2022年中考数学压轴题训练:二次函数(5)含答案解析

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1、中考压轴题训练二次函数(5)1.如图,抛物线yax22x+c(a0)与直线yx+3交于A、C两点,与x轴交于点 B (1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,且在直线AC下方,当ACP的面积为6时,求点P的坐标;(3)D为抛物线上一点,E为抛物线的对称轴上一点,请直接写出以A,C,D,E为顶点的四边形为平行四边形时点D的坐标2.如图,抛物线yax2ax12a经过点C(0,4),与x轴交于A,B两点,连接AC,BC,M为线段OB上的一个动点,过点M作PMx轴,交抛物线于点P,交BC于点Q(1)直接写出a的值以及A,B的坐标:a ,A ( , ),B ( , );(2)过点P作PNBC,

2、垂足为点N,设M点的坐标为M(m,0),试求PQ+PN的最大值;(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由3.如图1,抛物线yax2+2x+c与x轴交于点A、B(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,3),连接BC,抛物线的对称轴直线x1与BC交于点D,与x轴交于点E(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,把DEB绕点D顺时针旋转60得到DMN,求证:点M在抛物线上;(3)如图3,点P是抛物线上的动点,连接PN,BN,当PNB30时,请直接写出直线PN的解析式4.如图,函数yx2+bx+c的图象经

3、过点A(m,0),B(0,n)两点,m,n分别是方程x22x30的两个实数根,且mn(1)求m,n的值以及函数的解析式;(2)对于(1)中所求的函数yx2+bx+c,当0x3时,求函数y的最大值和最小值;(3)设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,连接AB,BC,BD,求证:BCDOBA5.已知:抛物线yax2+2交x轴于A(1,0),B两点(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点C是第二象限抛物线上的一个动点,连接AC,BC,设点C的横坐标为t,ABC的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,点D

4、在第一象限,连接AD,BD,且ADAB,在AD的上方作EADCBA,AE分别交BD的延长线,y轴于点E,F,连接DF,且AFODFE,BC交AD于点G若点G是AD的中点,求S的值6.已知:直线yx+2与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线yx2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AE下方抛物线上一动点,求PAE面积的最大值;(3)动点Q在x轴上移动,当QAE是直角三角形时,直接写出点Q的坐标7.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线yax2+bx3交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OBOCOA(

5、1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点D在抛物线上,且点D在第二象限,连接BD交y轴于点E,若tanEBA,求点D的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,点P在抛物线上,且点P在第三象限,点F在PB上,FCFB,过点F作x轴的垂线,点G为垂足,连接DG并延长交BF于点H,若DHPCEB,求BP的长8.如图,已知抛物线yax2+bx+2经过B(2,0)、C(6,0)二点,与直线yx+2交于A、D两点,且点A为直线yx+2和抛物线yax2+bx+2与y轴的交点,点G为直线yx+2与x轴的交点(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点,当点M运动到什

6、么位置时MDA的面积最大?最大值是多少?(3)在x轴上是否存在点P,使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由9.已知:抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,过点B的直线yx+6交抛物线于点E,点E的横坐标为1,交y轴于点D(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点P是第一象限内抛物线上一点,连接AP交y轴于点F,设点P的横坐标为t,DF长为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,连接BC,点G为ED延长线上一点,连接OG,过点O作OKOG交BC于点K,连接PK交x轴

7、于点H,连接EH,若OG2OK,PHBEHA时,求d的值10.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D(3,4)在抛物线上,点P是抛物线上一动点(1)求该抛物线的解析式;(2)如图1,连接OD,若OP平分COD,求点P的坐标;(3)如图2,连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使CBP+ACO45?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由11.已知抛物线与x轴交于点A(2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8),该抛物线的顶点为D()求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;()直线CD的解析式为 ;过点D作DHx轴于H,

8、在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长,求点P的坐标;()设直线CD交x轴于点E过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使平移后的抛物线与线段EF总有公共点试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?12.如图,二次函数yax2x+c经过点A,与直线yx2相交于坐标轴上的B、C两点(1)求此二次函数的解析式;(2)点P是直线下方二次函数图象上一点,连接PB,PC,设点P的横坐标为t,PBC的面积为S,求S与t的函数关系式;(3)在(2)的条件下,点Q是线段OB上一点,连接CQ,CQCP,若BPCQCB+QBC,求直线BP的解析式

