1、2021-2022 学年浙江省绍兴市诸暨市学年浙江省绍兴市诸暨市九年级九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）二次函数 yx22 的顶点坐标是（ ） A （0，0） B （0，2） C （0，2） D （，0） 2 （4 分）若，则的值是（ ） A2 B C D 3 （4 分）下列语句中正确的是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等 B平分弦的直径垂直于弦 C长度相等的两条弧是等弧 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 4 （4 分）已知一个扇形的半径长为 3，圆心角为
2、 60，则这个扇形的面积为（ ） A B C D3 5 （4 分）如图，直线 l1l2l3，则（ ） A B C D 6 （4 分）将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元/个售出时每天能卖出 20 个若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价（ ） A5 元 B10 元 C15 元 D20 元 7 （4 分） 如图， 一条抛物线与 x 轴相交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 其顶点 P 在线段 MN 上移动 若点 M、N 的坐标分别为（1，2） 、 （1，2） ，点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A
3、的横坐标的最小值为（ ） A3 B1 C1 D3 8 （4 分）如图，已知点 A，B，C 依次在O 上，BA40，则AOB 的度数为（ ） A70 B72 C80 D84 9 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，若 AD：AB2：3，BC3，ADCACB，则线段 CD的长为（ ） A B C D2 10 （4 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 函数 yax2+bx+c 的图象与对称轴直线 xm 交于点 A， 与 x，y 轴交于 B，C，D 三点，下列命题正确的是（ ） abc0； 若 ODOC，则 ac+b+10； 对于任意 x0（x0m） ，始终有 ax02+b
4、x0am2+bm； 若 B 的坐标为（m，0） ，则 C 的坐标为（3m，0） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知O 的半径为 5cm，点 P 在O 外，则 OP 5cm（填或，） 12 （5 分）抛物线 yx2+4x+c2 经过原点，则 c 13 （5 分）如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第23 秒时，点 E 在
5、量角器上对应的度数是 度 14 （5 分）如图，在ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDME45，BC8，CE6，则 DE 15 （5 分）如图，已知ABC，DFBC，DEAC，四边形 DECF 的面积为 12，若 DE 经过ABC 的重心，则ABC 的面积为 16 （5 分）如图，抛物线 yx2+4x3 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将C1向右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 三、解答题（本题三、解答题（本题 8 小题，共
6、小题，共 80 分，第分，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 2223 小题每题小题每题 12分，第分，第 24 小题小题 14 分。 ）分。 ） 17 （8 分）已知抛物线 yx2+bx+c 的图象经过 A（1，12） ，B（0，5） （1）求抛物线解析式和抛物线的顶点坐标 （2）当 x 取什么范围时，y 随着 x 的增大而减小？ 18 （8 分）如图所示，AB 是O 的一条弦，ODAB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上 （1）若AOD52，求DEB 的度数； （2）若 OC3，OA5，求 AB 的长 19 （8 分）如图，ABC
7、 中，AB8 厘米，AC16 厘米，点 P 从 A 出发，以每秒 2 厘米的速度向 B 运动，点 Q 从 C 同时出发，以每秒 3 厘米的速度向 A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为 t （1）用含 t 的代数式表示：AP ，AQ （2）当以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，求运动时间是多少？ 20 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，点 D 是的中点 （1）求证：ODBC； （2）连接 AC，若 AB10，CD4，求 AC 的长 21 （10 分）如图，在 66 的正方形网格中，点 A，B，C 均在格点上，请按要求完成下列
