB D. AD 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答 【详解】选项 A，添加ABCDCB， 在ABC和DCB中， ABCDCBBCCBACBDBC ， ABCDCB（AS
10、A） ， 选项 B，添加 ABDC， 在ABC和DCB中， ABDC，BCCB，ACBDBC，无法证明ABCDCB； 选项 C，添加ACDB， 在ABC和DCB中， BCCBACBDBCACDB ， ABCDCB（SAS） ； 选项 D，添加AD ， 在ABC和DCB中， ADACBDBCBCCB ， ABCDCB（AAS） ； 综上，只有选项 B 符合题意 故选 B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键 3. 如图，OAOB，OCOD，O50 ，D35 ，则AEC 等于（ ） A. 60 B. 50 C. 45 D. 30 【答案】A 【解析】 【
11、详解】O=50 ，D=35 ， OAD=180 -50 -35 =95 ， 在AOD和BOC 中，OAOBOOOCOD ， AODBOC， C=D=35 ， AEC=OAD-C=60 故选：A 【点睛】 解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法： SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL， 注意：AAA、 SSA 不能判定两个三角形全等， 判定两个三角形全等时， 必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 4. 若等腰三角形的两条边长为 3 和 8，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 19 D. 14或 19 【答案】C 【解析】 【分
12、析】分 3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可 【详解】解：3是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、8， 3+3=68， 此时不能组成三角形； 3是底边长时，三角形的三边分别为 3、8、8， 此时能组成三角形， 所以，周长=3+8+8=19， 综上所述，这个等腰三角形的周长是 19 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键在于要分情况讨论 5. 如图，将一张三角形纸片 ABC 沿过点 B的直线折叠，使点 C落在边 AB上的点 E处，折痕为 BD，则下列结论一定正确的是（ ） A. ADBD B. =AE AD C. EDADAB D. AEBCAB 【答案】D 【解析】 【分
13、析】根据图形翻折变换的性质得出 BE=BC，根据线段的和差，可得 AE+BE=AB，根据等量代换，可得答案 【详解】解：BDE是由BDC翻折而成， BE=BC， AE+BE=AB， AE+CB=AB， 故 D 正确， 无法得出 AD=CD，AE=AD，AD=DE， 故选：D 【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是BOA的角平分线”他这样做的依据是( )
14、A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】过两把直尺交点 C作 CFBO与点 F，由题意得 CEAO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得 CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得 OP 平分AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点 C作 CFBO与点 F，由题意得 CEAO， 两把完全相同的长方形直尺， CE=CF， OP 平分AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上） ， 故选 A 【
15、点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理 7. 如图，在ABC 中，AB20cm，AC12cm，点 P从点 B出发以每秒 3cm速度向点 A 运动，点 Q从点 A同时出发以每秒 2cm速度向点 C运动， 其中一个动点到达端点， 另一个动点也随之停止， 当APQ 是以 PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设运动时间为 x秒时，APAQ，根据点 P、Q的出发点及速度，即可得出关于 t的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】设运动的时间为 x 秒，
16、在ABC中，AB20cm，AC12cm， 点 P 从点 B 出发以每秒 3cm的速度向点 A 运动，点 Q从点 A同时出发以每秒 2cm的速度向点 C运动， 当APQ是以 PQ为底的等腰三角形时，APAQ，AP203x，AQ2x， 即 203x2x， 解得 x4 故选：D 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题 8. 如图，点 A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点 A、B、C、D 组成一个轴对称图形，这样的点 D共有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用
17、轴对称图形的性质得出符合题意的答案 【详解】解：如图所示：点 A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点 D共有 4 个 故选 D 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键 二、填空题二、填空题 40 分分 9. 在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是_ 【答案】21：05 【解析】 【分析】根据镜面对称性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称 【详解】由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是 21：05 故填：21：05 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质解决此类题应认真
18、观察，注意技巧 10. 如图，己知ABCDEF，且ABC的周长为 18，若=5=6ABEF，则=AC_ 【答案】7 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出 BC，然后根据ABC的周长即可求出 AC 【详解】解：ABCDEF，EF=6， BC=EF=6， 又ABC的周长为 18，AB=5， 187ACABBC 故答案为：7 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键 11. 如图在RtABC中，90C，AFEF若72CFE，则B_ 【答案】54 【解析】 【分析】 首先根据等腰三角形的性质得出A=AEF， 再根据三角形的外角和定理得出A+AEF=CFE，求出A
