1、2021-2022 学年北京市西城区六校联考高一上期中数学试卷学年北京市西城区六校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合 A2，1，0，1，B1，1，2，则 AB（ ） A1，1 B1，0，1 C1，1，2 D2，1，0，1，2 2下列函数中在0，+）上单调递增的是（ ） Ayx B Cyx22x D 3命题“x0，1，使得 f（x）0”的否定是（ ） Ax0，1，都有 f（x）0 Bx0，1，都有 f（x）0 Cx0，1，使得 f（x）0 Dx0，1，使得 f（x）0 4已知 ab0，c0
2、，下列不等式恒成立的是（ ） Aacbc B Cac2bc2 D 5设方程 x26x+10 的两个不等实根分别为 x1，x2，则|x1x2|（ ） A3 B6 C D 6已知函数 f（x）x3+2x4 恰有一个零点，则该零点所在的区间是（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 7已知 log23a，则 4a+4a的值为（ ） A B C D 8 “1”是“x（x1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9如图为函数 yf（x）和 yg（x）的图像，则不等式 f（x） g（x）0 的解集为（ ） A （，1）（1，
3、0） B （，1）（0，1） C （1，0）（1，+） D （0，1）（1，+） 10如果函数 f（x）的定义域为a，b，且值域为f（a） ，f（b），则称 f（x）为“ 函数” 已知函数是“ 函数” ，则 m 的取值范围是（ ） A4，9 B5，9 C4，+） D5，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11函数 f（x）的定义域为 12已知 x，y 均为正实数，则的最小值为 13计算：2lg5+lg12lg3 14函数 f（x）x2+2x+1 在1，2上的最大值为 ，最小值为 15已知定义在 R 上的偶函数 f（x）
4、在0，+）上单调，且 f（1）2，f（2）3，给出下列四个结论： f（x）在（，0上单调递减； 存在 x（1，1） ，使得 f（x）2； 不等式 2f（x）3 的解集为（2，1）（1，2） ； 关于 x 的方程f（x1）25f（x1）+60 的解集中所有元素之和为 4 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 35 分）分） 16 （12 分）已知集合 Ax|x28x+120，Bx|a1xa+1 （1）若 a2，求R（AB） ； （2）若 AB，求 a 的取值范围； （3）若 BA，求 a 的取值范围 17 （10 分）已知关于 x 的方程 x2
5、2（k+1）x+k2+30 有两个不相等的实根 x1，x2 （1）求 k 的取值范围； （2）若，求 k 的值； （3）求 x12+x22的取值范围 18 （13 分）函数 f（x）为定义在 R 上的奇函数，已知当 x0 时， （1）当 x0 时，求 f（x）的解析式； （2）判断 f（x）在0，+）上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若 f（a+1）+f（2a2）0，求 a 的取值范围 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 19比较大小： （填“”或“” ） 20设集合，Bx|xm|n，若RAB，则 m ；n 21设
6、关于 x 的不等式 ax22x+a0 的解集为 S （1）若 S 中有且只有一个元素，则 a 的值为 ； （2）若 0S 且1S，则 a 的取值范围是 22某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在 A 模式下元件温度保持不变；从 A 模式切换到 B 模式后，在 B 模式下，元件温度 T（单位）与通电累积时间 t（即从通电时刻开始累积计时，单位 min）的乘积保持不变； 从 B 模式再切换到 A 模式后， 元件温度继续保持不变， 现将该元件通电， 初始温度为 T0，已知在 t1，3，6，12 这四个时刻下的元件温度如表所示，而在 0t4（t412）时间内 T 随 t 变化的图像如图所示 请根据以上
7、信息推断：T0 ；t1+t2+t3 通电累积时间 t（单位 min） 1 3 6 12 元件温度 T（单位） 30 20 15 10 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 23 （10 分）设函数 （1）求 f（x）的最小值，及取得最小值时 x 的值； （2）已知 a，b0 且 ab，求证： “ab1”是“f（a）f（b） ”的充分必要条件 24 （10 分）已知函数 f（x）（x+1）2，g（x）kx+1（其中 kR） （1）若对任意 xR，都有 f（x）g（x）恒成立，求 k 的值； （2）设关于 x 的函数的最小值为 m 若 k1，解不等式 f（