8、作图： 仅用无刻度直尺：保留作图痕迹 （1）在图 1 中请用一把无刻度的尺子，画出线段 MN 三等分点 P，Q （2）在图 2 中以 AB 为直径的半圆上找一点 P，画出PBA，使得PBA22.5 22 （12 分）如图 1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图水面宽 AB 与桥长 CD 均为 24m，在距离 D 点 6 米的E 处，测得桥面到桥拱的距离 EF 为 1.5m，以桥拱顶点 O 为原点，桥面为 x 轴建立平面直角坐标系 （1）求桥拱顶部 O 离水面的距离 （2）如图 2，桥面上方有 3 根高度均为 4m 的支柱 CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距
9、离为 1m 求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式 为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值 23 （12 分） 【概念认识】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，我们就把这种三角形叫做倍角三角形， 【数学理解】 （1）请举出一个你熟悉的倍角三角形，并写出此三角形的三边之比； （2）如图，在ABC 中，B2A，A，B，C 的对边分别记作 a，b，c，试探究ABC 三边的等量关系 【问题解决】 （3）若有一个倍角三角形的两边长为 1，2，试求此三角形的第三边长 24 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB给出如下定
10、义：平移线段 AB，得到O 的弦 AB（A，B分别为点 A，B 的对应点） ，线段 AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离” （1）如图，平移线段 AB 得到O 的长度为的弦 P1P2和 P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平移距离” ； （2）若点 A 在直线 yx+2 上； 若点 B 也在直线 yx+2 上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1，求 d1的最小值； 若点 B 在抛物线 yx2+4 上且 ABy 轴，是否存在这样的点 B 满足题意，若存在，求出“平移距离”为 d2的最小值，若不
11、存在，说明理由； （3） 若点 A 的坐标为 （2， 2） ， 记线段 AB 到O 的 “平移距离” 为 d3， 则 d3的取值范围为 ，当 d3取最小值时点 B 的坐标为 参考答案解析参考答案解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分） 。分） 。 1 （4 分）二次函数 yx22 的顶点坐标是（ ） A （0，0） B （0，2） C （0，2） D （，0） 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：二次函数 yx22 的顶点坐标是（0，2） 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶
12、点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键 2 （4 分）若，则的值是（ ） A2 B C D 【分析】根据已知条件设 a3k，b2k，再求出答案即可 【解答】解：设 a3k，b2k， 则 ， 故选：B 【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么 adbc 3 （4 分）下列语句中正确的是（ ） A相等的圆心角所对的弧相等 B平分弦的直径垂直于弦 C长度相等的两条弧是等弧 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 【分析】根据圆、圆心角、弧、弦的相关知识进行解答即可 【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故 A 错误； B、平分弦（不是直径）
13、的直径垂直于弦；故 B 错误； C、在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故 C 错误； D、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，故 D 正确； 故选：D 【点评】此题涉及的知识点有：圆心角、弧、弦的关系，圆的性质以及垂径定理 4 （4 分）已知一个扇形的半径长为 3，圆心角为 60，则这个扇形的面积为（ ） A B C D3 【分析】根据扇形的面积公式计算即可 【解答】解：S扇形， 故选：C 【点评】本题考查扇形的面积，记住扇形的面积公式是解题的关键 5 （4 分）如图，直线 l1l2l3，则（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理
14、得到或，然后利用比例的性质得到，于是可对各选项进行判断 【解答】解：l1l2l3， 或， 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 6 （4 分）将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元/个售出时每天能卖出 20 个若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价（ ） A5 元 B10 元 C15 元 D20 元 【分析】设应降价 x 元，表示出利润的关系式为（20+x） （100 x70）x2+10 x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时 x 的
