2022年北京各校九年级数学中考复习训练:相似三角形(含答案解析)

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1、北京各校九年级数学中考复习训练:相似三角形一平行与比例(共8小题)1下列各组中的四条线段成比例的是A,B,C,D,2已知两条直线被三条平行线所截,截得线段的长度如图所示,则的值为A3B4C5D63已知,则的值为ABCD24若,则5如图,则线段长为 6如图,直线,直线,被直线、所截,截得的线段分别为,若,则的长是 7若,求、的值8已知,求代数式的值二相似三角形的性质(共6小题)9如图,则等于ABCD10如图,在四边形中,点、分别是边、上的点,与交于点,则与的面积之比为ABCD11如果两个相似三角形的面积之比为,那么这两个三角形的周长之比为ABCD12如图,在中,、分别是、上的点,且,若,则ABC

2、D13如图,在平行四边形中,是边上的点,交于点,如果,那么14如图,把沿边平移到的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是的面积的一半,若,则此三角形移动的距离 三相似三角形的判定与性质(共24小题)15如图,、分别是、上的点,下列条件能判定与相似的是;ABCD16如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是ABCD17下列选项中,与如图所示的三角形相似的是ABCD18的三边长为,2,的两边长为1,要使,那么的第三条边长是19如图中,是上一点,垂足为,则的长为 20如图,将等边折叠,使得点落在边上的点处,折痕为,点,分别在和边上若,则周长为 ,的值为 21已知:

3、如图,在中,于,求证:22如图,在的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上:(1)则,;(2)判断与是否相似,若相似,请说明理由23如图,中,于点求证:24如图,在中,分别是边,上的点,连接,且(1)求证:;(2)如果是的中点,求的长25如图,在中,是斜边上的高(1)求证:;(2)若,求的长26将矩形纸片沿翻折,使点落在线段上,对应的点为,若,求的长27在矩形中,点为的中点,连接,过点作,垂足为点(1)求证:;(2)求的长28如图,在中,连接,是边上一点,连接并延长,交的延长线于,且(1)求证:;(2)如果,求的值29如图,在中,平分,是上一点,且(1

4、)求证:;(2)若,求的值30如图,在矩形中,是的中点,垂足为,若,求的长31如图,中,于点,于点,、交于点,连接、(1)依题意补全图形;(2)与相似吗?说明理由32如图,在中,是的中点,过点作的垂线,交的延长线于点,求证:33如图,在四边形中,点是边上一点,连接,为上一点且,求证:34如图,平行四边形中,过点作交于点,交于点,交的延长线于点,若,求的长35如图,在中,点在边上,点在的延长线上,且(1)求证:;(2)若,求的长36如图,在中,的平分线分别与、交于点、(1)求证:;(2)当,时,求的值37在中,与的延长线交于求证:38如图,在平行四边形中,为边上一点,(1)求证:;(2)若,求的

5、值四相似三角形的应用(共12小题)39九章算术中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”今译如下:如图,矩形,东边城墙长9里,南边城墙长7里,东门点,南门点分别位于,的中点,里,经过点,则的长为A0.95里B1.05里C2.05里D2.15里40如图,线段和直线分别垂直线段于点,点是线段上的一个动点,由移动到,连接,过点作交于点,设线段的长为,的长为,在下列图象中,能大致表示与之间函数关系的是ABCD41如图,在等边中,当直角三角板的角的顶点在上移动时,斜边始终经过边的中点,设直角三角板的另一直角边与相交于点设,那么与

6、之间的函数图象大致是ABCD42在中,点是边上一动点,过点作,垂足为作,交于点四边形的面积与线段之间关系的图象大致是ABCD43如图,为测量某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点,在近岸取点,使得,点在上,并且点,在同一条直线上,若测得,则河的宽度长为 44如图,为了测量操场上一棵大树的高度,小英拿来一面镜子,平放在离树根部的地面上,然后她沿着树根和镜子所在的直线后退,当她后退时,正好在镜中看见树的顶端小英估计自己的眼睛到地面的距离为,则大树的高度是45如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时,竹竿与这一点距离相距,与树相距

7、,则树的高度为46如图,小明在时测得某树的影长为,时又测得该树的影长为,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为47“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”这段话摘自九章算术意思是说:如图,矩形城池,城墙长9里,城墙长7里,东门所在的点,南门所在的点分别是,的中点,里,点在上,问等于多少里?48如图,小芳家的落地窗(线段与公路(直线互相平行,她每天做完作业后都会在点处向窗外的公路望去(1)请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为(2)小芳很想知道点与公路之间的距离,于是她想到了一个办法她测出了邻家小彬在公路段上走过的时间为10秒,又测量了点到窗的距离是

8、4米,且窗的长为3米,若小彬步行的平均速度为1.2米秒,请你帮助小芳计算出点到公路的距离49已知:为一幢3米高的温室,其南面窗户的底框距地面1米,在地面上留下的最大影长为2米,现欲在距点7米的正南方点处建一幢12米高的楼房(设,在同一水平线上)(1)按比例较精确地作出高楼及它的最大影长;(2)问若大楼建成后是否影响温室的采光,试说明理由50如图,点、分别是正方形的边、上两点,且,(1)设,的面积为,求关于的函数关系式;(2)当取何值时,面积最大?求出此时的面积五相似三角形的探究(共10小题)51如图,在直角坐标系中,有两个点、,如果点在轴上(点与点不重合),当点坐标为时,使得由、三点组成的三角