8、x）g（x） ，并直接写出 m 的值； 试判断 m 是否为 k 的函数？若是，直接写出 mF（k）的函数表达式（用分段函数形式表示） ；若不是，说明理由 25 （10 分）对于一个所有元素均为整数的非空集合 A，和一个给定的整数 k，定义集合 Akx|x|ak|，aA （1）若 A1，2，3，4，直接写出集合 A1，A2和 A3； （2）若 A1，2，3，n，其中 nN*，n5，求 k 的值，使得集合 Ak中元素的个数最少； （3） 写出所有满足 0kp 的整数 p 和 k， 使得当集合 Amp|mZ时， 有 N （AAk） ， 并说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选
9、择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合 A2，1，0，1，B1，1，2，则 AB（ ） A1，1 B1，0，1 C1，1，2 D2，1，0，1，2 【分析】由集合交集的定义求解即可 【解答】解：因为集合 A2，1，0，1，B1，1，2， 则 AB1，1 故选：A 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题 2下列函数中在0，+）上单调递增的是（ ） Ayx B Cyx22x D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y
10、x 在0，+）上单调递减，不符合题意， 对于 B，y，在0，+）上单调递增，符合题意， 对于 C，yx22x，图象关于 x1 对称，0，+）上不是单调递增的函数，不符合题意， 对于 D，y在区间（0，+）上单调递减，不满足题意 故选：B 【点评】本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题 3命题“x0，1，使得 f（x）0”的否定是（ ） Ax0，1，都有 f（x）0 Bx0，1，都有 f（x）0 Cx0，1，使得 f（x）0 Dx0，1，使得 f（x）0 【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可 【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量
11、词，然后再否定结论， 命题“x0，1，使得 f（x）0”的否定是：x0，1，都有 f（x）0 故选：B 【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题 4已知 ab0，c0，下列不等式恒成立的是（ ） Aacbc B Cac2bc2 D 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【解答】解：对于 A，ab0，c0， acbc，故 A 错误， 对于 B，令 a2，b1，c1，满足 ab0，c0，但，故 B 错误， 对于 C，c0， c20， ab， ac2bc2，故 C 正确， 对于 D，ab， 又， ，故 D 错误 故选：
12、C 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题 5设方程 x26x+10 的两个不等实根分别为 x1，x2，则|x1x2|（ ） A3 B6 C D 【分析】根据题意可得 x1+x26，x1x21，从而|x1x2|，进一步代入数值运算即可 【解答】解：根据题意，x1+x26，x1x21， 则|x1x2|4 故选：D 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查学生的基本运算能力，属于基础题 6已知函数 f（x）x3+2x4 恰有一个零点，则该零点所在的区间是（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 【分析】求导，得 f（x）3x
13、2+20f（x）在 R 上单调递增，利用零点存在定理可求得答案 【解答】解：f（x）x3+2x4， f（x）3x2+20， f（x）x3+2x4 在 R 上单调递增， 又 f（1）10，f（2）80， 函数 f（x）x3+2x4 恰有一个零点，该零点所在的区间是（1，2） ， 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点存在定理的应用，属于基础题 7已知 log23a，则 4a+4a的值为（ ） A B C D 【分析】利用对数的运算性质求解 【解答】解：log23a，4a+4a+9+32， 故选：D 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题 8 “1”是“x（x1）
14、0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先将分式不等式进行等价转化，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可 【解答】解：不等式1，可变形为，即 x（x1）0 且 x0， 所以“x（x1）0 且 x0”是“x（x1）0”的充分不必要条件， 则“1”是“x（x1）0”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，分式不等式的等价转化，考查了逻辑推理能力，属于基础题 9如图为函数 yf（x）和 yg（x）的图像，则不等式 f（x） g（x）0 的解集为（ ） A （，1）（1，0） B （，1）（0，1） C （1