19、的度数，最后根据三角形的内角和定理求出B 的度数即可 【详解】 AF=EF， A=AEF， A+AEF=CFE=72 ， A=36 ， C=90 ，A+B+C=180 ， B=180 -A-C=54 故答案为：54 【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键 12. 如图，射线 OC是AOB 的平分线，P是射线 OC上一点，PDOA 于点 D，DP6，若 E是射线 OB上一点，OE4，则OPE 的面积是 _ 【答案】12 【解析】 【分析】过点 P作 PFOB 于点 F，根据角平分线的性质定理，即可求解 【详解】解：如图，过点 P作 PFOB 于点
20、F， 射线 OC是AOB 的平分线，PDOA，DP6， PF=PD=6， OPE的面积是116 41222PFOE 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键 13. 如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB交 AC于点 E若65DECE，则 AC的长为_ 【答案】11 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得出BAD=CAD，再根据平行线的性质得出CAD=ADE，故可得出AE=DE=6，再根据 AC=AE+CE即可得出结论 【详解】解：ABC中，AD 是BAC的平分线， BAD=CAD， DEAB，DE=6，CE=5
21、， CAD=ADE， AE=DE=6， AC=AE+CE=6+5=11 故答案为：11 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，掌握等腰三角形的判定是解答此题的关键 14. 如图，在ABC 中，AB=3，BC=5，B=60，将ABC绕点 A按顺时针旋转一定角度得到ADE，当点 B的对应点 D恰好落在边 BC 上时，则 CD 的长为_. 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转的性质得 AD=AB，由B=60 ，于是可判断ADB 为等边三角形，根据等边三角形的性质得 BD=AB=3，然后利用 CD=BC-BD 进行计算 【详解】ABC绕点 A按顺时针旋转一定角度得到ADE，点
22、 B的对应点 D恰好落在 BC边上， AD=AB， B=60 ， ADB 为等边三角形， BD=AB=3， CD=BCBD=53=2. 故答案为 2. 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质. 15. 如图， 已知 AD是ABC的中线，1=22CEAD，于点 E，BFAD， 交 AD 的延长线于点 F 若6EF ，则BC=_ 【答案】12 【解析】 【分析】证明CDEBDF（AAS） ，得出 DE=DF=12EF=3，求出DCE=30，由直角三角形的性质得出CD=2DE=6，即可得出 BC=2CD=12 【详解】解：AD是ABC的中线， BD=CD， CEAD，
23、BFAD， CED=F=90， 在CDE和BDF中， =2=CEDFBDFCD BD， CDEBDF（AAS） ， DE=DF=12EF， EF=6， DE=DF =3， 1=22，1+2=180， 2=60， DCE=30， CD=2DE=6， BC=2CD=12 故答案为：12 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键 16. 如图，BAC的平分线与 BC的垂直平分线交于点 D，DEAB于点 E，DFAC，交 AC的延长线于点 F若=15=9ABAC，则=CF_ 【答案】3 【解析】 【分析】连
24、接 BD，CD，根据“AAS”证明ADEADF，得出 DE=DF，AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得出 BD=CD，根据“HL”证明Rt BDECDF，得出 BE=CF，然后线段的和差得出=+ABCF AC CF，代入 AB，AC 的值即可求解 【详解】解：连接 BD，CD， DEAB，DFAC，AD平分BAC， =90?AEDAFD，EAD=FAD， 在ADE和ADF中， =AEDAFDEADFADAD AD， ADEADF（AAS） ， DE=DF，AE=AF， D 在 BC 的垂直平分线上， BD=CD， 在Rt BDE和Rt CDF中， =BD CDDE DF， Rt BDECDF
25、（HL） =BE CF， AE=AF， =+ABBE ABCF AC CF， AB=15，AC=9， 15=9+CFCF， CF=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质证明Rt BDECDF是解题的关键 17. 如图，线段 AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1 39 ，则AOC=_ 【答案】78 【解析】 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到AOC=2+3=2(A+C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到AOG =51-A，COF =51-C，利用平角的定义得到AOG+2+3+COF+1=180，计算即可求解 【
26、详解】如图，连接 BO并延长， 1l、2l分别是线段 AB、BC的垂直平分线， OA=OB，OB=OC，ODG=OEF=90， A=ABO，C=CBO， 2=2A，3=2C，OGD=OFE=90-39=51， AOC=2+3=2(A+C)， OGD=A+AOG，OFE=C+COF， AOG =51-A，COF =51-C， 而AOG+2+3+COF+1=180， 51-A+2A+2C+51-C+39=180， A+C=39， AOC=2(A+C)=78， 故答案为：78 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数
27、形结合思想的应用 18. 如图， 在ABC中，3,4,ABACABAC EF垂直平分BC， 点 P为直线EF上一动点， 则ABP周长的最小值是_ 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意知点 B关于直线 EF的对称点为点 C，故当点 P 与点 D重合时，AP+BP 的最小值，求出AC 长度即可得到结论 【详解】解：EF垂直平分BC， B，C 关于直线EF对称设AC交EF于点 D， 当 P 和 D重合时，APBP的值最小，最小值等于AC的长， ABP周长的最小值是437 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出 P 的位置 三、解答题三、解答题 68 分分 19.
