1、福建省福州市闽侯县福建省福州市闽侯县 2021-2022 学年九年级上期中质量抽测数学试题学年九年级上期中质量抽测数学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分；每小题只有一个正确的选项 ）分；每小题只有一个正确的选项 ） 1 （4 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （4 分）一元二次方程 3x2+24x 化为一般形式后，常数项为 2，二次项系数和一次项系数分别分（ ） A3，2 B3，4 C3，4 D3x2，4x 3 （4 分）将二次函数 yx2+4x+1 通过配方可化为 ya（xh）2+k 的形式，结果为（ ） Ay（x+2）2+3
2、By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）23 4 （4 分）如图，点 A，B，C 是O 上的三点，B70，则AOC 的度数是（ ） A150 B140 C130 D120 5 （4 分）对于二次函数 y2（x1）24 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 By 随 x 增大而减小 C与 x 轴无交点 D顶点坐标是（1，4） 6 （4 分）涞水县某种植基地 2018 年蔬菜产量为 100 吨，预计 2020 年蔬菜产量达到 120 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A100（1+x）2120 B120（1x）2100 C100（1
3、+2x）120 D100（1+x2）120 7 （4 分）如图，已知O 是ABD 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD58，则BCD 等于（ ） A16 B32 C58 D64 8 （4 分）已知点 A（3，4） ，将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 90得点 B，则点 B 的坐标为（ ） A （3，4） B （4，3） C （4，3） D （3，4） 9 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程（xm）2+n0 的解为 x12，x25，则抛物线 y（xm+2）2+n与 x 轴交点坐标是（ ） A （2，0） ， （5，0） B （4，0） ， （7，0） C （2，0） ，
4、 （3，0） D （0，0） ， （3，0） 10 （4 分）已知直线 l：yx，点 P 在直线 l 上，点 A（2，0） ，点 B（2+，0） ，若APB 是直角三角形，则点 P 的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 11 （4 分）若 xm+2+（m1）x+10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 12 （4 分）点（1，3）关于原点的对称点的坐标为 13 （4 分）二次函数 y2（x3）2+1 图象绕原点旋转 180得新图象的解析式为 14 （4 分）已知矩形 ABCD 中，AB3，BC
5、4，以点 A 为圆心，r 为半径作A，若点 C 在A 外，且点B 在A 内，则 r 的取值范围 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，AC2，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC， 点A的对应点为A， 点A恰好在AB边上， 则点B与点B之间的距离为 16 （4 分）如图，直线 l 与半径为 2 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合） ，过点 P作 PBl，垂足为 B，连接 PA设 PAx，PBy，则（xy）的最大值是 三、解答题（共三、解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x22x80 18 （8 分）已知关于 x 的一元
6、二次方程 x2+mx20， （1）求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程一个根为 1，求 m 及方程的另一个根 19 （9 分）已知二次函数 yax2+bx+c 中的 x，y 满足下表： x 1 0 1 2 3 4 5 y 3.5 1 0.5 1 0.5 1 3.5 （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当 x 取什么值时，y0？ 20 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过点 C 的直线互相垂直，垂足为点 D，AC 平分DAB求证：直线 CD 是O 的切线 21 （8 分）如图
7、，已知ABC，将ABC 绕着点 A 逆时针方向旋转 60得ADE，点 B，C 的对应点分别是点 D，E （1）画出旋转后的ADE； （2）延长线段 BC 与 ED，它们交于点 N求DNB 的度数 22 （9 分）求证：在同圆中，两条互相平行的弦所夹得弧相等 （请根据图形，写出已知，求证，并证明） 23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是一块边长为 6 米的正方形花圃，现将它改造为矩形 AEFG 的形状，其中点 E 在 AB 边上（不与点 B 重合） ，点 G 在 AD 的延长线上，DG3BE，设 BE 的长为 x 米，改造后花圃 AEFG 的面积为 y 平方米 （1）当改造后花圃 AEFG
