1、2021-2022 学年北京市丰台区三校联考八年级上期中数学试卷学年北京市丰台区三校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1若关于 x 的多项式（x2+2x+4） （x+k）展开后不含有一次项，则实数 k 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 22021 年 3 月 20 日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列运算结果为 a6的是（ ） Aa3a2 Ba9a3 C （a2）3 Da18a3 4如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，那么 m
2、的值为（ ） A6 B3 C0 D1 5如图，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 P 是直线 MN 上的点，下列判断错误的是（ ） AAMBM BAPBN CMAPMBP DANMBNM 6要使 16x2bx+1 成为完全平方式，那么常数 b 的值是（ ） A4 B8 C4 D8 7如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的大小为（ ） A40 B50 C80 D100 8 如图， AD 是等边ABC 的一条中线， 若在边 AC 上取一点 E， 使得 AEAD， 则EDC 的度数为 （ ） A30 B20 C25 D15 9
3、平面直角坐标系中，已知 A（2，0） ，B（0，2）若在坐标轴上取 C 点，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（ ） A4 B6 C7 D8 10如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D无数个 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 16 分）分） 11 （2 分）当 x4 时， （x4）0等于 12 （2 分）若等腰三角形中有一个角等于 40，则这个等腰三角形的顶角的度数为 13 （2 分）已知 xm6，xn3，则 x2mn的值
4、为 14 （2 分）若 a2+b219，ab5，则 ab 15 （2 分）如图，从边长为 a 的大正方形中去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 16 （2 分）如图，点 P 为AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点若AOB30，则E+F 17 （2 分）已知一张三角形纸片 ABC（如图甲） ，其中ABCC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙） 再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF（如图丙） 原三角形纸片 ABC 中，ABC
5、的大小为 18 （2 分）如图，在等边ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 边的延长线上一点，CECD，DMBC于点 M下列结论正确的有 （把所有正确的序号写在横线上） BMEM 2CD3DM BM3CM 三、解答题（共三、解答题（共 54 分）分） 19 （6 分）因式分解； （1）ax2+2a2x+a3； （2） （ab） （xy）（ba） （x+y） 20 （4 分）计解： 21 （4 分）计算：7mm4（3m2）22m2 22 （5 分）已知 4a2+2b210，求代数式（2a+b）2b（4ab）+2 的值 23 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 是第
6、一、三象限的角平分线已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，0） ，B（5，3） ，C（6，1） （1）若ABC 与ABC关于 y 轴对称，画出ABC； （2）若直线 l 上存在点 P，使 AP+BP 最小，则点 P 的坐标为 ，AP+BP 的最小值为 24 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC （1）画图： 作 AB 的垂直平分线，分别与 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E； （要求尺规作图，保留作图痕迹） 连接 AE； 过点 B 作 BF 垂直 AE，垂足为 F （2）求证：ACBF 25 （6 分）如图，AE 是ACD 的角平分线，B 在 DA 延长线上，AEBC，
7、F 为 BC 中点，判断 AE 与 AF的位置关系并证明 26 （6 分）老师在黑板上写出了一道思考题：已知 a+b2，求 a2+b2的最小值 （1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用 b 表示 a，a2b； 再把 a2b 代入 a2+b2；a2+b2 +b2； 再进行配方得到：a2+b22（b ）2+ ； 根据完全平方式的非负性，就得到了 a2+b2的最小值是 （2）请你根据小明的方法，当 x+y10 时，求 x2+y2的最小值 27 （6 分）在ABC 中，ABAC，A90，点 D 在线段 BC 上，EDBC，BEDE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F （1）当 C，D 两点重合
8、时（如图 1） 直接写出EBF ； 直接写出线段 BE 与 FD 之间的数量关系 ； （2）当 C，D 不重合时（如图 2） ，写出线段 BE 与 FD 的数量关系，并证明 28 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 M（0，m） ，且平行于 x 轴的直线记作直线 ym我们给出如下定义：点 P（x，y）先关于 x 轴对称得到点 P1，再将点 P1关于直线 ym 对称得到点 P，则称点 P称为点 P 关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点 （1）点 A（5，3）关于 x 轴和直线 y1 的二次反射点 A的坐标是 ； （2）点 B（2，1）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点 B
