1、 六安市六安市霍邱县霍邱县二校联考二校联考 2021-2022 学年学年九年级九年级上上第一次月考数学试卷第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 2一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A内角和增加 360 B外角和增加 360 C对角线增加一条 D内角和增加 180 3解一元二次方程 x26x+20，用配方法可变形为（ ） A （x3）29 B （x+3）29 C （x3）211 D （x3）27 4下列性质中，平
2、行四边形不一定具备的是（ ） A邻角互补 B对角互补 C对边相等 D对角线互相平分 5已知样本数据 1，0，6，1，2，下列说法不正确的是（ ） A平均数是 2 B中位数是 6 C众数是 l D极差是 6 6 如图， 四边形ABCD 的对角线AC与 BD 相交于点O， 下列条件中， 能判定四边形 ABCD 是矩形的是 （ ） AABDC，ABCD BABCD，ADBC CACBD，ACBD DOAOBOCOD 7若关于 x 的一元二次方程 mx22x10 无实数根，则一次函数 ymx+m 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8如图，AD 是ABC 的中线，点 O
3、 是 AC 的中点，过点 A 作 AEBC 交 DO 的延长线于点 E，连接 CE，添加下列条件仍不能判断四边形 ADCE 是菱形的是（ ） AABAC BABAC CAC 平分DAE DAB2+AC2BC2 9我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a3，b4，则该矩形的面积为（ ） A20 B24 C D 10如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点且 OP3，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O的动点，则PMN
4、周长的最小值是（ ） A B C6 D3 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）二次根式中，字母 x 的取值范围是 12 （5 分）若数据 1，4，a，9，6，5 的平均数为 5，则中位数是 ；众数是 13 （5 分）阅读材料：如果 a，b 分别是一元二次方程 x2+x10 的两个实数根，则有 a2+a10，b2+b10；创新应用：如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m3，n2n3，那么代数式 2n2mn+2m+2008 14 （5 分）如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂
5、足 E 在线段 AB 上（不与 A、B 重合） ，连接 EF、CF，则以下结论： DCFBCD； EFCF； SBEC2SCEF； DFE4AEF 一定成立的是 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算： （1）； （2） （+）2+（1） （+1） 16 （8 分）解方程： （1）x2+6x+50； （2）2x2x20 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图所示，四边形 ABCD 是张大爷的一块小菜地，已知 ADAB，ADCD，
6、AD，BCCD2，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积 18 （8 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F 点处，DF 交 BC 于点 E （1）求证：DCEBFE； （2）若 CD2，ADB30，求 BE 的长 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 的一个根是 x1，请求出方程另一个根，并求以此方程的两根为边长的直角三角形的周长 20 （10 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线
7、上，AE 分别交 DC，BD 于 F，G，点 H为 EF 的中点 求证： （1）DAGDCG； （2）GCCH 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽 100 棵杨梅树，成活率 98%现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了 4 棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示 （1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和； （2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？ 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）某商店以每件 20 元的价格购进一批
8、商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（34010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超 30%，商品计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少元？ 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连接 DP 交 AC 于点 Q （1）试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有ADQABQ； （2）当ABQ 的面积是正方形 ABCD 面积的时，求 DQ 的长； （3）若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程
