1、湖北省孝感市部分校2022-2023学年高三上第一次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知集合，则元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若，则=（ ）A. B. C. D. 3. 函数的图象在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 4. 已知F是椭圆右焦点，B为C的上顶点，原点O到直线BF的距离为，则C的离心率为（ ）A B. C. D. 5. 2021年7月至2022年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（ ）备注：同比增长率=，环比增长率=，A. 2022年1月全国居民消费价格比2021年1月全国居民消费价格有所下
2、降B. 2022年5月全国居民消费价格比2022年4月全国居民消费价格有所上升C. 2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0%D. 2021年10月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25%6. 在直四棱柱中，E，F分别是BC，的中点，则“”的一个充分必要条件是（ ）A ，且B. ，且C. ，且D. ，且7. 已知拋物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，于点B，若，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的
3、得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲和l乙，底面半径分别为r甲和r乙，高分别为h甲和h乙，表面积分别为S甲和S乙，若，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且若的图象关于点对称，则（ ）A. B. 的图象关于直线对称C. D. 11. 将数列中的所有项排成如下数阵： 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，成等差数列，且，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ）A. B. 位于第84列C. D. 12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）A. B. C. 的最
4、小值为12D. 的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程：_14. 在中，则=_15. 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有_种16. 刍（ch）甍（mng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体如图，现有一个刍甍，则该刍甍的外接球体积为_四、解答题：本题共6小题，共70分17. 如图，某地出土一块三角形石器，其一角已破损为了复原该三角形石器，现测得如下数据：
5、，（参考数据：取）（1）求三角形石器另外两边的长；（2）求D，E两点之问的距离18. 已知数列的前n项和为（1）求通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；（2）证明：当时，19. 如图，在几何体中，上底面和下底面均为正方形，且平面平面，平面平面，E为CD的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20. 2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺已知甲先手时甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手（1）若每局负者下一局
6、先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；（2）若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望21. 已知两点，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，且，证明：湖北省孝感市部分校2022-2023学年高三上第一次联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知集合，则的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3
7、D. 4【答案】A【解析】解一元二次不等式求得集合A,根据集合的交集运算可求得答案。【详解】解不等式得 ，故，则，即的元素个数为1，故选：A2. 若，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据共轭复数和复数的模即可求解.【详解】，所以.故选：B3. 函数的图象在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】求出函数的导数，得到切点纵坐标和切线斜率，然后得切线方程.【详解】解：因为所以，所以，所以在处的切线方程为：，即在处的切线方程为：.故选：C.4. 已知F是椭圆的右焦点，B为C的上顶点，原点O到直线BF的距离为，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案
8、】D【解析】由题意求出直线BF的方程，由原点O到直线BF的距离公式代入即可得出答案.【详解】因为F是椭圆右焦点，B为C的上顶点，所以，所以直线BF的方程为：，化为一般式方程为：，所以原点O到直线BF的距离为，所以.故选：D.5. 2021年7月至2022年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（ ）备注：同比增长率=，环比增长率=，A. 2022年1月全国居民消费价格比2021年1月全国居民消费价格有所下降B. 2022年5月全国居民消费价格比2022年4月全国居民消费价格有所上升C. 2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率的40%分位数为1.0%D.