15、值即可 【解答】解：设应降价 x 元， 则（20+x） （100 x70）x2+10 x+600（x5）2+625， 10 当 x5 元时，二次函数有最大值 为了获得最大利润，则应降价 5 元 故选：A 【点评】应识记有关利润的公式：利润销售价成本价找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键 7 （4 分） 如图， 一条抛物线与 x 轴相交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 其顶点 P 在线段 MN 上移动 若点 M、N 的坐标分别为（1，2） 、 （1，2） ，点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A 的横坐标的最小值为（ ） A3 B1 C1 D3 【分析
16、】根据顶点 P 在线段 MN 上移动，又知点 M、N 的坐标分别为（1，2） 、 （1，2） ，分别求出对称轴过点 M 和 N 时的情况，即可判断出 A 点坐标的最小值 【解答】解：根据题意知，点 B 的横坐标的最大值为 3， 即可知当对称轴过 N 点时，点 B 的横坐标最大， 此时的 A 点坐标为（1，0） ， 当可知当对称轴过 M 点时，点 A 的横坐标最小，此时的 B 点坐标为（1，0） ， 此时 A 点的坐标最小为（3，0） ， 故点 A 的横坐标的最小值为3， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般 8
17、 （4 分）如图，已知点 A，B，C 依次在O 上，BA40，则AOB 的度数为（ ） A70 B72 C80 D84 【分析】利用三角形内角和定理得到O+AC+B，所以OC40，再根据圆周角定理得到CO，所以OO40，从而得到O 的度数 【解答】解：O+AC+B， OCBA40， CO， OO40， O80 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 9 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，若 AD：AB2：3，BC3，ADCACB，则线段 CD的长为（ ） A B C D2 【分析】过点 D 作 DE
18、BC，易证ADEABC，从而得，可求得 DE2，再证明ADCACB，得，ACDABC，从而可证得ADEACD，通过转化可得 CD2BCDE，从而可求解 【解答】解：过点 D 作 DEBC，如图所示： ADEABC，AA， ADEABC， ， AD：AB2：3，BC3， ， DE2， ADCACB，AA， ADCACB， ，ACDABC， ADEACD， ADEACD， ， ， CD2BCDE， CD232， 解得：CD 故选：C 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是作出正确的辅助线 DE，并对相似三角形的判定条件与性质的掌握与应用 10 （4 分） 如图， 在平面直角坐标系
19、 xOy 中， 函数 yax2+bx+c 的图象与对称轴直线 xm 交于点 A， 与 x，y 轴交于 B，C，D 三点，下列命题正确的是（ ） abc0； 若 ODOC，则 ac+b+10； 对于任意 x0（x0m） ，始终有 ax02+bx0am2+bm； 若 B 的坐标为（m，0） ，则 C 的坐标为（3m，0） A B C D 【分析】根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可 【解答】解：由图象得：a0，b0，c0，故正确； ODOC， xcc， a（c）2+b（c）+c0， acb+10，故错误， a0， 对于任意 x0（x0m） ，始终有，故正确， 对称轴为直线 xm， ， xc
20、3m，故正确， 故选：C 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）已知O 的半径为 5cm，点 P 在O 外，则 OP 5cm（填或，） 【分析】根据点 P 在圆外可以求得 OP 的取值范围，从而可以解答本题 【解答】解：O 的半径为 5cm，点 P 在O 外， OP5cm， 故答案为： 【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是掌握点与圆的 3 种位置关系：设O 的半径为
21、r，点 P 到圆心的距离 OPd，则有：点 P 在圆外dr；点 P 在圆上dr；点 P 在圆内dr 12 （5 分）抛物线 yx2+4x+c2 经过原点，则 c 2 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入即可计算出 c 的值 【解答】解：把（0，0）代入 yx2+4x+c2 得 c20，解得 c2 故答案为：2 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式 13 （5 分）如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转
