1、2021-2022 学年北京市西城区四校联考高一上期中数学试卷学年北京市西城区四校联考高一上期中数学试卷 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 1设集合 M0，1，2，3，NxN|0 x2，则 MN 中元素的个数为（ ） A0 B2 C3 D4 2已知命题 p： “xR，|x2|3” ，那么p 是（ ） AxR，|x2|3 BxR，|x2|3 CxR，|x2|3 DxR，|x2|3 3方程组的解集是（ ） A（1，1） ， （1，1） B（1，1） ， （2，2） C（1，1） ， （2，2） D（2，2） ， （2，2） 4下列四组函数中
2、，表示同一函数的是（ ） Af（x），g（x）（）2 Bf（x），g（x） Cf（x），g（x）x+1 Df（x），g（x） 5下面结论正确的是（ ） A若 ab，则有 B若 ab，则有 a|c|b|c| C若 a|b|，则有 ab D若 ab，则有1 6设偶函数 f（x）的定义域为 R，当 x0，+）时，f（x）是增函数，则 f（2） ，f（） ，f（3）的大小关系是（ ） Af（）f（3）f（2） Bf（）f（2）f（3） Cf（）f（3）f（2） Df（）f（2）f（3） 7 “函数 yf（x）是 R 上的奇函数”是“函数 yf（x）图象过原点”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充
3、分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8函数 f（x）的零点个数是（ ） A0 B1 C2 D3 9已知 f（x）（x1） （ax+b）是偶函数，且其定义域为2a3，a，则 a+b（ ） A2 B4 C6 D8 10再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同， 甲、 乙的阅读量之和大于丙、 丁的阅读量之和 丁的阅读量大于乙、 丙的阅读量之和 那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为（ ） A甲、丁、乙、丙 B丁、甲、乙、丙 C丁、乙、丙、甲 D乙、甲、丁、丙 二、填空共二、填空共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
4、，共 40 分分 11函数 y+的定义域为 12函数 f（x），则 ff（2） ；若 f（x）10，则 x 13设 x1，x2是方程 2x25x10 的两个根，则 x12+x22 14函数 yx+（x1）的最小值是 ；此时 x 15已知全集 UR，集合 Ax|x（x2）0，Bx|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是 16函数 yf（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，函数 f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成 （如图所示） 当x1， 3时， y的取值范围是 ； 函数yf （x）（xR） 的单调递增区间是 17能够说明“若 f（x）0 对任意的 x（0，2都成立，则函数 f（x
5、）在（0，2是减函数”为假命题的一个函数是 （答案不唯一） 18李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 元； 在促销活动中， 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则 x 的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，共小题，共 70 分分 19 （10 分）设全集为
6、 R，集合 Ax|x2+3x40，xR，Bx|x2x60，xR求： （1）AB； （2）ARB 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+2k0 （1）若方程有实数根，求实数 k 的取值范围； （2）如果 k 是满足（1）的最大整数，且方程 x24x+2k0 的根是一元二次方程 x22mx+3m10 的一个根，求 m 的值及这个方程的另一个根 21 （10 分）已知函数 f（x）x （）判断函数的奇偶性，并证明； （）用单调性定义证明：函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （）求函数 f（x）x，x4，1的值域 （只需直接写出结果） 22 （12 分）解下列关于 x 的不等式
7、 （）|12x|3； （）1； （）x2（3a+1）x+2a（a+1）0 23 （15 分）已知函数 f（x）x2+2ax （）当 a1 时，求函数 f（x）在0，1上的最大值和最小值； （）若 yf（x）在区间2，9上不单调，求实数 a 的取值范围； （）函数 f（x）x2+2ax 在区间1，3的最小值为 g（a） ，求 g（a） 24 （13 分）设函数 f（x）的定义域为 R，如果存在函数 g（x） ，使得 f（x）g（x）对于一切实数 x 都成立，那么称 g（x）为函数 f（x）的一个承托函数已知函数 f（x）ax2+bx+c 的图象经过点（1，0） （1）若 a1，b2写出函数 f（
