1、福建省莆田市荔城区二校联考九年级上第一次月考数学试卷一、单选题1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）A. x20B. C. ax2bxc0D. xy102. 在中，下列四个选项，正确的是（）A. B. C. D. 3. 如图，l1l2l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F若，DE4，则DF的长是（ ）A. B. C. 6D. 104. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，点P是ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定ABPACB的是（）A. B.
2、C. ABPCD. APBABC6. 如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（）A. B. C. D. 7. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A. 100100（1x）100（1x）2500B. 100（1x）2500C. 100100（1x）2500D. 100（1x）5008. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，6）、B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点B的对应点B的坐标是（）A. （3，1）B. （1，
3、2）C. （9，1）或（9，1）D. （3，1）或（3，1）9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D. 10. 已知点，在二次函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C 若，则D. 若，则二、填空题11. 若是关于x的方程：的一个解，则_12. 如果二次函数的图象的顶点在x轴上，那么m的值为_13. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2m，它的影子BC1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN1.8m，MN0.8m，木竿PQ的长度为 _14. 如图，点A(2，m)，B(1，n)是抛物线上的两点，直线
4、ykxb经过A、B两点，不等式kxb的解集为_15. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为558平方米，求则小道的宽为 _米16. 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示：abc，一次函数yaxc的图象不经过第四象限，m(amb)ba(m是任意实数)，3b2c0，a+b+c0其中正确的结论有_(填序号)三、解答题17. 计算：18. 解方程（1）2x2+4x+1=0 （配方法）（2）x2+6x=5（公式法）19. 抛物线顶点为，且过点，求它的函数解析式.20. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：该
5、方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求k的值21. 在如图的方格纸中，OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2,-1），B（-1,-3），与OAB是关于点P为位似中心的位似图形（1）在图中标出位似中心P的位置；（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出OAB的一个位似，使它与OAB的位似比为2：1；（3）OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在中的对应点的坐标为_22. 如图，已知D，E，F分别是ABCAB，AC，BC边上的点，DEBC，DFAC（1）求证：ADEDBF；（2）若，求ADE的面积23. 小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”
6、，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CBEF1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN（平面镜的大小忽略不计） 24. 若ABC绕点A逆时针旋转后，与ADE构成位似图形，则我们称ABC与ADE互为“旋转位似图形”（1）知识理解：如图1，ABC与ADE互为“旋转位似图
7、形”若25，D100，C28，则BAE ；若AD6，DE7，AB4，则BC （2）知识运用：如图2，在四边形ABCD中，ADC90，AEBD于点E，DACDBC，求证：ACD与ABE互“旋转位似图形”（3）拓展提高：如图3，ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且ABD与ACE互为“旋转位似图形”若AB6，AD4，求的值25. 某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶已知头盔的进价为每顶40元，设每顶头盔的售价为x元，每月的销售
8、量为y（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若该商店每月获取2500元的利润，则每顶头盔的售价应定为多少？（3）每顶头盔的售价为多少时，该商店每月可获取最大利润？最大利润为多少？26. 如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标福建省莆田市荔城区二校联考九年级上第一次月考数学试卷一、单选题1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）A. x20B. C. ax2b
9、xc0D. xy10【答案】B【解析】根据一元二次方程的定义，必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是逐一判断即可【详解】A、x2=0是一元一次方程，不合题意；B、是一元二次方程，符合题意；C、当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；D、xy+1=0是二元二次方程，不合题意故选：B【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键2. 在中，下列四个选项，正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可【详解】解：如图，
10、根据勾股定理得：BC，C正确，A、B、D错误，故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键3. 如图，l1l2l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F若，DE4，则DF的长是（ ）A. B. C. 6D. 10【答案】D【解析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF，结合图形计算即可【详解】解：l1l2l3，又DE4，EF6，DFDE+EF10，故选：D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位
11、长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：故选：A【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键5. 如图，点P是ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定ABPACB的是（）A. B. C. ABPCD. APBABC【答案】B【解析】根据相似三角形的判定定理（有两角分别相等的两三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可
12、【详解】解：A、A=A，ABPACB，故本选项不符合题意；B、根据和A=A不能判断ABPACB，故本选项符合题意；C、A=A，ABP=C，ABPACB，故本选项不符合题意；D、A=A，APB=ABC，ABPACB，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键6. 如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用A字模型相似三角形证明ANCADB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答
