1、2021-2022 学年北京市丰台区二校联考八年级上期中数学试卷学年北京市丰台区二校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分。 ）分。 ） 1第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中国北京市和张家口市联合举办以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列计算正确的是（ ） Aa3a2a B （a2）3a5 Ca6a2a3 Da2a3a5 3下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） Am（a+b）ma+mb Bx2+3x+2（x+1） （x+2） Cx
2、2+xy3x（x+y）3 D 4要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线上取两点 C、D，使 BCCD，再作出 BF 的垂线 DE，使 E 与 A、C 在一条直线上（如图所示） ，可以测得 DE 的长就是 AB 的长（即测得河宽） ，可由EDCABC 得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ） A边角边 B角边角 C边边边 D边边角 5下列运算正确的是（ ） A （x+y） （y+x）x2y2 B （x+y）2x2+2xy+y2 C （xy）2x22xyy2 D （x+y） （yx）x2y2 6若 x26x+k 是完全平方式，则 k 的值是（ ） A9 B9 C12 D12 7
3、如图，A、F、C、D 在一条直线上，ABCDEF，B 和E 是对应角，BC 和 EF 是对应边，AF1，FD4则线段 FC 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 8如图，在长方形 ABCD 中，连接 AC，以 A 为圆心适当长为半径画弧，分别交 AD，AC 于点 E，F，分别以 E，F 为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧在DAC 内交于点 H，画射线 AH 交 DC 于点 M若AD6，DM3，AC10，则AMC 的面积为（ ） A9 B15 C18 D30 9有 A，B 两个正方形，按图甲所示将 B 放在 A 的内部，按图乙所示将 A，B 并列放置构造新的正方形若图甲和图乙中阴影部
4、分的面积分别为 3 和 16，则正方形 A，B 的面积之和为（ ） A13 B19 C11 D21 10如图，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P 在 AB 上，过点 P 作 PEAC，垂足为 E，延长 BC 到点Q，使 CQPA，连接 PQ 交 AC 于点 D，则 DE 的长为（ ） A0.5 B0.9 C1 D1.25 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小； ；每小题个小； ；每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11如图，在ABC 中，ABAC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，BC16cm，则 BD cm 12已知图中的两个三角形全等，则1 等于 度 13如图，
5、ACD120，ABBCCD，则A 等于 14若 am10，an6，则 am+n 15若 x2+mx12（x+3） （x+n） ，则 m 的值 16如图，弹性小球从点 P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC 的边时反弹，反弹的反射角等于入射角 （反射前后的线与边的夹角相等） ， 当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1（2，0） ，第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2021的坐标为 17在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，2） ，B（0，4） ，在坐标轴上找一点 P，使得ABP 是等腰三角形，则这样的点
6、P 共有 个 18如图，ABC 中，BAC90，AB3，BC5，CA4，BD 是ABC 的平分线若 P，Q 分别是BD 和 AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 10 道题，满分道题，满分 54 分）分） 19 （6 分）计算： （1） （3x2y）2xy； （2） （x+2） （4x） ； （3） （8x2y4x4y3）（2x2y） 20 （5 分）先化简，再求值： （3x+2） （3x2）5x（x1）（2x1）2，其中 x 21 （4 分）已知，如图，ABC （1）尺规作图：作 AC 边的垂直平分线 DE，交 BC 边于点 D，AC 边于点 E；
7、 （2）连接 AD，若 AE4cm，ABD 的周长为 15cm，则ABC 的周长为 cm 22 （7 分）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，3） 、B（6，0） 、C（1，0） （1） 将ABC沿y轴翻折， 画出ABC关于y轴对称的图形A1B1C1， 并直接写出点A1的坐标 （2）若以 D、B、C 为顶点的三角形与ABC 全等，请画出所有符合条件的DBC（点 D 与点 A 重合除外） （3）在 y 轴上找一点 P，使点 P 到点 A，点 C 的距离和最短，请画出点 P 23 （5 分）如图，C 是 AB 的中点，CDBE，CDBE，连接 AD，CE求证：ADCE 24 （5 分）如图
8、，已知 RtABC 中，ACB90，CACB，D 是 AC 上一点，E 在 BC 的延长线上，且AEBD，BD 的延长线与 AE 交于点 F （1）若 CD3，则求 CE 的长； （2）求证：BFAE 25 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，且 AE请你猜想1和2 有什么数量关系？并证明你的猜想 解：猜想： 证明： 26 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，延长 AB 至点 E，使AECDAB判断 CE与 AD 的数量关系，并证明你的结论 27 （5 分）当我们利用 2 种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式例如，由图