8、x）的一个承托函数（结论不要求证明） ； （2）判断是否存在常数 a，b，c，使得 yx 为函数 f（x）的一个承托函数，且 f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出 a，b，c 的值；若不存在，说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 1设集合 M0，1，2，3，NxN|0 x2，则 MN 中元素的个数为（ ） A0 B2 C3 D4 【分析】求出集合 N，进而求出 MN，由此能求出 MN 中元素的个数 【解答】解：集合 M0，1，2，3，NxN|0 x20，1， MN0，1， MN 中元素的个数为 2
9、故选：B 【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2已知命题 p： “xR，|x2|3” ，那么p 是（ ） AxR，|x2|3 BxR，|x2|3 CxR，|x2|3 DxR，|x2|3 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【解答】解：命题 p 为全称命题， 根据全称命题的否定是特称命题得： p：xR，|x2|3 故选：D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题比较基础 3方程组的解集是（ ） A（1，1） ， （1，1） B（1，1） ， （2，2） C（1，
10、1） ， （2，2） D（2，2） ， （2，2） 【分析】解原方程组得出 x，y 的值，然后写出原方程组的解集即可 【解答】解：解得，或， 原方程组的解集为：（1，1） ， （2，2） 故选：C 【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题 4下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） Af（x），g（x）（）2 Bf（x），g（x） Cf（x），g（x）x+1 Df（x），g（x） 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可 【解答】解：A：f（x）|x|（xR） ，g（x）x， （x0） ，函数定义域不同，对应关系不同，不是同一函数， B：f（x）
11、定义域为1，+） ，g（x）定义域为（，11，+） ，函数定义域不同，不是同一函数， C：f（x）x+1（x1） ，g（x）x+1（xR）定义域不同，不是同一函数， D：f（x）的定义域为1，1，g（x）的定义域为1，1，函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数， 故选：D 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题 5下面结论正确的是（ ） A若 ab，则有 B若 ab，则有 a|c|b|c| C若 a|b|，则有 ab D若 ab，则有1 【分析】利用特例以及反例，结合不等式的性质判断选项的正误即可 【解答】解：若 ab，则有，不正确，反例 a2，b1，所以 A 不正确
12、； 若 ab，如果 c0，有 a|c|b|c|，所以 B 不正确； 若 a|b|，则有 ab，C 正确； 若 ab，则有1，不正确，反例 a1，b1，结论不成立，所以 D 不正确 故选：C 【点评】本题考查不等式的简单性质的应用，是基础题 6设偶函数 f（x）的定义域为 R，当 x0，+）时，f（x）是增函数，则 f（2） ，f（） ，f（3）的大小关系是（ ） Af（）f（3）f（2） Bf（）f（2）f（3） Cf（）f（3）f（2） Df（）f（2）f（3） 【分析】由偶函数的性质，知若 x0，+）时 f（x）是增函数则 x（，0）时 f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越
13、小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量2，3， 的绝对值大小的问题 【解答】解：由偶函数与单调性的关系知，若 x0，+）时 f（x）是增函数则 x（，0）时 f（x）是减函数， 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， |2|3| f（）f（3）f（2） 故选：A 【点评】本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧 7 “函数 yf（x）是 R 上的奇函数”是“函数 yf（x）图象过原点”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条