22、，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第23 秒时，点 E 在量角器上对应的度数是 92 度 【分析】先连接 OE，由ACB90，根据圆周角定理，可得点 C 在O 上，即可得EOA2ECA，又由ECA 的度数，继而求得答案 【解答】解：连接 OE， 射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转， 第 23 秒时，ACE22346， ACB90， 点 C 在以 AB 为直径的圆上， 即点 C 在O 上， EOA2ECA24692 故答案为：92 【点评】此题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半解题的关键是证得点 C 在O
23、上，注意辅助线的作法以及数形结合思想的运用 14 （5 分）如图，在ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDME45，BC8，CE6，则 DE 【分析】利用相似三角形BDMCME 得出比例式求出 BD，三角形内角和定理证得 ACBC 且 ACBC，然后在直角ABC 中由勾股定理求得 ACBC8；最后在直角ADE 中利用勾股定理来求 DE的长度 【解答】解：点 M 是 BC 中点，BC8， BMMC4， BCDME45， A90，ABAC8， B+BDM+DMB180， DMB+DME+EMC180， BDMEMC， DBMMCE， ， CE6， ，
24、BD， ADABBD8，AEACEC862， 在 RtADE 中，由勾股定理得：AD2+AE2DE2， DE 故答案为： 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键是判断出DBMMCE 15 （5 分）如图，已知ABC，DFBC，DEAC，四边形 DECF 的面积为 12，若 DE 经过ABC 的重心，则ABC 的面积为 27 【分析】设重心为 G，则 BG2GH，根据三角形相似的判定与性质可得，列出方程组并求解即可 【解答】解：DE 经过ABC 的重心， DFBC，DEAC， BDEBAC，ADFABC， ， ， ， 设ABC 的面积为 9k，则BDE 的面积为 4k，
25、ADF 的面积为 k， 四边形 DECF 的面积为 9k4kk4k， 4k12， k3， 9k27 故答案为：27 【点评】本题考查的是重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键 16 （5 分）如图，抛物线 yx2+4x3 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将C1向右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 3m 【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2解析式，分别求出直线 yx+m 与抛物线 C2相切时m 的值以及直线 yx+m 过点 B
26、 时 m 的值，结合图形即可得到答案 【解答】解：令 yx2+4x30， 即 x24x+30， 解得 x1 或 3， 则点 A（1，0） ，B（3，0） 由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2， 则 C2解析式为 y（x4）2+1， 当 yx+m 与 C2相切时， 令 yx+my（x4）2+1， 即 x27x+15+m0，724（15+m）0， 解得， 当 yx+m2过点 B 时， 即 03+m，m3， 当时直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点 故答案为： 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结
27、合进行解题，此题有一定的难度 三、解答题（本题三、解答题（本题 8 小题，共小题，共 80 分，第分，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 2223 小题每题小题每题 12分，第分，第 24 小题小题 14 分。 ）分。 ） 17 （8 分）已知抛物线 yx2+bx+c 的图象经过 A（1，12） ，B（0，5） （1）求抛物线解析式和抛物线的顶点坐标 （2）当 x 取什么范围时，y 随着 x 的增大而减小？ 【分析】 （1）待定系数法求解可得抛物线解析式，再将其配方成顶点式可得； （2）利用二次函数的性质求解可得 【解答】解： （1）抛物线 y
28、x2+bx+c 的图象经过 A（1，12） ，B（0，5） ， 解得， 抛物线解析式为：yx26x+5， yx26x+5（x3）24， 抛物线的顶点坐标为（3，4） ； （2）y（x3）24， 当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质在设二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件来设其解析式方程 18 （8 分）如图所示，AB 是O 的一条弦，ODAB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上 （1）若AOD52，求DEB 的度数； （2）若 OC3，OA5，求 AB 的长 【分析】 （1）根据垂径定理，得到，再根据圆周角与圆心角