9、的坐标是（2，5） ，m ； （3）若点 C 的坐标是（0，m） ，其中 m0，点 C 关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点是 C，求线段CC的长（用含 m 的式子表示） ； （4）如图，正方形的四个顶点坐标分别为（0，0） 、 （2，0） 、 （2，2） 、 （0，2） ，若点 P（1，4） ，Q（1，5）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点分别为 P，Q，且线段 PQ与正方形的边没有公共点，直接写出m 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1若关于 x 的多项
10、式（x2+2x+4） （x+k）展开后不含有一次项，则实数 k 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 【分析】将原式展开后，令一次项的系数为零即可求出 k 的值 【解答】解：原式x3+kx2+2x2+2kx+4x+4k x3+kx2+2x2+（2k+4）x+4k， 令 2k+40， k2， 故选：D 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算，本题属于基础题型 22021 年 3 月 20 日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做
11、轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可 【解答】解：选项 A、B、D 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项 C 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 3下列运算结果为 a6的是（ ） Aa3a2 Ba9a3 C （a2）3 Da18a3 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可 【解答】解：Aa3a2a
12、5，故本选项不合题意； Ba9与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C （a2）3a6，故本选项符合题意； Da18a3a15，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 4如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，那么 m 的值为（ ） A6 B3 C0 D1 【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含 x 的一次项得出 6+m0，再求出 m 即可 【解答】解： （2x+m） （x+3） 2x2+6x+mx+3m 2x2+（6+m）x+3m， （2x+
13、m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项， 6+m0， 解得：m6， 故选：A 【点评】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键 5如图，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 P 是直线 MN 上的点，下列判断错误的是（ ） AAMBM BAPBN CMAPMBP DANMBNM 【分析】根据直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，得到点 A 与点 B 对应，根据轴对称的性质即可得到结论 【解答】解：直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴， 点 A 与点 B 对应， AMBM，ANBN，ANMBNM， 点 P 时直线 MN 上的点， MAPMB
14、P， A，C，D 正确，B 错误， 故选：B 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 6要使 16x2bx+1 成为完全平方式，那么常数 b 的值是（ ） A4 B8 C4 D8 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 b 的值 【解答】解：16x2bx+1（4x）2bx+1， bx24x1， 解得 b8 故选：D 【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要 7如图，ABC 中，A40，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则BEC 的
15、大小为（ ） A40 B50 C80 D100 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EAEB，根据等腰三角形的性质得到EBAA40，根据三角形的外角性质计算即可 【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线， EAEB， EBAA40， BECEBA+A80， 故选：C 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 8 如图， AD 是等边ABC 的一条中线， 若在边 AC 上取一点 E， 使得 AEAD， 则EDC 的度数为 （ ） A30 B20 C25 D15 【分析】由等边三角形的性质可得 ADBC，CAD30，结合等腰三
16、角形的性质及三角形的内角和定理可求解ADE 的度数，进而可求解 【解答】解：ABC 为等边三角形， BAC60， AD 是等边ABC 的一条中线， ADBC，CADBAC30， AEAD， ADEAED， ADE+AED+CAD180， ADE75， EDC907515， 故选：D 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解ADE 的度数是解题的关键 9平面直角坐标系中，已知 A（2，0） ，B（0，2）若在坐标轴上取 C 点，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（ ） A4 B6 C7 D8 【分析】分为 ABAC、BCBA，CBCA 三
