1、河南省顶级名校2023届高三上第一次月考数学试卷（文科）一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. 1D. 2. 已知集合关于的方程无实数根方程表示椭圆，则（ ）A. B. 点C. D. 3. 已知边长为2的等边为其中心，对；这四个等式，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（ ）A. 这16日空气重度污染频率为0.5B. 该市出现过连续4天空气重度污染C. 这16日的空
2、气质量指数的中位数为203D. 这16日的空气质量指数的平均值大于2005. 执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 6. 若变量x，y满足|x|ln0，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D. 7. 已知矩形中，.如果向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于的概率为A. B. C. D. 8. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点.下列说法中正确的是（ ）A. A，C，E，F四点共面B. AD1与B1D所成夹角为60C. BG平面ACD1D. 三棱
3、锥DACD1与三棱锥BACD1体积相等9. 有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为，圆台的侧面积为，则（ ）A. B. C. D. 无法确定与的大小10. 奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11. 已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（ ）A. 直线过焦点时，最小值为4B. 直线过焦点且倾斜角为60时（点在第一象限），C. 若中点M横坐标为3，则最大值为8D. 点坐标，且直线斜率之和为，与抛物线的另一交点为，则直线方
4、程为： 12. 将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数满足则的最小值是_.14. 若直线和直线将圆的周长四等分，则_15. 在中，则当取最大值时，_.16. 过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是_.三解答题（共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
5、2223题为选考题，考生根据要求作答.）17. 已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.18. 如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与侧面交于，且点在棱上，点在棱上，且（1）求证：；（2）若为的中点，与平面所成的角为，求侧棱的长.19. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下与的对应数据：（元）2530384552（万份）7.57.16
6、.05.64.8据此计算出的回归方程为求参数的估计值；若把回归方程当作与的函数关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益20. 已知函数(a为实数).（1）当f(x)与y=3切于A(x0，f(x0)，求a，x0的值；（2）设，如果F(x)1在(0，+)上恒成立，求a范围.21. 设分别是椭圆左右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.（1）求椭圆的离心率；（2）设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数
7、方程为（t为参数，）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（）.（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围.23. 已知正数满足，证明：（1）；（2）.河南省顶级名校2023届高三上第一次月考数学试卷（文科）一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】由题设，利用复数的除法求.【详解】由题设，则.故选：A2. 已知集合关于的方程无实数根方程表示椭圆，则（ ）A. B. 点C D. 【答案】D【解析】利用求集合A，根据曲线表示椭圆求集合B，再应用集合的
8、交运算求.【详解】由无实根，则，即，由表示椭圆，则，可得或，所以，或.故.故选：D3. 已知边长为2的等边为其中心，对；这四个等式，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于：根据向量线性运算整理可得，理解判断；对于、：根据向量数量积的定义，代入运算判断，注意对向量夹角的理解；对于：根据为三角形的重心，理解判断【详解】对于：，则，错误；对于：，正确；对于：根据题意可知为等边的重心，则，正确；对于：，正确；故选：C4. 如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不
9、正确的是（ ）A. 这16日空气重度污染的频率为0.5B. 该市出现过连续4天空气重度污染C. 这16日的空气质量指数的中位数为203D. 这16日的空气质量指数的平均值大于200【答案】D【解析】通过计算可以判断选项ABC正确，选项D不正确.【详解】解：这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；.故D中说法不正确故选：D5. 执行如图所示的程序框图,如果输出,那么判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据框图,进行循环计算,当时,即可退出,进而求得判断框内应填入的
10、条件.【详解】当当当当当当故可知判断框内应填入的条件是:故选:B.【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件,解题关键是掌握根据框图计算的方法和对数运算法则,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.6. 若变量x，y满足|x|ln0，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件可得，显然定义域为，且过点，当时，是减函数，即可选出答案【详解】若变量满足，则，显然定义域为，且过点，故排除再根据当时，是减函数，排除故选【点睛】本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题7.