29、的关系，得知EO，据此即可求出DEB 的度数； （2）由垂径定理可知，AB2AC，在 RtAOC 中，OC3，OA5，由勾股定理求 AC 即可 【解答】解： （1）AB 是O 的一条弦，ODAB， ，DEBAOD5226； （2）AB 是O 的一条弦，ODAB， ACBC，即 AB2AC， 在 RtAOC 中，AC4， 则 AB2AC8 【点评】 本题考查了垂径定理， 勾股定理及圆周角定理 关键是由垂径定理得出相等的弧， 相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理 19 （8 分）如图，ABC 中，AB8 厘米，AC16 厘米，点 P 从 A 出发，以每秒 2 厘米的速度向 B 运动，
30、点 Q 从 C 同时出发，以每秒 3 厘米的速度向 A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为 t （1）用含 t 的代数式表示：AP 2t ，AQ 163t （2）当以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，求运动时间是多少？ 【分析】 （1）利用速度公式求解； （2）由于PAQBAC，利用相似三角形的判定，当时，APQABC，即；当时，APQACB，即，然后分别解方程即可 【解答】解： （1）AP2t，AQ163t （2）PAQBAC， 当时，APQABC，即，解得 t； 当时，APQACB，即，解得 t4 运动时间为秒或 4 秒 【点评】本题考查了相似
31、三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 20 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，点 D 是的中点 （1）求证：ODBC； （2）连接 AC，若 AB10，CD4，求 AC 的长 【分析】 （1）连接 AC，运用圆周角定理和垂径定理可以判定 ACBC，ODAC，证得结论； （2）连接 OC，构造直角三角形：RtCDE 和 RtOCE，设 DEx，则 OE5x利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可 【解答】解： （1）如图，连接 AC，交 OD 于 E， AB 是O 的直径， ACBC， 点 D 是的中点， ODAC， ODBC； （
32、2）如图，连接 OC， 由（1）可得，ODAC AB10， OCOD5， 设 DEx，则 OE5x 在 RtCDE 中，CE2CD2DE2 在 RtOCE 中，CE2OC2OE2， 16x225（5x）2 解得 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系解答（2）题时，采用了方程思想 21 （10 分）如图，在 66 的正方形网格中，点 A，B，C 均在格点上，请按要求完成下列作图： 仅用无刻度直尺：保留作图痕迹 （1）在图 1 中请用一把无刻度的尺子，画出线段 MN 三等分点 P，Q （2）在图 2 中以 AB 为直径的半圆上找一点 P，画出PBA，使得PBA22.5
33、 【分析】 （1）取格点 E，F，J，K，连接 EF，JK 交 MN 于点 P，Q，点 P，Q 即为所求； （2）取格点 T，连接 OT 交O 于点 P，连接 BP 即可 【解答】解： （1）如图 1 中，点 P，点 Q 即为所求； （2）如图 2 中，点 P 即为所求 【点评】本题考查作图应用与设计作图，圆周角定理，平行分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型 22 （12 分）如图 1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图水面宽 AB 与桥长 CD 均为 24m，在距离 D 点 6 米的E 处，测得桥面到桥拱的距离 EF 为 1.5m，以桥拱顶点 O 为原点
34、，桥面为 x 轴建立平面直角坐标系 （1）求桥拱顶部 O 离水面的距离 （2）如图 2，桥面上方有 3 根高度均为 4m 的支柱 CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 1m 求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式 为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值 【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解； （2）由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1） ，然后利用待定系数法求函数解析式； 根据题意，列式 y2y1利用二次函数的性质求最值 【解答】解： （1）根据题意可知点 F
35、 的坐标为（6，1.5） ，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1a1x2 将 F（6，1.5）代入 y1a1x2有：1.536a1，求得 a1， y1x2， 当 x12 时，y11226， 桥拱顶部离水面高度为 6m （2）由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1） ，可设其表达式为 y2a2（x6）2+1， 将 H（0，4）代入其表达式有：4a2（06）2+1，求得 a2， 右边钢缆所在抛物线表达式为： y2（x6）2+1， 同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为： y3（x+6）2+1 设彩带的长度为 Lm， 则 Ly2y1（x6）2+1（x2）， 当 x4 时，L最小值2， 答：彩
