1、2021-2022 学年北京市西城区五校联考高一上期中数学试卷学年北京市西城区五校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，每题均只有一个正确答案）分，每题均只有一个正确答案） 1已知集合 Px|1x1，Qx|0 x2，那么 PQ（ ） A （1，2） B （0，1） C （1，0） D （1，2） 2下列函数中，在区间（0，+）上不是单调函数的是（ ） Ay Byx2 Cy|x1| Dyx3 3如图是函数 yf（x）的图像，f（6）的值为（ ） A3 B4 C5 D6 4函数 f（x）x3x1 的零点所在的区间是（ ） A （，1） B （1，
2、0） C （0，1） D （1，+） 5若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A Ba2b2 Ca3b3 D|a|b| 6设 a，bR，则“ （ab）a20”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 7某公司一年购买某种货物 900 吨，每次都购买 x 吨，运费为 3 万元/次，一年的总存储费用为 3x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（ ）吨 A20 B30 C40 D60 8已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，当 x0 时 f（x）2x2，则 f（x）0 的解集是（ ） A （1，0） B （0，1） C （
3、1，1） D （，1）（1，+） 9已知函数 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（ ） A4，0） B4，2） C4，+） D （，2） 10已知集合 MxN|1x15，集合 A1，A2，A3满足： 每个集合都恰有 5 个元素； A1A2A3M集合 Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai的特征数，记为 Xi（i1，2，3） ，则 X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ） A56 B72 C87 D96 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11函数 y的定义域是 12求值： （4）（）（3）0 13已知函数 f（x），则 f（f（2）
4、） ；若 f（x）2，则 x 14若关于 x 的一元二次方程 x22ax+40 有两个实根，且一个实根小于 1，另一个实根大于 2，则实数 a的取值范围是 15已知函数 f（x），下面有四个结论： 当 a1 时，f（x）在（，1）上单调递减； 若函数 f（x）恰有 2 个零点，则 a 的取值范围是（2，+） ； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围是（2，2） ； 若方程 f（x）b 有三个实数根 x1，x2，x3， 其中 x1x2x3，则不存在实数 a，使得 x1+x22 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答时写出文字说明，演算
5、步骤或证明过程）分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16 （14 分）设 UR，已知集合 Ax|2x5，Bx|m+1x2m1 （）当 m4 时，求U（AB） ； （）若 B，且 BA，求实数 m 的取值范围 17 （14 分）设 f（x）x22mx+1 （）当 m2 时，求 f（x）0 的解集； （）求函数 f（x）的零点 18 （14 分）已知函数 f（x） （）判断函数 f（x）是否具有奇偶性？并说明理由； （）试用函数单调性的定义证明：f（x）在（1，+）上是增函数； （）求函数 f（x）在区间1，4上的值域 19 （14 分）已知函数 f（x）x2+2ax+1a （）若函数
6、f（x）在区间0，3上是单调函数，求实数 a 的取值范围； （）若 f（x）在区间0，1上有最大值 3，求实数 a 的值 20 （14 分） 已知函数 f （x） 在 （1， 1） 上有意义， 且对任意 x， y （1， 1） 满足 f （x） +f （y） f （） （）求 f（0）的值，判断 f（x）的奇偶性并证明你的结论； （）若 x（1，0）时，f（x）0，判断 f（x）在（1，1）的单调性，并说明理由； （）在（）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答： （如果两问都做，按得分计入总分） 若 f（）1，请问是否存在实数 a，使得 f（x）+f（a）10 恒成立，若存在，给出实数 a