8、 的面积与原正方形 ABCD 花圃的面积相等时，求 BE 的长； （2）当 x 为何值时，改造后的花圃 AEFG 的面积最大？并求出最大面积 24 （13 分）如图 1，ABC 与AEF 都是等边三角形，边长分别为 4 和，连接 FC，AD 为ABC 高，连接 CE，N 为 CE 的中点 （1）求证：ACFABE； （2）将AEF 绕点 A 旋转，当点 E 在 AD 上时，如图 2，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，求线段 NG 的长； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A 旋转过程中，求 BN 的最大值 25 （13 分）已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A
9、在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，直线 l 与抛物线交于 A，D 两点，点 D 的坐标为（4，5） ，与 y 轴交于点 E （1）求 A，B 两点的坐标及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 l 下方抛物线上，过点 P 作 PMx 轴于点 M，直线 PM 与直线 l 交于点 N，当点 M是 PN 的三等分点时，求点 P 的坐标； （3）若点 H 是抛物线 yx22x3 对称轴上的一点，且AHD45，请直接写出点 H 的坐标 参参考答案解析考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分；每小题只有一个正确的选项 ）分；每小题只有一个正确的选项 ）
10、1 （4 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念判断把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 【解答】 解： 选项 B、 C、 D 都不能找到这样的一个点， 使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项 A 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 所以是中心对称图形的个数是 1 个 故选：A 【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2 （4 分）一元
11、二次方程 3x2+24x 化为一般形式后，常数项为 2，二次项系数和一次项系数分别分（ ） A3，2 B3，4 C3，4 D3x2，4x 【分析】将原方程转化为一般形式，即可找出二次项系数和一次项系数 【解答】解：一元二次方程 3x2+24x 化为一般形式为 3x24x+20， 二次项系数为 3，一次项系数为4 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能够熟练的将给定一元二次方程转化为一般形式是解题的关键 3 （4 分）将二次函数 yx2+4x+1 通过配方可化为 ya（xh）2+k 的形式，结果为（ ） Ay（x+2）2+3 By（x2）2+3 Cy（x+2）23 Dy（x2）2
12、3 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 【解答】解：yx2+4x+1（x2+4x+4）3（x+2）23，即 y（x+2）23 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数） ； （2）顶点式：ya（xh）2+k； （3）交点式（与 x 轴） ：ya（xx1） （xx2） 4 （4 分）如图，点 A，B，C 是O 上的三点，B70，则AOC 的度数是（ ） A150 B140 C130 D120 【分析】由 A、B、C 是O 上的三点，且ABC70，利用圆周角定理，即可求得答案 【解答】解
13、：A、B、C 是O 上的三点，且ABC70， AOC2ABC270140 故选：B 【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 5 （4 分）对于二次函数 y2（x1）24 的图象，下列说法正确的是（ ） A开口向下 By 随 x 增大而减小 C与 x 轴无交点 D顶点坐标是（1，4） 【分析】由抛物线的顶点式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解 【解答】解：y2（x1）24， 抛物线开口向上，顶点坐标为（1，4） ， 抛物线与 x 轴有 2 个交点，x1 时 y 随 x 增大而减小，x1 时，y 随 x 增大
14、而增大 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系 6 （4 分）涞水县某种植基地 2018 年蔬菜产量为 100 吨，预计 2020 年蔬菜产量达到 120 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A100（1+x）2120 B120（1x）2100 C100（1+2x）120 D100（1+x2）120 【分析】利用增长后的产量增长前的产量（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为 x，根据“从100 吨增加到 120 吨” ，即可得出方程 【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为 100（1+
15、x）2120， 故选：A 【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题） 解题的关键在于理清题目的含义，找到 2017年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程 7 （4 分）如图，已知O 是ABD 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD58，则BCD 等于（ ） A16 B32 C58 D64 【分析】根据圆周角定理得到ADB90，求出A 的度数，根据圆周角定理解答即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， A90ABD32， 则BCDA32， 故选：B 【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理是解题的关键 8 （4 分）