17、种情况画图判断即可 【解答】解：如图所示： 当 ABAC 时，符合条件的点有 3 个； 当 BABC 时，符合条件的点有 3 个； 当点 C 在 AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个 故符合条件的点 C 共有 7 个 故选：C 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键 10如图，AOB120，OP 平分AOB，且 OP2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D无数个 【分析】如图在 OA、OB 上截取 OEOFOP，作MPN60，只要证明
18、PEMPON 即可推出PMN 是等边三角形，由此即可得结论 【解答】解：如图在 OA、OB 上截取 OEOFOP，作MPN60 OP 平分AOB， EOPPOF60， OPOEOF， OPE，OPF 是等边三角形， EPOP，EPOOEPPONMPN60， EPMOPN， 在PEM 和PON 中， ， PEMPON（ASA） PMPN，MPN60， PNM 是等边三角形， 只要MPN60，PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个 故选：D 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型
19、二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 16 分）分） 11 （2 分）当 x4 时， （x4）0等于 1 【分析】根据零指数幂的定义：a01（a0） ，求解即可 【解答】解：x4， x40， （x4）01 故答案是：1 【点评】本题考查了零指数幂，掌握运算法则是解答本题的关键 12 （2 分）若等腰三角形中有一个角等于 40，则这个等腰三角形的顶角的度数为 40或 100 【分析】由等腰三角形中有一个角等于 40，可分别从若 40为顶角与若 40为底角去分析求解即可求得答案 【解答】解：等腰三角形中有一个角等于 40， 若 40为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为 40； 若
20、40为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180402100 这个等腰三角形的顶角的度数为：40或 100 故答案为：40或 100 【点评】此题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用 13 （2 分）已知 xm6，xn3，则 x2mn的值为 12 【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可 【解答】解：x2mn（xm）2xn36312 故答案为：12 【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键 14 （2 分）若 a2+b219，ab5，则 ab 3 【分析】根据完
21、全平方公式先求得（ab）2的值，然后根据平方根的概念进行计算求解 【解答】解：（ab）2a22ab+b2，且 a2+b219，ab5， （ab）2192519109， ab3， 故答案为：3 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（ab）2a22ab+b2的结构是解题关键 15 （2 分）如图，从边长为 a 的大正方形中去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 a2b2（a+b） （ab） 【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式 【解答】解：S甲（a2b2） ，S乙（a+b） （ab） 又S甲S乙
22、a2b2（a+b） （ab） 故答案为：a2b2（a+b） （ab） 【点评】本题考查的重点是平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释 16 （2 分）如图，点 P 为AOB 内任一点，E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点若AOB30，则E+F 150 【分析】连接 OP，根据轴对称的性质解答即可 【解答】解：连接 OP， E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点， EOAAOP，POBBOF， AOBAOP+POB， EOF2AOB60， E，F 分别为点 P 关于 OA，OB 的对称点， PEO
23、A，PFOB， AOB30， EPF150， E+F36060150150， 故答案为：150 【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称中对应角相等 17 （2 分）已知一张三角形纸片 ABC（如图甲） ，其中ABCC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C落到 AB 边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙） 再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF（如图丙） 原三角形纸片 ABC 中，ABC 的大小为 72 【分析】先设ABCC2，然后用含有 的式子表示A，ADE，BED，进而得到AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得 ，即可求得ABC 的大小 【解
24、答】解：设ABCC2，则A180ABCC1804， 由折叠得，BEDC2，ADEA1804， BED 是AED 的外角， BEDA+ADE， 21804+1804， 解得：36， ABC72， 故答案为：72 【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示 18 （2 分）如图，在等边ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 边的延长线上一点，CECD，DMBC于点 M下列结论正确的有 （把所有正确的序号写在横线上） BMEM 2CD3DM BM3CM 【分析】根据等边三角形的性质得到ACBABC60，求得E
