1、北京市朝阳区二校联考九年级上第一次月考数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分）1. 2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目,下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 技术融合打破时空限制，2020服贸会全面上“云”,据悉本届服贸会共有境内外5372家企业搭建了线上电子展台，共举办32场纯线上会议和173场线上直播会议，线上发布项目1870个，发起在线洽谈550000次，将550000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正
2、确的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（）A. a2+a3=a5B. a2a3=a5C. （-a2）3=a6D. -2a3bab=-2a2b5. 如图，ABC中，D，E分别为CB，AB上的点，若，则DE的长为（ ）A. B. 2C. D. 16. 方程组解为（ ）A. B. C. D. 7. 研究与试验发展（RD）经费是指报告期为实施研究与试验发展（RD）活动而实际发生的全部经费支出基础研究活动是研究与试验发展（RD）活动的重要组成下面的统计图是自2016年以来全国基础研究经费及占RD经费比重情况根据统计图提供的信息，下面四个推断中错误的是（ ）A. 2016年至2021年
3、，全国基础研究经费逐年上升B. 2016年至2021年，全国基础研究经费占RD经费比重逐年上升C. 2016年至2021年，全国基础研究经费平均值超过1000亿元D. 2021年全国基础研究经费比2016年的2倍还多8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：101301.520根据表格中信息，得到了如下的结论：二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x1) 22的形式二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1.5的两个根为0或2若y0，则x3其中所有正确的结论为（ ）A B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分）9.
4、 使有意义的x的取值范围是_10. 分解因式：=_11. 请写出一个大于且小于的整数：_12. 化简：_.13. 如图，垂足分别为，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_（写出一个即可）14. 一商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元该商场为促销决定：买1支毛笔就赠送1本书法练习本某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种练习本x（x10）本，则付款金额y（元）与练习本个数x（本）之间的函数关系式是_15. 如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：_(填“”，“=”或“”) .16. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形AB
5、CD绕顶点C顺时针旋转90，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算： 18. 解不等式组：并写出它最大整数解19. 用适当方法解方程：20. 已知，求代数式的值21. 已知：如图，RtABC中，ACB=90，CB0，则x3其中所有正确的结论为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决【详解】解：由表格可得，该函数的图象经过（-1，0），（3，0
6、），该函数图象的对称轴是直线x=1，该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x1) 22的形式，故选项正确，选项错误；该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1.5的两个根为0或2，故选项正确；该函数的图象经过（-1，0），（3，0），若y0，则x3或x”，“=”或“”) .【答案】=【解析】【分析】根据图形可知=，=，然后由图易知ABC和ADC同底等高，所以ABC和ADC面积相等从而得到ABO和DCO的关系【详解】解：由图易有：=，=，ABC和ADC同
7、底等高，=故答案为：=【点睛】本题考查了三角形的面积，判断所求三角形的计算方法是本题的关键16. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_【答案】【解析】【分析】根据题意构造并证明，通过全等得到，再结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解；【详解】如图，延长DH交EF于点k，H是的中点又则故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等三角形是解题的关键三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题
8、6分，第27-28题，每题7分）17. 计算： 【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的性质，化简绝对值的方法，零指数幂公式，负整数指数幂公式计算即可【详解】解：原式=4【点睛】本题考查二次根式的性质，化简绝对值的方法，零指数幂公式，负整数指数幂公式等知识，掌握上述知识是解题的关键18. 解不等式组：并写出它的最大整数解【答案】3【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集【详解】由得，由得，不等式组的解集为，最大整数解是3【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
9、同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19. 用适当方法解方程：【答案】【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解【详解】解：，解得【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键20. 已知，求代数式的值【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式、合并同类项，化简代数式即可求解【详解】解：原式【点睛】本题考查了代数式、整式加减、合并同类项、平方差公式等知识点，熟练的正确运算是解决问题的关键21. 已知：如图，RtABC中，ACB=90，CBCA求作：线段AB上的一点M，使得MCB=A作法：以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；分