13、【详解】解：如图：由题意得：AB= =5，CN/BD，ANC=ADB，ACN=ABD，ANCADB，AC=，故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键7. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A. 100100（1x）100（1x）2500B. 100（1x）2500C. 100100（1x）2500D. 100（1x）500【答案】A【解析】先根据题意求得二月份的营业额、三月份的营业额，再根据等量关系“一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=500
14、万元”即可列出方程【详解】解：一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，二月份的营业额为100（1+x），三月份的营业额为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，可列方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=1000故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，6）、B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点B的对应点B的坐标是（）A. （3，1）B. （1，2）C
15、. （9，1）或（9，1）D. （3，1）或（3，1）【答案】D【解析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B的坐标【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，点B（-9，-3）对应点B的坐标是（-3，-1）或（3，1）故选：D【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点
16、（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；故选【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系10. 已知点，在二次函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线，利用数形结合的思想进
17、行求解【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线，A当，则，如下图：由图可知，不符合题意；若，则，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，故不正确，不符合题意；B当，则，如下图：由图可知，符合题意；C当，如下图：满足，由图象可知，不符合题意；D当，如下图：满足，由图象可知，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键二、填空题11. 若是关于x的方程：的一个解，则_【答案】-2【解析】把x=-3代入方程，即可得到一个关于m，n的等式，进而可以求得3m+n的值【详解】解：把x=-3代入方程得：9m+3n+6
18、=0，即9m+3n=-6，所以3m+n=-2故答案：-2【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义及代数式求值一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立12. 如果二次函数的图象的顶点在x轴上，那么m的值为_【答案】1【解析】把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解【详解】解：由二次函数可得：，该二次函数的顶点在x轴上，解得：，故答案为：1【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键13. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB2m，它的影子BC1.5m，木竿PQ的影子有一部分
19、落在了墙上，它的影子QN1.8m，MN0.8m，木竿PQ的长度为 _【答案】3.2m【解析】连接AC，过点M作MFPQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得，进行计算即可得PF的长度，即可得【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MFPQ，PQQN，MNQN，四边形FQNM是矩形，FQ=MN=0.8，同一时刻物体影子与实际高度成比例，PF=2.4，PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），故答案为：3.2m【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论14. 如图，点
20、A(2，m)，B(1，n)是抛物线上的两点，直线ykxb经过A、B两点，不等式kxb的解集为_【答案】或【解析】根据点A、B的坐标，再找出抛物线图象在直线上方的部分的x的取值范围即可得解【详解】解：点A（2，m），B（1，n）是抛物线上的两点，当x1或x2时，抛物线图象在直线上方，故不等式kx+b的解集为x1或x2故答案为：x1或x2【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，数形结合是数学中的重要思想之一15. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为
21、558平方米，求则小道的宽为 _米【答案】2【解析】设小道的宽为x米，由题意：使种植面积为558平方米，列出一元二次方程，解方程即可【详解】解：设小道的宽为x米，则把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（352x）米，宽为（20x）米，依题意得：（352x）（20x）558，整理，得275x+1420，解得：x2或x35.5（不合题意舍去）即小道的宽为2米，故答案为：2【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系，准确列方程是解题的关键16. 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示：abc，一次函数yaxc的图象不经过第四象限，m(amb)ba(m是任意实数
22、)，3b2c0，a+b+c0其中正确的结论有_(填序号)【答案】#【解析】根据抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，即可判定a0，c0，再结合抛物线的对称轴可得b=2a，即可判断；根据以得出的a0，c0，即可判断；令m=-1即可判断；根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0，可得当x=1时，有，即可判断；结合b=2a，可得，即可判断【详解】抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，a0，c0，抛物线的对称轴为x=-1，即b=2a，且b0，即有bac，故错误；a0，c0，可知一次函数经过一、三、四象限，故错误；m为任意数，当m=-1时，有，故错误；根据图象可知，当x=1时，抛物线的
23、函数值大于0，当x=1时，有，故正确b=2a，故正确，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴，一次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答本题的关键解答此题时要注意数形结合的思想三、解答题17. 计算：【答案】【解析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可【详解】解：【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键18 解方程（1）2x2+4x+1=0 （配方法）（2）x2+6x=5（公式法）【答案】（1） （2），【解析】（1）配方法求解可得；（2）公式法求解可得【小问1详解】
24、（1）解：2x2+4x=1，x2+2x= ，x2+2x+1= +1，即（x+1）2= ，x+1= ，则x=1 小问2详解】解：x2+6x5=0，a=1，b=6，c=5，=3641（5）=56，则x= =3，【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键19. 抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.【答案】【解析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式，由顶点可知，将点代入即可.【详解】解：设将点代入得解得所以【点睛】本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键.20. 已知关于x的一元二次方程（1）