15、，0）（1，+） D （0，1）（1，+） 【分析】找出使 f（x）与 g（x）异号的 x 的范围，即可得解 【解答】解：f（x） g（x）0 等价于或， 由图可知，0 x1 或 x1， 故不等式的解集为（0，1）（1，+） 故选：D 【点评】本题考查函数的图象与性质，不等式的解法，考查数性结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 10如果函数 f（x）的定义域为a，b，且值域为f（a） ，f（b），则称 f（x）为“ 函数” 已知函数是“ 函数” ，则 m 的取值范围是（ ） A4，9 B5，9 C4，+） D5，+） 【分析】根据函数的新定义得到 f（x）minf（a）且 f（x）ma
16、xf（b） ，结合函数 f（x）和二次函数的性质，列出不等式，即可求解 【解答】解：由题意，函数 f（x）的定义域为a，b，且值域为f（a） ，f（b），即函数 f（x）的最小值f（x）minf（a） ，最大值为 f（x）maxf（b） ， 又由函数， 当 0 x1 时，可得 05x5， 要是函数 f（x）满足新定义，则满足，即，所以 5m9， 所以实数 m 的取值范围是5，9 故选：B 【点评】利用图象是解答函数值域的最有效手段，本题属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11函数 f（x）的定义域为 x|x1 且
17、 x0 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，分式的分母不为 0 联立不等式组求解 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得 x1 且 x0 函数 f（x）的定义域为x|x1 且 x0 故答案为：x|x1 且 x0 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题 12已知 x，y 均为正实数，则的最小值为 6 【分析】利用基本不等式求解 【解答】解：x0，y0， 26，当且仅当，即 x3y 时，等号成立， 的最小值为 6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，是基础题 13计算：2lg5+lg12lg3 2 【分析】利用对数的运算性质求解 【解答】解：原式lg100lg1
18、022， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题 14函数 f（x）x2+2x+1 在1，2上的最大值为 2 ，最小值为 2 【分析】先确定函数的对称轴，然后结合二次函数的性质，即可求解函数的最值 【解答】解：因为 f（x）x2+2x+1（x1）2+2， 而 x1，2，所以当 x1 时，f（x）取得最大值，最大值为 f（1）2， 又 f（1）（11）2+22，f（2）（21）2+21，故 f（2）f（1） ， 所以函数 f（x）在区间1，2上的最小值为2； 故答案为：2；2 【点评】本题主要考查二次函数的最值的求解，二次函数单调性的应用，属于基础题 15已知定义在 R 上
19、的偶函数 f（x）在0，+）上单调，且 f（1）2，f（2）3，给出下列四个结论： f（x）在（，0上单调递减； 存在 x（1，1） ，使得 f（x）2； 不等式 2f（x）3 的解集为（2，1）（1，2） ； 关于 x 的方程f（x1）25f（x1）+60 的解集中所有元素之和为 4 其中所有正确结论的序号是 【分析】根据条件可得到偶函数 f（x）在0，+）上的单调递增，进而得到 f（x）在（，0上单调递减，即可判断； 根据单调性以及 f（1）2 可判断； 根据奇偶性以及 f（1）2，f（2）3 即可判断； 解出 f（x1）3 或 2，结合 f（1）2，f（2）3，解出 x，进而可判断 【解
20、答】解：因为 f（x）为偶函数，且 f（2）3，所以 f（2）f（2）3， 又因为 f（x）在0，+）上单调，f（1）2f（2） ，所以 f（x）在0，+）上单调递增， 则当 x（，0时，f（x）单调递减，故正确； 因为 f（x）在（0，1）上单调递增，f（1）2，故此时 f（x）2，则当 x（1，1）时，f（x）2，故错误； 当 x（0，+）时，不等式 2f（x）3，即 f（1）f（x）f（2） ，则 1x2， 由 f（x）为偶函数，则不等式 2f（x）3 的解集为（2，1）（1，2） ，故正确； 方程f（x1）25f（x1）+60 可化为f（x1）2f（x1）30，则 f（x1）2 或 f
21、（x1）3， 当 f（x1）2 时，则 x11，解得 x2 或 0， 当 f（x1）3 时，则 x12，解得 x3 或1， 此时 2+0+3+（1）4，故正确； 故答案为： 【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 35 分）分） 16 （12 分）已知集合 Ax|x28x+120，Bx|a1xa+1 （1）若 a2，求R（AB） ； （2）若 AB，求 a 的取值范围； （3）若 BA，求 a 的取值范围 【分析】 （1）a2 时，求出集合 A，B，由此能求出 AB，从而能求出