9、中，当点 P 运动到什么位置时，ADQ 恰为等腰三角形 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】直接根据勾股定理求解即可 【解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4， 弦为5 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 2一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A内角和增加 360 B外角和增加 360 C对角线增加一条 D内角和增加 18
10、0 【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题 【解答】解：因为 n 边形的内角和是（n2） 180， 当边数增加一条就变成 n+1，则内角和是（n1） 180， 内角和增加： （n1） 180（n2） 180180； 根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变 故选：D 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征先设这是一个 n 边形是解题的关键 3解一元二次方程 x26x+20，用配方法可变形为（ ） A （x3）29 B （x+3）29 C （x3）211 D （x3）27 【分析】将左边 2 改写为 97，再将前 3 项写成完全平方形式，同时将7 移至右边即可 【
11、解答】解：x26x+20， x26x+970， 则（x3）27， 故选：D 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 4下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ） A邻角互补 B对角互补 C对边相等 D对角线互相平分 【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可 【解答】解：A、平行四边形邻角互补，正确，不合题意； B、平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意； C、平行四边形对边相等，正确，不合题意 D、平行四边形对角
12、线互相平分，正确，不合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 5已知样本数据 1，0，6，1，2，下列说法不正确的是（ ） A平均数是 2 B中位数是 6 C众数是 l D极差是 6 【分析】根据平均数、中位数、众数和极差的定义和公式分别进行计算，再进行判断，即可得出答案 【解答】解：A、平均数是（1+0+6+1+2）52，故本选项正确； B、把这组数据从小到大排列为 0，1，1，2，6，处在中间的数是 1，中位数是 1，故本选项错误； C、1 出现的次数最多，出现了 2 次，则众数是 1，故本选项正确； D、极差是 606，故本选项正确； 故选：
13、B 【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义和公式是本题的关键，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值 6 如图， 四边形ABCD 的对角线AC与 BD 相交于点O， 下列条件中， 能判定四边形 ABCD 是矩形的是 （ ） AABDC，ABCD BABCD，ADBC CACBD，ACBD DOAOBOCOD 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题 【解答】 解： A、 ABDC， ABCD， 得出四边形 ABCD 是平行四边形， 无法判断四边形 ABCD 是矩形 故错误； B、ABCD，ADBC，得出四边形 ABCD 是平行四边形，无
14、法判断四边形 ABCD 是矩形故错误； C、ACBD，ACBD，无法判断四边形 ABCD 是矩形故错误； D、OAOBOCOD 可以判断四边形 ABCD 是矩形正确； 故选：D 【点评】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是 90 度的平行四边形是矩形，有三个角是 90 度的四边形是矩形，属于中考常考题型 7若关于 x 的一元二次方程 mx22x10 无实数根，则一次函数 ymx+m 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m0 且（2）24m（1
15、）0，所以m1，然后根据一次函数的性质判断一次函数 ymx+m 的图象所在的象限即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx22x10 无实数根， m0 且（2）24m（1）0， m1， 一次函数 ymx+m 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了一次函数的性质 8如图，AD 是ABC 的中线，点 O 是 AC 的中点，过点 A 作 AEBC 交 DO 的延长线于点 E，连接
16、CE，添加下列条件仍不能判断四边形 ADCE 是菱形的是（ ） AABAC BABAC CAC 平分DAE DAB2+AC2BC2 【分析】由 AAS 证明OAEOCD，得出 ODOE，证出四边形 ADCE 是平行四边形，添加 ABAC时，ADBCCD，得出四边形 ADCE 是菱形，选项 A 不符合题意； 添加 AC 平分DAE，得出DACEACDCA，证出 ADCD，则四边形 ADCE 是菱形，选项 C不符合题意； 添加 AB2+AC2BC2，可得到 ABAC，同选项 A 可判断四边形 ADCE 是菱形，故选项 D 不符合题意； 只有添加选项 B 不能判定四边形 ADCE 是菱形；即可得出结