7、 的一个取值；若不存在，请说明理由； 记 maxa，b表示 a，b 两数中的较大值，若对于任意 x（1，1） ，max|f（x）|，x2+m|x|+0，求实数 m 的取值范围 21 （15 分）如果函数 f（x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得对于定义域内任意 x，都有 f（x+a）f（x）成立，则称此函数 f（x）具有“性质 P（a） ” （）若函数 f（x）x22x 具有“P（a）性质” ，求实数 a 的值； （）已知函数 f（x）具有“P（0）性质” ，且当 x0 时，f（x）（xm）2，若方程 f（x）在区间2，2上恰有四个实数根，求实数 m 的取值范围； （）已知 f（x）|x
8、m2|m2 （）若函数 f（x）具有“性质 P（2） ” ，求实数 m 的值； （）若定义域为 R 的函数 g（x）具有“P（0）性质” ，且当 x0 时，g（x）f（x） ，请问是否存在实数 m，使得对于任意 x（1，+） ，g（x+2）g（x） 若存在，直接写出实数 m 的取值范围；若不存在，直接写不存在实数 m （不需说明理由） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分，每题均只有一个正确答案）分，每题均只有一个正确答案） 1已知集合 Px|1x1，Qx|0 x2，那么 PQ（ ） A （1，2） B （0，1） C （1，0） D （1
9、，2） 【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可 【解答】解：集合 Px|1x1，Qx|0 x2， 那么 PQx|1x2（1，2） 故选：A 【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力 2下列函数中，在区间（0，+）上不是单调函数的是（ ） Ay Byx2 Cy|x1| Dyx3 【分析】根据初等函数的单调性对选项进行逐一判断即可 【解答】解：对于 A，y在（0，+）单调递增，故 A 错误； 对于 B，yx2在（0，+）单调递增，故 B 错误； 对于 C，y|x1|在（1，+）单调递增，在（，1）单调递减，故 C 正确； 对于 D，yx3在 R 上单调递增，故 D 错误； 故选
10、：C 【点评】本题考查了初等函数的单调性，属于基础题 3如图是函数 yf（x）的图像，f（6）的值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据题意，由函数的图象，f（x）的图象为两端折线，结合 f（3） 、f（6）的值构造方程，解可得答案 【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的图象为两端折线， 在区间3，9上，有 f（3）6，f（9）0， 则有，解可得 f（6）3； 故选：A 【点评】本题考查函数的图象，涉及函数值的计算，属于基础题 4函数 f（x）x3x1 的零点所在的区间是（ ） A （，1） B （1，0） C （0，1） D （1，+） 【分析】判断函数的连续性，由零点判定定
11、理判断求解即可 【解答】解：函数 f（x）x3x1 是连续函数， f（1）1+1110， f（0）0010 f（1）1110 x2 时，f（2）82150， f（1）f（2）0， 由零点判定定理可知函数的零点在（1，2） 因为（1，2）（1，+） ，函数 f（x）x3x1 的零点所在的区间是（1，+） ， 故选：D 【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题 5若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A Ba2b2 Ca3b3 D|a|b| 【分析】直接利用不等式的性质和作差法的应用判断 A、B、C、D 的结论 【解答】解：对于 A：当 a0，b1 时，无意义，故 A 错误； 对
12、于 B：当 a2，b1 时，选项 B 错误； 对于 C：由于 ab，故 C 正确； 对于 D：当 a2，b3 时，选项 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 6设 a，bR，则“ （ab）a20”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解：由（ab）a20，得 ab0，即 ab，由 ab，得 ab0，则（ab）a20， “ （ab）a20”是“ab”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查充分必