25、ACB30，连接 BD，得到DBCABC6030，根据等腰三角形的性质得到 DMBC，求得 BMEM，故 B 正确；于是得到 CMCDCE，故 C 正确；故 D 错误，BM3CM，故 A 正确； 【解答】解：三角形 ABC 是等边ABC， ACBABC60， 又CECD， ECDE， 又ACBE+CDE， EACB30， DMDE，故正确， 连接 BD， 等边ABC 中，D 是 AC 的中点， DBCABC6030， DBCE30， DBDE， 又DMBC， BMEM，故正确； sin60， ，故错误， CMCDCE， ME3CM， BM3CM，故正确； 故答案为： 【点评】 本题考查了等边三
26、角形的性质， 直角三角形的性质， 熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 54 分）分） 19 （6 分）因式分解； （1）ax2+2a2x+a3； （2） （ab） （xy）（ba） （x+y） 【分析】 （1）直接提取公因式 a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接提取公因式（ab） ，进而分解因式即可 【解答】解： （1）ax2+2a2x+a3 a（x2+2ax+a2） a（x+a）2； （2） （ab） （xy）（ba） （x+y） （ab） （xy+x+y） 2x（ab） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关
27、键 20 （4 分）计解： 【分析】把原式化为（60）（60+） ，然后根据平方差公式计算即可 【解答】解：原式（60）（60+） 602（）2 3600 3599 【点评】此题考查的是平方差公式，掌握平方差公式的公式结构是解决此题关键 21 （4 分）计算：7mm4（3m2）22m2 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法计算即可 【解答】解：原式（7m59m4）2m2 7m52m29m42m2 m3m2 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法，掌握（ab）nanbn是解题的关键 22 （5 分）已知 4a2+2b210，求代数式（2a+b）2b
28、（4ab）+2 的值 【分析】先化简代数式，再根据化简结果整体代入可得答案 【解答】解：原式4a2+4ab+b24ab+b2+24a2+2b2+2 由 4a2+2b210 可得 4a2+2b21， 4a2+2b2+21+23 【点评】本题考查整式的混合运算，应用整体代入是解题关键 23 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 是第一、三象限的角平分线已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，0） ，B（5，3） ，C（6，1） （1）若ABC 与ABC关于 y 轴对称，画出ABC； （2） 若直线 l 上存在点 P， 使 AP+BP 最小， 则点 P 的坐标为 （3， 3） ，
29、 AP+BP 的最小值为 5 【分析】 （1）利用轴对称的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可； （2）作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l 于点 P，连接 PB，此时 PA+PB 的值最小，最小值为线段 AB的长 【解答】解： （1）如图，ABC即为所求； （2）如图，点 P 即为所求P（3，3） ，最小值为 5， 故答案为： （3，3） ，5 【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型 24 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，ACBC （1）画图： 作 AB 的垂直平分线，分别与
30、 AB 交于点 D，与 BC 交于点 E； （要求尺规作图，保留作图痕迹） 连接 AE； 过点 B 作 BF 垂直 AE，垂足为 F （2）求证：ACBF 【分析】 （1）利用基本作图作出 AB 的垂直平分线，然后连接 AE，过 B 点作 AE 的垂线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到 EAEB，然后证明ACEBFE，从而得到 ACBF 【解答】 （1）解：如图，DE 为所作； 如图，BF 为所作； （2）证明：ED 垂直平分 AB， EAEB， BFAE， BFE90， 在ACE 和BFE 中， ， ACEBFE（AAS） ， ACBF 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目
31、的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了线段垂直平分线的性质 25 （6 分）如图，AE 是ACD 的角平分线，B 在 DA 延长线上，AEBC，F 为 BC 中点，判断 AE 与 AF的位置关系并证明 【分析】结论：AE 与 AF 的位置关系是垂直想办法证明CAF+CAE90即可 【解答】解：结论：AE 与 AF 的位置关系是垂直 证明：AE 是ACD 的角平分线， ， AEBC， DAEB，EACACB， BACB， ABAC， 又F 为 BC 中点， ， CAB+CAD180， CAF+CAE90， AEAF 【点评】本题考查平行线
32、的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 26 （6 分）老师在黑板上写出了一道思考题：已知 a+b2，求 a2+b2的最小值 （1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用 b 表示 a，a2b； 再把 a2b 代入 a2+b2；a2+b2 （2b）2 +b2； 再进行配方得到：a2+b22（b 1 ）2+ 2 ； 根据完全平方式的非负性，就得到了 a2+b2的最小值是 2 （2）请你根据小明的方法，当 x+y10 时，求 x2+y2的最小值 【分析】 （1）根据小明的思路得到关于 b 的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；