17、论 【解答】解：AEBC， OAEOCD，OEAODC， 点 O 是 AC 的中点， OAOC， 在OAE 和OCD 中， ， OAEOCD（AAS） ， ODOE， 四边形 ADCE 是平行四边形， 添加 ABAC 时， AD 是ABC 的中线， ADBCCD， 四边形 ADCE 是菱形，故选项 A 不符合题意； 添加 AC 平分DAE， DACEACDCA， ADCD， 四边形 ADCE 是菱形，故选项 C 不符合题意； 添加 AB2+AC2BC2，可得到 ABAC， 同选项 A 可判断四边形 ADCE 是菱形，故选项 D 不符合题意； 只有添加选项 B 不能判定四边形 ADCE 是菱形，
18、故选项 B 符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是关键 9我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a3，b4，则该矩形的面积为（ ） A20 B24 C D 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为 x，在直角三角形ACB 中， 利用勾股定理可建立关于 x 的方程， 利用整体代入的思想解
19、决问题， 进而可求出该矩形的面积 【解答】解：设小正方形的边长为 x， a3，b4， AB3+47， 在 RtABC 中，AC2+BC2AB2， 即（3+x）2+（x+4）272， 整理得，x2+7x120， 而长方形面积为 x2+7x+1212+1224 该矩形的面积为 24， 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键 10如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点且 OP3，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O的动点，则PMN 周长的最小值是（ ） A B C6 D3 【分析】作点 P 关于 OB 的对称点 P，
20、点 P 关于 OA 的对称点 P，连接 PP与 OA，OB 分别交于点 M与 N 则 PP的长即为PMN 周长的最小值；连接 OP，OP，过点 O 作 OCPP，在 RtOCP中求出PC 即可求出 PP； 【解答】解：作点 P 关于 OB 的对称点 P，点 P 关于 OA 的对称点 P，连接 PP与 OA，OB 分别交于点M 与 N 则 PP的长即为PMN 周长的最小值， 连接 OP，OP，过点 O 作 OCPP， 由对称性可知 OPOPOP， OP3，AOB60， PP30，OPOP3， PC， PP3； 故选：D 【点评】 本题考查利用轴对称求最短距离问题； 通过轴对称将PMN 周长转化为
21、 PP的长是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）二次根式中，字母 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式（a0） ，以及分母不能为 0，可得 1x0，然后进行计算即可解答 【解答】解：由题意得： 0，且 1x0， 1x0， x1， 故答案为：x1 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a0） ，以及分母不能为 0 是解题的关键 12 （5 分）若数据 1，4，a，9，6，5 的平均数为 5，则中位数是 5 ；众数是 5 【分析】根据平均数的计算公式先求出 a
22、 的值，再根据中位数和众数的定义即可得出答案 【解答】解：数据 1，4，a，9，6，5 的平均数为 5， （1+4+a+9+6+5）65， 解得：a5， 把这些数从小到大排列为：1，4，5，5，6，9， 则中位数是5； 5 出现了 2 次，出现的次数最多， 众数是 5； 故答案为：5，5 【点评】此题考查了平均数、众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数 13 （5 分）阅读材料：如果 a，b 分别是一元二次方程 x2+x10 的两个实数根，则有 a2+a10，b2+b1
23、0；创新应用：如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m3，n2n3，那么代数式 2n2mn+2m+2008 2019 【分析】由 m，n 满足 m2m3，n2n3 且 mn，可得出 n2n+3，m+n1，mn3，将其代入2n2mn+2m+2008 中即可求出结论 【解答】解：m，n 满足 m2m3，n2n3，且 mn， m，n 为一元二次方程 x2x30 的两个不等实数根，n2n+3， m+n1，mn3， 2n2mn+2m+20082（n+3）mn+2m+20082（m+n）mn+201421（3）+20142019 故答案为：2019 【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的
24、关系，找出 m+n1，mn3 是解题的关键 14 （5 分）如图，在ABCD 中，AD2AB，F 是 AD 的中点，作 CEAB，垂足 E 在线段 AB 上（不与 A、B 重合） ，连接 EF、CF，则以下结论： DCFBCD； EFCF； SBEC2SCEF； DFE4AEF 一定成立的是 【分析】延长 EF，交 CD 延长线于 M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出AEFDMF，得出对应线段之间关系进而得出答案 【解答】解：F 是 AD 的中点， AFFD， 在ABCD 中，AD2AB， AFFDCD， DFCDCF， ADBC， DFCFCB， DCFBCF， DCF
