1、2021-2022 学年北京市西城区十校联考高一上期中数学试卷学年北京市西城区十校联考高一上期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1已知集合 A1，0，1，BxN|x3，那么集合 AB 等于（ ） A1，3） B0，1，2 C1，0，1，2 D1，0，1，2，3 2命题“xR，x22x+10”的否定是（ ） AxR，x22x+10 BxR，x22x+10 CxR，x22x+10 DxR，x22x+10 3若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A B Ca2b2 Dacbc 4满足1，2A1，2，3，4，则满足条件的集合 A
2、 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 5函数的定义域是（ ） A （，1 B （1，1） C （，11，+） D1，+） 6下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ） Ayx+1 Byx2+4x+5 C Dy|x2| 7下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ） Ayx+1 Byx2 Cy Dyx|x| 8如果二次函数 yx2+mx+（m+3）不存在零点，则 m 的取值范围是（ ） A （，2）（6，+） B2，6 C2，6 D （2，6） 9已知 a，bR，则“ab”是“1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10已知函数若关
3、于 x 的函数 yf（x）k 有且只有三个不同的零点，则实数 k的取值范围是（ ） A （3，1） B （0，1） C （3，0 D （0，+） 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 11已知方程 x23x+10 的两根为 x1和 x2，则 x12+x22 12已知 x0，则的最小值为 13函数，则 f（f（2） ） ；f（x）3，则 x 14已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）x2+，则 f（1） 15二次不等式 ax2+bx+20 的解集是（2，1） ，则 a+b 16若函数 f（x）满足下列性质： （1）定义域为 R，值
4、域为1，+） ； （2）图象关于 x2 对称； （3）对任意 x1，x2（，0） ，且 x1x2，都有0， 请写出函数 f（x）的一个解析式 （只要写出一个即可） 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （13 分）求下列不等式的解集： （1）x24x120； （2）|2x1|1； （3） 18 （13 分）求下列方程组的解集 （1）； （2） 19 （13 分）已知函数 f（x）+的定义域为集合 A，Bx|xa （1）求集合 A； （2）若全集 Ux|x4，a1，求 A（UB） ；
5、（3）若 ABA，求 a 的取值范围 20 （13 分）已知全集 UR，集合 Ax|x（x2）0，Bx|cx2c+6 （1）当 c1 时，求 AB，AB； （2）若UAB，求实数 c 的取值范围 21 （14 分）已知函数 f（x）x2+（2m）x2m，其中 mR （1）当 m0 时，写出 f（x）单调区间，并求 f（x）的最小值； （2）若函数 f（x）在区间（，4上是减函数，求实数 m 的取值范围； （3）求关于 x 的不等式 f（x）0 的解集 22 （14 分）已知函数 （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并证明； （2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+）上为增函数； （3）求
6、函数 f（x）在区间4，2上的最大值和最小值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1已知集合 A1，0，1，BxN|x3，那么集合 AB 等于（ ） A1，3） B0，1，2 C1，0，1，2 D1，0，1，2，3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出集合 AB 【解答】解：集合 A1，0，1， BxN|x30，1，2， 集合 AB1，0，1，2 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2命题“xR，x22x+10”的否定是（ ） AxR，x22x+10 BxR，
7、x22x+10 CxR，x22x+10 DxR，x22x+10 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x22x+10”的否定是命题：xR，x22x+10 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题 3若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A B Ca2b2 Dacbc 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【解答】解：对于 A，令 a1，b1，满足 ab，但，故 A 错误， 对于 B，当 a，b 一个为 0，或 a0，b0，无意义，故 B 错误， 对于 C，令
8、a1，b1，满足 ab，但 a2b2，故 C 错误， 对于 D，ab，cc， 由不等式的可加性可得，acbc，故 D 正确 故选：D 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题 4满足1，2A1，2，3，4，则满足条件的集合 A 的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用集合间的关系可知：集合 A 中除了含有 1，2 两个元素以外，可能含有另外的元素，据此即可求出 【解答】解1，2A1，2，3，4， 集合 A 中除了含有 1，2 两个元素以外，可能含有另外一个元素， 因此满足条件的集合 A 为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4共 4 个 故