13、要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题 7某公司一年购买某种货物 900 吨，每次都购买 x 吨，运费为 3 万元/次，一年的总存储费用为 3x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（ ）吨 A20 B30 C40 D60 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解 【解答】解：由题意可知，一年总运费为， 故一年的总运费与总存储费用之和为， 当且仅当，即 x30 时，等号成立， 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 30 吨 故选：B 【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题 8已知函数 f（x）是 R 上的
14、偶函数，当 x0 时 f（x）2x2，则 f（x）0 的解集是（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，1） D （，1）（1，+） 【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得当 x0 时 f（x）0 的解集为0，1）结合函数的奇偶性可得当 x0 时，f（x）0 的解集，综合 2 种情况即可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时 f（x）2x2，此时 f（x）0 即 2x20， 解可得：0 x1， 即当 x0 时 f（x）0 的解集为0，1） ， 又由函数 f（x）是 R 上的偶函数，则当 x0 时，f（x）0 的解集为（1，0） ； 综合可得：f（x）0 的解集是（1，1） ； 故
15、选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题 9已知函数 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（ ） A4，0） B4，2） C4，+） D （，2） 【分析】根据分段函数的单调性的求法列出不等式求解即可 【解答】解：由题意可得， 解得4a2， 故选：B 【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于基础题 10已知集合 MxN|1x15，集合 A1，A2，A3满足： 每个集合都恰有 5 个元素； A1A2A3M集合 Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai的特征数，记为 Xi（i1，2，3） ，则 X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ） A
16、56 B72 C87 D96 【分析】根据已知拆分集合，把集合 M 分类拆分，进而求出 X1+X2+X3的最大值与最小值的和 【解答】解：由题意集合 MxN*|1x151，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， 当 A11，4，5，6，7，A23，12，13，14，15，A32，8，9，10，11， X1+X2+X3取得最小值：X1+X2+X38+18+1339， 当 A11，4，5，6，15，A22，7，8，9，14，A33，10，11，12，13时， X1+X2+X316+16+1648， 当 A11，2，3，4，15，A25，6，7，8，14，A39，10，
17、11，12，13时， X1+X2+X3取得最大值：X1+X2+X316+19+2257， 所以 X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+5796， 故选：D 【点评】本题考查了集合的组合，拆分，自定义概念，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11函数 y的定义域是 1，0）（0，+） 【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域 【解答】解：要使函数有意义，须， 解得 x1 且 x0 函数的定义域是1，0）（0，+） 故答案为1，0）（0，+） 【点评】此题是个