10、别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；作直线CE，交AB于点MMCB即为所求根据小伟设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接CD，ED，EBCD=CB，ED=EB，CE是DB的垂直平分线（_）（填推理的依据）CMABMCB+B=90ACB=90，A+B=90MCB=A（_）（填推理的依据）【答案】（1）见解析 （2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上; 等角的余角相等【解析】【分析】（1）根据作法作图可得点M；（2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得ME是AB的垂直平分线，又根据等角的余角相
11、等可得结论【小问1详解】解：点M如图所示【小问2详解】证明：连接CD，ED，EBCD=CB，ED=EB，CE是DB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）CMABMCB+B=90ACB=90，A+B=90MCB=A（等角的余角相等）【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质及作图，解题的关键是学会基本作图：作一条线段的垂直平分线22. 如图，已知经过原点的抛物线与x轴交于另一点A（2，0）（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式【答案】（1），M (1，)； （2）【解析】【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求
12、解；（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式【小问1详解】解（1）抛物线过点A(2，0)，解得，顶点M的坐标是(1，)；【小问2详解】设直线AM的解析式为，图象过A(2，0)，M (1，)，解得，直线AM的解析式为【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题23. 如图，中，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE/BD，过点B作BE/AC两直线相交于点E.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求四边形的面积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据两组对边平行和直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证出（2）连接DE交BC于F
13、，先根据直角三角形性质和菱形性质先求出，根据已知边长，求出，进而求出四边形面积【详解】（1）证明：过点C作CE/BD，过点B作BE/AC 四边形BECD是平行四边形在RtABC中，ABC=90，D是AC中点BD=DC四边形是菱形；（2）连接DE交BC于F，四边形是菱形； 【点睛】本题考察了直角三角相关性质和菱形判定和性质等知识点，准确记住相关的判定和性质是解题关键24. 某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米d（米）00.52.03.55h（米）1.672. 253.
14、002. 250请解决以下问题：（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是_米；（3）求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面高度为2.5米要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到水柱请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由【答案】（1）见解析 （2）3 （3）（0x5） （4）船能符合要求通过，理由见解析【解析】【分析】（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，描点顺次顺滑连线；（2）根据抛物线的最高点（2,3）得出结论；（3）根据抛物线的顶点为（2,3），设解析式
15、为，再把（5,0）代入求出a的值；（4）使船的中轴线在抛物线的对称轴上，把点（1，m）代入解析式计算m的值，与2.5比较大小，得出结论【小问1详解】【小问2详解】根据图象看出，水流最高点距离湖面的高度是3米；故答案为3；【小问3详解】设抛物线的解析式为，将（5,0）代入，得，解得，（0x5），【小问4详解】符合要求，理由：设船的横断面为矩形ABCD，行驶时使船的中轴线在抛物线形水流的对称轴上，设直线AB与抛物线交点为E(1,m)，则，符合要求【点睛】本题主要考查了二次函数的表示法，由表格法转换为图象法与解析法，解题的关键是描点，顺次光滑连线，根据表格中数据特点熟练运用待定系数法求解析式，同时能
16、够准确看出顶点，根据对称性处理行船问题25. 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛（百分制）为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出部分信息a七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：分组/分数频数频率50x6010.0560x7020.1070x8050.2580x907m90x10050.25合计201b七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：80 80 82 85 85 85 89c七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：年级平
17、均数中位数众数方差七年级82.085109.9八年级82.4848572.1根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值：_，_；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是_；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是_（填“七”或“八”）年级，理由为_；（3）竞赛成绩90分及以上记为优秀，该校七、八年级各有200名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约_人【答案】（1）0.35；81；90； （2）八；从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定； （3）110【解析】【分析】（1）由得