9、13如图,已知抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的右侧),且与y轴交于点C,若OAOC,一元二次方程ax2+bx+c0的两根为1和3,点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PDy轴,交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式;(2)当ADP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)在题(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由14.如图,已知抛物线yx2+x经过x轴上的A、C两点,直线yx+b经过点A交抛物线于点B,点D为x轴下方抛物线上的动点

10、(1)求一次函数的解析式和点A、C的坐标;(2)如图,过点D作y轴的平行线DE,与直线AB、x轴分别交于点E、F,当点D为抛物线yx2+x的顶点时,点D关于直线yx+b的对称点为D,求BCD的面积;(3)在(2)的条件下,设H为线段AB上一点(不含端点),连接CH,一动点M从点C出发,沿线段CH以每秒1个单位的速度运动到点H,再沿线段BH以每秒个单位的速度运动到点B后停止,当点H的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?15.已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线yx+2与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,抛物线yx2+bx+c经过A、B两点(1)如图1,求抛物线的解析式;

11、(2)如图2,P是第三象限对称轴右侧的抛物线上一点,连接PA、PB,若PAB的面积为16,求PBO的正切值;(3)如图3,在(2)的条件下,作ABP的平分线交抛物线于点C,作CKx轴,垂足为K,CK交AP于点R,N是BP上一点(N不与B、P重合),连接NR,延长NR交直线AB于点M,连接CM、CN,若CMCN,求M点坐标16.如图,点A,B,C都在抛物线yax22amx+am2+2m5(其中a0)上,ABx轴,ABC135,且AB4(1)当m1时,求抛物线的顶点坐标;(2)求点C到直线AB的距离(用含a的式子表示);(3)若点C到直线AB的距离为1,当2m5x2m2时,y的最大值为2,求m的值

12、17.如图,已知抛物线yx2+bx+c经过点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点,连接PB,PC(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当点P在直线BC上方时,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E若PE2ED,求PBC的面积;(3)抛物线上存在一点P,使PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标18.如图,已知抛物线yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一交点为点B(1)若直线ymx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)M为抛物线的对称轴x1上一点,设点M到点A的距离与到点C的距离

13、之和为t,求t的最小值;(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点,请直接写出使BPC为直角三角形的点P的坐标19.如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2+bx+c的图的顶点为点D,与y轴交于点C,与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点(1)求这个二次函数的解析式;(2)若点P是x轴上一动点,当PCD的周长最小时,求点P的坐标;(3)如图,若点G(2,m)是该抛物线上一点,E是直线AG下方抛物线上的一动点,点E到直线AG的距离为d,求d的最大值20.如图,抛物线yx2x3与x轴交于点A,与y轴交于点B线段OA上有一动点P(不与O、A重合),过点P作y轴的平行线交直线AB于点C,交抛物线于

14、点M(1)求直线AB的解析式;(2)点N为线段AB下方抛物线上一动点,点D是线段AB上一动点;若四边形CMND是平行四边形,证明:点M、N横坐标之和为定值;在点P、N、D运动过程中,平行四边形CMND的周长是否存在最大值?若存在,求出此时点D的坐标,若不存在,说明理由参考答案1如图,抛物线yax22x+c(a0)与直线yx+3交于A、C两点,与x轴交于点 B(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,且在直线AC下方,当ACP的面积为6时,求点P的坐标;(3)D为抛物线上一点,E为抛物线的对称轴上一点,请直接写出以A,C,D,E为顶点的四边形为平行四边形时点D的坐标【考点】二次函数综合

15、题菁优网版权所有【专题】压轴题;应用意识【分析】(1)求出A、C坐标代入yax22x+c可得抛物线解析式;(2)设P横坐标为m,用m的代数式表示ACP的面积列方程即可得答案;(3)平行四边形两条对角线的中点重合,设坐标表示出每条对角线中点,分情况讨论即可【解答】解(1)在yx+3中,令x0得y3,令y0得x3,C(0,3),A(3,0),抛物线yax22x+c(a0)过A、C两点,代入得,解得,抛物线的解析式为yx22x+3;(2)如答图1:过P作PQy轴交直线AC于Q,设P(m,m22m+3),则Q(0,m+3),PQ(m+3)(m22m+3)m2+3m,SACPSAQPSCQPPQ|xAx