28、如图，网格中的ABC与DEF为轴对称图形. （1）利用网格线作出ABC与DEF的对称轴 l； （2）如果每一个小正方形的边长为 1，请直接写出ABC的面积=_. （3）顶点在格点，找出以 BC 为一边且与ABC全等（不与ABC重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出_个. 【答案】 （1）作图见解析； （2）3； （3）3 个，作图见解析 【解析】 【分析】 （1）连接 AD，作出 AD 的垂直平分线即可； （2）根据ABCCGHICGBBHAAIGSSSSS解答； （3）分别作出与ABC以 BC 为公共边，其它两边与 AC、BC 对应相等的三角形即可 【小问 1 详解】 解：如图，连接
29、AD，作出 AD 的垂直平分线 l， 根据轴对称图形的性质可知，l即是ABC与DEF的对称轴； 小问 2 详解】 如图，由题意可得： ABCCGHICGBBHAAIGSSSSS =82 1 2 =3； 【小问 3 详解】 如图， ABC、ACB、ACB 为满足条件的三角形，共 3个 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握轴对称图形的意义与性质、拆分法求面积的方法、利用 SSS判定三角形全等的方法是解题关键 20. 已知：如图，点 E、F在线段 BD上，BEDF，ABCD，AC求证：ABFCDE 【答案】见解析. 【解析】 【分析】由平行线的性质得BD，由 BE=DF得出 BF=DE，再根据
30、 AAS 进行判定即可 【详解】证明：BEDF， BE+EFDF+EF， 即 BFDE， ABCD， BD， 在ABF和CDE 中， A= CB= DBF=DE ， ABFCDE（AAS） 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 21. 如图，在ABC中，A40 ，ABC80 ，BE 平分ABC交 AC于点 E，EDAB于点 D，求证：ADBD 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明A=ABE 得到ABE 为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论 【详解】证明：BE平分ABC 交 AC 于点 E， ABE=12ABC=12 80 =40 ， A=40
31、 ， A=ABE， BE=AE,ABE为等腰三角形， EDAB， AD=BD 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判断与性质，解题的关键是证明ABE 为等腰三角形 22. 如图，ABC中，DM、EN分别垂直平分 AC 和 BC交 AB于 M、N （1）若12cmAB ，求MCN的周长； （2）若=120?ACB，求MCN的度数 【答案】 （1）12cm； （2）60? 【解析】 【分析】 （1）根据垂平分线的性质定理得出 AM=MC，BN=CN，故MCN的周长等于 AB得解； （2）根据三角形的内角和定理求出+AB，根据等腰三角形的性质得出+MCABCN，进而求出MCN 【小问 1
32、详解】 解：DM、EN 分别垂直平分 AC和 BC交 AB 于 M、N =,=AM MC BN CN， MCN的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB， AB=12cm， MCN的周长=12cm 【小问 2 详解】 解：=120?ACB， +=180?=60?ABACB， =,=AM MC BN CN， =,=AMCABBCN， +=+=60?MCABCNAB， =120?ACB， =(+)MCNACBMCABCN =120? 60? =60? 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能熟练运用相关性质进行推理运算是解题的关键 23. 如图
33、，在四边形 ABCD中，90ADBCABEADCEBD ，垂足为 E （1）求证：ABDECB； （2）若50DBC，则DCE_ 【答案】 （1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】 （1）因为这两个三角形是直角三角形，BE=AD，因为 ADBC，还能推出ADB=EBC，从而能证明：ABDECB； （2）因为DBC=50，BC=BD，可求出BDC 的度数，进而求出DCE的度数 【小问 1 详解】 证明：ADBC， ADB=EBC CEBD，A=90， A=CEB， 在ABD和ECB中， =ADBEBCAD EBACEB， ABDECB（AAS） ； 【小问 2 详解】 解：ABDECB， B