9、 2021年10月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为0.25%【答案】D【解析】由折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项进行逐一分析判断，即可得答案.【详解】对A，从图中可以看出2022年1月全国居民消费价格的同比增长率为，所以2022年1月全国居民消费价格有所上升，故A错误；对B，由图2022年5月全国居民消费价格环比增长率为，所以2022年5月全国居民消费价格有所下降，故B错误；对C，将C选项中的数据由小到大排列得，因为，则同比增长率的40%分位数为第6个数，故C错误；对D，环比增长率的平均数为，故D正确.故选：D6. 在直四棱柱中，E，F分别是BC，的中点，则“”的
10、一个充分必要条件是（ ）A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【答案】C【解析】简单作出满足ABD选项的图形，皆可知存在与不平行的情况，故可进一步推得与不平行，即这三个选项都不是“”的充分条件，故ABD错误；而C选项可利用中位线定理与构成平行四边形推得充分条件，利用线面平行的判定定理与性质定理推得必要条件，进而得到C正确.【详解】对于A，如图1，由于条件，并不能推得，即可以相交，当相交时，在直四棱柱中，易知，故与是异面直线，即与不平行，而因为E，F分别是BC，的中点，所以，所以与不平行，即选项A不是“”的充分条件，故A错误；.对于B，如图2，由且，可得，即，由同旁内角互补可知，又，所以，当时
11、，四边形是梯形，即与会交于一点，即与不平行，而，故与不平行，即选项B不是“”的充分条件，故B错误；.对于C，如图3，由得，又，在直四棱柱中，易知，所以，所以四边形是平行四边形，故，又因为E，F分别是BC，的中点，所以，所以，故选项C是的充分条件；反之，当时，因为E，F分别是BC，的中点，所以，则，则四点共面，又，面，面，故面，因为面面，又面，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，故，而在直四棱柱中，易知，所以，所以四边形是平行四边形；所以，且，即选项C也是的必要条件；综上：选项C是的充分必要条件，故C正确；.对于D，如图4，由，且，与选项A一样，并不能保证，即可以相交，后续推导与选项A一致，可
12、知选项D不是“”的充分条件，故D错误；故选：C.7. 已知拋物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，于点B，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知，可推出，从而求得，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线准线与x轴交点为D，焦点 ，由于点A在C上，故 ,因为，所以，而x轴，所以,而 ,所以 ，故选：B8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设分别是在时所对应的函数值，构造函数利用导数法可证明，可得，又因为，即可得出答案.【详解】因为，所以设分别是在时所对应的函数值，设，则，所以时，单调递减，时，单调递增
13、，所以，即，同理可证，所以当时，可得，即，即.又因为，所以.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲和l乙，底面半径分别为r甲和r乙，高分别为h甲和h乙，表面积分别为S甲和S乙，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】根据圆锥的侧面积公式的，即可判断A、B，再根据勾股定理表示出高，即可判断C、D.详解】解：依题意，又，所以，故A错误；因为，所以甲圆锥的底面积小于乙圆锥的底面积，又两圆锥的侧面积相等，所以，故B
14、正确；因为，所以，所以，故C正确；因为，所以，所以，故D正确；故选：BCD10. 已知函数的定义域为，且若的图象关于点对称，则（ ）A. B. 的图象关于直线对称C. D. 【答案】BC【解析】根据对称性得到，再结合题意得到，即可判断B，再在令，即可判断A，结合前面的条件可以得到，即可判断C，最后根据周期性判断D；【详解】解：因为的图象关于点对称，所以，又，所以，所以关于直线对称，故B正确；因为，所以，故A错误；由，所以，又，且，所以，故C正确；，故D错误；故选：BC11. 将数列中的所有项排成如下数阵： 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，成等差数列，且，从第二行起，每一行中的数
15、按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ）A. B. 位于第84列C. D. 【答案】ACD【解析】根据题意知第一列构成的等差数列公差为的等差数列可判断A；求出前44行共有项，可判断B；因为从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，可求出，可判断D；求出，通过数列的单调性判断C；【详解】因为第一列数a1，成等差数列，且，所以第一列构成的等差数列公差为，所以，所以A正确；所以第行的第一项为，第一行共有1项；第二项共有3项，第三项共有5项，第行共有项，所以前一行共有项；前二行共有项，前三行共有项，第行共有项，所以前44行共有项，所以 ，所以位于第45行85列，故B错
16、误；，因为从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，所以，所以D正确；因为，令，所以，当时，所以在单调递减，所以，而令在上单调递增，所以，故C正确；故选：ACD.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式的求解，数列单调性的判断，考查分析问题、解决问题的能力，考查运算能力.12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）A. B. C. 最小值为12D. 的最小值为【答案】ACD【解析】由已知可得，由于，所以可得当时，当时，从而可得，则，然后代入各选项的式子中结合基本不等式和函数的性质分析判断.【详解】由，得，所以，因为，所以当时，当时，因为对任意的，不等式恒成立，所
17、以当时，当时，所以对于函数，有，所以，所以A正确，B错误，对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，所以C正确，对于D，令，因为，当且仅当即时取等号，所以，由，得，所以，所以，所以函数在上递增，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是由题意结合一次函数和二次函数的性质得，从而可结合基本不等式分析判断，考查数学转化思想，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程：_【答案】（答案不唯一）【解析】利用圆心