9、形和相似52已知如图,点是边长为4的正方形内一点,且,于,请在射线上找一点,使以、为顶点的三角形与相似53如图,是的中线,点是上任一点,连接并延长,交于点(1)如图1,当时,求的值;(2)如图2,当时,求的值54在中,为边上的一点,且,点为边上的动点(不与点,重合),将线段绕点顺时针旋转,交于点(1)如图1,若为边中点,为边中点,则的值为 ;(2)若为边中点,不是边的中点,请根据题意将图2补全;小军通过观察、实验,提出猜想:点在边上运动的过程中,(1)中的值不变小军把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了求的值的几种想法:想法1:过点作交于点,要求的值,需证明想法2:分别取,的中点,连接,

10、要求的值,需证明想法3:连接,要求的值,需证,四点共圆请你参考上面的想法,帮助小军写出求的值的过程(一种方法即可);(3)若且为正整数),则的值为 (用含的式子表示)55等腰,为的中点,小慧拿着含角的透明三角板,使角的顶点落在点,三角板绕点旋转(1)如图,当三角板的两边分别交、于点、时求证:;(2)操作:将三角板绕点旋转到图情形时,三角板的两边分别交的延长线、边于点、探究与还相似吗?(只需写出结论)探究2:连接,与是否相似?请说明理由;设,的面积为,试用的代数式表示56在中,是边上的点(不与点、重合),连接(1)如图1,当点是边上的中点时,;(2)如图2,当是的平分线时,若,求的值(用含,的代

11、数式表示);(3)如图3,平分,延长到,使得,连接,如果,那么57已知四边形中,分别是,边上的点,与交于点(1)如图1,若四边形是矩形,且则 (填“”或“”或“” ;(2)如图2,若四边形是平行四边形,试探究:当与满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论;(3)如图3,若,则的值为 58阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,已知:中,点是的中点,点为边上一点,连接,过点作的垂线与直线交于点,连接求证:探究过程:经过分析小明发现,然后根据全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,可以得到请你根据小明的探究过程解决以下问题:(1)探索发现:如图2,若点为边延长线上一点,其他条件不变,与还相等

12、吗?请说明理由(2)类比迁移:如图3,在等边中,点是的中点,点为边上一点,连接,以为一边作,交直线于点,且请你依据题意补全图形,若,求的长59从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的优美线(1)如图,在中,为角平分线,求证:为的优美线;(2)在中,是的优美线,且是以为腰的等腰三角形,求的度数60若平面直角坐标系中的点作如下平移:沿轴方向平移的数量为(向右为正,向左为负,平移个单位),沿轴方向平移的数量为(向上为正,向下为负,平移个单位),则把有序数对

13、,叫做这一平移的“平移量”规定“平移量” ,与“平移量” ,的加法运算法则为,(1)若动点从坐标点出发,按照“平移量” ,平移到,再按照“平移量” ,平移到,形成,则点的坐标为 ,点的坐标为 (2)若动点从坐标原点出发,先按照“平移量” 平移到,再按照“平移量” 平移到;最后按照“平移量” 平移回到点当(在(1)中的三角形)且相似比为时,请你直接写出“平移量” , , (3)在(1)、(2)的前提下,请你在平面直角坐标系中画出与参考答案解析一平行与比例(共8小题)1【解答】解:根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段所给选项中,只有中,四条线段成比例,故选:2【解答】解

14、:两条直线被三条平行线所截,解得:,故选:3【解答】解:,故选:4【解答】解:,故答案为:5【解答】解:如图,四边形是平行四边形,又,故,则故答案是:106【解答】解:,解得:,故答案为:4.57【解答】解:设,则,解得,8【解答】解:,设,则,故,故原式二相似三角形的性质(共6小题)9【解答】解:,故选:10【解答】解:,与的面积之比为故选:11【解答】解:两个相似三角形的面积之比为,相似比是,相似三角形的周长比等于相似比,这两个三角形的周长之比为:,故选:12【解答】解:过点作交于点,如图所示:,又,又,故选:13【解答】解:是平行四边形,14【解答】解:设与交于点,由平移的性质知,故答案

15、为:三相似三角形的判定与性质(共24小题)15【解答】解:由图可知,是与的公共角,可以利用“两组角对应相等,两三角形相似”得到与相似;,可以利用“两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似”得到与相似;,公共角不是夹角,不能得到与相似;综上所述,能判断与相似的是故选:16【解答】解:由正方形的性质可知,、图形中的钝角都不等于,由勾股定理得,对应的图形中的边长分别为1和,图中的三角形(阴影部分)与相似,故选:17【解答】解:由勾股定理得,三角形的三边分别为,三角形的三边之比为,此三角形是直角三角形,故排除、,选项斜边,三角形的三边之比为,与图示三角形相似;选项,斜边,三角形的三边之比为,与图示三角形