16、已知点 A（3，4） ，将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 90得点 B，则点 B 的坐标为（ ） A （3，4） B （4，3） C （4，3） D （3，4） 【分析】将点 A（3，4）绕原点 O 顺时针方向旋转 90得点 B，根据旋转的性质即可得出答案 【解答】解：将点 A（3，4）绕原点 O 顺时针方向旋转 90得点 B，可得点 B 的坐标为（4，3） 故选：B 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，根据旋转的性质解答是解此题的关键 9 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程（xm）2+n0 的解为 x12，x25，则抛物线 y（xm+2）2+n与 x 轴交点坐标是（ ） A （2，
17、0） ， （5，0） B （4，0） ， （7，0） C （2，0） ， （3，0） D （0，0） ， （3，0） 【分析】由方程（xm）2+n0 的解可得抛物线 y（xm）2+n 与 x 轴交点坐标，再由抛物线 y（xm+2）2+n 是由抛物线 y（xm）2+n 向左移动 2 个单位所得求解 【解答】解：（xm）2+n0 的解为 x12，x25， x2 或 x5 时，y0， 抛物线 y（xm）2+n 与 x 轴交点坐标是（2，0） ， （5，0） ， 抛物线 y（xm+2）2+n 是由抛物线 y（xm）2+n 向左移动 2 个单位所得， y（xm+2）2+n 与 x 轴交点坐标是（0，0）
18、 ， （3，0） ， 故选：D 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律 10 （4 分）已知直线 l：yx，点 P 在直线 l 上，点 A（2，0） ，点 B（2+，0） ，若APB 是直角三角形，则点 P 的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】分为A，B，P 分别为直角时，当P 为直角需要证明以 AB 为直径的圆与函数 yx 只有一个交点，即可得出答案 【解答】解：如图，当A 为直角时，过点 A 作 AP 交函数 yx 于点 P，连接 BP， 所得ABP 即为直角三角形； 如图，当B 为直角时，过点
19、 B 作 BP 交函数 yx 于点 P，连接 AP， 所得ABP 即为直角三角形； 如图，以 AB 为直径作圆， 设 D 为 AB 中点， 点 A（2，0） ，点 B（2+，0） ， 点 D（2，0） ， D 的半径为， 过点 D 作 DPOP 于点 P，连接 AP，BP， OPD90，POD45， PDOPOD45， OD2， DP， 点 P 在D 上，即： 以 AB 为直径的D 与函数 yx 只有一个交点 P， APB90（圆周角定理） 【如果没学圆周角定理可继续看下面另一种解法】 DADPDB， DAPDPA，DPBDBP， DAP+DPA+DPB+DBP180， DPA+DPB90，
20、APB90， ABP 为直角三角形， 综上，点 P 的个数为 3 个， 故选：C 【点评】本题考查正比例函数的性质，勾股定理的逆定理等知识点，解题的关键是分三种情况讨论，难点在于APB 为直角时的证明 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 11 （4 分）若 xm+2+（m1）x+10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 0 【分析】根据一元二次方程的定义求解，可得答案 【解答】解：由 xm+2+（m1）x+10 是关于 x 的一元二次方程，得： m+22， 解得 m0， 故答案为：0 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最
21、高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 12 （4 分）点（1，3）关于原点的对称点的坐标为 （1，3） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点（1，3）关于原点的对称点的坐标为： （1，3） 故答案为： （1，3） 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键 13 （4 分） 二次函数 y2 （x3）2+1 图象绕原点旋转 180得新图象的解析式为 y2 （x+3）21 【分析】根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中
22、心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可 【解答】解：二次函数 y2（x3）2+1 顶点坐标为（3，1） ， 绕原点旋转 180后得到的二次函数图象的顶点坐标为（3，1） ， 所以，旋转后的新函数图象的解析式为 y2（x+3）21 故答案为：y2（x+3）21 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 14 （4 分）已知矩形 ABCD 中，AB3，BC4，以点 A 为圆心，r 为半径作A，若点 C 在A 外，且点B 在A 内，则 r 的取值范围
23、3r5 【分析】首先利用勾股定理得出 AC 的长，根据点与圆的位置关系列出不等式进行解答便可 【解答】解：矩形 ABCD 中，AB4，BC3，B90， AC5， 以 A 为圆心，r 为半径作A，使得点 D 在圆内，点 C 在圆外， 半径 r 的取值范围是：3r5 故答案为：3r5 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，熟记性质是解题关键 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，AC2，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC， 点A的对应点为A， 点A恰好在AB边上， 则点B与点B之间的距离为 【分析】连接 BB，如图，先根据含 30 度的直角三角形三