18、在直线上设圆心坐标为，由于圆过原点，得半径，对赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线，则设圆心坐标为又圆经过原点则圆的半径为，且故取，得圆心为，半径所以圆的方程为：.故答案为：（答案不唯一）14. 在中，则=_【答案】【解析】利用基底来表示，从而将表示为即可求解.【详解】据题意，可作图如下，,=.故答案为:.15. 甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有_种【答案】50【解析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，乙只完成E工作乙不止完成E工作，再利用两个原理及排列组合的
19、知识即可求得【详解】由题意可分为两类（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式综上共有种安排方式故答案为：5016. 刍（ch）甍（mng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体如图，现有一个刍甍，则该刍甍的外接球体积为_【答案】【解析】根据球的截面的性质确定球心的位置，由此确定球的半径，再由体积公式求其外接球体积.【详解】连接，其中为的中点，为的中点， 因为，所以，因为，所以，所以，因为平面，平
20、面，平面平面，所以，因为四边形为正方形，为中点，为的中点，所以，所以，又，所以四边形为等腰梯形，取的中点为，则，所以为正方形的外接圆的圆心，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，连接与的中点，则，平面平面，平面，所以平面，设该刍甍的外接球的球心为，则点在直线上，设，球的半径为，则，在梯形中，作，垂足为，则，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以该刍甍的外接球体积.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，某地出土一块三角形石器，其一角已破损为了复原该三角形石器，现测得如下数据：，（参考数据：取）（1）求三角形石器另
21、外两边的长；（2）求D，E两点之问的距离【答案】（1）; （2）【解析】（1）延长 交于点C,求得，根据正弦定理即可求得答案;（2）求出的长，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】如图，延长 交于点C,因为，所以 ，故,即另外两边的长皆为.【小问2详解】由题意得 , ，故 ，故D，E两点之问的距离为.18. 已知数列的前n项和为（1）求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；（2）证明：当时，【答案】（1），不是等差数列； （2）证明见解析.【解析】（1）利用与的关系，当时，得，当时，得，从而得到的通项公式，从而求的值，得，来判断是否是等差数列；（2）由（1）确定的表达式，从而按照裂项相消
22、来求和，即可证明不等式.【小问1详解】解：数列的前n项和为当时，所以即当时，不符合上式.所以 则所以，则不是等差数列.【小问2详解】证明：由（1）可得：所以则当时，所以，故当时，19. 如图，在几何体中，上底面和下底面均为正方形，且平面平面，平面平面，E为CD的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）证明以及，根据线面垂直的判断定理及可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出，求出平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】因为底面均为正方形，所以 ,因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,平面,所以,
23、因为平面平面，平面平面,平面平面,故 ,而，则四边形为等腰梯形，设,设的中点为O，连接, 则四边形为平行四边形，则 ,则 ,由于 ,则,即 ,又平面,故平面；【小问2详解】由平面平面，可知过点O作底面的垂线一定落在平面内，连接,则,以O为坐标原点，以为x轴，以作为y轴，过点O作底面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则,所以,设平面的法向量为，则 ，令 ，则可取，故,由于直线和平面所成角的范围为，所以直线与平面所成角的正弦值为.20. 2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺已知甲先
24、手时甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手（1）若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率；（2）若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意可得的所有可能结果为、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：设事件为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况，所以；【小问2详解】解：依题意可得的所有可能结果为、，则，所
25、以的分布列为所以；21. 已知两点，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1） （2）是定值，.【解析】（1）设，利用列方程，化简求得曲线的方程.（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得线段的垂直平分线的方程，进而求得点的坐标，结合弦长公式求得为定值.小问1详解】设，则，.因为，所以，故的方程为.【小问2详解】由题可知直线的斜率一定存在，且不为0，不妨设直线的方程为，.联立方程组，消去整理得，则，整理得.，则线段
26、的垂直平分线的方程为，令，得，则，. 则.故是定值，该定值为.22. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，且，证明：【答案】（1）当时，为上的单调递增函数；当时，在上是单调减函数，在上是单调增函数. （2）证明见解析.【解析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间；（2）由已知，不妨设，代入，作差，要证，即证，即证，令，则不等式化为，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求证【小问1详解】解：函数，定义域为，求导得当时，则函数为上的单调递增函数当时，令，则若，则，在上是单调减函数；若，则，在上是单调增函数综上：当时，为上的单调递增函数；当时，在上是单调减函数，在上是单调增函数.【小问2详解】证明：因为，不妨设，由两式相减得要证，即证，也就是证，即，即证，又，只要证令，则式化为，设，所以在上单调递增，所以所以
