1、河南省顶级名校2023届高三上第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A B. C. D. 2. 已知复数、，满足，则（ ）A. B. C. D. 3. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）A 30B. 60C. 120D. 1504. 执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 5. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物
2、出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（ ）参考数据：参考时间轴：A. 宋B. 唐C. 汉D. 战国6. 红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种7. 函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A. B. 1C. 1D. 8. 已知函数，则（
3、）A. 在单调递增B. 有两个零点C. 曲线在点处切线的斜率为D. 是偶函数9. 已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（ ）A. 直线过焦点时，最小值4B. 直线过焦点且倾斜角为60时（点A在第一象限），C. 若中点的横坐标为3，则最大值为8D. 点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：10. 在三棱锥中，平面ABC，与的外接圆圆心分别为，若三棱锥的外接球的表面积为，设，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 11. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，
4、菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数则下列说法正确的是（ ）当时，；若不等式至少有3个正整数解，则；过点作函数图象的切线有且只有一条；设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中的系
5、数是_（用数字作答）14. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_15. 已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是_.16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”若“黄金椭圆”：两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17. 已知数列满足（1）记，写出，并求出数列的通项公式；（2）求数列前2022项和.18. 如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆
6、的一条直径，是边长为的等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值.19. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.（1）若，求和；（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育医疗福利的增加等）.若希望增大，如何调控的值？是否存在的值使得，请说明理由.20. 设为双曲线的左右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1
7、）求双曲线的离心率；（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21. 已知是自然对数底数，函数，直线为曲线的切线，.（1）求的值；（2）判断的零点个数；定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.（二）选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为（1）写出的直角坐标方程；（2）若与有两个公共点，求实数的取值范围23. 已知正数满足，证明：（1）；（2）
8、.河南省顶级名校2023届高三上第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由，得，所以.由，得，所以，所以，故选：B.2. 已知复数、，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先证明复数模的性质：已知、为复数，则，利用复数模的性质可求得结果.【详解】先证明复数模的性质：已知、为复数，则，设，所以，设，则，所以，因为，则，由，故.故选：B.3. 若是夹角为两个单位向量，则与的夹角为（ ）A. 30
9、B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得，故 ，故 ，由于 ，故，故选：C4. 执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据框图,进行循环计算,当时,即可退出,进而求得判断框内应填入的条件.【详解】当当当当当当故可知判断框内应填入的条件是:故选:B.【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件,解题关键是掌握根据框图计算的方法和对数运算法则,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.5. 生物体死亡后，它机体内原有
10、的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（ ）参考数据：参考时间轴：A. 宋B. 唐C. 汉D. 战国【答案】D【解析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.【详解】依题意，当时，而与死亡年数之间的函数关系式为，则有，解得，于是得，当时，于是得：，解得，由得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D6. 红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程
11、中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种【答案】D【解析】【详解】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.7. 函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A. B. 1C. 1D. 【答案】A【解析】由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.【详解】解：由图象可
12、知，则由，得则点在函数图象上，.函数解析式为将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得故故选:A8. 已知函数，则（ ）A. 在单调递增B. 有两个零点C. 曲线在点处切线的斜率为D. 偶函数【答案】C【解析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B【详解】由知函数的定义域为，当时，当时，故在单调递增，在单调递减，A错误；当时，当时，当时，所以只有一个零点，B错误；令，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误故选：C9. 已知A，是抛物线上两动点
13、，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（ ）A. 直线过焦点时，最小值为4B. 直线过焦点且倾斜角为60时（点A在第一象限），C. 若中点的横坐标为3，则最大值为8D. 点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：【答案】B【解析】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确【详解】依题意得，抛物线的焦点为，准线为，对于A，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，此时，故A正确；对于B，由题可知，直线为，代入，整理得
14、，解得或，所以，即，故B错误；对于C，由于A，为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故C正确；对于D，依题意，故，即，同理可得，故直线方程为，故D正确故选：B.10. 在三棱锥中，平面ABC，与的外接圆圆心分别为，若三棱锥的外接球的表面积为，设，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可得，然后利用球的性质可得，进而可得，再利用基本不等式即求.【详解】平面ABC，则为直角三角形，其外心为PB的中点，的外心，又，设三棱锥的外接球的为，连接，则平面ABC，又三棱锥的外接球的表面积为，即，由可得，当且仅当时取等号.的最大值是.故选：B.11. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成
15、的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面与正六边形底面所成的二面角的大小为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】利用的面积与的面积比可求的值.【详解】解：先证明一个结论：如图，在平面内的射影为 ，的平面角为 , ，则. 证明：如图，在平面内作，垂