36、带长度的最小值是 2m 【点评】 本题考查二次函数的应用， 解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式 （一般式、顶点式或交点式） ，再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解 23 （12 分） 【概念认识】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，我们就把这种三角形叫做倍角三角形， 【数学理解】 （1）请举出一个你熟悉的倍角三角形，并写出此三角形的三边之比； （2）如图，在ABC 中，B2A，A，B，C 的对边分别记作 a，b，c，试探究ABC 三边的等量关系 【问题解决】 （3）若有一个倍角三角形的两边长为 1，2，试求此三角形的第三边长 【分析】 （1）等腰直角三角形是倍角三
37、角形，斜边、两直角边的比为：1：1； （2）延长 CB 至 D，使 BDAB，证明CDACAB，根据对应边成比例即得答案； （3）将已知的边长分类，分别代入（2）的结论进行计算即可 【解答】解： （1）等腰直角三角形是倍角三角形，斜边、两直角边的比为：1：1； （2）ABC 三边满足：，理由如下： 延长 CB 至 D，使 BDAB，如图： BDAB， DBAD， CBAD+BAD2D， CBA2CAB， DCAB， 又CC， CDACAB， ，即； （3）由（2）得：， 当 a2，b4 时， ， 解得 c6；此时 a+bc，不合题意，舍去； 当 a4，b2 时， ， 解得 c3，不合题意，舍去
38、； 当 a2，c4 时， ， 解得 b2（2已舍去） ； 当 a4，c2 时， ， 解得 b2（2已舍去） ； 当 b2，c4 时， ， 解得 a22（22 已舍去） ； 此时 a+bc，不合题意，舍去； 当 b4，c2 时， ， 解得 a1（1 已舍去） ； 综上所述，第三边的长为 2或 2或1 【点评】 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质， 要注意的是 （3） 题的情况较多， 一定要分类讨论，不要漏解 24 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB给出如下定义：平移线段 AB，得到O 的弦 AB（A，B分别为点 A，B 的对应点） ，线段
39、AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离” （1） 如图， 平移线段 AB 得到O 的长度为的弦 P1P2和 P3P4， 则这两条弦的位置关系是 平行 ；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点 P1 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平移距离” ； （2）若点 A 在直线 yx+2 上； 若点 B 也在直线 yx+2 上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1，求 d1的最小值； 若点 B 在抛物线 yx2+4 上且 ABy 轴，是否存在这样的点 B 满足题意，若存在，求出“平移距离”为 d2的最小值，若不存在，说明理由； （3）若点 A 的坐标为（2，2） ，记线段 A
40、B 到O 的“平移距离”为 d3，则 d3的取值范围为 3d35 ，当 d3取最小值时点 B 的坐标为 （，2）或（，） 【分析】 （1）由直线的平移和“平移距离”的定义即可得出； （2）过点 O 作 OHAB 于点 H，交弦 AB于点 P，得出；假设存在这样的点 B（a，a2+4）满足要求，得出 AB 的表达式，根据有没有实数根判断是否存在； （3）画图，根据图象确定 A点的最大最小值所在的位置，即可求出平移距离的取值范围，求出直线 OA的解析式根据平移知识求出 M 点的坐标，进而确定 B点的坐标，再由平移知识求出 B 点坐标即可 【解答】解： （1）由题知 P1P2P3P4， 由“平移距离
41、”的定义可知 AP1的长度是线段 AB 的“平移距离” ， 故答案为：平行，P1； （2）线段 AB 在直线 yx+2 上， 平移之后与圆相交，得到的弦为 ABAB， 过点 O 作 OHAB 于点 H，交弦 AB于点 P， POAB， 令 y0，直线与 x 轴交点为（2，0） ，直线与 x 轴夹角为 45， ， 由垂径定理得：， ； 假设存在这样的点 B（a，a2+4）满足要求， 即， ， 故不存在； （3）点 A 的坐标为（2，2） ，AB， 点 B 在以 A 为圆心，为半径的圆上， 连接 OA 交圆 O 于 M， 则 OA4， d3AA， A在圆 O 上， 当 A 点与 M 重合时 d3有
42、最小值为 413； 当 A 点越靠近 N 点 d3值越大，即当 ABMN 时，d3有最大值，如图所示： 连接 OA，作 OHy 轴于 H，则BAHAOB30， AB， OH，AH1， 即 A（，） ， 此时 AA， 故 d3的取值范围为 3d3； 当 d3取最小值时，即点 A与 M 点重合， 设直线 OA 的解析式为 ykx， 代入 A 点坐标得 22k， 解得 k， 即直线 OA 的解析式为 yx， AM3， A 点向下平移个单位，向左平移个单位即可得到 M 点坐标， 此时 M 点的坐标为（，） ， 则 B点坐标为（，）或（0，1） ， 将 B点向上平移个单位，向左平移个单位即可得到 B 点坐标， B 点坐标为（，2）或（，） ， 故答案为：3d3； （，2）或（，） 【点评】本题主要考查圆的综合题，涉及一次函数的性质，平移的性质等知识，正确理解“平移距离”的定义是解题的关键