34、C=BD， DBC=50， EDC=118050652 ， 又CEBD， CED=90， DCE=9025EDC 故答案为：25 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，以及等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键 24. 如图， 点 C 是线段 AB上除点 A、 B外的任意一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接 AE交 DC于 M，连接 BD 交 CE 于 N，连接 MN （1）求证：AEBD； （2）请判断CMN的形状，并说明理由 【答案】 （1）见解析（2）是等边三角形，理由见解析. 【解析】 【分析
35、】 （1）由等边三角形的性质，结合条件可证明ACEDCB，则可证得 AEBD； （2） 利用 （1） 的结论， 结合等边三角形的性质可证明ACMDCN， 可证得 MCNC， 则可判定CMN为等边三角形 【详解】 （1）证明： ACD和BCE 是等边三角形， ACDC，CECB，DCA60，ECB60， DCAECB60， DCADCEECBDCE，ACEDCB， 在ACE与DCB 中， ACDCACEDCBCECB ACEDCB（SAS） ， AEBD； （2）解：CMN 为等边三角形，理由如下： 由（1）得，ACEDCB， CAMCDN， ACDECB60，而 A、C、B 三点共线， DCN
36、60， 在ACM与DCN 中， MACNDCACDCACMDCN ACMDCN（ASA） ， MCNC， MCN60， MCN为等边三角形 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键 25. 如图，90MON，点 A、B分别在射线 OM、ON 上，点 C在MON内部. （1）若=OA OB， 如图 1，若CAOMCBON，求证：=CA CB. 如图 2，若90ACB，求证：OC平分ACB. （2）如图 3，点 A、B 分别在射线 OM、ON上运动，点 C
37、随之运动，且90ACBACBC，P为OM上定点，当点 C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出 PC最短时 C 点的位置（保留作图痕迹，不要写作法） 【答案】 （1）见解析；见解析； （2）当点 C运动到 PCOC 时，PC最短，作图见解析 【解析】 【分析】 （1）如图 1，连接 OC，可证得 RtOACRtOBC（HL） ，即可得出 CA=CB 如图 2，过点 O作 ODCB 交 CB 的延长线于点 D，作 OEAC于点 E，连接 OC，可证得OAEOBD（AAS） ，RtOCERtOCD（HL） ，即可得出 OC平分ACB （2）如图 3，过点 C 作 CDOM 于点 D，CEO
38、N于点 E，作射线 OC，可证得CADCBE（AAS） ，RtOCDRtOCE（HL） ，得出点 C在MON的平分线上运动，所以当点 C运动到 PCOC时，PC最短时 C 点的位置 【小问 1 详解】 证明：如图 1，连接 OC， CAOM，CBON， OAC=OBC=90 ， 在 RtOAC和 RtOBC 中， =OA OBOC OC， RtOACRtOBC（HL） ， CA=CB 如图 2，过点 O作 ODCB 交 CB 的延长线于点 D，作 OEAC 于点 E，连接 OC， 则OEA=ODB=90 ， ACB=MON=90 ，OAE+OBC+ACB+MON=360 ， OAE+OBC=1
39、80 ， OBD+OBC=180 ， OAE=OBD， 在OAE和OBD中， =OEAODBOAEOBDOA OB， OAEOBD（AAS） ， OE=OD， 在 RtOCE和 RtOCD中， =OE ODOC OC， RtOCERtOCD（HL） ， OCE=OCD， OC平分ACB 【小问 2 详解】 如图 3，过点 C作 CDOM 于点 D，CEON于点 E，作射线 OC， 则ADC=BEC=90 ， ACB=MON=90 ，CAD+OBC+ACB+MON=360 ， CAD+OBC=180 ， CBE+OBC=180 ， CAD=CBE， 在CAD 和CBE 中， =ADCBECCADCBEAC BC， CADCBE（AAS） ， CD=CE， 在 RtOCD和 RtOCE中， =CD CEOC OC， RtOCDRtOCE（HL） ， COD=COE， OC平分MON 点 C在MON的平分线上运动， 当点 C 运动到 PCOC时，PC 最短， 可以过点 P作 OC的垂线段找到，如图 3 所示，点 C即为所求作的点 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