16、不相似故选:18【解答】解:的三边长分别为:,2,的三边长之比为,比例系数是,的两边长分别为1和,的第三边的长应等于故答案为:19【解答】解:,即,解得:故答案为:420【解答】解:是等边三角形,由折叠的性质可知:,即周长为10,故答案为:10;,故答案为:21【解答】证明:,22【解答】解:(1)观察图象可知,(2)结论:理由:,23【解答】证明:,又,24【解答】解:(1),;(2)由(1)可知:,点是的中点,设,解得:,25【解答】(1)证明:,(2)解:,26【解答】解:由折叠的性质易知:,设,则,在中,即,解得:,在中,27【解答】解:(1)在矩形中,有,(2)在矩形中,为的中点,又

17、,在中,由勾股定理得:,由得:即:,解得:28【解答】(1)证明:四边形是平行四边形,;(2)解:,即,即又,29【解答】(1)证明:平分,(2)解:,30【解答】解:四边形是矩形,又,是的中点,解得:31【解答】解:(1)依题意补全图形如图所示:(2)与相似,理由如下:于点,于点,又,32【解答】解:证明:,点是点,33【解答】证明:,又,34【解答】解:四边形是平行四边形同理可证:,(舍负)35【解答】(1)证明:如图四边形是平行四边形,又,;(2)解:,四边形是平行四边形,36【解答】解:(1)如图,在中,是的平分线,;(2),37【解答】证明:过点作交于点,由可得,即38【解答】(1)

18、证明:四边形是平行四边形,又,;(2)解:,四相似三角形的应用(共12小题)39【解答】解:,经过点,里,里,里,里,里,解得:里故选:40【解答】解:,设,则,即,是的二次函数,故选:41【解答】解:等边中,即,故选:42【解答】解:在中,设,在中,则,则,该函数为开口向下的抛物线的一部分,且抛物线和轴的交点坐标为和,故选:43【解答】解:,又(对顶角相等),即,解得故答案为:1544【解答】解:,即,故答案为:845【解答】解:如图;,;由于,所以,得:,即,解得:,故答案为:746【解答】解:如图:过点作,由题意得:是直角三角形,有;即,代入数据可得,;故答案为:447【解答】解:,经过

19、点,里,里,里,里,里,解得:里48【解答】解:(1)如图,线段就是小芳能看到的那段公路(2)过点作,垂足为,交于点,又,根据题意得:(米又米,米,(米49【解答】解:(1)图形如图所示(2)如图,米,由米,可得米,由比例可知:米米,故影响采光50【解答】解:(1),(2),当时,的面积最大,此时的面积是8五相似三角形的探究(共10小题)51【解答】解:点在轴上,两个三角形相似时,应该与对应,若与对应,则,;若与对应,则,或者52【解答】解:四边形为正方形,当时,则有,即,解得;当时,则有,即,解得;或53【解答】解:(1)如图1,过作交于点,且是的中线是的中位线,在和中,;(2)过作交于点,

20、且是的中线是的中位线,54【解答】解:(1)如图1,为边中点,为边中点,又,四边形是矩形,即,故答案为:;(2)如图所示:法1:如图,过点作交于点,为边中点,在中,;法2:如图,分别取,的中点,连接,为边中点,;法3:如图,连接,的中点到点,的距离相等,四点共圆,为边中点,;(3)如图所示,过点作交于点,可设,则,在中,故答案为:55【解答】(1)证明:在中,又,且,(两角对应相等的两个三角形相似)(2)解:;与相似下面证明结论:同(1),可证,得,而,因此又因为,所以(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)由得,所以分别过点作,垂足分别为、,则连,在中,由,可得所以,所以,所以56【解答

21、】解:(1)过作于,点是边上的中点,故答案为:;(2)过作于,于,为的角平分线,;(3),由(1)知:,平分,由(2)知:,故答案为:957【解答】(1)解:,理由是:四边形是矩形,故答案为:(2)当时,成立证明:四边形是平行四边形,即当时,成立(3)解:理由是:过作于,交延长线于,连接,设,即,四边形是矩形,在和中,在中,由勾股定理得:,(舍去),故答案为:58【解答】解:(1)结论:与相等理由:如图2中,中,点是的中点,又,在和中,(2)分两种情况讨论:如图中,当点在线段上时,是等边三角形,是的中点,(负根已经舍弃)如图中,当点在线段的延长线上时,等边三角形,为中点,又,解得:(负根已经舍弃),综上所述:长为59【解答】解:(1)如图1中,平分,是等腰三角形,线段是的优美线(2)如图2中,若,则,则,这与这个条件矛盾;若,60【解答】解:(1)动点从坐标点出发,按照“平移量” ,平移到,再按照“平移量” ,平移到,形成,则点的坐标为,点的坐标为,故答案为,(2)(在(1)中的三角形)且相似比为时,当时,当时,当时,当时,故答案为,或,或,或,;,或,或,或,;,或,或,或,(3)如图所示,都满足条件

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