16、C|,而C(0,3),A(3,0),SACP6,(m2+3m)36,解得m1或m4,P(1,0)或(4,5);(3)D为抛物线上一点,E为抛物线的对称轴上一点,抛物线的解析式为yx22x+3的对称轴为x1,设D(n,n22n+3),E(1,t),且A(3,0),C(0,3),以A,C,D,E为顶点的四边形为平行四边形,而平行四边形两条对角线的中点重合,分三种情况:AD、CE为对角线时,AD的中点坐标为(,),CE的中点为(,),解得n2,n22n+35,D(2,5),AC、DE为对角线,则AC的中点与DE中点重合,同理可得,解得n2,n22n+33,D(2,3),AE、CD为对角线,则AE、C

17、D的中点重合,可得,解得n4,n22n+35,D(4,5),综上所述,以A,C,D,E为顶点的四边形为平行四边形,D坐标为:(2,5)或(2,3)或(4,5)【点评】本题考查二次函数综合应用,难度较大,解题的关键是设点的坐标,表示线段长度,根据面积、平行四边形性质列方程2.如图,抛物线yax2ax12a经过点C(0,4),与x轴交于A,B两点,连接AC,BC,M为线段OB上的一个动点,过点M作PMx轴,交抛物线于点P,交BC于点Q(1)直接写出a的值以及A,B的坐标:a,A (3,0),B (4,0);(2)过点P作PNBC,垂足为点N,设M点的坐标为M(m,0),试求PQ+PN的最大值;(3

18、)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题;函数思想;方程思想;应用意识【分析】(1)将C(0,4)代入yax2ax12a可得a的值,令y0即可解得A、B坐标;(2)由OBOC可得CBO45,从而可得PNQ是等腰直角三角形,PQPN,故求PQ+PN最大值只需求出PQ最大值,用m表示出PQ即可得答案;(3)用m表示出ACQ三边长度,分论讨论即可【解答】解:(1)将C(0,4)代入yax2ax12a得412a,a,yx2+x+4,令y0得0x2+x+4,

19、解得x14,x23,A(3,0),B(4,0),故答案为:;3,0;4,0;(2)yx2+x+4,令x0得y4,C(0,4),OC4,而B(4,0)有OB4,OBOC,BOC为等腰直角三角形,CBO45,PMx轴,BQM45PQC,PNBC,PQN是等腰直角三角形,PQPN,PQ+PN2PQ,PQ+PN取最大值即是PQ取最大值,由C(0,4),B(4,0)可得BC解析式为yx+4,M(m,0),P(m,m2+m+4),Q(m,m+4),PQ(m2+m+4)(m+4)m2+m(m2)2+,m2时,PQ最大值为,PQ+PN的最大值为(3)A(3,0),C(0,4),Q(m,m+4),AC5,AQ,

20、CQ,以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形,分三种情况:ACAQ时,5,解得m0(此时Q与C重合,舍去)或m1,Q(1,3),ACCQ时,5,解得m或m(此时M不在线段OB上,舍去),Q(,),AQCQ时,解得m12.5(此时M不在线段OB上,舍去),综上所述,以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形,Q(1,3)或Q(,)【点评】本题考查二次函数综合运用,题目较难,解题的关键是表示相关点的坐标从而表示出线段长度,再根据已知列方程求解3.如图1,抛物线yax2+2x+c与x轴交于点A、B(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,3),连接BC,抛物线的对称轴直线x1与BC交于点D,与x轴交于点E

21、(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,把DEB绕点D顺时针旋转60得到DMN,求证:点M在抛物线上;(3)如图3,点P是抛物线上的动点,连接PN,BN,当PNB30时,请直接写出直线PN的解析式【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题;分类讨论;图形的全等;解直角三角形及其应用;数据分析观念【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)证明DNB为等边三角形,求出点N的坐标,利用MKNDGM,求出点M的坐标,进而求解;(3)由(2)知,PNB30,故当点P在x轴上方时,直线NP的表达式为yx1;当点P(P)在x轴下方时,证明PND90,即可求解【解答】解:(1)由题意得:,解得,

22、故抛物线的表达式为yx2+2x+3;(2)DEB绕点D顺时针旋转60得到DMN,则DNBD,BDN60,则DNB为等边三角形,对于yx2+2x+3,令yx2+2x+30,解得x3或1,故点B的坐标为(3,0),由B、C的坐标得,直线BC的表达式为yx+3,当x1时,yx+32,故点D(1,2),则点E(1,0),则EB2DE,故DBE为等腰直角三角形,则BD2,过点N作直线NPBD交BD于点H,交抛物线于点P,DNNB,DEBE,则NP为BD的中垂线,由BC的表达式知,OBCOCB45,则PEB45,故设直线NP的表达式为yx+p,将点E的坐标代入上式得:01+p,解得p1,故直线NP的表达式