18、出m的值，再根据中位数的定义求出七年级竞赛成绩数据的中位数，最后再求出表示这组数据的扇形圆心角的度数；（2）从平均数、中位数、众数、方差四个方面进行比较；（3）各用200去乘七、八年级90以上学生所占的比例即可【小问1详解】七年级所抽取的20名学生竞赛成绩数据在80x90这一组的频数是7，频率是m，解得：m=0.35，七年级学生竞赛成绩数据的中位数是第10位及第11位同学的平均数，即在这一组的第2个与第3个数的平均成绩，从扇形统计图看，七年级所抽取的20名学生竞赛成绩数据在这一组占比为25%，七年级表示这组数据的扇形圆心角的度数是，故答案为：0.35；81；90；【小问2详解】在此次竞赛中，竞
19、赛成绩更好的是八年级，理由是：从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定，故竞赛成绩更好的是八年级；故答案为：八；从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定；【小问3详解】估计这两个年级成绩优秀的学生共约：（人），故答案为：110【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表、扇形统计图，理解中位数、众数、平均数的定义是解决问题的前提26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，（1）当时，求抛物线G与x轴交点坐标；若抛物线G与线
20、段只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围【答案】(1) （2，0）、（0，0），0n2；(2) n-3或n1【解析】【分析】（1）把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2-8x，令y=0，即可求解；抛物线G与线段AN只有一个交点，则x=-1时，y0（已经成立），x=n时，y0，且n-1，即可求解；（2）由知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x=-1时，y0，x=n时，y0，即可求解【详解】解：（1）把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2-8x，令y=0，即4x2-8x=0，解得：x=0或2，即抛物线G与x轴的交点坐标为：
21、（2，0）、（0，0）；抛物线G与线段AN只有一个交点，由图知，当n=0时，抛物线G与线段AN有一个交点，当n=2时，抛物线G与线段AN有两个交点，0n2；（2）当y=0时，=a1， 与x轴的交点坐标为（a1，0），（a+1，0）a1a+1.点（a1，0）在（a+1,0）左侧，又，当点N在点A的右侧时，抛物线G与线段有两个交点， n1当N在A的左侧时，由抛物线G与线段有两个交点得 n3综上n的取值范围为：n-3或n1【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，解题关键在于利用二次函数图像与x轴交点位置来判断大小，列出不等式确定n的取值范围，解题过程中注意正确分析出函数的图像27. 在ABC中，AC
22、B90，ACBC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CECD，过点E作EF直线BC，交直线BC于点F（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系，并证明【答案】（1）EF+CF=AC，证明见解析；（2）EF=AC+CF，证明见解析【解析】【分析】（1）过点D作DHBC于H，证明ECFDCH，推出EF=DH，CF=CH，即可得到EF+CF=AC；（2）依题意画出图形，过点D作DMBC于M，证明ECFDCM，推出EF=
23、DM，CF=CM，由此得到结论EF=AC+CF【详解】解：（1）EF+CF=AC，证明如下：过点D作DHBC于H，ACB90，ACBC，B=A=45，DHB=DHC=90，DH=BH，EFBC，F=DHC=90，CE=CD，ECF=DCH，ECFDCH，EF=DH，CF=CH，AC=BC=CH+BH=CF+EF；（2）EF=AC+CF证明如下：如图，过点D作DMBC于M，则M=ACB=90，B=45，DM=BM，EFBC，EFC=DMC=90，CE=CD，ECF=DCM，ECFDCM，EF=DM，CF=CM，DM=BM=BC+CM=AC+CF，EF=AC+CF【点睛】此题考查等腰直角三角形的性
24、质，全等三角形的判定及性质，正确理解题意画出对应的图形是解题的关键28. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90得到平行四边形抛物线经过点A、C、三点（1）求A、C三点坐标；（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点当点M为抛物线顶点时，求AM面积点M在何处时，AM的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标【答案】（1）A（0，3），； （2）3，当M点在直线与抛物线的交点处时，的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）【解析】【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出点C，的坐标；计算自变量为0时的函数值可得到点A的坐标；（2）先将二次函数
25、解析式转化为顶点式，从而得到点M的坐标，作MNy轴交直线A于N，求出直线A的解析式为，从而得到点N的坐标，于是可计算出MN的长度，再利用和三角形面积公式计算即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为，0m3，作MNy轴交直线A于N，根据直线A的解析式得出，于是可计算出，再利用和三角形面积公式得到，然后根据二次函数的最值问题求出AMA的面积最大值，同时即可确定此时M点的坐标【小问1详解】解：当y0时，解得，则，当x0时，y3，则A（0，3）；【小问2详解】解：作MNy轴交直线A于N，连接AM，M，M，设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得：，直线A的解析式为，；设M点的坐标为，0m3，作MNy轴交直线A于N，连接AM，M，由知直线A的解析式为，则，MN3，当m时，的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）即当M点在直线与抛物线的交点处时，的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点和二次函数的最值问题；会计算三角形的面积，还考查了求一次函数的解析式和坐标与图形