33、 （2）根据小明的思路得到关于 x 的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值 【解答】解： （1）a+b2， a2b； 代入 a2+b2得到： a2+b2 （2b）2+b2 44b+b2+b2 2b24b+4 2（b1）2+2； 根据完全平方式的非负性，就得到了 a2+b2的最小值是 2； 故答案为： （2b）2，1，2，2； （2）x+y10， y10 x； x2+y2 x2+（10 x）2 2x220 x+100 2（x5）2+50； 根据完全平方式的非负性，就得到了 x2+y2的最小值是 50 根据小明的方法，当 x+y10 时，x2+y2的最小值是 50 【点评】本题考查了配方法的应用
34、和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 27 （6 分）在ABC 中，ABAC，A90，点 D 在线段 BC 上，EDBC，BEDE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F （1）当 C，D 两点重合时（如图 1） 直接写出EBF 22.5 ； 直接写出线段 BE 与 FD 之间的数量关系 BEDF ； （2）当 C，D 不重合时（如图 2） ，写出线段 BE 与 FD 的数量关系，并证明 【分析】 （1）作 DGAC 交 BE 的延长线于 G，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据等腰直角三角形的性质得到ABCC45，根据题意求出EDB，计算即可； （2）如图 2，过点 D
35、 作 DGCA，与 BE 的延长线相交于点 G，与 AB 相交于点 H，得到GDBC，BHDA90GHB，根据全等三角形的性质得到 BEGEGB，求得 HBHD，根据全等三角形的性质得到 GBFD，于是得到结论 【解答】解： （1）A90，ABAC， ABCACB45， EDBACB22.5， 又 BEDE， EBD9022.567.5， EBF67.54522.5， 延长 BE，CA 交于 G， EDBACB， CE 平分ACB， GCEBCE， BEDE， BECCEG90， 在BCE 与GCE 中， ， BCEGCE（ASA） ， BEEGBG， BEFBAC90，BFEAFC， ABG
36、ACF， 在ABG 与ACF 中， ， ABGACF（ASA） ， BGCF， BEDF； 故答案为：BEDF； 故答案为：22.5，BEDF； （2）结论：BEFD， 证明：如图 2，过点 D 作 DGCA，与 BE 的延长线相交于点 G，与 AB 相交于点 H， 则GDBC，BHDA90GHB， EDBCGDBEDG， 又 DEDE，DEBDEG90， DEBDEG（ASA） ， BEGEGB， A90，ABAC， ABCCGDB， HBHD， BEDBHD90，BFEDFH， EBFHDF， GBHFDH（ASA） ， GBFD， BEFD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角
37、三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键 28 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 M（0，m） ，且平行于 x 轴的直线记作直线 ym我们给出如下定义：点 P（x，y）先关于 x 轴对称得到点 P1，再将点 P1关于直线 ym 对称得到点 P，则称点 P称为点 P 关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点 （1）点 A（5，3）关于 x 轴和直线 y1 的二次反射点 A的坐标是 （5，5） ； （2）点 B（2，1）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点 B的坐标是（2，5） ，m 2 ； （3）若点 C 的坐标是（0，m） ，其中 m0，点 C 关于 x 轴和直线 ym 的
38、二次反射点是 C，求线段CC的长（用含 m 的式子表示） ； （4）如图，正方形的四个顶点坐标分别为（0，0） 、 （2，0） 、 （2，2） 、 （0，2） ，若点 P（1，4） ，Q（1，5）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点分别为 P，Q，且线段 PQ与正方形的边没有公共点，直接写出m 的取值范围 【分析】 （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出 B（2，2m1） ，则 2m15，由此可得 m 的值； （3）根据二次反射点的定义得出 C（0，m） ，则可得出答案； （4）根据二次反射点的定义得出 P（1，2m+4） ，Q（1，2m+5） ，由题意分两
39、种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案 【解答】解： （1）点 A（5，3） ， 点 A 关于 x 轴对称得到点 A1（5，3） ， 点 A1关于直线 ym 对称得到点 A（5，5） 故答案为： （5，5） （2）点 B（2，1） ， 点 B 关于 x 轴对称得到点 B1（2，1） ， 点 B1关于直线 ym 对称得到点 B（2，2m1） ， 2m15，解得 m2， 故答案为：2 （3）点 C 的坐标是（0，m） ， 点 C 关于 x 轴对称得到点 C1（0，m） ， 点 C1关于直线 ym 对称得到点 C（0，2m+m） ，即 C（0，m） ， CCmm2m （4）由题意可知，点 P（1，4） ，Q（1，5）关于 x 轴和直线 ym 的二次反射点分别为 P（1，2m+4） ，Q（1，2m+5） ， PQy 轴，PQ1，且 2m+52m+4， 线段 PQ与正方形的边没有公共点，有三种情况： 2m+42，解得 m1； ，解得2m； 2m+50，解得 m 综上，若线段 PQ与正方形的边没有公共点，则 m 的取值范围 m1 或2m或 m 【点评】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，考查了正方形的性质，轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解