25、BCD，故正确； 如图，延长 EF，交 CD 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， AMDF， F 为 AD 中点， AFFD， 在AEF 和DMF 中， ， AEFDMF（ASA） ， FEMF，AEFM， CEAB， AEC90， AECECD90， FMEF， FCEMFE，故正确； EFFM， SEFCSCFM，即 SECM2SCEF， AEFDMF， SAEFSDMF， SECMS四边形AECD， SABCS四边形AECD， 故 SABC2SCEF； ， SBECSABC， SBEC2SCEF； 故成立； 设FECx，则FCEx， DCFDFC90 x， EF
26、C1802x， EFD90 x+1802x2703x， AEF90 x， DFE3AEF，故不正确 正确的有， 故答案为： 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AEFDMF是解题关键 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算： （1）； （2） （+）2+（1） （+1） 【分析】 （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可 【解答】解： （1） 2 ； （2） （+）2+（1） （+1） 3+2+5+
27、31 10+2 【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 16 （8 分）解方程： （1）x2+6x+50； （2）2x2x20 【分析】 （1）利用因式分解法解方程可求解； （2）利用公式法解方程可求解 【解答】解： （1）x2+6x+50， （x+5） （x+1）0， x15，x21； （2）a2，b1，c2， （1）242（2）17， x， x1，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （
28、8 分）如图所示，四边形 ABCD 是张大爷的一块小菜地，已知 ADAB，ADCD，AD，BCCD2，请帮张大爷计算一下这个四边形菜地的周长和面积 【分析】如图，作 CEAB 于 E首先证明四边形 AECD 是矩形，在 RtBCE 中，求出 BE 即可解决问题 【解答】解：如图，作 CEAB 于 E ADAB，ADCD， ADAEC90， 四边形 AECD 是矩形， ADCE，CDAE2， 在 RtBCE 中，BE3， ABAE+BE2+3， 四边形 ABCD 的周长+2+2+2+37+3， 四边形 ABCD 的面积 【点评】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学
29、知识解决问题，属于中考常考题型 18 （8 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F 点处，DF 交 BC 于点 E （1）求证：DCEBFE； （2）若 CD2，ADB30，求 BE 的长 【分析】 （1）由 ADBC，知ADBDBC，根据折叠的性质ADBBDF，所以DBCBDF，得 BEDE，即可用 AAS 证DCEBFE； （2）在 RtBCD 中，CD2，ADBDBC30，知 BC2，在 RtBCD 中，CD2，EDC30，知 CE，所以 BEBCEC 【解答】解： （1）ADBC， ADBDBC， 根据折叠的性质ADBBDF，FAC90， DB
30、CBDF， BEDE， 在DCE 和BFE 中， ， DCEBFE； （2）在 RtBCD 中， CD2，ADBDBC30， BC2， 在 RtECD 中， CD2，EDC30， DE2EC， （2EC）2EC2CD2， CE， BEBCEC 【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）已知关于 x 的方程 x2（m+2）x+（2m1）0 的一个根是 x1，请求出方程另一个根，并
31、求以此方程的两根为边长的直角三角形的周长 【分析】 根据一元二次方程的解的定义求得 m 值， 然后由根与系数的关系求得方程的另一根 分类讨论：当该直角三角形的两直角边是 2、3 时，由勾股定理得斜边的长度为；当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算 【解答】解：根据题意，得 121（m+2）+（2m1）0， 解得，m2， 则方程的另一根为：m+212+13； 当该直角三角形的两直角边是 1、3 时，由勾股定理得斜边的长度为； 该直角三角形的周长为 1+3+4+； 当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股
32、定理得该直角三角形的另一直角边为 2；则该直角三角形的周长为 1+3+24+2， 综上所述，直角三角形的周长为 4+或 4+2 【点评】本题综合考查了勾股定理、一元二次方程解的定义 “分类讨论”是解题的关键 20 （10 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上，AE 分别交 DC，BD 于 F，G，点 H为 EF 的中点 求证： （1）DAGDCG； （2）GCCH 【分析】 （1）要证明DAGDCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形ADG 与CDG 全等得到，全等的方法是：由 ABCD 为正方形，得到 AD 与 DC 相等，ADB 与CDB 相等，再加上公共边
33、DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证； （2）要证明 GC 与 CH 垂直，需证GCH90，即FCH+DCG90，方法是：由正方形的对边AD 与 BE 平行，根据两直线平行，内错角相等得到DAF 与E 相等，由（1）得到的DAG 与DCG相等，等量代换得到E 与DCG 相等，再由 CH 为直角三角形 ECF 斜边上的中线，得到 CH 与 HE 相等都等于斜边 EF 的一半，根据“等边对等角”得到E 与HCE 相等，又FCH+DCG 等于 90，等量代换得到FCH+DCG90，即GCH90，得证 【解答】证明： （1）ABCD 为正方形， ADDC，ADC90，ADBCD