18、基础题考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等 12求值： （4）（）（3）0 2 【分析】利用指数的性质、运算法则直接求解 【解答】解： （4）（）（3）0 1 2 故答案为：2 【点评】本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 13已知函数 f（x），则 f（f（2） ） 4 ；若 f（x）2，则 x 2 【分析】先求出 f（2） ，再求解 f（f（2） ） ，分类讨论，由 f（x）2，列出方程求解即可 【解答】解：函数 f（x）， 所以 f（2）422， 则 f（f（2） ）
19、f（2）4； 当 x2 时，f（x）x222，解得 x2； 当 x2 时，f（x）2x2，解得 x1（舍） 综上所述，x2 故答案为：4；2 【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题 14若关于 x 的一元二次方程 x22ax+40 有两个实根，且一个实根小于 1，另一个实根大于 2，则实数 a的取值范围是 （，+） 【分析】由题意可得，即，解得即可求出 a 的范围 【解答】解：设 f（x）x22ax+4， 由题意可得，即，解得 a， 故实数 a 的取值范围为（，+） 故答案为： （，+） 【点评】本题考查二次方
20、程的实根的分布，注意结合二次函数的图象，考查运算能力，属于基础题 15已知函数 f（x），下面有四个结论： 当 a1 时，f（x）在（，1）上单调递减； 若函数 f（x）恰有 2 个零点，则 a 的取值范围是（2，+） ； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围是（2，2） ； 若方程 f（x）b 有三个实数根 x1，x2，x3， 其中 x1x2x3，则不存在实数 a，使得 x1+x22 其中所有正确结论的序号是 【分析】结合二次函数的单调性判断即可；将函数 f（x）恰有 2 个零点，转化为 f（x）x2+ax+1在（，0上有两个零点，进而根据二次函数的零点问题即可判断；求出分段函数在各
21、段的值域，分析即可求出结果；结合二次函数的对称性以及不等式的性质即可判断 【解答】解：当 a1 时，f（x），因为函数 f（x）x2+x+1 的对称为 x，且开口向上，所以 f（x）在（，）上单调递减，故正确； 因为 x0 时，f（x），故 f（x）在（0，+）无零点，因此若函数 f（x）恰有 2 个零点，即 f（x）x2+ax+1 在（，0上有两个零点，因此，即 a2，则 a 的取值范围是（2，+） ，故正确； 因为 x0 时，f（x）0，故 f（x）在（0，+）上的值域为（0，+） ，若函数 f（x）无最小值，则需满足 f（x）x2+ax+1 在（，0上的最小值大于 0， 若，即 a0，此
22、时 f（x）x2+ax+1 在（，0上单调递减，所以 f（x）minf（0）10，符合题意； 若0，即 a0，此时 f（x）x2+ax+1 在（，上单调递减，在（上单调递增， 所以 f（x）minf（），解得2a2，因此 0a2，综上所述 a 的取值范围是（，2） ，故错误； 假设存在方程 f（x）b 有三个实数根 x1，x2，x3，其中 x1x2x3，则有， 则 x1+x2a（a+），当且仅当 a时，等号成立， 而，即 x1+x22， 则不存在实数 a，使得 x1+x22 成立，故正确 故答案为： 【点评】 二次函数、 二次方程与二次不等式统称 “三个二次” ， 它们常结合在一起， 有关二次
23、函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16 （14 分）设 UR，已知集合 Ax|2x5，Bx|m+1x2m1 （）当 m4 时，求U（AB） ； （）若 B，且 BA，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）根据 m 的值求出集合 B，再求出集合 A，B 的并集，进而可以求解； （）根据已知建立不等式关系，求解即可 【解答】解（I）当 m4 时，集合 B5，7，
24、所以 AB2，7， 所以U（AB）（，2）（7，+） ； （）因为 B，且 BA， 所以一定有，解得 2m3， 所以实数 m 的取值范围为2，3 【点评】 本题考查了集合的运算关系以及集合间的包含关系， 考查了学生的运算求解能力， 属于基础题 17 （14 分）设 f（x）x22mx+1 （）当 m2 时，求 f（x）0 的解集； （）求函数 f（x）的零点 【分析】 （I）当 m2 时，f（x）x24x+1，先解方程 x24x+10，再由方程与不等式的关系直接写出不等式的解集即可； （）函数 f（x）的零点可转化为方程 f（x）x22mx+10 的解，根据判别式分类讨论方程的解的情况即可 【