9、 1，可得等式： （a+2b） （a+b）a2+3ab+2b2 （1）由图 2，可得等式： （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c11，ab+bc+ac38，求 a2+b2+c2的值； （3）利用图 3 中的纸片（足够多） ，画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b） ； （4）小明用 2 张边长为 a 的正方形，3 张边长为 b 的正方形，5 张边长分别为 a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q，给出如下定义： 若点 Q 满
10、足 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“中垂点” ；当 QMQNMN 时，称点 Q 为线段 MN 的“完美中垂点” （1）如图 1，A（4，0） ，下列各点中，线段 OA 的中垂点是 Q1（0，4） ，Q2， （2，4） ，Q3（1，） （2）如图 2，点 A 为 x 轴上一点，若 Q（2，2）为线段 OA 的“完美中垂点” ，写出线段 OQ 的两个“完美中垂点”是 和 ，两者的距离是 （3）如图 3，若点 A 为 x 轴正半轴上一点，点 Q 为线段 OA 的“完美中垂点” ，点 P（0，m）在 y 轴上，在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M，直接写出 MQ （用含 m 的
11、式子表示） 并求出MQA（写出简单思路即可） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分。 ）分。 ） 1第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中国北京市和张家口市联合举办以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：选项 A、C、D 均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项 B
12、 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2下列计算正确的是（ ） Aa3a2a B （a2）3a5 Ca6a2a3 Da2a3a5 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （A）a3与 a2不是同类项，不能合并，故 A 错误 （B）原式a6，故 B 错误 （C）原式a4，故 C 错误 故选：D 【点评】本题考查整式运算，解题的关键是熟练整式的运算法则，本题属于基础题型 3下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） Am（a
13、+b）ma+mb Bx2+3x+2（x+1） （x+2） Cx2+xy3x（x+y）3 D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可 【解答】解：A从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D 等式的右边是一个整式和一个分式的积， 即从左到右的变形不属于因式分解， 故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解 4要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB
14、 的垂线上取两点 C、D，使 BCCD，再作出 BF 的垂线 DE，使 E 与 A、C 在一条直线上（如图所示） ，可以测得 DE 的长就是 AB 的长（即测得河宽） ，可由EDCABC 得到，判定这两个三角形全等的理由是（ ） A边角边 B角边角 C边边边 D边边角 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法 【解答】解：因为证明在EDCABC 用到的条件是：CDBC，ABCEDC，ACBECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法 故选：B 【点评】此题考查了三角形全等的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS
15、、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 5下列运算正确的是（ ） A （x+y） （y+x）x2y2 B （x+y）2x2+2xy+y2 C （xy）2x22xyy2 D （x+y） （yx）x2y2 【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可 【解答】解：A、结果是 x2y2，原计算正确，故本选项符合题意； B、结果是 x22xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意； C、结果是 x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意； D、结果是 y2
16、x2，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意： （a+b） （ab）a2b2， （a+b）2a2+2ab+b2， （ab）2a22ab+b2 6若 x26x+k 是完全平方式，则 k 的值是（ ） A9 B9 C12 D12 【分析】根据平方项和乘积二倍项列式即可确定出 k 的值 【解答】解：x26x+k 是完全平方式， k329 故选：B 【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出 k 的值是解题的关键 7如图，A、F、C、D 在一条直线上，ABCDEF，B 和E 是对应角，BC 和 E
17、F 是对应边，AF1，FD4则线段 FC 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 【分析】根据全等三角形的性质得出 ACFD4，再求出 FC 即可 【解答】解：ABCDEF，FD4， ACFD4， AF1， FCACAF413， 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等 8如图，在长方形 ABCD 中，连接 AC，以 A 为圆心适当长为半径画弧，分别交 AD，AC 于点 E，F，分别以 E，F 为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧在DAC 内交于点 H，画射线 AH 交 DC 于点 M若AD6，DM3，AC10，则