9、选：D 【点评】熟练掌握集合间的包含关系是解题的关键，本题是一道基础题 5函数的定义域是（ ） A （，1 B （1，1） C （，11，+） D1，+） 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数 【解答】解：依题意，得 x210， 解得 x1 或 x1 函数的定义域是（，11，+） 故选：C 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 6下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ） Ayx+1 Byx2+4x+5 C Dy|x2| 【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断 【解答】解：根据一次函数的性
10、质可知，yx+1 在（0，2）上单调递减，A 不符合题意； 根据二次函数的性质可知，yx2+4x+5 的开口向下，对称轴 x2，在（0，2）上单调递增，符合题意； 根据反比例函数的性质可知，y在（0，2）上单调递减，不符合题意； 根据函数图象的变换可知，y|x2|在（0，2）上单调递减，不符合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题 7下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ） Ayx+1 Byx2 Cy Dyx|x| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与值域，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx+1，为一次函数，
11、不是奇函数，不符合题意； 对于 B，yx2，为二次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 C，y，为反比例函数，值域不是 R，不符合题意； 对于 D，yx|x|，值域为 R 且为奇函数，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数的值域判断，属于基础题 8如果二次函数 yx2+mx+（m+3）不存在零点，则 m 的取值范围是（ ） A （，2）（6，+） B2，6 C2，6 D （2，6） 【分析】已知二次函数 yx2+mx+（m+3） ，图象开口向上，根据判别式与根的关系进行求解； 【解答】解：二次函数 yx2+mx+（m+3）不存在零点，二次函数图象向上， 0， 可得 m
12、24（m+3）0， 解得2m6， 故选：D 【点评】此题主要考查二次函数的性质，及其图象与 x 轴交点问题，是一道基础题； 9已知 a，bR，则“ab”是“1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】1ab0，或 ab0即可判断出结论 【解答】解：1ab0，或 ab0 “ab”是“1”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10已知函数若关于 x 的函数 yf（x）k 有且只有三个不同的零点，则实数 k的取值范围是（ ） A （3，1） B （0，1）
13、C （3，0 D （0，+） 【分析】求出分段函数在各自范围上的取值范围，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：当 x2 时，f（x）（0，1， 当 x2 时，f（x）x233， 作出函数 f（x）的图象如图： 若方程 f（x）k 有三个不相等的实数根， 则 0k1， 故选：B 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 11已知方程 x23x+10 的两根为 x1和 x2，则 x12+x22 7 【分析】根据题意可得 x1x23，x1x21，从而利
14、用 x12+x22（x1+x2）22x1x2进行求解即可 【解答】解：方程 x23x+1 的两根为 x1，x2， x1+x23，x1x21， x12+x22（x1+x2）22x1x23227 故答案为：7 【点评】 本题考查一元二次方程根与系数的关系， 考查学生的逻辑推理和运算求解的能力， 属于基础题 12已知 x0，则的最小值为 4 【分析】因为 x0，直接利用基本不等式求出其最小值 【解答】解：x0，则24，当且仅当 x 时，等号成立， 故答案为 4 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题 13函数，则 f（f（2） ） 0 ；
15、f（x）3，则 x 【分析】本题中给的函数是一个分段函数，求函数值时要注意自变量的取值区间，选择正确的解析式代入求函数值，解此类方程时要分两段解方程，找出两段上的方程的根来 【解答】解： f（f（2） ）f（0）0 又 f（x）3，当 x1 时，由 x23 得 x；当 x1 时，有 x+23，得 x1，舍 故方程的根为 故答案为 0； 【点评】本题考查求函数的值，解题的关键是根据函数的定义域选取正确的解析式代入求值 14已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）x2+，则 f（1） 2 【分析】当 x0 时，f（x）x2+，可得 f（1） 由于函数 f（x）为奇函数，可得 f（1）f
16、（1） ，即可得出 【解答】解：当 x0 时，f（x）x2+， f（1）1+12 函数 f（x）为奇函数， f（1）f（1）2 故答案为：2 【点评】本题考查了函数奇偶性，属于基础题 15二次不等式 ax2+bx+20 的解集是（2，1） ，则 a+b 2 【分析】根据不等式与对应方程解的情况，利用根与系数的关系求出 a、b 的值 【解答】解：不等式 ax2+bx+20 的解集是（2，1） ， 方程 ax2+bx+20 的解是2 和 1， 由根与系数的关系得， 解得 a1，b1； a+b2 故答案为：2 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的问题，也考查了根与系数的关系问题，是基础题 1