14、件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用奇函数的定义判断充分条件成立，举特例 f（x）x2说明必要条件不成立，从而得出答案 【解答】解：若函数 f（x）是 R 上的奇函数，则 f（0）0，即函数 f（x）的图象过原点； 反之不成立，取函数 f（x）x2，则函数 f（x）的图象过原点，但函数 f（x）不是 R 上的奇函数， 因此， “函数 yf（x）是 R 上的奇函数”是“函数 yf（x）图象过原点”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判断，理解函数奇偶性的定义以及图象的特征，是解本题的关键，属于基础题 8函数 f（x）的零点个数是（ ） A0 B1 C2
15、 D3 【分析】根据零点的定义，结合图象即可得答案 【解答】解：当 x1 时，f（x），图象与 x 轴没有交点，即没有零点； 当 x1 时，f（x）x2+2，根据二次函数的图象及性质，可知图象与 x 轴有一个交点，即有一个零点； 所以 f（x）的零点个数是 1 故选：B 【点评】本题考查函数的零点个数问题的解法，注意函数图象的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题 9已知 f（x）（x1） （ax+b）是偶函数，且其定义域为2a3，a，则 a+b（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】根据偶函数的对称性，分别进行求解即可 【解答】解：函数 f（x）是偶函数，定义域关于原点对称， 则 2a3+
16、a0，得 a1， 则 f（x）（x1） （x+b） ， 则函数 f（x）的零点 1，b 关于原点对称，则b1， 得 b1， 则 a+b1+12， 故选：A 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合偶函数的定义域关于原点对称，以及零点的对称性是解决本题的关键比较基础 10再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同， 甲、 乙的阅读量之和大于丙、 丁的阅读量之和 丁的阅读量大于乙、 丙的阅读量之和 那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为（ ） A甲、丁、乙、丙 B丁、甲、乙、丙 C丁、乙、丙、甲 D乙、甲、丁、丙 【分析】设甲、乙、
17、丙、丁四名同学的阅读量分别为 a，b，c，d，根据题意得：，由此能求出这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列 【解答】解：设甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量分别为 a，b，c，d， 根据题意得：， 解得 adbc 这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙 故选：A 【点评】本题考查四名同学按阅读量从大到小的顺序排列的求法，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 二、填空共二、填空共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 11函数 y+的定义域为 x|x1，且 x0 【分析】要求函数的定义域，就是求使函数有意义的 x 的取值范围，因为
18、函数解析式中有分式，所以分母不等于 0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于 0，最后两个范围求交集即可 【解答】解：要使函数有意义，需满足 解不等式组，得 x1，且 x0 函数的定义域为x|x1，且 x0 故答案为x|x1，且 x0 【点评】本题主要考查已知函数解析式求定义域，关键是判断函数解析式何时成立 12函数 f（x），则 ff（2） 17 ；若 f（x）10，则 x 3 或5 【分析】根据表达式分别求出 f（2） ，ff（2）；分 x0，x0 两种情况可把方程表示出来，然后可求； 【解答】解：f（2）2（2）4，f（4）42+117，则 ff（2）f（4）17； 当 x0 时，f（
19、x）10 即2x10，解得 x5； 当 x0 时，f（x）10 即 x2+110，解得 x3； 故 x5 或 3， 故答案为：17、3 或5； 【点评】本题考查分段函数求值问题，属基础题，解决关键是“对号入座” 13设 x1，x2是方程 2x25x10 的两个根，则 x12+x22 【分析】利用韦达定理得到关系式，然后转化求解即可 【解答】解：x1，x2是方程 2x25x10 的两个根， x1+x2，x1x2， x12+x22（x1+x2）22x1x2+1 故答案为： 【点评】本题考查二次函数的性质的应用，韦达定理的应用，考查计算能力 14函数 yx+（x1）的最小值是 5 ；此时 x 3 【
20、分析】基本不等式的应用条件是一正，二定，三相等而题目需要构造 x1，从而形成乘积是定值就可以利用基本不等式解决问题了 【解答】解：yx1+1，当且仅当（x1）24 时取“” 此时 x3 故答案为 5，3 【点评】本题考查了基本不等式的适用范围，属于基础题 15已知全集 UR，集合 Ax|x（x2）0，Bx|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是 （，0） 【分析】先求出集合 A，然后根据集合的包含关系即可求解 【解答】解：因为集合 Ax|x（x2）0 x|0 x2， 又 AB，则 a0， 故答案为： （，0） 【点评】本题考查了集合的包含关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题 16函数