11、已知矩形中，.如果向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，使得ABP与ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.8. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1的三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点.下列说法中正确的是（ ）A. A，C，E，F四点共面B. AD1与B1D所成夹角为60C. BG平面ACD1D
12、. 三棱锥DACD1与三棱锥BACD1体积相等【答案】D【解析】根据两平行线确定一个平面，以及两平面相交时交线唯一即可判断A，根据向量垂直可得直线垂直，进而判断B，根据线面平行得矛盾可判断C,根据等体积法即可判断D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系；设正方体的棱长为3，则,取的中点为,则又，因此,故四点共面，又平面,假如直线平面，则这与平面与平面的交线是矛盾，故四点不共面，错误；故,所以，进而AD1与垂直，故B错误；因为平面,平面,所以平面，若平面，则平面平面，显然矛盾，故C错误；由于,故底面和高均相等，因此体积相等，正确.故选：D9. 有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底
13、面成60角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为，圆台的侧面积为，则（ ）A. B. C. D. 无法确定与的大小【答案】B【解析】根据母线与下底面成角，且母线长恰好等于上下底半径之和，得到，通过计算得到圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，此球体积最大且半径是，计算出与，比较出大小.【详解】如图所示，过点D作DEAB于点E，设圆台上下底的半径分别为，由其母线与下底面成角，且母线长恰好等于上下底半径之和，则，且，解得：，故，取AC中点O，过点O作OHBD于点H，连接OB，OD，则由勾股定理得：，又，由勾股定理逆定理可得：OBOD，所以，故
14、满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，此球体积最大且半径是，表面积，圆台上下底的半径分别为，母线长为，侧面积，则.故选：B10. 奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到，列出不等式组，求出的取值范围.【详解】因为为奇函数，所以，即，当时，则，所以，解得：.故选：B11. 已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（ ）A. 直线过焦点时，最小值为4B. 直线过焦点且倾斜角为60时（点在第一象限），C. 若中点M的横坐标为3，则最大值为8D. 点坐标，且直线斜率之
15、和为，与抛物线的另一交点为，则直线方程为： 【答案】B【解析】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确【详解】解：直线过焦点，则由焦半径公式得，当垂直于轴时，取最小值，此时，故正确；对于选项，由题可知，直线为，代入，整理得，解得或，所以，即，故B错误；对于C，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；对于选项，依题意知，所以，解得，即，因为直线斜率之和为，所以，解得，即，所以，所以，直线方程为，即，故D选项正确.故
16、选：B12. 将个数排成行列的一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题知，解方程得，再根据等差数列与等比数列通项公式得，进而根据分组求和和错位相减法求解依次讨论B,D选项即可得答案.【详解】解：，解得或（舍负），故选项错误；，即选项错误；，令，则-得，当时，即选项B错误；，即选项正确.故选：D.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数满足则的最小值是_.【答案】3【解析】【详解】分析：先作可行域，再平移目标
17、函数所代表的直线，结合图形确定最小值取法.详解：作可行域，所以直线过点A（1，1）时取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 若直线和直线将圆的周长四等分，则_【答案】2【解析】由条件可得直线和直线间的距离为，由此可求的值.【详解】设直线和圆相交与点，直线与圆相交于点，圆心为，因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，且,所以为等腰直角三角形，所以圆心为到直线
18、的距离为，同理可得圆心为到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，所以，故答案为：2.15. 在中，则当取最大值时，_.【答案】1【解析】利用基本不等式和三角函数两角和与差的公式，直接计算即可求解.【详解】在中，知，且，当且仅当时取等号，单调递增，则此时取最大值，且，得，.故答案为：116. 过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是_.【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，连接设，分别求得，同理，结合，求得，进而求得离心率.【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，设双曲线的左焦点为，连接，则，在中，设，则