24、边的关系得到 BC2，再根据旋转的性质得到 CACA，CBCB，ACABAB，则可判断CAA为等边三角形，所以ACA60，然后判断CBB为等边三角形，从而得到 BB的长 【解答】解：连接 BB，如图， ACB90，ABC30，AC2， BCAC2，A60， ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB 边上， CACA，CBCB，ACABAB， CACA，A60， CAA为等边三角形， ACA60， BCB60， CBB为等边三角形， BBCB2， 即点 B与点 B 之间的距离为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
25、心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质 16 （4 分）如图，直线 l 与半径为 2 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合） ，过点 P作 PBl，垂足为 B，连接 PA设 PAx，PBy，则（xy）的最大值是 1 【分析】作直径 AC，连接 CP，得出APCPBA，利用 ，得出 yx2，所以 xyxx2x2+x（x2）2+1，当 x2 时，xy 有最大值是 1 【解答】解：如图，作直径 AC，连接 CP， CPA90， AB 是切线， CAAB， PBl， ACPB， CAPAPB， APCPBA， ， PAx，PBy，半径为
26、2， ， yx2， xyxx2x2+x（x2）2+1， 当 x2 时，xy 有最大值是 1， 故答案为：1 【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x22x80 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解： （x4） （x+2）0， x40 或 x+20， 所以 x14，x22 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 18 （8 分）已知关于 x
27、 的一元二次方程 x2+mx20， （1）求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程一个根为 1，求 m 及方程的另一个根 【分析】 （1）根据根的判别式得出m241（2）m2+80，据此可得答案； （2）把 x1 代入 x2+mx20，求得 m1，然后解方程可得答案 【解答】 （1）证明：m241（2）m2+80， 该方程总有两个不相等的实数根 （2）解：将 x1 代入方程得 1+m20， 解得 m1， 将 m1 代入原方程，得 x2+x20， 解方程得 x11，x22， m1，方程的另一个根为2 【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 ax2
28、+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 19 （9 分）已知二次函数 yax2+bx+c 中的 x，y 满足下表： x 1 0 1 2 3 4 5 y 3.5 1 0.5 1 0.5 1 3.5 （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； （3）直接写出，当 x 取什么值时，y0？ 【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式 （2）描点、连线画出图象即可； （3）令 y0，解方程求得抛物线与 x 轴交点的横坐标，根据图象即可求得 【解答】解： （1
29、）由已知可得， 二次函数 yax2+bx+c 经过点（2，1） ， （0，1） ， （4，1）则 ， 解得：， 二次函数解析式为 yx22x+1； （2）用描点法画出函数图象，如图所示： （3）令 y0，则x22x+10， 解得：x12，x22+， 由图象知，当 x2+或 x2时，y0， 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）待定系数法； （2）利用五点法画出二次函数图象； （3）观察函数图象，找出结论 20 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过点 C 的直线互相垂直，垂足为点 D，AC 平分DAB求证：直线 C
30、D 是O 的切线 【分析】 连接 OC， 根据半径相等， 可得OACOCA， 由 AC 平分DAB， 可推出OCACAD 进而得出 OCAD再由 ADDC，得出 OCDC运用切线的判定可证得结论 【解答】证明：连接 OC， OAOC， OACOCA， AC 平分DAB， OACCAD OCACAD OCAD ADDC， OCD180ADC90 OCDC OC 为半径， 直线 CD 是O 的切线 【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的判定是解此题的关键 21 （8 分）如图，已知ABC，将ABC 绕着点 A 逆时针方向旋转 60得ADE，点 B，C
31、的对应点分别是点 D，E （1）画出旋转后的ADE； （2）延长线段 BC 与 ED，它们交于点 N求DNB 的度数 【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）利用四边形内角和定理求解即可 【解答】解： （1）如图ADE 就是所求的图形； （2）ABC 绕着点 A 逆时针方向旋转 60得ADE， BADE，BAD60， ADN+ADE180， ADN+B180， DNB360ADNBBAD120 【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型 22 （9 分）求证：在同圆中，两条互相平行的弦所夹得弧相等 （请根据图形，写出已知，