17、6若函数 f（x）满足下列性质： （1）定义域为 R，值域为1，+） ； （2）图象关于 x2 对称； （3）对任意 x1，x2（，0） ，且 x1x2，都有0， 请写出函数 f（x）的一个解析式 f（x）（x2）2+1 （只要写出一个即可） 【分析】由已知中函数 f（x）满足下列性质： （1）定义域为 R，值域为1，+） ； （2）图象关于 x2 对称； （3）函数在区间（，0）上单调递减，可得二次型函数 f（x）a（x2）2+1（a0）满足要求，任取 a 值可得答案 【解答】解：由已知中函数的定义域为 R，值域为1，+） ； 而函数的图象关于 x2 对称 且在区间（，0）上单调递减 可得二
18、次型函数 f（x）a（x2）2+1（a0）满足要求 令 a1 可得 f（x）（x2）2+1 故答案为：f（x）（x2）2+1 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （13 分）求下列不等式的解集： （1）x24x120； （2）|2x1|1； （3） 【分析】 （1）根据已知条件，结合因式分解，即可求解 （2）根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解 （3）根据已知条
19、件，结合作差法，以及不等式的性质，即可求解 【解答】解： （1）x24x120， （x6） （x+2）0， 故解集为x|2x6 （2）|2x1|1， 2x11 或 2x11，解得 x1 或 x0， 故解集为x|x1 或 x0 （3）， ， ，即（x3） （2x1）0， 解集为 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及一元二次不等式及其应用，考查计算能力，属于基础题 18 （13 分）求下列方程组的解集 （1）； （2） 【分析】 （1）利用加减消元法，求解方程的解即可 （2）利用代入消元法，求解交点坐标即可 【解答】解： （1）； 2 得 2x+4y8， 7y3，（2 分） 代入，（3 分
20、） ， 方程组的解集为 （2） 由得 x2y2 代入，（6 分） 3（2y2）2+4y212，（7 分） 16y224y0，（8 分） ，（10 分） 当 y0 时，x2，（11 分） 当时，x1，（12 分） 方程组的解集为（13 分） 【点评】本题考查曲线与方程的应用，交点坐标的求法，考查计算能力，是基础题 19 （13 分）已知函数 f（x）+的定义域为集合 A，Bx|xa （1）求集合 A； （2）若全集 Ux|x4，a1，求 A（UB） ； （3）若 ABA，求 a 的取值范围 【分析】 （1）由分式的分母不为 0，偶次根式被开方式非负，即可得到所求集合 A； （2）运用补集和交集的
21、定义，即可得到所求集合； （3）运用集合的包含关系，可得 a 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）+， ， ， 2x3， A（2，3， （2）当 a1 时，B（，1） ， UB1，4， A（UB）1，3， （3）ABA， AB， a3， a 的取值范围是（3，+） 【点评】本题考查集合的运算，注意运用交集和补集的定义，以及集合的包含关系，考查函数的定义域的求法，属于中档题 20 （13 分）已知全集 UR，集合 Ax|x（x2）0，Bx|cx2c+6 （1）当 c1 时，求 AB，AB； （2）若UAB，求实数 c 的取值范围 【分析】 （1）先求出集合 A，B，再求出 A，B 的交集，
22、并集即可； （2）先求出集合UA，然后根据集合的包含关系求解结论 【解答】解： （1）因为 Ax|x（x2）0， 所以 Ax|x2 或 x0， 当 c1 时，Bx|1x8， 所以 ABx|2x8， ABx|x1 或 x0， （2）因为集合UAx|0 x2， 因为UAB， 所以 ， 解得 ， 所以 c2，0 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题 21 （14 分）已知函数 f（x）x2+（2m）x2m，其中 mR （1）当 m0 时，写出 f（x）单调区间，并求 f（x）的最小值； （2）若函数 f（x）在区间（，4上是减函数，求实
23、数 m 的取值范围； （3）求关于 x 的不等式 f（x）0 的解集 【分析】 （1）当 m0 时，f（x）x2+2x（x+1）21，图象开口向上，对称轴为 x1，从而可得 f（x）的单调区间与最小值； （2） 根据题意可得抛物线开口向上， 对称轴， 由 f （x） 在 （， 4上是减函数可得，从而即可求出 m 的取值范围； （3）根据题意，f（x）0 等价于（x+2） （xm）0，从而分类讨论 m2，m2，m2 三种情况即可求出不等式的解集 【解答】解： （1）当 m0 时，f（x）x2+2x（x+1）21，图象开口向上，对称轴为 x1， 所以 f（x）的单调递增区间为1，+） ，单调递减区
24、间（，1， 所以当 x1 时，f（x）取得最小值且最小值为 f（1）1； （2）根据题意，抛物线开口向上，对称轴， 由 f（x）在（，4上是减函数，得，解得 m10， 所以 m 的取值范围是10，+） ； （3）根据题意，f（x）0 等价于（x+2） （xm）0， 所以当 m2 时，不等式的解集为2，m， 当 m2 时，不等式的解集为2， 当 m2 时，不等式的解集为m，2 【点评】本题考查一元二次不等式与其所对应的二次函数之间的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题 22 （14 分）已知函数 （1）判断函数 f（x）的奇偶性，并证明； （2）用函数单调性的定义证明：f（x）在
25、（0，+）上为增函数； （3）求函数 f（x）在区间4，2上的最大值和最小值 【分析】 （1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验 f（x）与 f（x）的关系即可判断； （2）任取 0 x1x2，然后利用作差法比较 f（x1）与 f（x2）的大小即可判断； （3）结合函数的单调性及奇偶性即可进行求解 【解答】 （1）证明：由已知，函数 f（x）的定义域为 DxR|x0 xD，都有xD， 所以函数 f（x）为奇函数 （2）证明：任取 x1，x2（0，+） ，且 0 x1x2，则 x1x20， 那么， ， 因为 0 x1x2，所以 x1x20，x1x20，x1x2+10， 所以 f（x1）f（x2）0， 所以 f（x1）f（x2） ， 所以 f（x）在（0，+）上是增函数 （3）由第（1） （2）问可知函数 f（x）在4，2上是增函数 ， 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性求解函数的最值，属于中档题