19、，在中，由余弦定理得，将代入整理后得，同理，因为，所以，故离心率为.故答案为：三解答题（共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.）17. 已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】（1）根据向量共线的坐标表示：，整理得，即可判断数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）根据裂项相消求和，代入运算理解【小问1详解】由题意得：，三点共线，则，可得，即.数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.【小问2详解】，所以1
20、8. 如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与侧面交于，且点在棱上，点在棱上，且（1）求证：；（2）若为的中点，与平面所成的角为，求侧棱的长.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）根据平面，结合线面平行的性质定理得，再结合平行公理即可证明；（2）首先证明平面，进而得为与平面所成的角，即，设，再根据几何关系求解即可.【小问1详解】证明：因为棱柱中，底面是平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面，平面，平面平面，所以，由线面平行的性质定理有，又因为棱柱中，所以. 【小问2详解】解：在底面中，.又侧棱底面，底面，面.又，平面平面，连接，则为与平面所成的角，即，设，在中，解得，为的
21、中点，.19. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下与的对应数据：（元）2530384552（万份）7.57.16.05.64.8据此计算出的回归方程为求参数的估计值；若把回归方程当作与的函数关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益【答案】（1）0.275（2）0.1； 99万元.【解析】（1）根据频率分布直方图，利用
22、平均数公式求解； （2）先求得样本点，代入求解； 设每份保单的保费定为20+x元，则销量为（万元），得到收入为求解.【详解】（1）平均收益率；（2）因为， ，所以，解得；由得回归方程，设每份保单的保费定为20+x元，则销量为（万元），则收入，所以时，收益最大，最大收益为万元，所以每份保单的保费定60元时此产品可获得最大收益，最大收益99万元.20. 已知函数(a为实数).（1）当f(x)与y=3切于A(x0，f(x0)，求a，x0的值；（2）设，如果F(x)1在(0，+)上恒成立，求a的范围.【答案】（1），x0=4；（2）a0.【解析】（1）利用函数的导数，函数与y=3切于A(x0，f(x0
23、)，列出方程组，求解即可.（2）求出F(x)= 的导函数F(x)，利用F(0)=1.通过当a=0时，当时，当时，当时，当a0时，判断函数的单调性，转化求解a的范围即可.【详解】解：（1）=ax2+x1，由f(x)与y=3切于点A(x0，f(x0)，则，解得，x0=4.（2）F(x)=，=ex(ax2+(2a+1)x)，且F(0)=1.当a=0时，=xex，可知F(x)在(0，+)递增，此时F(x)1成立；当时，可知F(x)在递增，在递减，此时，不符合条件；当时，恒成立，可知F(x)在(0，+)递减，此时F(x)1成立，不符合条件；当时，可知F(x)在(0，+)递减，此时F(x)0时，可知F(x
24、)在(0，+)递增，此时F(x)1成立.综上所述，a0.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键是求出=ex(ax2+(2a+1)x)，讨论的取值范围，确定函数的单调性，考查了分类讨论的思想、数学运算.21. 设分别是椭圆的左右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.（1）求椭圆的离心率；（2）设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1） （2）证明见解析，定点【解析】（1）结合题意得，进而根据直线的斜率为得，即，再解方程即可得答案；（2）结合（1）得圆的方程为，
25、进而设直线的方程为，再与椭圆方程联立结合韦达定理和整理化简得或，再检验不满足题意，进而得直线经过轴上定点.【小问1详解】由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，的横坐标为.当时，即.又直线的斜率为，所以，即，即则，解得或（舍去），即.【小问2详解】解：已知是椭圆的上顶点，则，由（1）知，解得，所以，椭圆的方程为，设直线的方程为，联立可得，所以，又，化简整理有，得或当时，直线经过点，不满足题意；.当时满足方程中，故直线经过轴上定点.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（）.（1）写出l的直
26、角坐标方程；（2）若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化即可求解，（2）消参得曲线的普通方程，联立直线与曲线的方程，通过一元二次方程根的分布即可求解.【小问1详解】由得，所以的直角坐标方程为，即.【小问2详解】由曲线的参数方程（为参数，），消去得，.联立得由双曲线的右支与直线有两个交点，则保证方程有两个正根即可，由题意可知解之得，.故实数的取值范围为.23. 已知正数满足，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】（1）根据3个数不等式关系即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】因为均为正数，所以，则，所以.当且仅当时，取得等号.【小问2详解】由基本不等式可知，所以.，当且仅当时，取得等号.故.