22、R（AB） ； （2）由 AB，集合 Ax|x2 或 x4，Bx|a1xa+1，列出不等式组能求出 a 的取值范围； （3）由 BA，集合 Ax|x2 或 x4，Bx|a1xa+1，得 a+12 或 a14，由此能求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）集合 Ax|x28x+120 x|x2 或 x6，Bx|a1xa+1 a2 时，Bx|1x3， ABx|x3 或 x6， R（AB）x|3x6； （2）AB，集合 Ax|x2 或 x4，Bx|a1xa+1 ，解得 a3， a 的取值范围是3； （3）BA，集合 Ax|x2 或 x6，Bx|a1xa+1 a+12 或 a16， 解得 a1 或
23、a7， a 的取值范围是（，1）（7，+） 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 17 （10 分）已知关于 x 的方程 x22（k+1）x+k2+30 有两个不相等的实根 x1，x2 （1）求 k 的取值范围； （2）若，求 k 的值； （3）求 x12+x22的取值范围 【分析】 （1）由题意可得，0，解不等式即可求解， （2）根据韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入求解即可， （3）把已知条件转化，进而求解结论 【解答】解： （1）关于 x 的方程 x22（k+1）x+k2+30 有两个不相等的实根 x1，x2， 2（k
24、+1）24（k2+3）0k1， k 的取值范围是（1，+） ， （2）关于 x 的方程 x22（k+1）x+k2+30 有两个不相等的实根 x1，x2， x1+x22（k+1） ，x1x2k2+3， 即， 3k27k+20k2（k舍） ， k 的值是 2， （3）x12+x22（x1+x2）22 x1x22（k+1）22（k2+3）2（k2+4k1）2（k+2）210， k1， 2（k+2）2102（1+2）2108， x12+x22的取值范围是（8，+） 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件以及韦达定理的应用，属于中档题 18 （13 分）函数 f（x）为定义在 R 上的奇函数，
25、已知当 x0 时， （1）当 x0 时，求 f（x）的解析式； （2）判断 f（x）在0，+）上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若 f（a+1）+f（2a2）0，求 a 的取值范围 【分析】 （1）取 x0，则x0，代入解析式即可求得答案； （2）任取 x1，x20，+） ，且 x1x2，利用作差可比较 f（x1）与 f（x2）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断； （3）根据函数的单调性，将不等式进行转化，即可求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 x0 时，x0，则 f（x）； 因为函数为奇函数，所以 f（x）f（x）， 即 x0 时，f（x）的解析式为 f（x）； 证明：
26、 （2）f（x）在0，+）上的单调递增，证明如下： 任取 x1，x20，+） ，且 x1x2， 则 f（x1）f（x2）， 因为 x1，x20，+） ，且 x1x2， 所以 x1x20，x1+10，x2+10， 则 f（x1）f（x2）0， 所以 f（x）在0，+）上的单调递增； （3）f（x）为 R 上的奇函数且在0，+）上单调递增， 函数 f（x）在 R 上单调递增， f（a+1）+f（2a2）0， f（a+1）f（22a） ， a+122a， f（a+1）f（22a） ， 解得 a， 即 a 的取值范围是（，+） 【点评】本题考查了应用函数的奇偶性求解析式，函数单调性的证明，不等式求解等
27、，属于中档题 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 19比较大小： （填“”或“” ） 【分析】先求出，得到+2+，再移项即可求解 【解答】解：7，7+4，24， ， +2+， 2， 故答案为： 【点评】本题考查了利用平方法比较大小，属于基础题 20设集合，Bx|xm|n，若RAB，则 m 1 ；n 1 【分析】求出 A，B 以及 A 的补集，进而求解结论 【解答】 解： 集合x|0 x2， Bx|xm|nx|xm+n 或 xmn， RAx|x2 或 x0， RAB， m+n2 且 mn0， mn1， 故答案为：1，1 【点评
28、】本题主要考查不等式的求解以及集合间的基本关系，属于基础题 21设关于 x 的不等式 ax22x+a0 的解集为 S （1）若 S 中有且只有一个元素，则 a 的值为 1 ； （2）若 0S 且1S，则 a 的取值范围是 （1，0 【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法可知，0，求解即可； （2）由题意，0 满足不等式，1 不满足不等式，列出不等式组，求解即可 【解答】解： （1）关于 x 的不等式 ax22x+a0 的解集为 S， 又 S 中有且只有一个元素， 所以（2）24a20，解得 a1； 当 a1 时，ax22x+a0 的解集为 R，故舍，所以 a1 （2）因为 0S 且1S， 所