23、为yx1,设点N的坐标为(m,m1),由BNDB得:(m3)2+(m1)2(2)2,解得m2(舍去2+),故点N的坐标为(2,1);过点M作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G,交过点N与x轴的平行线于点K,设点M的坐标为(s,t),DMG+KMN90,DMG+GDM90,KMNGDM,MKNDGM90,MDMN,MKNDGM(AAS),GDMK,MGKN,解得,故点M的坐标为(1,1),当xs1时,yx2+2x+3(1)2+2(1)+31,故点M在抛物线上;(3)由(2)知,PNB30,故当点P在x轴上方时,直线NP的表达式为yx1,当点P(P)在x轴下方时,PNB30,BND60,则P

24、ND90,由点D、N的坐标得,直线ND的表达式为y(2+)x,则设直线NP的表达式为y(2)x+r,将点N的坐标代入上式并解得r85,故直线NP的表达式为y(2)x+85;综上,直线NP的表达式为yx1或y(2)x+85【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、三角形全等、解直角三角形、图形的旋转等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏4.如图,函数yx2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n)两点,m,n分别是方程x22x30的两个实数根,且mn(1)求m,n的值以及函数的解析式;(2)对于(1)中所求的函数yx2+bx+c,当0x3时,求函数y的最大值和最小值;(

25、3)设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,连接AB,BC,BD,求证:BCDOBA【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】二次函数的应用;应用意识【分析】(1)首先解方程求得A、B两点的坐标,然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;(2)由抛物线yx2+2x+3解析式,可得对称轴为x1,根据增减性可知:x1时,y有最大值,当x3时,y有最小值;(3)根据解方程直接写出点C的坐标,然后确定顶点D的坐标根据勾股定理的逆定理可得DBC90,根据边长可得AOB和DBC两直角边的比相等,则两直角三角形相似【解答】解:(1)m,n分别是方程x22x30的两个实数根,且m

26、n,用因式分解法解方程:(x+1)(x3)0,x11,x23,m1,n3,A (1,0),B (0,3),把(1,0),(0,3)代入得,解得,;函数解析式为yx2+2x+3综上所述,m1,n3,函数解析式为:yx2+2x+3(2)解:抛物线yx2+2x+3的对称轴为x1,顶点为D(1,4),在0x3范围内,当x1时,y最大值4;当x3时,y最小值0;(3)证明:由yx2+2x+3,易得,A(1,0),B(0,3),C(3,0),D(1,4)则,CD2DB2+CB2,BCD是直角三角形,且DBC90,AOBDBC,在RtAOB和RtDBC中,BCDOBA【点评】本题是二次函数的综合题型,其中考

27、查的知识点有:利用待定系数法求抛物线的解析式,三角形相似的性质和判定,勾股定理的逆定理,最值问题等知识5.已知:抛物线yax2+2交x轴于A(1,0),B两点(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点C是第二象限抛物线上的一个动点,连接AC,BC,设点C的横坐标为t,ABC的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图3,在(2)的条件下,点D在第一象限,连接AD,BD,且ADAB,在AD的上方作EADCBA,AE分别交BD的延长线,y轴于点E,F,连接DF,且AFODFE,BC交AD于点G若点G是AD的中点,求S的值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有

28、【专题】综合题;数形结合;待定系数法;一次方程(组)及应用;一元二次方程及应用;二次函数图象及其性质;线段、角、相交线与平行线;图形的全等;等腰三角形与直角三角形;解直角三角形及其应用;几何直观;运算能力;推理能力【分析】(1)将A(1,0)代入抛物线yax2+2,解得a的值,则可得抛物线的解析式;(2)过点C作CMx轴于点M,则CM2t2+2,根据SABCM列出S关于t的函数关系式并化简即可;(3)在OF的延长线上取一点K,使FKDF,连接AK,过点A作ARBD,交BC的延长线于点R,过点A作AHBD于点H,过点D作DPAE于点P,判定AFKAFD(SAS),EADRBA(AAS),AGRD