34、B45， 又 DGDG， ADGCDG， DAGDCG； （2）ABCD 为正方形， ADBE， DAGE，又DAGDCG， EDCG， H 为直角三角形 CEF 斜边 EF 边的中点， CHHEEF， HCEE， DCGHCE， 又FCH+HCE90， FCH+DCG90，即GCH90， GCCH 【点评】 此题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质， 以及直角三角形的性质， 是一道证明题 要求学生熟练掌握正方形的性质：四条边都相等，四个角相等都为直角，对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分
35、） 21 （12 分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽 100 棵杨梅树，成活率 98%现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了 4 棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示 （1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和； （2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？ 【分析】 （1）根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答 （2）要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答 【解答】解： （1）（50+36+40+34）40（千克） ，（36+40+48+36）40（千
36、克） ， 总产量为 4010098%27840（千克） ； （2）（千克2） ， （3640）2+（4040）2+（4840）2+（3640）224（千克2） ， S2甲S2乙 答：乙山上的杨梅产量较稳定 【点评】本题考查了平均数与方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）某商店以每件 20 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（340
37、10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超 30%，商品计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少元？ 【分析】 根据： 每件盈利销售件数总盈利额； 其中， 每件盈利每件售价每件进价建立等量关系，列出出方程，求解即可 【解答】解：根据题意得： （a20） （34010a）400， 整理，得 a254a+7200， 解得 a124，a235， 当 a24 时，利润率为：100%20%30%，符合题意； 当 a35 时，利润率为：100%75%30%，不符合题意，舍去； 则 34010a3401024100（件） 答：需要进货 100 件，每件商品应定价 24 元 【点评】本题主
38、要考查了一元二次方程的应用，列代数式和代数式求值解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动，连接 DP 交 AC 于点 Q （1）试证明：无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有ADQABQ； （2）当ABQ 的面积是正方形 ABCD 面积的时，求 DQ 的长； （3）若点 P 从点 A 运动到点 B，再继续在 BC 上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置时，ADQ 恰为等腰三角形 【分析】 （1）根据正方形性质得
39、出 ABAD，BAD90，DACBAC45，利用“边角边”证明ADQABQ 即可； （2）过点 Q 作 QEAD 于 E，利用ABQ 的面积是正方形 ABCD 面积的求出 QE，进而求出 DE 最后用勾股定理即可； （3）点 P 运动时，ADQ 恰为等腰三角形的情况有三种：QDQA 或 DADQ 或 AQAD 当点 P 运动到与点 B 重合时，QDQA，此时ADQ 是等腰三角形； 当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 也重合，此时 DADQ，ADQ 是等腰三角形； 当 ADAQ4 时，有 CPCQ，CPACAD 而由正方形的对角线的性质得到 CP 的值 【解答】 （1）证明：四边形 A
40、BCD 是正方形 ADAB，DAQBAQ45 又 AQAQ， ADQABQ 即 无论点 P 运动到 AB 上何处时，都有ADQABQ （2）如图 1， 作 QEAD 于 E，由（1）得ADQABQ， SADQSABQ ABQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 ADQES正方形ABCD， QE 又QEAD，DAQ45 AQEDAQ45 AEQE DE4 在 RtDEQ 中，QE，DE， 根据勾股定理得，DQ （3）若ADQ 是等腰三角形，则有 QDQA 或 DADQ 或 AQAD， 当点 P 运动到与点 B 重合时，由正方形知 QDQA 此时ADQ 是等腰三角形； 当点 P 与点 C 重合时，点 Q 与点 C 重合，此时 DADQ，ADQ 是等腰三角形； 如图 4，设点 P 在 BC 边上运动到 CPx 时，有 ADAQ， ADBC ADQCPQ 又AQDCQP，ADQAQD， CQPCPQ CQCPx AC4，AQAD4 xCQACAQ44 即当 CP44 时，ADQ 是等腰三角形 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大， （3）需要分类讨论