25、解答】解： （I）当 m2 时，f（x）x24x+1， 方程 f（x）x24x+10 的解为 2，2+， f（x）0 的解集为（，2）（2+，+） ； （）函数 f（x）的零点即方程 f（x）x22mx+10 的解， 当4m240，即 m1 时， 方程 x22mx+10 的解为 m， 即函数 f（x）的零点为 m； 当4m240，即1m1 时， 方程 x22mx+10 无解， 即函数 f（x）无零点； 当4m240，即 m1 或 m1 时， 方程 x22mx+10 的解为 m， 即函数 f（x）的零点为 m 【点评】 本题考查了二次函数与二次不等式之间的关系应用， 利用了分类讨论及转化思想，
26、属于中档题 18 （14 分）已知函数 f（x） （）判断函数 f（x）是否具有奇偶性？并说明理由； （）试用函数单调性的定义证明：f（x）在（1，+）上是增函数； （）求函数 f（x）在区间1，4上的值域 【分析】 （I）先求出函数定义域：x|x1不关于原点对称，即可判断； （）任取 x1，x2（1，+） ，且 x1x2，然后利用作差法比较 f（x1）与 f（x2）的大小即可判断； （III）由（）知中 f（x）在1，4单调递增，即可求解函数的最值，进而可求函数值域 【解答】解： （I）函数 f（x）不具有奇偶性，理由如下： 定义域：x|x1，因为定义域不关于原点对称， （或者因为 f（2）
27、，f（2）7，所以 f（2）f（2） ，且 f（2）f（2） ）所以函数 f（x）不具有奇偶性； （）证明：f（x）2， 任取 x1，x2（1，+） ，且 x1x2 f（x1）f（x2）（2）（2） ， 又由1x1x2，则 x1x20，x1+10，x2+10， 故 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， 所以 f（x）在（1，+）是增函数； （III）由（）知，f（x）在1，4单调递增， 所以 f（x）minf（1），f（x）maxf（4）1， 故 f（x）在1，4上的值域是，1 【点评】本题主要考查了函数奇偶性，单调性的判断及利用单调性求解函数的值域，属于中档题 19 （14
28、分）已知函数 f（x）x2+2ax+1a （）若函数 f（x）在区间0，3上是单调函数，求实数 a 的取值范围； （）若 f（x）在区间0，1上有最大值 3，求实数 a 的值 【分析】 （）根据题意，分析 f（x）的对称轴和开口方向，结合二次函数的图象可得关于 a 的不等式，解可得答案； （）根据题意，结合二次函数的性质，分 3 种情况讨论，求出 a 的值，即可得答案 【解答】解： （I）根据题意，函数 f（x）x2+2ax+1a函数 f（x）为二次函数，且其开口向下，对称轴为 xa， 因为函数 f（x）在区间0，3上是单调函数， 所以函数 f（x）在区间0，3上是增函数或减函数， 所以 a0
29、 或 a3 （）f（x）对称轴为 xa， 当 a0 时，函数 f（x）在区间0，1上是减函数， 则 f（x）maxf（0）1a3，即 a2； 当 0a1 时，函数 f（x）在区间0，a上是增函数，在区间a，1上是减函数， 则 f（x）maxf（a）a2a+13，解得 a2 或1，不符合题意； 当 a1 时，函数 f（x）在区间0，1上是增函数， 则 f（x）maxf（1）1+2a+1a3，解得 a3； 综上所述，a2 或 a3 【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最值分析，属于基础题 20 （14 分） 已知函数 f （x） 在 （1， 1） 上有意义， 且对任意 x， y （1
30、， 1） 满足 f （x） +f （y） f （） （）求 f（0）的值，判断 f（x）的奇偶性并证明你的结论； （）若 x（1，0）时，f（x）0，判断 f（x）在（1，1）的单调性，并说明理由； （）在（）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答： （如果两问都做，按得分计入总分） 若 f（）1，请问是否存在实数 a，使得 f（x）+f（a）10 恒成立，若存在，给出实数 a 的一个取值；若不存在，请说明理由； 记 maxa，b表示 a，b 两数中的较大值，若对于任意 x（1，1） ，max|f（x）|，x2+m|x|+0，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）由恒等式，利用赋值法，令 x
31、y0 求出 f（0） ，令 yx，结合奇函数的定义，即可得到答案； （）利用恒等式以及函数单调性的定义，判断并证明函数的单调性即可； （）若选：利用 f（x）的奇偶性以及单调性，将问题转化为不等式（2a）x+2a10 对于x（1，1）恒成立，列出关于 a 的不等式组，求解即可； 若选：利用 f（x）的奇偶性以及单调性，将问题转化为不等式 x2+m|x|+0 对于x（1，1）恒成立，令 t|x|，t0，1） ，则 t2+mt+0 对于 t0，1）恒成立，分 t0 和 t（0，1）两种情况，分别求解 m 的取值范围，即可得到答案 【解答】解： （）f（x）为奇函数，证明如下： 令 xy0，则 f（