29、以，解得1a0， 所以实数 a 的取值范围为（1，0 故答案为： （1）a1； （2） （1，0 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式解集的理解与应用，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于基础题 22某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在 A 模式下元件温度保持不变；从 A 模式切换到 B 模式后，在 B 模式下，元件温度 T（单位）与通电累积时间 t（即从通电时刻开始累积计时，单位 min）的乘积保持不变； 从 B 模式再切换到 A 模式后， 元件温度继续保持不变， 现将该元件通电， 初始温度为 T0，已知在 t1，3，6，12 这四个时刻下的元件温度如表所示，而在 0t
30、4（t412）时间内 T 随 t 变化的图像如图所示 请根据以上信息推断：T0 30 ；t1+t2+t3 14 通电累积时间 t（单位 min） 1 3 6 12 元件温度 T（单位） 30 20 15 10 【分析】根据图象得到分段函数的解析式，得到，由此可得答案 【解答】解：根据题意知， 由于 1303205151210， 故，则，则，则 t38， t1+t2+t414 故答案为：30；14 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查识图能力，考查学生的应用意识，属于中档题 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分） 23 （10 分）设函数 （1）
31、求 f（x）的最小值，及取得最小值时 x 的值； （2）已知 a，b0 且 ab，求证： “ab1”是“f（a）f（b） ”的充分必要条件 【分析】 （1）利用基本不等式求解 （2）利用 ab1 所以 a证明 【解答】解： （1）f（x），当取“”号 x1 （2）证明： a，b0 且 ab，ab1， a， f（a）a+f（b） f（a）f（b） ， a+， ab+0， 即： （ab）0， 又a，b0 且 ab， ， ab1 ： “ab1”是“f（a）f（b） ”的充分必要条件 【点评】本题考查了基本不等式，和充要条件的证明，属于基础题 24 （10 分）已知函数 f（x）（x+1）2，g（x）
32、kx+1（其中 kR） （1）若对任意 xR，都有 f（x）g（x）恒成立，求 k 的值； （2）设关于 x 的函数的最小值为 m 若 k1，解不等式 f（x）g（x） ，并直接写出 m 的值； 试判断 m 是否为 k 的函数？若是，直接写出 mF（k）的函数表达式（用分段函数形式表示） ；若不是，说明理由 【分析】 （1）由二次不等式恒成立的条件，结合判别式小于等于 0，可得所求值； （2）由二次不等式的解法和分段函数的最值求法，可得所求； 可得 m 为 k 的函数，对 k 讨论，分 k0，0k2，k2，结合分段函数的最值求法，可得所求 【解答】解： （1）对任意 xR，都有 f（x）g（x
33、）恒成立，即为 x2+（2k）x0 恒成立， 则0，即（2k）20，由于（2k）20，解得 k0； （2）若 k1，不等式 f（x）g（x） ，即 x2+x0，解得 x0 或 x1， 即解集为（，10，+） ； 由 h（x），可得 m0； m 为 k 的函数，且 mF（k） 【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及分段函数的解析式和最值求法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题 25 （10 分）对于一个所有元素均为整数的非空集合 A，和一个给定的整数 k，定义集合 Akx|x|ak|，aA （1）若 A1，2，3，4，直接写出集合 A1，A2和 A3； （2）若 A1，2，3，n
34、，其中 nN*，n5，求 k 的值，使得集合 Ak中元素的个数最少； （3） 写出所有满足 0kp 的整数 p 和 k， 使得当集合 Amp|mZ时， 有 N （AAk） ， 并说明理由 【分析】 （1）由定义，直接写出即可， （2）先写出 Ak，再讨论元素个数， （3）分类讨论 k 的取值，得出 p 的值 【解答】解： （1）A10，1，2，3，A20，1，2，A30，1，2， （2）Ak|1k|，|2k|，|3k|， |nk|，nN*， 当|1k|nk|时，Ak中元素个数最少， 若 n 为奇数，则 k时，Ak中元素个数最少， 若 n 为偶数，则 k或 k时，Ak中元素个数最少， （3）p1，k0 或 p2，k1， 若 k0，则 AkA，要使 N（AAk） ， 则 Am|mZ，即 p1， 当 p3，明显（AAk）中很多整数空缺， p2 时，A2m|mZ，要使 N（AAk）且 k0， 则 k1，即 Ak2m1|mZ 【点评】本题考查集合与元素的新定义，属于中档题