25、求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求k的值【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出结合偶次方的非负性可得出0，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=4k，x1x2=3k2，结合（x1-x2）2=9，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论【小问1详解】，且无论k为何实数，0该方程总有两个实数根；【小问2详解】方法一：设该方程两个实数根分别为，则有，则解得：方法二：解得：， 由题意得： ，解得：【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当=0时，
26、一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1-x2）2=1，找出关于k的方程21. 在如图的方格纸中，OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2,-1），B（-1,-3），与OAB是关于点P为位似中心的位似图形（1）在图中标出位似中心P的位置；（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出OAB的一个位似，使它与OAB的位似比为2：1；（3）OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在中的对应点的坐标为_【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（2a，2b）【解析】（1）对应点连线所在直线的交点即为位似中心；（2）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点，即可；（
27、3）利用位似变换的性质作出图形即可【小问1详解】如图，点P即为所求；【小问2详解】如图，即为所求；证明：利用勾股定理，可得，则与位似比为；【小问3详解】根据位似比的性质，可得点的坐标（2a，2b）故答案为：（2a，2b）【点睛】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k22. 如图，已知D，E，F分别是ABC的AB，AC，BC边上的点，DEBC，DFAC（1）求证：ADEDBF；（2）若，求ADE的面积【答案】（1）见解析 （2）4【解析】（1）根据平行线的性质得到
28、ADEB，ABDF，即可证明ADEDBF；（2）根据相似三角形的性质求解即可【小问1详解】证明：DEBC，DFAC，ADEB，ABDF，ADEDBF【小问2详解】解：ADEDBF， ，ADE的面积是4【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键23. 小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即A
29、D15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CBEF1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN（平面镜的大小忽略不计）【答案】小雁塔的高度MN为43.5米【解析】证明RtAMNRtACB，可得，再证得RtMNDRtFED，可得，从而得到，可解得AN25，即可求解【详解】解：根据题意得BACNAM，ABCMNA，RtAMNRtACB，即；EDFNDM，DEFMND，RtMNDRtFED，即，联立得：，解得AN25，解得MN43.5，答：小雁塔的高度MN为43.5米【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三
30、角形的判定和性质是解题的关键24. 若ABC绕点A逆时针旋转后，与ADE构成位似图形，则我们称ABC与ADE互为“旋转位似图形”（1）知识理解：如图1，ABC与ADE互为“旋转位似图形”若25，D100，C28，则BAE ；若AD6，DE7，AB4，则BC （2）知识运用：如图2，在四边形ABCD中，ADC90，AEBD于点E，DACDBC，求证：ACD与ABE互为“旋转位似图形”（3）拓展提高：如图3，ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且ABD与ACE互为“旋转位似图形”若AB6，AD4，求的值【答案】（1）27；（2）见
31、解析； （3）【解析】（1）依据ABC和ADE互为“旋转位似图形”，可得ABCADE，依据相似三角形的对应角相等，即可得到BAE180100282527；依据ABCADE，可得，根据AD6，DE7，AB4，即可得出BC；（2）依据AODBOC，即可得到，进而得到AOBDOC，再根据78，ADCAEB，即可得到ABEACD，进而得出ACD和ABE互为“旋转位似图形”；（3）利用三角函数和勾股定理解答即可【详解】（1）ABC和ADE互为“旋转位似图形”，ABCADE，DB100，又25，E28，BAE180100252827；ABCADE，AD6，DE7，AB4，BC，故答案为：27；（2）DOA
32、COB，DACDBC，DOACOB，即，又DOCAOB，AOBDOC，DCAEBA，又ADC90，AEBD，ADCAEB90，ABEACD，DACEAB，AEB绕点A逆时针旋转DAE的度数后与ADC构成位似图形，ACD和ABE互为“旋转位似图形”； （3）ACAGAB3，由题意得：，AD4，AE2，DAEFAC60，cosDAEcos60，DEA90，由勾股定理可得CE，DEAEtanDAE2，【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键25. 某商店销售一批头盔，
33、售价为每顶60元，每月可售出200顶在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶已知头盔的进价为每顶40元，设每顶头盔的售价为x元，每月的销售量为y（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若该商店每月获取2500元的利润，则每顶头盔的售价应定为多少？（3）每顶头盔的售价为多少时，该商店每月可获取最大利润？最大利润为多少？【答案】（1）y20x+1400 （2）45元 （3）每顶头盔的售价为55元时，该商店每月可获取最大利润，最大利润为4500元【解析】（1）根据题意直接写出y与x的函数解析式即可；（2）根据总利润单件利润销售量列出方程，解方程即可；（3
34、）根据总利润单件利润销售量写出函数解析式，利用函数的性质求最值【小问1详解】解：由题意得：，y与x的函数关系式为y20x+1400（40x60）；【小问2详解】解：由题意得：，整理得：，解得：（舍），答：每顶头盔的售价应定为45元；【小问3详解】解：设商店每月可获取的利润为w元，则 200，当x55时，w有最大值，最大值为4500，答：每顶头盔的售价为55元时，该商店每月可获取最大利润，最大利润为4500元【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答26. 如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点（1）求点C
35、及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）点P的坐标为（1，4），的最小值为；（3）面积的最大值为，此时点的坐标为【解析】（1）令抛物线解析式中即可求出点坐标，将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P，先利用待定系数法求出解析式，由此再求出点P坐标即可；（3）过点作轴的垂线交直线于Q点，设，进而得到点坐标，最后根据求解即可【详解】解：（1）
36、将代入，得：，点的坐标为，抛物线的顶点的坐标为；（2）如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP，根据轴对称的性质可得：，两点之间线段最短，此时最小，将代入，得： ，解得：，点的坐标为，设直线BC的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线BC的解析式为，顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，将代入，得，点P的坐标为（1，4）；故此时的最小值为（3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，如图1所示：设点坐标为，则点坐标为，其中，当时，有最大值为，将代入，得：，BCN面积的最大值为，此时点的坐标为【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求直线的解析式等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题是解决本题的关键