32、0）+f（0）f（0） ，解得 f（0）0， 令 yx， 则 f（x）+f（x）f（）f（0）0， 则 f（x）f（x） ， 又因为 f（x）定义域为（1，1） ，关于原点对称， 所以 f（x）为奇函数 （）f（x）在（1，1）上是单调递减函数理由如下： 设任意 x1，x2（1，1） ，x1x2， 令 xx1，yx2， 则 f（x1）+f（x2）f（） ， 即 f（x1）f（x2）f（） ， 因为 x1，x2（1，1） ，x1x2， 所以 x2x10，1x1x20， 所以（1x1x2）（x2x1）（1+x1） （1x2）0， 所以10， 因为 x（1，0）时，f（x）0， 所以 f（）0， 故
33、 f（x1）f（x2）0， 所以 f（x1）f（x2） ， 所以 f（x）在（1，1）上为单调递减函数 （）若选： 由（）可知，f（x）在（1，1）上是单调递减函数，且 f（）1， 所以 f（）1，a（1，1） ， 因为 f（x）+f（a）10， 所以 f（）f（） ， 则，即 2（x+a）1+ax， 所以不等式（2a）x+2a10 对于x（1，1）恒成立， 故，解得 a1， 又因为 a（1，1） ， 故 a 无解， 所以不存在实数 a 使得 f（x）+f（a）10 恒成立 若选： 由题意，max|f（x）|，x2+m|x|+0 对于x（1，1）恒成立， 由（II）可知，f（x）在（1，1）上
34、是单调递减函数，且 f（0）0， 所以|f（x）|min0，所以|f（x）|max0， 所以 x2+m|x|+0 对于x（1，1）恒成立， 令 t|x|，t0，1） ， 所以 t2+mt+0 对于 t0，1）恒成立， 若 t0，0 恒成立，符合题意，所以 mR； 若 t0，m（t+）对于 t（0，1）恒成立， 因为 t+21，当且仅当 t时等号成立， 所以（t+）1，解得 m1 综上所述，实数 m 的取值范围为1，+） 【点评】本题考查了抽象函数的理解与应用，奇函数的定义以及函数单调性定义的理解与应用，函数奇偶性与单调性定义的理解与应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：
35、参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题 21 （15 分）如果函数 f（x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得对于定义域内任意 x，都有 f（x+a）f（x）成立，则称此函数 f（x）具有“性质 P（a） ” （）若函数 f（x）x22x 具有“P（a）性质” ，求实数 a 的值； （）已知函数 f（x）具有“P（0）性质” ，且当 x0 时，f（x）（xm）2，若方程 f（x）在区间2，2上恰有四个实数根，求实数 m 的取值范围； （）已知 f（x）|xm2|m2 （）若函数 f（x）具有“性质 P（2） ” ，求实数 m 的值； （）若定义域为 R 的函数 g（x）具有“P（0
36、）性质” ，且当 x0 时，g（x）f（x） ，请问是否存在实数 m，使得对于任意 x（1，+） ，g（x+2）g（x） 若存在，直接写出实数 m 的取值范围；若不存在，直接写不存在实数 m （不需说明理由） 【分析】 （）由题意得到关于 a 的方程组，求解方程组即可确定实数 a 的值； （）由题意分类讨论 m0 和 m0 两种情况确定实数 m 的取值范围即可； （） （i）由题意得到关于 m 的方程，解方程确定 m 的值即可； （ii）直接写出 m 的取值范围即可 【解答】解： （I）因为 f（x）x22x 具有“P（a）性质” ， 所以（x+a）22（x+a）（x）2+2x 恒成立， 整理
37、得， （2a4）x+a22a0， 因为等式恒成立，所以，解得 a2； （）因为函数 yf（x）具有“P（0）性质” ， 所以 f（x）f（x）恒成立，yf（x）是偶函数 当 m0 时，函数 f（x）在（，0上单调递减，在0，+）上单调递增， 所以方程 f（x）在区间2，2上至多有两个实数根，不符合题意； 当 m0 时，函数 f（x）在（，m上单调递减，在m，0上单调递增， 又方程 f（x）在区间2，2上恰有四个实根， 所以 f（x）在区间2，0）上恰有两个实根， 所以，所以m0； 综上，实数 m 的取值范围为m|m0 （III） （i）因为函数 f（x）具有“性质 P（2） ” ， 所以 f（x+2）f（x）恒成立，即|x+2m2|m2|xm2|m2，|x+2m2|xm2|， 两边平方后整理得： （4m24）x+4m240， （4m24） （x+1）0， 所以 4m240，即 m1； （ii）m|1m1 【点评】本题主要考查函数中的新定义及其应用，函数单调性的应用，函数零点的应用等知识，属于中等题