29、GB(AAS),求得tanDAE的值,根据tanCAB2(1+t),解得t的值,按照SABCM,计算即可得出答案【解答】解:(1)抛物线yax2+2交x轴于A(1,0),0a(1)2+2,解得a2,抛物线的解析式为y2x2+2;(2)如图2,过点C作CMx轴于点M,y2x2+2,当y0时,02x2+2,解得x11,x21,B(1,0),AB2CMx轴,CMO90,点C是第二象限抛物线上的一个动点,点C的横坐标为t,CM2t2+2,SABCM2(2t2+2)2t2+2;S与t之间的函数关系式为S2t2+2;(3)如图3,在OF的延长线上取一点K,使FKDF,连接AK,AFODFE,180AFO1

30、80DFE,AFKAFD,又AFAF,AFKAFD(SAS),AKAD,FAKFAD,令FAK,ADAB,AKAB2在RtAOK中,cosOAK,OAK60,DAB60FAKFAD602,又ADAB,ABDADB60+,又EADCBA,DBC60,EADBDAE60,DBCE,过点A作ARBD,交BC的延长线于点R,RDBC60,又ADAB,EADCBA,即EADRBA,EADRBA(AAS),ARDE,点G是AD的中点,AGDG,又AGRDGB,AGRDGB(AAS),ARBD,DEBD,过点A作AHBD于点H,ADAB,BHDH,令BHn,则DEBD2n,EH3n,在RtAEH中,E60,

31、EAH30,AE2EH6n,过点D作DPAE于点P,在RtDEP中,EPDEn,DPn,APAEEP6nn5n,tanDAE,tanCBAtanDAE,tanCAB2(1+t),t1,SABCM22+2【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线上的点与坐标轴的交点所围成的三角形的面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形及勾股定理等知识点,数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键6.已知:直线yx+2与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线yx2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)(1)求抛物线的解析式

32、;(2)点P是直线AE下方抛物线上一动点,求PAE面积的最大值;(3)动点Q在x轴上移动,当QAE是直角三角形时,直接写出点Q的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】二次函数的应用;等腰三角形与直角三角形;应用意识【分析】(1)利用直线yx+2与y轴交于A,求得点A的坐标,再利用B点的坐标利用待定系数法求得抛物线的解析式即可;(2)设点P坐标为(a,a2a+2),则点F(a,a+2),可求PF的长,由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解;(3)设出Q点的坐标,然后表示出AQ、EQ的长,求出AE的长,利用勾股定理得到有关Q点的横坐标的方程,求得其横坐标即可【解答】解:(1)直线yx+

33、2与y轴交于A,A点的坐标为(0,2),B点坐标为 (1,0),抛物线的解析式为yx2x+2;(2)如图,过点P作PFx轴,交AD于F,根据题意得:x+2x2x+2,解得:x0或x6,A(0,2),E(6,5),设点P坐标为(a,a2a+2),则点F(a,a+2),PFa+2(a2a+2)a2+3a,SPAE(a2+3a)6(a3)2+,当a3时,PAE面积的最大值为;(3)A(0,2),E(6,5),AE3,设Q(x,0),若Q为直角顶点,则AQ2+EQ2AE2,即x2+4+(x6)2+2545,此时x无解;若点A为直角顶点,则AQ2+AE2EQ2,即x2+4+45(x6)2+25,解得:x

34、1,即Q(1,0);若E为直角顶点,则AQ2AE2+EQ2,即x2+445+(x6)2+25,解得:x,此时求得Q(,0);Q(1,0)或(,0)【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,二次函数的性质,直角三角形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键7.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线yax2+bx3交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OBOCOA(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点D在抛物线上,且点D在第二象限,连接BD交y轴于点E,若tanEBA,求点D的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,点P在抛物线上,且点P在第三象限,点

35、F在PB上,FCFB,过点F作x轴的垂线,点G为垂足,连接DG并延长交BF于点H,若DHPCEB,求BP的长【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题;数形结合;方程思想;待定系数法;一元二次方程及应用;二次函数图象及其性质;图形的全等;矩形 菱形 正方形;解直角三角形及其应用;几何直观;运算能力;推理能力【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标可求出点C的坐标,进而可得出OC的长,结合OBOCOA,可求出OB,OA的长,进而可得出点A,B的坐标,再利用待定系数法即可求出二次函数解析式;(2)过点D作x轴的垂线,点M为垂足,设点D的横坐标为t,构建方程求解即可(3)连接OF,过点F作y