18、AMC 的面积为（ ） A9 B15 C18 D30 【分析】根据矩形的性质得到D90，根据勾股定理得到 CD8，根据三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， D90， CD8， DM3， CM5， AMC 的面积CMAD6515， 故选：B 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了矩形的性质 9有 A，B 两个正方形，按图甲所示将 B 放在 A 的内部，按图乙所示将 A，B 并列放置构造新的正方形若图甲和图乙中阴影部分的面积分
19、别为 3 和 16，则正方形 A，B 的面积之和为（ ） A13 B19 C11 D21 【分析】设 A，B 两个正方形的边长各为 a、b，则由题意得（ab）23， （a+b）2（a2+b2）2ab16，所以正方形 A，B 的面积之和为 a2+b2（ab）2+2ab，代入即可计算出结果 【解答】解：设 A，B 两个正方形的边长各为 a、b， 则图甲得（ab）2 a22ab+b2 3， 由图乙得（a+b）2（a2+b2） （a2+2ab+b2）（a2+b2） 2ab 16， 正方形 A，B 的面积之和为， a2+b2 （a22ab+b2）+2ab （ab）2+2ab 3+16 19， 故选：B
20、【点评】 此题考查了利用数形结合进行阴影面积计算问题， 关键是能将完全平方公式与几何图形相结合 10如图，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P 在 AB 上，过点 P 作 PEAC，垂足为 E，延长 BC 到点Q，使 CQPA，连接 PQ 交 AC 于点 D，则 DE 的长为（ ） A0.5 B0.9 C1 D1.25 【分析】过 P 作 BC 的平行线交 AC 于 F，通过 AAS 证明PFDQCD，得 FDCD，再由APF 是等边三角形，即可得出 DEAC 【解答】解：过 P 作 BC 的平行线交 AC 于 F， QFPD， ABC 是等边三角形， APFB60，AFPACB60，
21、APF 是等边三角形， APPF， APCQ， 在PFD 中和QCD 中， ， PFDQCD（AAS） ， FDCD， PEAC 于 E，APF 是等边三角形， AEEF， AE+DCEF+FD， DE， AC2， DE1， 故选：C 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小； ；每小题个小； ；每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11如图，在ABC 中，ABAC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，BC16cm，则 BD 8 cm 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求
22、解 【解答】解：ABAC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D， BDDCBC， BC16cm， BD8cm 故答案为：8 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键 12已知图中的两个三角形全等，则1 等于 58 度 【分析】 利用三角形的内角和等于 180求出边 b 所对的角的度数， 再根据全等三角形对应角相等解答 【解答】解：如图，2180507258， 两个三角形全等， 1258 故答案为：58 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，掌握对应边所对的角即为对应角是解题的关键 13如图，ACD120，ABBCCD，
23、则A 等于 20 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】解：ABBC， AACB， DBCA+ACB， DBC2A， BCCD， DDBC2A， ACD120， A+DA+2A18012060， A20， 故答案为：20 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质， 三角形外角的性质， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 14若 am10，an6，则 am+n 60 【分析】同逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可，底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 【解答】解：am10，an6， am+naman10660 故答案为：60 【点评】本题考查了同底数幂的
24、乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键 15若 x2+mx12（x+3） （x+n） ，则 m 的值 1 【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出 m 的值即可 【解答】解：已知等式整理得：x2+mx12（x+3） （x+n）x2+（n+3）x+3n， mn+3，123n， 解得：m1，n4， 故答案为：1 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 16如图，弹性小球从点 P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC 的边时反弹，反弹的反射角等于入射角 （反射前后的线与边的夹角相等） ， 当小球第 1 次碰
25、到正方形的边时的点为 P1（2，0） ， 第2次碰到正方形的边时的点为P2， ， 第n次碰到正方形的边时的点为Pn， 则点P2021的坐标为 （4，3） 【分析】按照反弹规律依次画图即可 【解答】解：如图： 根据反射角等于入射角画图，可知小球从 P2反射后到 P3（0，3） ，再反射到 P4（2，4） ， 再反射到 P5（4，3） ，再反射到 P 点（0，1）之后，再循环反射，每 6 次一循环，202163365，即点 P2021的坐标是（4，3） 故答案为： （4，3） 【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律 17在平面直角坐标系 xOy