32、求证，并证明） 【分析】根据题意分两种情况画出图形，写出已知、求证及证明过程即可 【解答】已知：如图，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD， 求证：弧 AC弧 BD 证明：连接 BC，AO，CO，BO，DO，BC， ABCD， ABCBCD， ， AOC2ABC，BOD2BCD， AOCBOD， 弧 AC弧 BD 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题意作辅助线由平行的性质得到角的关系是解决问题的关键 23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是一块边长为 6 米的正方形花圃，现将它改造为矩形 AEFG 的形状，其中点 E 在 AB 边上（不与点 B 重合） ，点 G 在 AD 的延长线上，DG
33、3BE，设 BE 的长为 x 米，改造后花圃 AEFG 的面积为 y 平方米 （1）当改造后花圃 AEFG 的面积与原正方形 ABCD 花圃的面积相等时，求 BE 的长； （2）当 x 为何值时，改造后的花圃 AEFG 的面积最大？并求出最大面积 【分析】 （1）根据题意可得正方形花圃 ABCD 的面积为 36，进而可得矩形花圃 AEFG 的面积为 36，进而可得：x（x4）0 再解方程即可； （2）根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】 （1）解：根据题意得： （6x） （6+3x）62， 整理得：x（x4）0， 解得 x10（不合题意，舍去） ，x24 则 BE4（米） （2）根据题意得
34、： y（6x） （6+3x） ， 3（x2）2+48 0 x6，30， 当 x2 时，y 的值最大为 48m2 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系 24 （13 分）如图 1，ABC 与AEF 都是等边三角形，边长分别为 4 和，连接 FC，AD 为ABC 高，连接 CE，N 为 CE 的中点 （1）求证：ACFABE； （2）将AEF 绕点 A 旋转，当点 E 在 AD 上时，如图 2，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，求线段 NG 的长； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A 旋转过程中，求 BN 的最大值 【分析】 （1）根据 SAS 证
35、明三角形全等即可； （2）证明 AC 垂直平分线段 EF，推出 CECF，利用勾股定理求出 CE，再利用三角形中位线定理求出GN； （3）在旋转过程中，BNBH+HN，BN而且当点 H 在线段 BN 上时 BN 可以取到最大值 【解答】 （1）证明：如图 1 中，ABC 与AEF 是等边三角形， BACEAF60，AEAF，ABAC， BAECAF， 在ABE 和ACF 中， ， ABEACF（SAS） ； （2）解：如图 2 中，AD 为等边ABC 的高， DCBC2，DACBAC30， AD， AEAF，EAGFAG30， ACEF，EGFG， CECF， AE， DE， EC， CFCE
36、， AEF60，DAC30， AGE180603090， CGE1809090， N 为 CE 的中点， NGCF； （3）解：如图 3 中，取 AC 的中点 H，连接 BH，NH BH 为等边ABC 的中线， BHAC， 由（2）同理可得 BH， N 为 CE 的中点， NH 是ACE 的中位线， NHAE， 在旋转过程中，BNBH+HN， BN而且当点 H 在线段 BN 上时 BN 可以取到最大值， BN 的最大值 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
37、线，构造三角形的中位线解决问题 25 （13 分）已知抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，直线 l 与抛物线交于 A，D 两点，点 D 的坐标为（4，5） ，与 y 轴交于点 E （1）求 A，B 两点的坐标及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 l 下方抛物线上，过点 P 作 PMx 轴于点 M，直线 PM 与直线 l 交于点 N，当点 M是 PN 的三等分点时，求点 P 的坐标； （3）若点 H 是抛物线 yx22x3 对称轴上的一点，且AHD45，请直接写出点 H 的坐标 【分析】 （1）先求出 A，B 点坐标，
38、再根据待定系数法求解直线解析式即可； （2）设点 P 的坐标，点 N 的坐标，表示出 PM 和 PN 的长度，分两种情况 PM 或 PM时两种情况求出点 P 的坐标； （3）根据AHD45，利用定弦定角原理可知点 H 分别在以（4，0）和（1，5）为圆心，半径为 5的圆上，求解 H 点坐标即可 【解答】解： （1）当 y0 时，x22x30， 解得 x13，x21， A（1，0） ，B（3，0） ， 设直线 l 解析式为 ykx+b， l 经过 D（4，5） ，A（1，0） ， ， 解得 直线 l 解析式为 yx+1 （2）根据题意，设点 P 坐标为（x，x22x3） ，则点 N（x，x+1）
39、 ， 点 M 是 PN 的三等分点，点 P 在直线 l 下方抛物线上， PM，且 P 只能在 x 轴的下方， PM（x22x3）x2+2x+3， PNx+1（x22x3）x2+3x+4， 当 PM时，则x2+2x+3（x2+3x+4） ， 解得 x1，x21（舍去） ， P 的坐标为（，） 当 PM时，则x2+2x+3（x2+3x+4） ， 解得 x11，x21（舍去） ， P 的坐标为（1，4） 综上所述，点 P 的坐标为（，）或（1，4） （3）点 H 在以 K 和 I 为圆心，半径为的圆上，如下图所示： AHD45， AKD90，AID90， K（4，0） ，I（1，5） ， 根据勾股定理，得 AD5， KHIH5， 设 H 点坐标为（1，n） 根据勾股定理， 得（41）2+n252或（1+1）2+（n5）225， 解得 n4 或 n4（舍） ，n或 n5（舍） 综上所述，H 点坐标为（1，4）或（1，） 【点评】本题考查了二次函数的综合，运用分情况讨论思想解决三等分点问题以及利用定弦定角原理求点 H 坐标是解决本题的关键