21、yf（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，函数 f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示） 当 x1，3时，y 的取值范围是 2，2 ；函数 yf（x） （xR）的单调递增区间是 3，1，0，1，3，+） 【分析】根据偶函数的性质，利用对称性进行求解即可 【 解 答 】 解 ： f （ x ） 是 偶 函 数 ， 函 数 图 象 关 于y轴 对 称 ， 当 x1，0时，1f（x）2， 当 x0，3时，2f（x）2，综上当 x1，3时，2f（x）2，即 f（x）的取值范围是2，2， 由图象知函数关于 x1 和 x1 对称， 则函数的单调递增区间为3，1，0，1，3，+） 故答
22、案为：2，2，3，1，0，1，3，+） 【点评】本题主要考查函数单调性的求解，利用偶函数的对称性是解决本题的关键，是中档题 17能够说明“若 f（x）0 对任意的 x（0，2都成立，则函数 f（x）在（0，2是减函数”为假命题的一个函数是 f（x） （答案不唯一） 【分析】举例说明满足条件的函数即可 【解答】解：举例说明“若 f（x）0 对任意的 x（0，2都成立，则函数 f（x）在（0，2是减函数”为假命题的一个函数是 f（x） 只要符合条件的函数即可，所以答案不唯一 故答案为：f（x） 【点评】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了推理判断能力，是基础题 18李明自主创业，在网上经营一家
23、水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 130 元； 在促销活动中， 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则 x 的最大值为 15 【分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去 x，可得所求值； 在促销活动中，设订单总金额为 m 元，可得（mx）80%m70%，解不等式，结合恒成立思想，可得 x 的
24、最大值 【解答】解：当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，可得 60+80140（元） ， 即有顾客需要支付 14010130（元） ； 在促销活动中，设订单总金额为 m 元， 可得（mx）80%m70%， 即有 x恒成立， 若 m120，可得到支付款为 80%m； 当 m120， 可得 x15， 则 x 的最大值为 15 元 故答案为：130，15 【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，共小题，共 70 分分 19 （10 分）设全集为 R，集合 Ax|x2+3x40，xR，Bx|x2x60，xR求： （1）
25、AB； （2）ARB 【分析】 （1）先通过解二次不等式化简集合 A，B，利用集合的交集的定义求出 AB； （2）利用补集的定义求出RB，再利用并集的定义求出 ARB 【解答】解：Ax|x2+3x40，xRx|x1 或 x4； Bx|x2x60，xRx|2x3 （1）所以 ABx|1x3 （2）RBx|x2 或 x3 所以 A（RB）x|x2 或 x1 【点评】本题考查二次不等式的解法、交集、补集、并集的定义，属于基础题 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+2k0 （1）若方程有实数根，求实数 k 的取值范围； （2）如果 k 是满足（1）的最大整数，且方程 x24x+2
26、k0 的根是一元二次方程 x22mx+3m10 的一个根，求 m 的值及这个方程的另一个根 【分析】 （1）由题意0，构建不等式即可解决问题； （2）先求出第一个方程的根，再求出 m 的值即可解决问题； 【解答】解： （1）由题意0， 168k0， k2 （2）由题意 k2，方程 x24x+2k0 的根，x1x22， 方程 x22mx+3m10 的一个根为 2， 44m+3m10， m3， 方程为 x26x+80， x2 或 4， 方程 x22mx+3m10 的另一个根为 4 【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
27、 21 （10 分）已知函数 f（x）x （）判断函数的奇偶性，并证明； （）用单调性定义证明：函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （）求函数 f（x）x，x4，1的值域 （只需直接写出结果） 【分析】 （）利用奇函数的定义即可证明； （）利用单调性的定义即可证明； （）根据单调性可以直接写出值域 【解答】解： （）f（x）为奇函数，由题意可知 x0， f（x）x（x）f（x） ， 故函数 f（x）为奇函数； （）令 0 x1x2，x1x20， f（x1）f（x2）x1x2+（x1x2） （1+）0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （）值域为3，3 【点评】本题考查了函数单调性和