26、 中，已知点 A（2，2） ，B（0，4） ，在坐标轴上找一点 P，使得ABP 是等腰三角形，则这样的点 P 共有 5 个 【分析】以 B 为圆心，AB 长为半径画圆可得与坐标轴有两个交点，再以 A 为圆心，AB 长为半径画圆可得与坐标轴有 1 个交点，然后再作 AB 的垂直平分线可得与坐标轴有两个交点 【解答】解：如图所示，共 5 个点， 故答案为：5 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏 18如图，ABC 中，BAC90，AB3，BC5，CA4，BD 是ABC 的平分线若 P，Q 分别是BD 和 AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是 【分析】作点 Q
27、关于直线 BD 的对称点 Q，作 AMBC 于 M由 PA+PQPA+PQ，推出根据垂线段最短可知，当 A，P，Q共线，且与 AM 重合时，PA+PQ 的值最小，最小值线段 AM 的长 【解答】解：如图， 作点 Q 关于直线 BD 的对称点 Q，作 AMBC 于 M， PA+PQPA+PQ， 根据垂线段最短可知，当 A，P，Q共线，且与 AM 重合时，PA+PQ 的值最小，最小值线段 AM 的长 ABC 中，BAC90，AB3，BC5，AC4， AM， 故答案为： 【点评】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化 的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（
28、本题共三、解答题（本题共 10 道题，满分道题，满分 54 分）分） 19 （6 分）计算： （1） （3x2y）2xy； （2） （x+2） （4x） ； （3） （8x2y4x4y3）（2x2y） 【分析】 （1）先算积的乘方，再进行单项式乘单项式运算即可； （2）根据多项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）根据多项式除以单项式的运算法则进行运算即可 【解答】解： （1） （3x2y）2xy 9x4y2xy 3x5y3； （2） （x+2） （4x） 2x2x+8x1 2x2+x1； （3） （8x2y4x4y3）（2x2y） 8x2y（2x2y）4x4y3（2x2y） 4+2x2y2
29、【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 20 （5 分）先化简，再求值： （3x+2） （3x2）5x（x1）（2x1）2，其中 x 【分析】首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解 【解答】解：原式9x24（5x25x）（4x24x+1） 9x245x2+5x4x2+4x1 9x5， 当时， 原式358 【点评】此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则及平方差公式、完全平方公式化简代数式 21 （4 分）已知，如图，ABC （1）尺规作图：作 AC 边的垂直平分线 DE，交 BC 边
30、于点 D，AC 边于点 E； （2）连接 AD，若 AE4cm，ABD 的周长为 15cm，则ABC 的周长为 23 cm 【分析】 （1）分别以 A、C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E； （2）由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合ABD 的周长，进行线段的等量代换可得答案 【解答】解： （1）如图所示，DE 即为所求； （2）DE 垂直平分 AC， ADCD 又ABD 的周长AB+BD+ADAB+BD+CD15（cm） ， ABC 的周长AB+BD+CD+AC15+2423（cm） 故答案为：23
31、【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 22 （7 分）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，3） 、B（6，0） 、C（1，0） （1） 将ABC 沿 y 轴翻折， 画出ABC 关于 y 轴对称的图形A1B1C1， 并直接写出点 A1的坐标 （2，3） （2）若以 D、B、C 为顶点的三角形与ABC 全等，请画出所有符合条件的DBC（点 D 与点 A 重合除外） （3）在 y 轴上找一点 P，使点 P 到点 A，点 C 的距离和最短，请画出点 P 【分析】 （1）利用轴对称的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1
32、，B1，C1即可； （2）利用轴对称，翻折变换作出全等三角形即可； （3）连接 AC1交 y 轴于点 P，连接 PC，点 P 即为所求 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求，点 A1的坐标（2.3） 故答案为： （2，3） ； （2）如图，点 D1，D2，D3即为所求； （3）如图，点 P 即为所求； 【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型 23 （5 分）如图，C 是 AB 的中点，CDBE，CDBE，连接 AD，CE求证：ADCE 【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性
33、质解答即可 【解答】证明：C 是 AB 的中点， ACCB， CDBE， ACDB 在ACD 和CBE 中， ， ACDCBE（SAS） ， ADCE 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定 24 （5 分）如图，已知 RtABC 中，ACB90，CACB，D 是 AC 上一点，E 在 BC 的延长线上，且AEBD，BD 的延长线与 AE 交于点 F （1）若 CD3，则求 CE 的长； （2）求证：BFAE 【分析】 （1）先证明BDCAEC 得出：CDCE （2）由全等三角形的性质得到：CBDCAE，从而得出BFE90，即
34、BFAE 【解答】 （1）解：ACB90， ACEBCD90 在 RtBDC 与 RtAEC 中， ， RtBDCRtAEC（HL） CDCE3； （2）证明：由（1）知，RtBDCRtAEC， CBDCAE 又CAE+E90 EBF+E90 BFE90， 即 BFAE 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 25 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，且 AE请你猜想1和2 有什么数量关系？并证明你的猜想 解：猜想： 1 与2 互补 证明： 作 CFAD 延长线于 F（如图） ， 34，CEAM， CFCE，CFA