16、足为，连接，因为在平面内的射影为，故，因为，故，因为，故平面.因平面，故，所以为二面角平面角，所以=.在直角三角形中，.由题设中的第二图可得：.设正六边形的边长为，则，如图，在中，取的中点为，连接，则，且，故，故，故.故选：C.【点睛】12. 已知函数则下列说法正确的是（ ）当时，；若不等式至少有3个正整数解，则；过点作函数图象的切线有且只有一条；设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于，根据题意求出函数在上解析式，即可判断，对于，利用参变量分离法可得，令，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件可求出的取值范围，对于，切点，则切点，得，化
17、简后构造函数可求出，从而可求出切线方程，对于，由题意可得，设，利用导数可得其在上是增函数，所以得对任意的恒成立，再由的单调性可得结果.【详解】对于，当，正确；对于，当时，由，得，令，则，所以在上单调递增，因为不等式至少有3个正整数解，所以不等式的解集中至少含有元素1，2，3，所以，所以错误，对于，设切点，则，即，设，当时，是单调递增函数，最多只有一个根，又，由得切线方程是，故正确；对于，由题意设，则，于是在上是增函数，即对任意的恒成立，因此只需当时，由，在上为增函数，即的最大值是e，正确故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解
18、题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性分析判断，考查数学计算能力和分析问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中的系数是_（用数字作答）【答案】-4480【解析】，把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.【详解】解：，其展开式的通项为，令，则，的通项为，令的系数为.所以的展开式中的系数是.故答案为：-448014. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_【答案】【解析】由题知、，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的
19、方程为，即；方法2：设，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：15. 已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，令可得，设，其中，则函数在上有两个不等的零点，所以，解得.故答案为：.16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”若“黄金椭圆”：两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_【答案】【解析】可利用和的面积比先求出，进一步再求出.【详解】因为，三点共线，故可先求，再求出.如
20、图，连接，设到轴距离为，到轴距离为，则设内切圆的半径为，则，不妨设，则，.故答案为：.三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17. 已知数列满足（1）记，写出，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前2022项和.【答案】（1）， （2）【解析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；（2）由得，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算【小问1详解】，又【小问2详解】，则18. 如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是
21、边长为的等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【小问1详解】为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，故又，又，平面平面【小问2详解】取的中点，连接，则，由(1)可知，平面，又 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得，平面，四边形为矩形， 平面的一个法向量为.设平面的一条法向量为，由 得 令，则，平面的一个法向量为 则平面与平面的夹角的余弦值为平面和平面夹角的余弦值为19. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1
22、230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.（1）若，求和；（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育医疗福利的增加等）.若希望增大，如何调控的值？是否存在的值使得，请说明理由.【答案】（1），； （2）增加p的取值；不存在，理由见解析.【解析】(1)根据条件概率计算方法求出，再根据即可计算求值；(2)根据分布列的概率和为1得到与p的关系，构造函数，利用导数判断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可判断=的单调性，从而得到结果；根据
23、分布列概率和为1及列出关于p的方程，判断方程是否有解即可【小问1详解】由题意得：，所以，由全概率公式，得，又，则；【小问2详解】由，得，记，则，记，则，故在单调递减，在单调递减因此增加p的取值，会减小，增大，即增大假设存在p使，又，将上述两式相乘，得，化简得，设，则，则在单调递减，在单调递增，的最小值为，不存在使得20. 设为双曲线的左右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线的离心率；（2）已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2 （2）以
24、为直径的圆过定点或【解析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足.【小问1详解】由已知得：，将代入中，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得：，因为，所以，方程两边同除以得：，解得：或（舍去），所以双曲线的离心率为2【小问2详解】因为，所以，解得：，故，所以双曲线方程，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线联立得：，设，则，因为直线过右焦
25、点且与双曲线的右支交于两点，所以，解得：，直线，则，同理可求得：，则，其中，所以则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以为直径的圆的方程为：，整理得：，所以以为直径的圆过定点，当直线的斜率不存在时，此时不妨设，此时直线，点P坐标为，同理可得：，.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，综上：以为直径的圆过定点，.【点睛】直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.21. 已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，.（1）求的值；（2）判断的零点个数；定义函数在上单调递增.求实数的取值范
26、围.【答案】（1）1 （2）零点个数为1个； 【解析】（1）求出的导数，设出切点，可得斜率，由切线方程可得参数方程即可求得答案；（2）利用零点的性质判断出零点的范围，然后利用的导数判断出函数的单调性，即可判断出零点个数；先求出的交点设为，并求出的具体范围，然后利用新定义求最小值并求得的解析，然后利用恒成立的判断分离参数后利用函数的单调性即可求得答案.【小问1详解】解：由题意得：设切线的且点位，则可得：，又可得 ： 又因为直线为曲线的切线故可知 由解得：【小问2详解】 由小问（1）可知： ，故必然存在零点，且又因为，当时，当时，令 故故在上是减函数综上分析，只有一个零点，且 由的导数为当时，递增
27、，当时，递减；对的导数在时，递增；设的交点为，由（2）中可知当时，由题意得：在时恒成立，即有；在上最值为故当时，由题意得：在时恒成立，即有令，则可得函数在递增，在上递减，即可知在处取得极小值，且为最小值；综上所述：，即.（二）选考题：共10分请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为（1）写出的直角坐标方程；（2）若与有两个公共点，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】（1）利用进行代换即可得到直线的直角坐标方程；（2）先将曲线C的直角坐标
28、方程求出，再和直线方程联立，从而将问题转化为二次方程在有两个解的问题，进而求解.【小问1详解】由得，又，所以的直角坐标方程为，即【小问2详解】由曲线的参数方程（为参数，），消去得，联立得，（*）由双曲线的右支与直线有两个交点，则保证方程（*）有两个正根即可，设两个根分别为，由题意可得：，解得，故实数的取值范围为23. 已知正数满足，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】（1）根据3个数的不等式关系即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】因为均为正数，所以，则，所以.当且仅当时，取得等号.【小问2详解】由基本不等式可知，所以.，当且仅当时，取得等号.故.