28、奇偶性的定义，学生的逻辑思维能力，属于基础题 22 （12 分）解下列关于 x 的不等式 （）|12x|3； （）1； （）x2（3a+1）x+2a（a+1）0 【分析】 （）原式等价于312x3，然后解出不等式即可； （）移项、通分再解分式不等式即可；（）先分解因式，再分两根的大小讨论，求出不等式的解集 【解答】解： （）|12x|3|2x1|332x13，解得1x2， 所以不等式的解集为x|1x2； （）1 ，解得 x1 或 x2， 所以不等式的解集为x|x1 或 x2； （）x2（3a+1）x+2a（a+1）0（x2a）x（a+1）0， 令（x2a）x（a+1）0，解得 x12a，x2a
29、+1； 当 a1 时，2aa+1，原不等式的解集为（，a+1）（2a，+） ； 当 a1 时，2aa+12，原不等式为 x24x+40， 所以 x2，故解集为（，2）（2，+） ； 当 a1 时，2aa+1，原不等式的解集为（，2a）（a+1，+） ； 【点评】本题考查了绝对值不等式，分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题 23 （15 分）已知函数 f（x）x2+2ax （）当 a1 时，求函数 f（x）在0，1上的最大值和最小值； （）若 yf（x）在区间2，9上不单调，求实数 a 的取值范围； （）函数 f（x）x2+2ax 在区间1，3的最小值为 g（
30、a） ，求 g（a） 【分析】 （I）当 a1 时，根据二次函数的性质即可求解得到函数在 f（x）在0，1上的最大值和最小值； （II）根据题意，函数在2，9上不单调，所以函数的对称轴满足条件，由此可得实数 a 的取值范围； （III）通过讨论函数对称轴与区间1，3的关系，从而确定函数最值与实数 a 的关系具体过程详见解析 【解答】解： （I）当 a1 时，f（x）x22x， 则由二次函数的性质可得，函数的对称轴为 x1， 且有函数 f（x）在（，1上单调递减，在1，+）上单调递增， 结合题意，可知，f（x）在0，1上单调递减， 此时可得 f（x）minf（1）1，f（x）maxf（0）0，
31、即函数 f（x）在0，1上的最大值为 0，最小值为1； （II）根据题意，函数 f（x）在区间2，9上不单调， 结合二次函数的性质可得，对称轴满足条件， 即得2a9，即得9a2； （III）根据二次函数的性质可知，函数 f（x）x2+2ax 的对称轴为 xa， 则有当a1 时，即 a1 时，f（x）在1，3上单调递增，此时函数的最小值为 f（x）minf（1）2a+1； 当 1a3 时，即3a1 时，f（x）在1，a）上单调递减，在（a，3上单调递增，即得此时函数的最小值为； 当a3 时， 即 a3 时，f （x）在1， 3上单调递减， 此时函数的最小值为 f （x）minf （3） 6a+9
32、 综上可得，函数 f（x）在区间1，3的最小值为 【点评】本题主要考查二次函数性质的应用，属于中档题 24 （13 分）设函数 f（x）的定义域为 R，如果存在函数 g（x） ，使得 f（x）g（x）对于一切实数 x 都成立，那么称 g（x）为函数 f（x）的一个承托函数已知函数 f（x）ax2+bx+c 的图象经过点（1，0） （1）若 a1，b2写出函数 f（x）的一个承托函数（结论不要求证明） ； （2）判断是否存在常数 a，b，c，使得 yx 为函数 f（x）的一个承托函数，且 f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出 a，b，c 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由题意可得
33、 c1，进而得到 f（x） ，可取 g（x）x； （2）假设存在常数 a，b，c 满足题意，令 x1，可得 a+b+c1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于 0，化简整理，即可判断存在 【解答】解： （1）函数 f（x）ax2+bx+c 的图象经过点（1，0） ， 可得 ab+c0，又 a1，b2， 则 f（x）x2+2x+1， 由新定义可得 g（x）x 为函数 f（x）的一个承托函数； （2）假设存在常数 a，b，c，使得 yx 为函数 f（x）的一个承托函数， 且 f（x）为函数的一个承托函数 即有 xax2+bx+cx2+恒成立， 令 x1 可得 1a+b+c1，即为 a+b+c1， 即 1ba+c， 又 ax2+（b1）x+c0 恒成立，可得 a0，且（b1）24ac0， 即为（a+c）24ac0，即有 ac； 又（a）x2+bx+c0 恒成立， 可得 a，且 b24（a） （c）0， 即有（12a）24（a）20 恒成立 故存在常数 a，b，c，且 0ac，b12a， 可取 ac，b满足题意 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题