36、轴的垂线,点T为垂足,取OM的中点N,连接DN,过点G作DN的垂线交DN的延长线于点R,依次证明OFBOFC(SSS)、四边形OTFG为正方形、OEBMND(SAS);设OGGFm,BG3m,NG+m,由tanNDGtanGBF,得关于m的等式,解得m的值;设点P的横坐标为n,则点P的纵坐标为3,在RtPWB中,由tanPBW,得关于n的方程,解得n的值;最后在RtPWB中,根据BP2PW2+BW2,求得BP的长即可【解答】解:(1)二次函数yax2+bx3,当x0时,y3,C(0,3),OC3,OBOCOA,OB3,OA2,B (3,0),A(2,0),解得,抛物线的解析式为y;(2)过点D

37、作x轴的垂线,点M为垂足,设点D的横坐标为t,则点D的纵坐标为,点D在第二象限,DM,OMt,OB3,MBt+3,在RtDMB中,tanDBA,tanEBA,2DMMB,2()t+3,解得t13(舍去),t23,点D的纵坐标为33,点D的坐标为(3,3);(3)连接OF,OBOC,FBFC,OFOF,OFBOFC(SSS),COFBOF;过点F作y轴的垂线,点T为垂足,FGOB,FTFG,BOTOTFFGO90,四边形OTFG为矩形;FTFG,四边形OTFG为正方形;取OM的中点N,连接DN,过点G作DN的垂线交DN的延长线于点R,在RtOEB中,tanEBO,OE;OM3,MN,MNOE;D

38、MOB3;DMNEOB90,OEBMND(SAS),DNMOEB,DHPCEB,DNMDHP,DNMDGN+NDG,DHPHGB+GBF,DGNHGB,NDGGBF;在RtOEB中,OE,BO3,BE2OB2+OE2,BE,DN,在RtDNM中,tanDNM2,DNMGNR,在RtGNR中,tanGNR2,RG2RN;在RtGNR中,NR2+RG2NG2,NRNG,四边形OTFG为正方形,设OGGFm,BG3m,NG+m,NR(+m),RG(+m),NDGGBF,tanNDGtanGBF,在RtDGR中 tanRDG,在RtGBF中 tanGBF,解得m13(舍去),m21;tanGBF过点P

39、作x轴的垂线,点W为垂足,设点P的横坐标为n,则点P的纵坐标为3,点P在第三象限,PW+3,在RtPWB中,tanPBW,2PWBW,OWnBWn+3,2(+3)n+3,解得n13(舍去),n21,BW4,PW2在RtPWB中,BP2PW2+BW2,BP2【点评】本题是二次函数的综合题型,考查的知识点主要有:利用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理及解直角三角形等,数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键8.如图,已知抛物线yax2+bx+2经过B(2,0)、C(6,0)二点,与直线yx+2交于A、D两点,且点A为直线yx+2和抛物线yax2+b

40、x+2与y轴的交点,点G为直线yx+2与x轴的交点(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)点M是抛物线上位于直线AD下方上的一个动点,当点M运动到什么位置时MDA的面积最大?最大值是多少?(3)在x轴上是否存在点P,使以A、P、D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题;二次函数的应用;图形的相似;运算能力;推理能力【分析】(1)由待定系数法可求出抛物线解析,联立直线和抛物线解析式可得出点D的坐标;(2)如图1,过点M作y轴的平行线交线段AD于点N,设点N坐标为N(x,x+2),设M坐标为M(

41、x,x2x+2),可求出MAD的面积,由二次函数的性质可得出答案;(3)分三种情况:当点P为直角顶点时,当点A为直角顶点时,当点D为直角顶点时,由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案【解答】解:(1)抛物线yax2+bx+2经过B(2,0)、C(6,0)两点,解得,抛物线的解析式yx2x+2,抛物线yx2x+2与直线yx+2交于A、D两点,解得,D(12,10);(2)如图1,过点M作y轴的平行线交线段AD于点N,设点N坐标为N(x,x+2),设M坐标为M(x,x2x+2),yNMx+2(x2x+2),x2+2x (x6)2+6,S12(x6)2+6)(x6)2+36,a10,yMN有最大值,当M运动到M(6,0)时,yMN有最大值为36;(3)当点P为直角顶点时,设P(x,0),过点D作DHx轴,垂足为H,则PDHAPO,x212x+200,x12 x210,点P的坐标为 (2,0)或(10,0),当点A为直角顶点时,如图3,过点A作APAD,交 x轴于点P,设P(x,0),则OPAOAG,x,

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