35、CEA90， RtACFRtACE， AFAE AE（AD+AB）（AFDF+AE+EB）AE+（BEDF） ， BEDF0， BEDF， DFCBEC（SAS） ， 52， 1+5180， 1+2180，即1 与2 互补 【分析】通过作辅助线，由三角形全等得到 AFAE 或 AFAD，由已知条件从而证得 【解答】解：猜想1 与2 互补 理由如下：作 CFAD 延长线于 F（如图） ， 34，CEAM， CFCE，CFACEA90， RtACFRtACE， AFAE AE（AD+AB）（AFDF+AE+EB）AE+（BEDF） ， BEDF0， BEDF， DFCBEC（SAS） ， 52，
36、1+5180， 1+2180 故答案是：1 与2 互补； 作 CFAD 延长线于 F（如图） ， 34，CEAM， CFCE，CFACEA90， RtACFRtACE， AFAE AE（AD+AB）（AFDF+AE+EB）AE+（BEDF） ， BEDF0， BEDF， DFCBEC（SAS） ， 52， 1+5180， 1+2180，即1 与2 互补 【点评】本题利用角平分线性质，作辅助线得到三角形全等，并利用已知条件来求得 26 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，延长 AB 至点 E，使AECDAB判断 CE与 AD 的数量关系，并证明你的结论 【分析】延长 AD
37、至点 N 使 DNAD，AN 交 CE 于点 M，连接 CN，根据等腰三角形的性质得到 MAME，根据全等三角形的性质得到NDAB根据平行线的性质得到3AEC求得 MCMN，于是得到结论 【解答】解：CE2AD； 理由：延长 AD 至点 N 使 DNAD，AN 交 CE 于点 M，连接 CN， DABAEC， MAME， ABAC，ADBC， CADDAB，BDCD，1290 ABDNCD（SAS） ， NDAB CNAE 3AEC 3N MCMN， CEMC+ME MN+MA AN 2AD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线
38、是解题的关键 27 （5 分）当我们利用 2 种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式例如，由图 1，可得等式： （a+2b） （a+b）a2+3ab+2b2 （1）由图 2，可得等式： （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c11，ab+bc+ac38，求 a2+b2+c2的值； （3）利用图 3 中的纸片（足够多） ，画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b） ； （4）小明用 2 张边长为 a 的正方形，3 张边长为 b 的正方形，5 张边长分别为 a、
39、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 2a+3b 【分析】 （1）根据图 2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示； （4）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边 【解答】解： （1） （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）a+b+c11，ab+bc+ac38， a2+b2+c2（a+b+c）22（ab+ac+bc）1217645； （3）如图所示： （4）根据题意得：2a2+5ab+3b2（2a+3b） （a+b）
40、， 则较长的一边为 2a+3b 故答案为： （1） （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （4）2a+3b 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q，给出如下定义： 若点 Q 满足 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“中垂点” ；当 QMQNMN 时，称点 Q 为线段 MN 的“完美中垂点” （1）如图 1，A（4，0） ，下列各点中，线段 OA 的中垂点是 Q2 Q1（0，4） ，Q2， （2，4） ，Q3（1，） （2）如图 2，点 A 为 x 轴上一点，若 Q（2，2
41、）为线段 OA 的“完美中垂点” ，写出线段 OQ 的两个“完美中垂点”是 A（4，0） 和 Q（2，2） ，两者的距离是 4 （3）如图 3，若点 A 为 x 轴正半轴上一点，点 Q 为线段 OA 的“完美中垂点” ，点 P（0，m）在 y 轴上，在线段 PA 上方画出线段 AP 的“完美中垂点”M，直接写出 MQ |m| （用含 m 的式子表示） 并求出MQA（写出简单思路即可） 【分析】 （1）由“中垂点”定义可求解 （2）如图，当AOQ，OQQ是等边三角形时，点 A 和点 Q 是线段 OQ 的“完美中垂点” ， （3）如图 3 中，以 PA 为边，向上作等边三角形 PAM，连接 QM利
42、用全等三角形的性质求解即可 【解答】解： （1）若点 Q 满足 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“中垂点” ； Q 在 MN 的垂直平分线上， 线段 OA 的对称点在 OA 的垂直平分线上，且 A（4，0） ，O（0，0） ， 线段 OA 的中垂点横坐标为 2， Q2（2，4）符合题意， 故答案为 Q2 （2）如图，当AOQ，OQQ是等边三角形时，点 A 和点 Q 是线段 OQ 的“完美中垂点” ， A（4，0） ，Q（2，2） ， AQ4， 故答案为：A（4，0） ，Q（2，2） ，4 （3）如图 3 中，以 PA 为边，向上作等边三角形 PAM，连接 QM 点 Q 为线段 OA 的“完美中垂点” ， AOQ 是等边三角形， OAQPAM60， OAPQAM， 在OAP 和QAM 中， OAPQAM（SAS） ， OPQM|m|，AOPAQM90， 故答案为：|m|，90 【点评】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
